2023年遼寧省普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試押題卷（三）數(shù)學(xué)（本試卷分第I卷和第II卷兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘）注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（共36分）一、單選題：本大題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是復(fù)合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù) 的實部和虛部分別為 和 4， 則實數(shù) 和 的值分別是 （    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)的概念列式計算作答.【詳解】，復(fù)數(shù) 的實部和虛部分別為 和 4，因此，解得，所以實數(shù) 和 的值分別是.故選：D2．“”是“，”的（    ）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也費必要條件【答案】B【分析】根據(jù)推出關(guān)系可直接判斷出結(jié)果.【詳解】或，，；，， “”是“，”的必要非充分條件.故選：B.3．已知集合，，則（    ）A． B． C．， D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件及交集的定義即可求解.【詳解】由題意可知，解得，所以.故選：D.4．已知，，與的夾角為，則（    ）．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】先根據(jù)誘導(dǎo)公式結(jié)合向量模的坐標運算求得，再根據(jù)向量的夾角公式結(jié)合向量數(shù)量積的運算律運算求解.【詳解】因為，所以，又，與的夾角為，所以，解得.故選：B．5．已知函數(shù)有兩個不同零點，則實數(shù)a的取值范圍為（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】將已知轉(zhuǎn)化為方程有兩個不同的根，令，轉(zhuǎn)化為有兩個不同的根，等價于函數(shù)與有兩個不同的交點，數(shù)形結(jié)合可得解.【詳解】函數(shù)有兩個不同零點，等價于方程有兩個不同的根，即方程有兩個不同的根，令，則轉(zhuǎn)化為有兩個不同的根，等價于函數(shù)與有兩個不同的交點，作出兩個函數(shù)的圖像，如下圖數(shù)形結(jié)合可知，實數(shù)a的取值范圍為故選：C6．已知角的終邊過點，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義可求得，再利用誘導(dǎo)公式即可求得結(jié)果.【詳解】由已知可得，由誘導(dǎo)公式可知，；故選：C.7．已知直線、，平面、，滿足且，則“”是“”的（    ）條件A．充分非必要 B．必要非充分條 C．充要 D．既非充分又非必要【答案】A【分析】利用空間中的垂直關(guān)系和充分條件、必要條件的定義進行判定.【詳解】因為，所以，又因為，所以，即“”是“”的充分條件；如圖，在長方體中，設(shè)面為面、面為面，則，且與面不垂直，即“”不是“”的必要條件；所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.8．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】判斷單調(diào)性和奇偶性得到A正確，根據(jù)單調(diào)性排除BD，根據(jù)奇偶性排除C，得到答案.【詳解】對選項A：函數(shù)定義域為，，，函數(shù)為偶函數(shù)，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，滿足；對選項B：當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，排除；對選項C：的定義域為，是非奇非偶函數(shù)，排除；對選項D：當時，單調(diào)遞減，排除.故選：A.9．采購經(jīng)理指數(shù)（PMI），是通過對企業(yè)采購經(jīng)理的月度調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計匯總、編制而成的指數(shù)，它涵蓋了企業(yè)采購、生產(chǎn)、流通等各個環(huán)節(jié)，包括制造業(yè)和非制造業(yè)領(lǐng)域，是國際上通用的檢測宏觀經(jīng)濟走勢的先行指數(shù)之一，具有較強的預(yù)測、預(yù)警作用．制造業(yè)PMI高于時，反映制造業(yè)較上月擴張；低于，則反映制造業(yè)較上月收縮．下圖為我國2021年1月—2022年6月制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)（PMI）統(tǒng)計圖．根據(jù)統(tǒng)計圖分析，下列結(jié)論最恰當?shù)囊豁棡椋?/span>    ）A．2021年第二、三季度的各月制造業(yè)在逐月收縮B．2021年第四季度各月制造業(yè)在逐月擴張C．2022年1月至4月制造業(yè)逐月收縮D．2022年6月PMI重回臨界點以上，制造業(yè)景氣水平呈恢復(fù)性擴張【答案】D【分析】根據(jù)題意，將各個月的制造業(yè)指數(shù)與比較，即可得到答案.