湖南省衡陽(yáng)師范學(xué)院祁東附屬中學(xué)2023屆高三下學(xué)期考前適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

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湖南省衡陽(yáng)師范學(xué)院祁東附屬中學(xué)2023屆高三下學(xué)期考前適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________ 一、單選題1．已知集合，集合，則（    ）A． B． C． D．2．規(guī)定運(yùn)算，若復(fù)數(shù)滿足，則的值為（    ）A． B． C． D．3．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則滿足的正整數(shù)n的最大值為（    ）A．16 B．15 C．12 D．84．已知定義在上的偶函數(shù)，若正實(shí)數(shù)a、b滿足，則的最小值為（    ）A． B．9 C． D．85．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，記，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．的最小正周期為2π B．C． D．在上單調(diào)遞增6．基本再生數(shù)與世代間隔是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)，基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）描述累計(jì)感染病例數(shù)隨時(shí)間（單位：天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率與，近似滿足.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出，，據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加倍需要的時(shí)間約為（    ）（參考數(shù)據(jù)：，）A．天 B．天 C．天 D．天7．已知函數(shù)，且，則的最小值為（    ）A．1 B．e C． D．8．如圖，平面四邊形ABCD中，，為正三角形，以AC為折痕將折起，使D點(diǎn)達(dá)到P點(diǎn)位置，且二面角的余弦值為，當(dāng)三棱錐的體積取得最大值，且最大值為時(shí)，三棱錐外接球的體積為（    ）A． B． C． D． 二、多選題9．已知點(diǎn)，，，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A． B．若，則C．若，則 D．若，的夾角為銳角，則且10．在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．B．為鈍角三角形C．若，則的面積是D．若外接圓半徑是，內(nèi)切圓半徑為，則11．如圖，在正方體中，分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．直線平面EFGB．直線和平面所成的角為定值C．異面直線和所成的角不為定值D．若直線平面EFG，則點(diǎn)為線段的中點(diǎn)12．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，函數(shù) 滿足：為奇函數(shù)，且對(duì)于定義域內(nèi)的所有實(shí)數(shù)，都有．則（    ）A．是周期為2的函數(shù) B．為偶函數(shù)C． D．的值域?yàn)?/span> 三、填空題13．的展開式中的系數(shù)為_________．14．?dāng)?shù)據(jù)23，76，45，37，58，16，28，15的25百分位數(shù)是__________．15．點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，當(dāng)，則的取值范圍為______.16．設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線左支上存在一點(diǎn)，使得在以線段為直徑的圓上，且，則該雙曲線的離心率為__________． 四、解答題17．如圖，在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，過(guò)點(diǎn)作，交線段于點(diǎn)，且，.(1)求；(2)求的面積.18．為進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生的文明養(yǎng)成教育，推進(jìn)校園文化建設(shè)，倡導(dǎo)真善美，用先進(jìn)人物的先進(jìn)事跡來(lái)感動(dòng)師生，用身邊的榜樣去打動(dòng)師生，用真情去發(fā)現(xiàn)美，分享美，弘揚(yáng)美，某校以爭(zhēng)做最美青年為主題，進(jìn)行“最美青年”評(píng)選活動(dòng)，最終評(píng)出了10位“最美青年”，其中6名女生4名男生。學(xué)校準(zhǔn)備從這10位“最美青年”中每次隨機(jī)選出一人做事跡報(bào)告.(1)若每位“最美青年”最多做一次事跡報(bào)告，記第一次抽到女生為事件A，第二次抽到男生為事件B，求，；(2)根據(jù)不同需求，現(xiàn)需要從這10位“最美青年”中每次選1人，可以重復(fù)，連續(xù)4天分別為高一、高二、高三學(xué)生和全體教師做4場(chǎng)事跡報(bào)告，記這4場(chǎng)事跡報(bào)告中做報(bào)告的男生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.19．已知數(shù)列中，，且.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．如圖，是等腰直角三角形，，四邊形是直角梯形，，，且，平面平面．(1)求證：；(2)若點(diǎn)E是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)點(diǎn)E在何位置時(shí)，三棱錐的體積為?21．已知函數(shù)，．(1)當(dāng)，求的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若在恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．22．已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，過(guò)作直線交于兩點(diǎn)，交于兩點(diǎn).已知直線交于點(diǎn)，直線交于點(diǎn).試探究是否為定值，若為定值，求出定值；若不為定值，說(shuō)明理由.
