第22講-解三角形的實際應(yīng)用一、                   考情分析能夠運用正弦定理、余弦定理等知識方法解決一些與測量、幾何計算有關(guān)的實際問題.二、                   知識梳理1.仰角和俯角在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方叫仰角，目標視線在水平視線下方叫俯角(如圖1).2.方位角指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖2).3.方向角：相對于某正方向的水平角，如南偏東30°，北偏西45°等.4.坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值.[微點提醒]1.不要搞錯各種角的含義，不要把這些角和三角形內(nèi)角之間的關(guān)系弄混.2.解決與平面幾何有關(guān)的計算問題關(guān)鍵是找清各量之間的關(guān)系，從而應(yīng)用正、余弦定理求解.三、                   經(jīng)典例題考點一　求距離、高度問題　多維探究角度1　測量高度問題【例1－1】 如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600 m后到達B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD＝________m.【解析】　由題意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，解得BC＝300(m).在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300×＝100(m).規(guī)律方法　1.在處理有關(guān)高度問題時，要理解仰角、俯角(它是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是關(guān)鍵.2.在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯.3.注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.角度2　測量距離問題【例1－2】 如圖所示，某旅游景點有一座風(fēng)景秀麗的山峰，山上有一條筆直的山路BC和一條索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2個小時的時間進行徒步攀登，已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1 km，AC＝3 km.假設(shè)小王和小李徒步攀登的速度為每小時1 250米，請問：兩位登山愛好者能否在2個小時內(nèi)徒步登上山峰？(即從B點出發(fā)到達C點)【解析】　在△ABD中，由題意知，∠ADB＝∠BAD＝30°，所以AB＝BD＝1 km，因為∠ABD＝120°，由正弦定理得＝，解得AD＝ km，在△ACD中，由AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos 150°，得9＝3＋CD2＋2×CD，即CD2＋3CD－6＝0，解得CD＝ km，BC＝BD＋CD＝ km，兩個小時小王和小李可徒步攀登1 250×2＝2 500米，即2.5千米，而<＝＝2.5，所以兩位登山愛好者可以在兩個小時內(nèi)徒步登上山峰.規(guī)律方法　1.選定或確定要創(chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解.2.確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理.考點二　測量角度問題【例2】 已知島A南偏西38°方向，距島A3海里的B處有一艘緝私艇.島A處的一艘走私船正以10海里/時的速度向島嶼北偏西22°方向行駛，問緝私艇朝何方向以多大速度行駛，恰好用0.5小時能截住該走私船？【解析】　如圖，設(shè)緝私艇在C處截住走私船，D為島A正南方向上一點，緝私艇的速度為每小時x海里，則BC＝0.5x，AC＝5，依題意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°，所以BC2＝49，所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14.又由正弦定理得sin∠ABC＝＝＝，所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，故緝私艇以每小時14海里的速度向正北方向行駛，恰好用0.5小時截住該走私船.規(guī)律方法　1.測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的解.2.方向角是相對于某點而言的，因此在確定方向角時，必須先弄清楚是哪一個點的方向角.考點三　正(余)弦定理在平面幾何中的應(yīng)用【例3】如圖，已知扇形的圓心角∠AOB＝，半徑為4，若點C是上的一動點(不與點A，B重合).(1)若弦BC＝4(－1)，求的長；(2)求四邊形OACB面積的最大值.【解析】　(1)在△OBC中，BC＝4(－1)，OB＝OC＝4，所以由余弦定理得cos∠BOC＝＝，所以∠BOC＝，于是的長為·4＝π.(2)設(shè)∠AOC＝θ，θ∈，則∠BOC＝－θ，S四邊形OACB＝S△AOC＋S△BOC＝×4×4sin θ＋×4×4·sin＝24sin θ＋8cos θ＝16sin，由于θ∈，所以θ＋∈，當θ＝時，四邊形OACB的面積取得最大值16.規(guī)律方法　1.把所提供的平面圖形拆分成若干個三角形，然后在各個三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解.2.尋找各個三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果，求解時要靈活利用平面幾何的性質(zhì)，將幾何性質(zhì)與正弦、余弦定理有機結(jié)合起來.[方法技巧]　1.利用解三角形解決實際問題時：(1)要理解題意，整合題目條件，畫出示意圖，建立一個三角形模型；(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；(3)三角函數(shù)模型中，要確定相應(yīng)參數(shù)和自變量范圍，最后還要檢驗問題的實際意義.2.在三角形和三角函數(shù)的綜合問題中，要注意邊角關(guān)系相互制約，推理題中的隱含條件.四、                   課時作業(yè)1．（2020·全國高三（文））在中，則此三角形的形狀為（    ）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形2．