一、單選題
1．拋物線的焦點坐標為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)拋物線的標準方程以及焦點坐標求解即可
【詳解】由題意，拋物線的焦點坐標為
故選：C
2．若向量，，且與的夾角的余弦值為，則實數(shù)等于（ ）．
A．0B．C．0或D．0或
【答案】C
【分析】根據(jù)向量夾角公式解方程即可得解
【詳解】由題可得：
所以
兩邊同時平方：
所以等于0或.
故選：C
3．如圖所示，空間四邊形中，，點M在上，且，N為中點，則等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】結合空間向量的線性運算即可求出結果.
【詳解】,
故選：B.
4．已知直線斜率為k，且，那么傾斜角的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)直線斜率的取值范圍，以及斜率和傾斜角的對應關系，求得傾斜角的取值范圍.
【詳解】解：直線l的斜率為k，且，
∴，.
∴.
故選：B.
5．在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，在鱉臑中，平面，，且，為的中點，則異面直線與夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】取的中點，連接、，分析可知異面直線與的夾角為或其補角，計算出三邊邊長，分析可知為直角三角形，即可求得的余弦值，即為所求.
【詳解】取的中點，連接、，如下圖所示：
因為、分別為、的中點，則且，
所以，異面直線與的夾角為或其補角，
因為平面，平面，，則，
，同理可得，，
所以，，則.
故選：C.
6．阿波羅尼斯約公元前年證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)且的點的軌跡是圓．后人將這個圓稱為阿氏圓．若平面內(nèi)兩定點A，B間的距離為2，動點P與A，B距離之比滿足：，當P、A、B三點不共線時，面積的最大值是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件建立平面直角坐標系，求出點P的軌跡方程，探求點P與直線AB的最大距離即可計算作答.
【詳解】依題意，以線段AB的中點為原點，直線AB為x軸建立平面直角坐標系，如圖，
則，，設，
因，則，化簡整理得：，
因此，點P的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓，點P不在x軸上時，與點A，B可構成三角形，
當點P到直線(軸)的距離最大時，的面積最大，
顯然，點P到軸的最大距離為，此時，，
所以面積的最大值是．
故選：C
7．已知F是橢圓=1的左焦點，P為橢圓上的動點，橢圓內(nèi)部一點M的坐標是（3，4），則|PM|+|PF|的最大值是（ ）
A．10B．11C．13D．21
【答案】D
【分析】利用橢圓的定義轉化為P到M和到另一焦點的距離的差的最大值來解決.
【詳解】解：如圖，
由橢圓=1，得

得，則橢圓右焦點為，
則
.
當與射線與橢圓的交點重合時取到等號,
的最大值為21.
故選：D.
8．已知雙曲線的左、右焦點分別為，過作一條漸近線的垂線，垂足為點，與另一漸近線交于點，若，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】根據(jù)題意設出直線的方程，然后分別聯(lián)立直線方程求解出坐標，根據(jù)向量共線對應的縱坐標關系求解出的關系，則離心率可求.
【詳解】不妨設過的直線與垂直，所以，
因為，所以，所以，
又因為，所以，所以，
又因為，所以，所以，
所以，所以，所以，
故選：B.
【點睛】方法點睛：求解雙曲線離心率的值或范圍的常用方法：
（1）根據(jù)雙曲線的方程直接求解出的值，從而求解出離心率；
（2）構造關于的齊次方程，求解出的值，從而離心率可知；
（3）根據(jù)離心率的定義以及雙曲線的定義求解離心率；
（4）利用雙曲線及圖形的幾何性質(zhì)構建關于的不等式，從而的范圍可求.
二、多選題
9．已知曲線C的方程為，則下列結論正確的是（ ）
A．當時，曲線C為圓
B．曲線C為橢圓的充要條件是
C．若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線，則
D．存在實數(shù)k使得曲線C為拋物線
【答案】AC
【分析】根據(jù)圓、橢圓、雙曲線、拋物線標準方程的特征即可逐項判斷求解.
【詳解】對于A，當時，曲線C的方程為，此時曲線C表示圓心在原點，半徑為的圓，所以A正確；
對于B，若曲線C為橢圓，則，且，所以B錯誤；
對于C，若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線，則，，解得，所以C正確；
對于D，曲線C不存在x，y的一次項，所以曲線C不可能是拋物線，所以D錯誤．
故選：AC.
10．已知，是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面．下列說法中正確的是（ ）
A．若，，，則B．若，，則
C．若，，，則D．若，，，則
【答案】AD
【分析】根據(jù)空間中的線面、面面關系逐一判斷即可.
【詳解】由線面平行的性質(zhì)可得A正確；
若，，則或，故B錯誤；
由，，推不出，也可能有，故C錯誤；
若，，則，又，則，故D正確；
故選：AD
11．設橢圓的右焦點為，直線與橢圓交于兩點，則（ ）
A．為定值
B．的周長的取值范圍是
C．當時，為直角三角形
D．當時，的面積為
【答案】ACD
【分析】對選項進行逐一判斷.由橢圓的定義判斷A；由為定值以及的范圍判斷B；求出坐標，由數(shù)量積公式得出，得出為直角三角形判斷C；求出坐標，由面積公式得出的面積判斷D.
【詳解】設橢圓的左焦點為，則
所以為定值，A正確；
的周長為，因為為定值6，
所以的范圍是，所以的周長的范圍是，B錯誤；
將與橢圓方程聯(lián)立，可解得，
又因為，∴
所以為直角三角形，C正確；
將與橢圓方程聯(lián)立，解得，，所以，D正確.
故選：ACD
12．如圖,在棱長為1的正方體中,M為BC的中點,則下列結論正確的有（ ）