參考答案：1．B【分析】求函數(shù)的定義域，解不等式，借助數(shù)軸即可求出交集.【詳解】由解得，由解得，故.故選：B.2．D【分析】根據(jù)所給運(yùn)算及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，即，所以.故選：D3．B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式求解，再求解不等式得出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d，則，解得，所以，．由，得，即，解得1<n<16，所以正整數(shù)n的最大值為15．故選：B．4．A【分析】根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可得，由題意分析可得，結(jié)合基本不等式分析運(yùn)算.【詳解】若函數(shù)為偶函數(shù)，則，即，可得，整理得，故，解得，∴.若正實(shí)數(shù)a、b滿足，即，可得，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，∴的最小值為.故選：A.5．C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則計(jì)算即可逐一判定.【詳解】解：∵，由并結(jié)合圖像知，∴，又，且在上單調(diào)遞減，∴，又，∴，，∴，∴．故選：C．6．B【分析】根據(jù)所給模型求得，令，求得，根據(jù)條件可得方程，然后解出即可．【詳解】把，代入，可得，，當(dāng)時(shí)，，則，兩邊取對(duì)數(shù)得，解得．故選：B.7．A【分析】根據(jù)展開得到的解析式，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出解析式單調(diào)性繼而判斷解析式的取值范圍，即可得到答案.【詳解】由，得，化簡(jiǎn)整理得，因?yàn)?/span>g（x）的值域，f（x），g（x）的定義域均為R，所以的取值范圍也是R，令，令，解得.當(dāng)時(shí)，，即h（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；所以，故故選：A.8．D【分析】過(guò)點(diǎn)作平面，垂足為，作，垂足為，連接，則為二面角的補(bǔ)角，為的中點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)二面角的余弦值可求得，再根據(jù)三棱錐的體積取得最大值結(jié)合基本不等式求出，再利用勾股定理求出三棱錐外接球的半徑，根據(jù)球的體積公式即可得解.【詳解】過(guò)點(diǎn)作平面，垂足為，作，垂足為，連接，因?yàn)?/span>平面，平面，所以，又平面，所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以，則為二面角的補(bǔ)角，故，因?yàn)?/span>，所以為的中點(diǎn)，設(shè)，則，在中，，則，，由，得當(dāng)取得最大值時(shí)，三棱錐的體積取得最大值，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以，解得，則，設(shè)三棱錐外接球的球心為，則平面，設(shè)，由得，解得，則三棱錐外接球的半徑，所以三棱錐外接球的體積為.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：①補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長(zhǎng)方體中去求解；②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對(duì)直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；③定義法：到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系求解即可；④坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出外接球球心的坐標(biāo)，根據(jù)球心到各頂點(diǎn)的距離相等建立方程組，求出球心坐標(biāo)，利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式可求得球的半徑.9．AC【分析】根據(jù)向量的模長(zhǎng)，垂直，平行和夾角大小的定義，對(duì)下列各項(xiàng)逐一判斷，即可得到本題答案.【詳解】因?yàn)?/span>，，，所以，，選項(xiàng)A：，所以A正確；選項(xiàng)B：因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，所以B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：因?yàn)?/span>，所以，所以，所以C正確；選項(xiàng)D：因?yàn)?/span>，的夾角為銳角，且，所以，解得，所以D錯(cuò)誤.故選：AC10．BD【分析】由正弦定理得到A選項(xiàng)；由大邊對(duì)大角確定C最大，由余弦定理求出得到答案；C選項(xiàng)，由角C的余弦求出角C的正弦，再用面積公式求解；D選項(xiàng)，正弦定理求出外接圓半徑,設(shè)出內(nèi)切圓半徑，利用面積列出方程，求出內(nèi)切圓半徑.【詳解】設(shè)，則，對(duì)于A ，，故A不正確；對(duì)于B ，c最大，所以C最大，，故B正確；對(duì)于C，若，則，，所以，所以的面積是，故C不正確；對(duì)于D，若正弦定理，的周長(zhǎng)，，所以內(nèi)切圓半徑為，所以.故D正確. 故選：BD11．AD【分析】由平面截正方體的截面為正六邊形，根據(jù)，證得平面，可判定A正確；過(guò)作，得到直線和平面所成的角為，設(shè)，得到，可判定B錯(cuò)誤；由，證得平面，得到，可判定C錯(cuò)誤；證得平面，得到，得到點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，可判定D正確.【詳解】對(duì)于A中：如圖（1）所示，平面截正方體的截面圖形為正六邊形，其中分別為，，的中點(diǎn)，因?yàn)?/span>，平面，平面，所以平面，所以A正確；對(duì)于B 中，如圖（2）所示，過(guò)作交于點(diǎn)，在正方體，可得平面平面，且平面，平面平面，所以平面，則直線和平面所成的角為，且，設(shè)，正方體的棱長(zhǎng)為1，則，，所以，所以直線CP和平面ABCD所成的角不為定值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，在正方體，連接，因?yàn)?/span>平面，且平面，所以，又由正方形，可得,又因?yàn)?/span>且平面，所以平面，因?yàn)?/span>，所以平面，又因?yàn)?/span>平面，所以，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，在正方體中，可得且，所以四邊形為平行四邊形，所以， 設(shè)，，則平面平面，因?yàn)?/span>平面，平面，所以，又在平面內(nèi)，可得，，所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以D正確，故選：AD．12．BC【分析】對(duì)求導(dǎo)，根據(jù)條件求得對(duì)稱性，并求得定義域上的單調(diào)性及周期性，從而對(duì)選項(xiàng)一一分析.