（2020·河北省故城縣高級中學(xué)高一期中）如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為(　　)A．a km B． a kmC． akm D．2akm3．（2020·曲周縣第一中學(xué)高一開學(xué)考試）如圖所示,為測一棵樹的高度,在地面上選取A,B兩點,從A,B兩點分別測得樹尖P的仰角為30°,45°,且A,B兩點之間的距離為60m,則樹的高度h為(    )A． B． C． D．4．（2020·安徽省池州一中高一期中（文））如圖，有一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，汽車在點測得公路北側(cè)山頂的仰角為30°，汽車行駛后到達點測得山頂在北偏西30°方向上，且仰角為45°，則山的高度為（）A． B． C． D．5．（2020·山東省高一期中）一船向正北方向航行,看見正西方向有兩個相距10海里的燈塔恰好與它在一條直線上,繼續(xù)航行半小時后, 看見一燈塔在船的南偏西60°方向上,另一燈塔在船的南偏西75°方向上,則這艘船的速度是 (   )A．5海里/時 B．海里/時 C．10海里/時 D．海里/時6．（2019·四川省仁壽一中高一月考）雕塑成了大學(xué)環(huán)境不可分割的一部分，有些甚至能成為這個大學(xué)的象征，在中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)校園中就有一座郭沫若的雕像．雕像由像體和底座兩部分組成．如圖，在中，，在中，，且米，求像體的高度（    ）（最后結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，，）A．4.0米 B．4.2米 C．4.3米 D．4.4米7．（2020·山東省鄆城第一中學(xué)高一期中）海中有一小島，一小船從地出發(fā)由西向東航行，望見小島在北偏東 ，航行4海里到達處，望見小島在北偏東，若此小船不改變航行的方向繼續(xù)前行2海里，則小船離小島的距離為（    ）A．12海里 B．海里 C．16海里 D．海里8．（2020·寧夏回族自治區(qū)銀川一中高三其他（理））在相距的兩點處測量目標點，若，，則兩點之間的距離為（    ）A． B． C． D．9．（2020·哈爾濱市第三十二中學(xué)校高一期末）如圖，在熱氣球C正前方有一高為m的建筑物AB，在建筑物底部A測得C的仰角為60°，同時在C處測得建筑物頂部B的俯角為30°，則此時熱氣球的高度CD為（    ）A．m B．m C．m D．m10．（2020·遼寧省高一期中）一船沿北偏西方向航行，正東有兩個燈塔A,B, 海里，航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏東，另一燈塔在船的南偏東，則這艘船的速度是每小時      （     ）A．5海里 B．海里 C．10海里 D．海里11．（2020·蒼南縣樹人中學(xué)高一期中）在中，，，所對的邊分別為，，，過作直線與邊相交于點，，.當直線時，值為；當為邊的中點時，值為.當，變化時，記（即、中較大的數(shù)），則的最小值為（    ）A． B． C． D．112．（2020·廣東省高三月考（文））在《周髀算經(jīng)》中，把圓及其內(nèi)接正方形稱為圓方圖，把正方形及其內(nèi)切圓稱為方圓圖.圓方圖和方圓圖在我國古代的設(shè)計和建筑領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.山西應(yīng)縣木塔是我國現(xiàn)存最古老、最高大的純木結(jié)構(gòu)樓閣式建筑，它的正面圖如圖所示.以該木塔底層的邊作方形，會發(fā)現(xiàn)塔的高度正好跟此對角線長度相等.以塔底座的邊作方形.作方圓圖，會發(fā)現(xiàn)方圓的切點正好位于塔身和塔頂?shù)姆纸?/span>.經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)，木塔底層的邊不少于米，塔頂到點的距離不超過米，則該木塔的高度可能是（參考數(shù)據(jù)：）（    ）A．米 B．米 C．米 D．米 13．（多選題）（2020·山東省鄆城第一中學(xué)高一期中）的內(nèi)角的對邊分別為，下列四個命題中正確的是（    ）A．若，則一定是銳角三角形B．若，則一定是等邊三角形C．若，則一定是等腰三角形D．若，則一定是等腰三角形14．（多選題）（2020·嘉祥縣第一中學(xué)高一月考）在中，D在線段上，且若，則（    ）A． B．的面積為8C．的周長為 D．為鈍角三角形15．（多選題）（2020·江蘇省高一期中）（多選題）如圖，設(shè)的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，且．若點是外一點，，，下列說法中，正確的命題是（    ）A．的內(nèi)角 B．的內(nèi)角C．四邊形面積的最大值為 D．四邊形面積無最大值16．（2020·全國高三（文））山頂上有一座信號發(fā)射塔，塔高0.2千米，山腳下有，，三個觀測點，它們兩兩之間的距離分別為千米，千米，千米，從這三個觀測點望塔尖的仰角均為60°，則山高為______千米.17．（2019·四川省仁壽一中高一月考）海洋藍洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上最深的海洋藍洞，若要測量如圖所示的藍洞的口徑，兩點間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點，，測得，，，，則，兩點的距離為________．18．（2020·遼寧省高三其他（文））如圖所示，位于處的信息中心獲悉：在其正東方向相距海里的處有一艘漁船遇險，在原地等待營救．信息中心立即把消息告知在其南偏西45°、相距20海里的處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線前往處救援，則的值為_________．19．（2020·全國高三（文））高鐵是我國國家名片之一，高鐵的修建凝聚著中國人的智慧與汗水.如圖所示，B、E、F為山腳兩側(cè)共線的三點，在山頂A處測得這三點的俯角分別為、、，計劃沿直線BF開通穿山隧道，現(xiàn)已測得BC、DE、EF三段線段的長度分別為3、1、2.（1）求出線段AE的長度；（2）求出隧道CD的長度.20．（2020·海原縣第一中學(xué)高三期末（文））如圖，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與D. 現(xiàn)測得，，，并在點C測得塔頂A的仰角為，求塔高.  

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