A．AM與所成角的余弦值為
B．到平面的距離為
C．過點A,M,的平面截正方體所得截面的面積為
D．四面體內(nèi)切球的表面積為
【答案】ABD
【分析】對于A,建立空間直角坐標系,找點坐標,用向量夾角的余弦值的絕對值求解線線夾角的余弦值,
對于B,在A的基礎上,繼續(xù)求點的坐標,求平面的法向量,進而根據(jù)公式求得點到面的距離,
對于C,取中點為,順次連接,平面即為截面,求出等腰梯形面積即可,
對于D,根據(jù)公式,求體積,求表面積,即可求得內(nèi)切球半徑,進而求得球表面積.
【詳解】解:建立如下所示空間直角坐標系,
關于選項A,則有:
,
,
故選項A正確;
關于選項B,由于建立空間直角坐標系,則可得,
,
記平面法向量為,
則有,即,
不妨令可得,
則到平面的距離為,
故選項B正確;
關于選項C,取中點為,順次連接如圖所示,
各個邊長均落在正方體表面,且,
所以平面即為截面,
正方體棱長為1,
,
平面是等腰梯形,
過點,分別向做垂線,垂足為,如圖所示,
,
,
故選項C錯誤;
關于選項D,
四面體的體積為,
四面體的表面積為,
不妨設四面體內(nèi)切球的半徑為,
則有,
故四面體內(nèi)切球的表面積為,
故選項D正確.
故選:ABD
三、填空題
13．若與平行，則的距離為_________.
【答案】
【分析】先由兩直線平行求解，再利用平行線間的距離公式，即得解
【詳解】由題意，直線，
直線，故，即.
故，，
則的距離.
故答案為：
14．若實數(shù)滿足，則的取值范圍為_______.
【答案】
【分析】條件方程化為，即為圓心為，半徑為1的圓，為與連線的斜率，由數(shù)形結合，求出直線與圓相切的斜率，即可求解
【詳解】由題得，，即為圓心為，半徑為1的圓，
為與連線的斜率，記為k，如圖所示，
∵，∴斜率存在，設過的直線為，
則當直線與圓相切時，有，解得，
由圖易得k在直線與圓的兩切線斜率之間，故.
故答案為：
15．過橢圓的一個焦點的直線與橢圓交于A，B兩點，則A與B和橢圓的另一個焦點構成的的周長為__________
【答案】4
【分析】先將橢圓的方程化為標準形式，求得半長軸的值，然后利用橢圓的定義進行轉化即可求得.
【詳解】解：橢圓方程可化為，顯然焦點在y軸上，，
根據(jù)橢圓定義，
所以的周長為．
故答案為4．
16．在四棱錐中，已知底面，，，，，是平面內(nèi)的動點，且滿足.則當四棱錐的體積最大時，三棱錐外接球的表面積為______.
【答案】
【分析】分析可知，然后以點以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，設點，求出點的軌跡方程，可知當點到平面的距離最大時，四棱錐的體積最大，設點，設三棱錐的球心為，列方程組求出點的坐標，可求得球的半徑，再利用球體表面積公式可求得結果.
【詳解】因為，，，，則四邊形為直角梯形，
平面，平面，則，
，，平面，則平面，
、平面，，，則，
故，
平面，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則、、、，設點，
由可得，化簡可得，
即點的軌跡為圓，當點到平面的距離最大時，四棱錐的體積最大，
不妨設點，設三棱錐的球心為，
由，可得，解得，
所以，三棱錐的外接球球心為，球的半徑為，
因此，三棱錐的外接球的表面積為.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：①補形法：側面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ停梢赃€原到正方體或長方體中去求解；
②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；
③定義法：到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點距離也是半徑，列關系求解即可；
④坐標法：建立空間直角坐標系，設出外接球球心的坐標，根據(jù)球心到各頂點的距離相等建立方程組，求出球心坐標，利用空間中兩點間的距離公式可求得球的半徑.
四、解答題
17．已知，；
(1)若，求實數(shù)的值；
(2)若，且，求的坐標．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）利用，即可計算求解.
（2）由已知，可設，根據(jù)，列方程即可求出.
【詳解】（1）由已知得，，得
，解得
（2）設，由，可得
，得到，求得，
，則或
18．已知橢圓的兩個焦點坐標分別是，，并且經(jīng)過點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若直線與橢圓交于?兩點，求中點的坐標．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由橢圓的焦點坐標和橢圓的定義，可得橢圓的標準方程；
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用根與系數(shù)的關系得出中點的坐標．
【詳解】（1）由于橢圓的焦點在軸上，所以設它的標準方程為，
由橢圓定義知，
，
所以，所以，
所求橢圓標準方程為．
（2）設直線與橢圓的交點為，，
聯(lián)立方程，得，
得，．
