第一節(jié)　空間幾何體考試要求：1．認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)及簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)．2．能用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓錐、棱柱及其簡(jiǎn)易組合)的直觀圖．3．知道棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式，能用公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn)但不一定相等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形2．旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線相互平行且相等并垂直于底面相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)線交于一點(diǎn) 軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓側(cè)面展開(kāi)圖矩形扇形扇環(huán) 3．空間幾何體的直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測(cè)畫(huà)法來(lái)畫(huà)，其規(guī)則是：(1)“斜”：在直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°或135°．(2)“二測(cè)”：圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線，在直觀圖中長(zhǎng)度為原來(lái)的一半．畫(huà)直觀圖要注意平行，還要注意長(zhǎng)度及角度兩個(gè)要素．4．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式 圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺(tái)側(cè)＝π(r1＋r2)l5．空間幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝S底·h錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝S底·h臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝(S上＋S下＋)h球S＝4πR2V＝πR3 (1)求棱柱、棱錐、棱臺(tái)與球的表面積時(shí)，要結(jié)合它們的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與平面幾何知識(shí)來(lái)解決．(2)常常利用一些幾何體的展開(kāi)圖解決表面上的最短距離問(wèn)題．(3)求幾何體的體積時(shí)，要注意利用分割、補(bǔ)形與等體積法．6．常用結(jié)論幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論：(1)正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R．①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝a；②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a；③若球與正方體的各棱相切，則2R＝a．(2)若長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝．(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1．解決與球“外接”問(wèn)題的關(guān)鍵：(1)確定球心．(2)構(gòu)造正(長(zhǎng))方體等特殊幾何體．二、基本技能·思想·活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)1．判斷下列說(shuō)法的正誤，對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”．(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱． ????????????? ????????????? (　×　)(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐． ????????????? ????????????? (　×　)(3)棱臺(tái)是由平行于底面的平面截棱錐所得的平面與底面之間的部分． ????????????? ????????????? (　√　)(4)圓柱的一個(gè)底面積為S，側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是2πS．????????????? ????????????? (　×　)2．如圖，長(zhǎng)方體ABCDA′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，則剩下的幾何體是(　　)A．棱臺(tái)   B．四棱柱C．五棱柱   D．簡(jiǎn)單組合體C　解析：由幾何體的結(jié)構(gòu)特征知，剩下的幾何體為五棱柱．3．已知圓錐的表面積等于12π cm2，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為(　　)A．1 cm   B．2 cm  C．3 cm   D． cmB　解析：S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，所以r2＝4，所以r＝2  cm．4．體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為(　　)A．12π   B．  C．8π   D．4πA　解析：由題意可知正方體的棱長(zhǎng)為2，其體對(duì)角線為2即為球的直徑，所以球的表面積為4πR2＝(2R)2π＝12π．故選A．5．在直觀圖(如圖所示)中，四邊形O′A′B′C′為菱形且邊長(zhǎng)為2 cm，則在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCO為__________，面積為________cm2．矩形　8　解析：由斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則可知，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCO是一個(gè)長(zhǎng)為4 cm，寬為2 cm的矩形，所以四邊形ABCO的面積為8 cm2．