【詳解】對于A項，由統(tǒng)計圖可以得到，只有9月份的制造業(yè)指數(shù)低于，故A項錯誤；對于B項，由統(tǒng)計圖可以得到，10月份的制造業(yè)指數(shù)低于，故B項錯誤；對于C項，由統(tǒng)計圖可以得到，1、2月份的制造業(yè)指數(shù)高于，故C項錯誤；對于D項，由統(tǒng)計圖可以得到，從4月份的制造業(yè)指數(shù)呈現(xiàn)上升趨勢，且在2022年6月PMI超過，故D項正確.故選：D.10．在空間四邊形ABCD中， M，G分別是BC， CD的中點，則 （    ）A． B．2 C．3 D．3【答案】D【分析】利用中位線的性質(zhì)可以得出：，然后利用向量的線性運算即可求解.【詳解】因為M，G分別是BC， CD的中點，由三角形中位線的性質(zhì)可得：，又因為，所以，故選：.11．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，則的值可以是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先化簡，再得到平移后的解析式，即可得到，逐個檢驗即可得出答案.【詳解】因為.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，所以有，所以，所以有，.對于A項，令，即，解得，A項錯誤；對于B項，令，即，解得，B項正確；對于C項，令，即，解得，C項錯誤；對于D項，令，即，解得，D項錯誤.故選：B.12．設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出，，然后即可得出，，的大小關(guān)系【詳解】，，．故選：D．第II卷 非選擇題（共64分）二、填空題：本大題共4小題，每小題3分，共12分。要求直接寫出答案，不必寫出計算過程或推證過程。13．若不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【分析】考慮與兩種情況，根據(jù)根的判別式得到不等式，求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】當時，，滿足要求，當時，要想滿足解集為R，則要，解得：，綜上：實數(shù)的取值范圍是.故答案為：14．已知 ， 且 ， 則 與 的夾角 的余弦值 ______________________________．【答案】##-0.5【分析】利用，得到，根據(jù)，列出方程，可求出.【詳解】，，得，解得故答案為：15．一個正方體，它的表面涂滿了紅色，把它切割成27個完全相等的小正方體，從中任取1個，恰有兩面涂有紅色的概率為______.【答案】【分析】根據(jù)古典概型的概率計算公式求得正確答案.【詳解】原正方體每條棱上有個小正方體的兩面涂有紅色，所以共有個小正方體的兩面涂有紅色，所以恰有兩面涂有紅色的概率為.故答案為：16．已知m、n是不同的直線，是不重合的平面，給出下列命題：①若，則；②若，則；③若，則；④m，n是兩條異面直線，若，則．上面的命題中，真命題的序號是____________．（寫出所有真命題的序號）【答案】③④【分析】利用平面與平面平行的判定和性質(zhì)可判斷各命題的真假．【詳解】若，則m與n平行或異面，故①錯誤；，但m與n不一定相交，不一定成立，故②錯誤；若，則，又由，則，故③正確；m，n是兩條異面直線，若，則過m的平面與平面相交于直線，有，過n的平面與平面相交于直線，有，m，n異面，一定相交，，如圖所示，由面面平行的判定可知，故④正確；故答案為：③④三、解答題：共5題，共52分。17．（10分）已知函數(shù)．(1)試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并給予證明；(2)試判斷函數(shù)在上的最大值和最小值．【答案】(1)函數(shù)在上是增函數(shù)，證明見解析(2)最大值是，最小值是 【分析】（1）判定函數(shù)的單調(diào)性并用定義證明出來；（2）由函數(shù)的單調(diào)性求出在上的最值．【詳解】（1）∵，∴函數(shù)在上是增函數(shù)，證明：任取，，且，則，∵，∴，，∴，即，∴在上是增函數(shù)；（2）∵在上是增函數(shù)，∴在上單調(diào)遞增，它的最大值是，最小值是.18．（10分）如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，，點是的中點.求證：(1)平面；(2).【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析 【分析】（1）利用線面垂直的判定定理即可得證；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論及線面垂直的判定定理證得平面，從而得證.【詳解】（1）∵底面為矩形，∴，∵底面，底面，∴，又∵，平面，∴平面.（2）∵平面，平面，∴，∵，是的中點，∴，又∵，平面，∴平面，∵平面，∴.19．（10分）某城市戶居民的月平均用電量（單位：度），以，，，，，，分組的頻率分布直方圖如圖．（1）求直方圖中的值；（2）求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；（3）在月平均用電量為，，，的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取戶居民，則月平均用電量在的用戶中應(yīng)抽取多少戶？【答案】（1）；（2），；（3）．