設的中點坐標為，則，，
所以中點坐標為．
19．已知在三棱柱中，底面是正三角形，底面，，，點，分別為側棱和邊的中點．
(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值；
(3)求二面角的余弦值．
【答案】(1)證明見詳解；
(2)；
(3)
【分析】（1）取的中點，以為原點建立空間直角坐標系，寫出對應點的坐標，從而得的坐標，即可由向量數(shù)量積公式證明得，，由線面垂直的判定定理可證明得平面；（2）由（1）得平面的一個法向量，再由，根據(jù)向量法計算線面夾角的正弦值；（3）設平面的法向量為，由數(shù)量積列式計算，再由平面的一個法向量，根據(jù)向量法求解面面角的余弦值.
【詳解】（1）取的中點，連接，，則，平面.
如圖，以為原點，分別以，，的方向
為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，
依題意，可得：，，，
，，．
∵，，，
∴，，即，.
又，平面.
∴平面.
（2）由（1）知平面的一個法向量，
設直線與平面所成角為，∵，
∴，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
（3）設平面的法向量為，
∵，，
∴，即，
解得．
由（1）可知平面的一個法向量，
設二面角的平面角為，易知，
∴，
所以二面角的余弦值為.
20．已知圓經(jīng)過，兩點，且圓心在直線：上.
(1)求圓的方程；
(2)已知過點的直線與圓相交，被圓截得的弦長為，求直線的方程.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）因為垂徑定理得到圓心在的垂直平分線上，從而求得圓心坐標以及圓的方程；
（2）由于弦長已知，半徑已知，可以求得圓心到直線的距離，并將直線分為斜率存在和斜率不存在，從而通過圓心到直線的距離公式，得到直線的方程.
【詳解】（1）線段的中點為，直線的斜率為，
所以線段的垂直平分線為，即
又因為圓心在直線：上
由解得，
所以圓心為，半徑為，
所以圓的方程為.
（2）當直線的斜率不存在時，由，得或
即直線與圓相交所得弦長為符合題意.
當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即，
由于圓到的距離，所以，解得
所以，即
綜上所述，直線的方程為或.
21．如圖，已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面于直線，且，且∥．
（Ⅰ）設點為棱中點，求證：平面；
（Ⅱ）線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值等于？若存在，試確定點的位置；若不存在，請說明理由．
【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）當點與點重合時，直線與平面所成角的正弦值為，理由見解析．
【詳解】（1）證明：由已知，平面平面，且，則平面，所以兩兩垂直，故以為原點，分別為軸軸,軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系 .
則，所以.
易知平面的一個法向量等于，所以，所以，
又平面，所以平面.
（2）當點與點重合時，直線與平面所成角的正弦值為.
理由如下：
因為，設平面的法向量為，
由，得，
即，得平面的一個法向量等于，
假設線段上存在一點，使得直線與平面所成的角的正弦值等于.
設，
則.
所以
.
所以，解得或(舍去)
因此，線段上存在一點，當點與點重合時，直線與平面所成角的正弦值等于.
22．已知橢圓：的長軸為雙曲線的實軸，且橢圓過點．
(1)求橢圓的標準方程：
(2)設點，是橢圓上異于點的兩個不同的點，直線與的斜率均存在，分別記為，，若，試問直線是否經(jīng)過定點，若經(jīng)過，求出定點坐標；若不經(jīng)過，請說明理由．
【答案】(1)
(2)直線AB恒過定點．
【分析】（1）由題意可得，，求出，從而可得橢圓方程，
（2）討論直線AB的斜率存在和不存在兩種情況討論，設出直線AB的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系，
求出直線PA與PB的斜率，再由列方程可得參數(shù)的關系，代入直線方程可求出直線恒過的定點．
【詳解】（1）因為橢圓C：的長軸為雙曲線的實軸，
所以，
因為橢圓C過點，
所以，即，得
所以橢圓方程為，
（2）①當直線AB的斜率存在時，設其方程為，，，
由，得，
，
所以，
所以，
，
因為，
所以，
即，
則，
所以，
化簡得，
即，
所以或，
當時，直線AB的方程為，
則直線過定點（舍去），
當時，直線AB的方程為，
所以直線過定點，
②當直線AB的斜率不存在時，設直線為，
由，得
所以，
所以，
解得（舍去），或，
所以直線也過定點，
綜上，直線AB恒過定點．
【點睛】方法點睛：圓錐曲線中與曲線相交的直線過定點問題，一般采取“設而不求”的思想方法，
即設直線方程為，設交點坐標為，，直線方程代入圓錐曲線方程后應用韋達定理得，或，，
然后交點坐標計算其它量(如斜率、弦長等)并利用其滿足的性質(zhì)和題目條件求得參數(shù)值或參數(shù)和關系后由直線方程可得定點坐標.