【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以，在時(shí)，，所以，所以，故在上單調(diào)遞減．因?yàn)?/span>為奇函數(shù)，所以，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，即；又，所以函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，所以在單調(diào)遞增，且，則，，可得，是周期為的周期函數(shù)，A不正確．因?yàn)?/span>，，結(jié)合草圖可知，C正確．對(duì)于定義域內(nèi)任一個(gè)，結(jié)合周期性可得，故為偶函數(shù)，B正確而的函數(shù)最值無(wú)法確定，故D錯(cuò)誤． 故選：BC13．5【分析】根據(jù)給定條件，求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，并求出含及的項(xiàng)，即可求解作答.【詳解】二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此展開式中含的項(xiàng)為，所以所求系數(shù)為5.故答案為：514．19.5/【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排列，利用25的百分位數(shù)的定義即可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】解析：將數(shù)據(jù)從小到大排序：15，16，23，28，37，45，58，76共8個(gè)數(shù)據(jù)，，第2，3個(gè)數(shù)據(jù)分別為16,23，因此，這些數(shù)據(jù)的25百分位數(shù)為．故答案為：19.5或.15．【分析】把轉(zhuǎn)化為與點(diǎn)所成直線的斜率，作出函數(shù)在部分圖象上的動(dòng)點(diǎn)，結(jié)合斜率公式，即可求解.【詳解】由表示與點(diǎn)所成直線的斜率，又由是在部分圖象上的動(dòng)點(diǎn)，如圖所示：可得，則，所以，即的取值范圍為.故答案為：.  16．/【分析】由題得，設(shè)，求出即得解.【詳解】已知條件可知為直角三角形，且.設(shè)，可得故答案為：17．(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)正弦定理和余弦定理可求出結(jié)果；（2）根據(jù)，，推出，再根據(jù)，求出，再根據(jù)三角形面積公式可求出結(jié)果.【詳解】（1）由，根據(jù)正弦定理可得，即，根據(jù)余弦定理可得，因?yàn)?/span>，所以；（2）因?yàn)?/span>，且，所以，則，所以，所以.所以，即，在三角形中，，，所以，故.18．(1)；(2)分布列見解析； 【分析】（1）由題意求得，結(jié)合條件概率的公式，即可求解；（2）被抽取的4次中男生人數(shù)X的取值，得到，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，利用期望公式，即可求解.【詳解】（1）解：由題意得，第二次抽到男生的概率為，“在第一次抽到女生的條件下，第二次抽到男生”的概率就是事件發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，而，，所以.（2）解：被抽取的4次中男生人數(shù)X的取值為0，1，2，3，4且.  可得；；；；，所以隨機(jī)變量的分布列為：X01234P 所以隨機(jī)變量的期望為：.19．(1)證明見解析(2) 【分析】（1）利用等差數(shù)列的定義即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法即可求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）∵，∴，即，∴，.∴是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列.（2）由（1）知，是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，所以，所以，，所以，.20．(1)證明見解析(2)E為線段上靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn) 【分析】（1）利用勾股定理證明，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）設(shè)，則E到平面的距離為到平面的距離的倍，再根據(jù)棱錐的體積公式求解即可.【詳解】（1）四邊形是直角梯形，，，，∴，則，∴，∵平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，；（2）由（1）可知平面，，設(shè)，則E到平面的距離為到平面的距離的倍，即E到平面的距離，是等腰直角三角形，，，，，即，，E為線段上靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)．21．(1)單調(diào)遞減區(qū)間為(2) 【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系，先設(shè)求得，得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）把在上恒成立, 轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令,即得恒成立求參即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，令，所以，當(dāng)時(shí)，，故為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，故為減函數(shù)，所以，即，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間.（2）因?yàn)?/span>，所以，所以在上恒成立，即在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，，則且當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上為增函數(shù)，所以，即時(shí)不滿足題意；當(dāng)時(shí)，由，得，若，則，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以存在，使得，即時(shí)不滿足題意；若，則，故在上為減函數(shù)，所以，所以恒成立，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.22．(1)(2)是，1 【分析】（1）由題設(shè)可得關(guān)于的方程組，求出其解后可得橢圓的方程.（2）【詳解】（1）由題意，，解得，代入點(diǎn)得，解得，的方程為：；（2）由題意，，當(dāng)斜率都不為0時(shí)，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，由對(duì)稱性得，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立方程，得恒成立，，同理可得：，直線方程：，令，得，同理：，，，當(dāng)斜率之一為0時(shí)，不妨設(shè)斜率為0，則，直線方程：，直線方程：，令，得，，綜上：.