【詳解】試題分析：（1）由直方圖的性質(zhì)可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方圖中眾數(shù)為最高矩形上端的中點可得，可得中位數(shù)在[220，240）內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為a，解方程（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5可得；（3）可得各段的用戶分別為25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的戶數(shù)試題解析：(1)由直方圖的性質(zhì)可得(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)×20＝1得：x＝0.0075，所以直方圖中x的值是0.0075. ------------- 3分(2)月平均用電量的眾數(shù)是＝230. ------------- 5分因為(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用電量的中位數(shù)在[220,240)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為a，由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a－220)＝0.5得：a＝224，所以月平均用電量的中位數(shù)是224. ------------ 8分(3)月平均用電量為[220,240)的用戶有0.0125×20×100＝25戶，月平均用電量為[240,260)的用戶有0.0075×20×100＝15戶，月平均用電量為[260,280)的用戶有0. 005×20×100＝10戶，月平均用電量為[280,300]的用戶有0.0025×20×100＝5戶， -------------10分抽取比例＝＝，所以月平均用電量在[220,240)的用戶中應(yīng)抽取25×＝5戶．-- 12分考點：頻率分布直方圖及分層抽樣 20．（10分）記是內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，點在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有，結(jié)合已知即可證結(jié)論.（2）方法一：兩次應(yīng)用余弦定理，求得邊與的關(guān)系，然后利用余弦定理即可求得的值.【詳解】（1）設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理，得，因為，所以，即．又因為，所以．（2）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應(yīng)用余弦定理因為，如圖，在中，，①在中，．②由①②得，整理得．又因為，所以，解得或，當時，（舍去）．當時，．所以．[方法二]：等面積法和三角形相似如圖，已知，則，即，而，即，故有，從而．由，即，即，即，故，即，又，所以，則．[方法三]：正弦定理、余弦定理相結(jié)合由（1）知，再由得．在中，由正弦定理得．又，所以，化簡得．在中，由正弦定理知，又由，所以．在中，由余弦定理，得．故．[方法四]：構(gòu)造輔助線利用相似的性質(zhì)如圖，作，交于點E，則．由，得．在中，．在中．因為，所以，整理得．又因為，所以，即或．下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理因為，所以．以向量為基底，有．所以，即，又因為，所以．③由余弦定理得，所以④聯(lián)立③④，得．所以或．下同解法1．[方法六]：建系求解以D為坐標原點，所在直線為x軸，過點D垂直于的直線為y軸，長為單位長度建立直角坐標系，如圖所示，則．由（1）知，，所以點B在以D為圓心，3為半徑的圓上運動．設(shè)，則．⑤由知，，即．⑥聯(lián)立⑤⑥解得或（舍去），，代入⑥式得，由余弦定理得．【整體點評】(2)方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為簡單的問題，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問題的常用思路；方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關(guān)系的不錯選擇；方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；方法六：建立平面直角坐標系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問題更加直觀化.21．（12分）已知，，（，）.(1)求關(guān)于的表達式，并求的最小正周期；(2)若當時，求的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)若當時，的最小值為7，求的值.【答案】(1)；(2)和，.(3) 【分析】(1)首先化簡函數(shù)，根據(jù)公式求周期；(2)由（1）可知，令，解之，結(jié)合即可求解；(3)根據(jù)（1）可知先求的范圍，求出函數(shù)的最小值，進而求出結(jié)果.【詳解】（1）因為，，所以，所以函數(shù)的最小正周期,（2）由（1）知：，令，解得：，又因為，所以和，，得到：和，，所以函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)增區(qū)間為和，.（3）當時，，所以，所以，因為函數(shù)的最小值為7，所以，則，所以的值為. 

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