相關試卷

2022-2023學年湖南省衡陽師范學院祁東附屬中學高一下學期期中數(shù)學試題含答案：

這是一份2022-2023學年湖南省衡陽師范學院祁東附屬中學高一下學期期中數(shù)學試題含答案，共16頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，雙空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2022-2023學年湖南省衡陽師范學院祁東附屬中學高二下學期期中數(shù)學試題含答案：

這是一份2022-2023學年湖南省衡陽師范學院祁東附屬中學高二下學期期中數(shù)學試題含答案，共16頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

湖南省衡陽師范學院祁東附屬中學2023屆高三下學期考前適應性考試數(shù)學試題（含解析）：

這是一份湖南省衡陽師范學院祁東附屬中學2023屆高三下學期考前適應性考試數(shù)學試題（含解析），共21頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

精品解析：湖南省衡陽師范學院祁東附屬中學2023屆高三下學期2月高考模擬數(shù)學試題

精品解析：湖南省衡陽師范學院祁東附屬中學2023屆高三下學期2月高考模擬數(shù)學試題
2023屆湖南省衡陽師范學院祁東附屬中學高三下學期2月高考模擬數(shù)學試題含解析

2023屆湖南省衡陽師范學院祁東附屬中學高三下學期2月高考模擬數(shù)學試題含解析
2022-2023學年湖南省衡陽師范學院祁東附屬中學高一上學期期中數(shù)學試題（解析版）

2022-2023學年湖南省衡陽師范學院祁東附屬中學高一上學期期中數(shù)學試題（解析版）
2023屆湖南省衡陽師范學院祁東附屬中學高三上學期期中數(shù)學試題含解析

2023屆湖南省衡陽師范學院祁東附屬中學高三上學期期中數(shù)學試題含解析
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
期中專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部