考點(diǎn)1　空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征與直觀圖——基礎(chǔ)性1．用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，各個(gè)截面都是圓面，則這個(gè)幾何體一定是(　　)A．圓柱B．圓錐C．球D．圓柱、圓錐、球體的組合體C　解析：截面是任意的，且都是圓面，則該幾何體為球體．2．下列命題正確的是(　　)A．以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐B．以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)C．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面D．一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)C　解析：由圓錐、圓臺(tái)、圓柱的定義可知A，B錯(cuò)誤，C正確．對(duì)于D，只有用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，才能得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)，D不正確．3．如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，則原圖形是(　　)A．正方形　　　　　 B．矩形C．菱形   D．一般的平行四邊形C　解析：如圖，在原圖形OABC中，應(yīng)有OD＝2O′D′＝2×2＝4(cm)，CD＝C′D′＝2 cm．所以OC＝＝＝6(cm)，所以OA＝OC，所以四邊形OABC是菱形．4．(多選題)下列命題中正確的是(　　)A．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形B．在四棱柱中，若兩個(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱C．存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體D．棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等BC　解析：A不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；B正確，因?yàn)閮蓚€(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；C正確，如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中的三棱錐C1ABC，四個(gè)面都是直角三角形；D不正確，棱臺(tái)的上、下底面相似且是對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長(zhǎng)不一定相等．1．解決空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征的判斷問(wèn)題主要方法是定義法，即緊扣定義來(lái)判斷，或列舉反例進(jìn)行判斷．解答此類(lèi)問(wèn)題常常由于概念理解出錯(cuò)，如第2題有可能錯(cuò)選A，B，D，第4題錯(cuò)選A，D等．2．解決直觀圖問(wèn)題，要理解并學(xué)會(huì)運(yùn)用斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則．考點(diǎn)2　空間幾何體的表面積與體積——綜合性考向1　空間幾何體的表面積問(wèn)題(1)(2021·新高考全國(guó)Ⅰ卷)已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為(　　)A．2　　　B．2　　　C．4　　　D．4B　解析：由題意知圓錐的底面周長(zhǎng)為2π．設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，則πl(wèi)＝2π，即l＝2．故選B．(2)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直線A1C與側(cè)面AA1B1B所成的角為30°，則該三棱柱的側(cè)面積為(　　)A．4＋4   B．4＋4C．12   D．8＋4A　解析：連接A1B．因?yàn)?/span>AA1⊥底面ABC，則AA1⊥BC，又AB⊥BC，AA1∩AB＝A，所以BC⊥平面AA1B1B，所以直線A1C與側(cè)面AA1B1B所成的角為∠CA1B＝30°．又AA1＝AC＝2，所以A1C＝2，所以BC＝．又AB⊥BC，則AB＝，則該三棱柱的側(cè)面積為2×2＋2×2＝4＋4．(3)在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為40 cm，母線長(zhǎng)最短50 cm，最長(zhǎng)80 cm，則斜截圓柱的側(cè)面面積S＝　　　cm2．2 600π　解析：將題圖所示的相同的兩個(gè)幾何體對(duì)接為圓柱，則圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖為矩形．由題意得所求側(cè)面展開(kāi)圖的面積S＝×(50＋80)×(π×40)＝2 600π(cm2)．求解幾何體表面積的類(lèi)型及求法求多面體的表面積只需將它們沿著棱“剪開(kāi)”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積求旋轉(zhuǎn)體的表面積可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過(guò)程及其幾何特征入手，將其展開(kāi)后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開(kāi)圖中的邊長(zhǎng)關(guān)系求不規(guī)則幾何體的表面積通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺(tái)體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺(tái)體的表面積，再通過(guò)求和或作差，求出所給幾何體的表面積 1．一個(gè)六棱錐的體積為2，其底面是邊長(zhǎng)為2的正六邊形，側(cè)棱長(zhǎng)都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為_________．12　解析：設(shè)正六棱錐的高為h，側(cè)面的斜高為h′．由題意，得×6××2××h＝2，所以h＝1，所以斜高h′＝＝2，所以S側(cè)＝6××2×2＝12．2．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年，書(shū)中將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵．已知一個(gè)塹堵的底面積為6，體積為的球與其各面均相切，則該塹堵的表面積為________．36　解析：設(shè)球的半徑為r，底面三角形的周長(zhǎng)為l，由已知得r＝1，所以塹堵的高為2．則lr＝6，l＝12，所以表面積S＝12×2＋6×2＝36．考向2　空間幾何體的體積問(wèn)題(1)如圖所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1-ABC1的體積為(　　)A．   B．  C．   D．A　解析：易知三棱錐B1-ABC1的體積等于三棱錐A-B1BC1的體積，又三棱錐A-B1BC1的高為，底面積為，故其體積為××＝．(2)(2021·八省聯(lián)考)圓臺(tái)上、下底面的圓周都在一個(gè)直徑為10的球面上，其上、下底面半徑分別為4和5，則該圓臺(tái)的體積為________．61π　解析：圓臺(tái)的下底面半徑為5，故下底面在外接球的大圓上，如圖，設(shè)球的球心為O，圓臺(tái)上底面的圓心為O′，則圓臺(tái)的高OO′＝＝＝3．據(jù)此可得圓臺(tái)的體積V＝π×3×(52＋5×4＋42)＝61π．求空間幾何體的體積的常用方法公式法對(duì)于規(guī)則幾何體的體積問(wèn)題，可以直接利用公式進(jìn)行求解割補(bǔ)法把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進(jìn)行體積計(jì)算；或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體，便于計(jì)算其體積等體積法一個(gè)幾何體無(wú)論怎樣轉(zhuǎn)化，其體積總是不變的．如果一個(gè)幾何體的底面面積和高較難求解時(shí)，我們可以采用等體積法進(jìn)行求解．通過(guò)選擇合適的底面來(lái)求幾何體體積，主要用來(lái)解決有關(guān)錐體的體積，特別是三棱錐的體積 1．(2021·全國(guó)甲卷)已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6，其體積為30π，則該圓錐的側(cè)面積為________．39π　解析：設(shè)圓錐的高為h，母線長(zhǎng)為l，則圓錐的體積V＝×π×62×h＝30π，解得h＝．所以l＝＝＝，故圓錐的側(cè)面積S＝πrl＝π×6×＝39π．2．如圖，已知體積為V的三棱柱ABC-A1B1C1，P是棱B1B上除B1，B以外的任意一點(diǎn)，則四棱錐P-AA1C1C的體積_________．　解析：如圖，把三棱柱ABC-A1B1C1補(bǔ)成平行六面體A1D1B1C1-ADBC．設(shè)點(diǎn)P到平面AA1C1C的距離為h，則V＝S·h＝V＝·2V＝．考點(diǎn)3　與球有關(guān)的切、接問(wèn)題——綜合性考向1　“相切”問(wèn)題已知正四面體P-ABC的表面積為S1，此四面體的內(nèi)切球的表面積為S2，則＝________．　解析：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，則正四面體的表面積為S1＝4××a2＝a2，其內(nèi)切球半徑r為正四面體高的，即r＝×a＝a，因此內(nèi)切球表面積為S2＝4πr2＝，則＝＝．處理與球有關(guān)內(nèi)切問(wèn)題的策略解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí)首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過(guò)作截面來(lái)解決．如果內(nèi)切的是多面體，則作截面時(shí)主要抓住多面體過(guò)球心的對(duì)角面來(lái)作，利用體積分割法求內(nèi)切球半徑．考向2　“相接”問(wèn)題已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為(　　)A．   B． 2  C．   D．3C　解析：如圖所示，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點(diǎn)M．又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，所以球O的半徑R＝OA＝＝．處理與球有關(guān)外接問(wèn)題的策略(1)構(gòu)造正(長(zhǎng))方體等特殊幾何體轉(zhuǎn)化為特殊幾何體的外接球問(wèn)題．(2)空間問(wèn)題平面化，把平面問(wèn)題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，作出適當(dāng)截面(過(guò)球心、接點(diǎn)等)．(3)利用球與截面圓心的連線垂直于截面，確定球心所在的直線．1．已知三棱錐P-ABC中，△ABC為等邊三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，則三棱錐P-ABC的外接球的體積為(　　)A．π　　　　　　　　 B．π　　　C．27π　　　   D．27πB　解析：因?yàn)槿忮FP-ABC中，△ABC為等邊三角形，PA＝PB＝PC＝3，所以△PAB≌△PBC≌△PAC．因?yàn)?/span>PA⊥PB，所以PA⊥PC，PC⊥PB．以PA，PB，PC為過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱作正方體(如圖所示)，則正方體的外接球同時(shí)也是三棱錐P-ABC的外接球．因?yàn)檎襟w的體對(duì)角線長(zhǎng)為＝3，所以其外接球半徑R＝．因此三棱錐P-ABC的外接球的體積V＝×＝π．2．(2020·全國(guó)Ⅲ卷)已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_________．π　解析：方法一：如圖，在圓錐的軸截面ABC中，CD⊥AB，BD＝1，BC＝3，圓O內(nèi)切于△ABC，E為切點(diǎn)，連接OE，則OE⊥BC．在Rt△BCD中，CD＝＝2．易知BE＝BD＝1，則CE＝2．設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為R，則OC＝2－R，在Rt△COE中，OC2－OE2＝CE2，即(2－R)2－R2＝4，所以R＝，圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為πR3＝π．方法二：如圖，記圓錐的軸截面為△ABC，其中AC＝BC＝3，AB＝2，CD⊥AB，在Rt△BCD中，CD＝＝2，則S△ABC＝2．設(shè)△ABC的內(nèi)切圓O的半徑為R，則R＝＝，所以圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為πR3＝π． 

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