?專題5.37 中考幾何最值問題（基礎(chǔ)篇）
一、單選題
1．如圖，在ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，D為AC邊上的一個動點，連接BD，E為BD上的一個動點，連接AE，CE，當(dāng)∠ABD＝∠BCE時，線段AE的最小值是（????）

A．3 B．4 C．5 D．6
2．如圖，在中，AB＝AC，分別以點A、B為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L為半徑作弧，兩弧分別交于E，F(xiàn)，作直線EF，D為BC的中點，M為直線EF上任意一點．若BC＝4，面積為10，則BM+MD長度的最小值為（　?。?br />
A． B．3 C．4 D．5
3．如圖，已知線段OA交⊙O于點B，且OB=AB，點P是⊙O上的一個動點，那么∠OAP的最大值是（?????）

A．30° B．45° C．60° D．90°
4．已知，D是線段上的動點且于點G，，則的最小值為（????）

A． B． C． D．
5．如圖，中，，利用尺規(guī)在，上分別截取，，使；分別以D，E為圓心、以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點F；作射線交于點G．若，為上一動點，則的最小值為（　　）

A．無法確定 B． C．1 D．2
6．如圖，已知等邊的邊長為4，P、Q、R分別為邊上的動點，則的最小值是（????）

A． B．2 C． D．
7．如圖，中，，，點D是邊上一動點，以點A為旋轉(zhuǎn)中心，將順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，若，則的長的最小值為（????）

A． B． C．1 D．
8．如圖，在中，．將繞頂點C旋轉(zhuǎn)得到，若點O是中點，點P是中點，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段的最大值等于（????）

A．4 B．6 C．8 D．10
9．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，點D是半徑為2的⊙A上一動點，點M是CD的中點，則BM的最大值是（????）

A．3 B．3.5 C． D．
10．如圖所示，正方形的面積為12，是等邊三角形，點E在正方形內(nèi)，在對角線上有一點P，使的和最小，則這個最小值為（????）

A． B． C． D．
二、填空題
11．如圖，在矩形ABCD中，，E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點，的平分線交AB于點G，點P是線段DG上的一個動點，則的周長最小值為__________．

12．菱形的邊長為2，，點、分別是、上的動點，的最小值為______．

13．如圖，矩形中，，是的中點，線段在邊上左右滑動；若，則的最小值為____________．

14．如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6．折疊該菱形，使點A落在邊BC上的點M處，折痕分別與邊AB，AD交于點E，F(xiàn)．當(dāng)點M與點B重合時，EF的長為________；當(dāng)點M的位置變化時，DF長的最大值為________．

15．如圖，已知?OABC的頂點A、C分別在直線x=1和x=4上，O是坐標(biāo)原點，則對角線OB長的最小值為__．

16．如圖，在正方形中，，分別為邊上的動點，且，與交于點，則線段的最小值為__________．

17．如圖，在中，弦，點為圓周上一動點，連接、，為上一點，且，，則周長的最大值為______．

18．如圖，矩形中，，，點E是邊上一點，連接，把沿折疊，使點B落在點處．連接，則的最小值為___________．

三、解答題
19．如圖，四邊形為正方形，直線經(jīng)過點D，分別過點A、C作于點E、于點F．
（1）求證：；
（2）若，求正方形面積的最小值．







20．如圖所示，四邊形ABCD為菱形，AB＝2，∠ABC＝60°，點E為邊BC上動點（不含端點），點B關(guān)于直線AE的對稱點為點F，點G為DF中點，連接AG．
（1）依題意，補全圖形；
（2）點E運動過程中，是否可能EF∥AG？若可能，求BE長；若不可能，請說明理由；
（3）連接CG，點E運動過程中，直接寫出CG的最小值．









21．邊長為4的正方形ABCD中，點E是BC邊上的一個動點，連接DE?，交AC于點N，過點D作DF⊥DE?，交BA的延長線于點F，連接EF，交AC于點M．
（1）判定△DFE的形狀，并說明理由；??????
（2）設(shè)CE?=x，△AMF的面積為y?，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；并求出當(dāng)x為何值時y有最大值？最大值是多少？
（3）隨著點E在BC邊上運動，NA·MC的值是否會發(fā)生變化？若不變，請求出NA·MC的值；若變化，請說明理由．




22．如圖①，在中，，，為邊上一點（不與點，重合），將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則：
（1）①的度數(shù)是 ；②線段，，之間的數(shù)量關(guān)系是 ；
（2）如圖②，在中，，，為邊上一點（不與點，重合），將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，請判斷線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖②，與交于點，在（2）條件下，若，求的最小值．





23．如圖，在中，，于點，于點，以點為圓心，為半徑作半圓，交于點．
（1）求證：是的切線；
（2）若點是的中點，，求圖中陰影部分的面積；
（3）在（2）的條件下，點是邊上的動點，當(dāng)取最小值時，直接寫出的長．







24．如圖，拋物線與坐標(biāo)軸相交于A、B、C三點，P是線段AB上一動點（端點除外），過P作PD∥AC，交BC于點D，連接CP．
(1) 試求A、B、C三點的坐標(biāo)及直線BC的解析式；
(2)求△PCD面積的最大值，并判斷當(dāng)△PCD的面積取最大值時，以PA、PD為鄰邊的平行四邊形是否為菱形，請說明理由．




參考答案
1．B
【分析】如圖，取的中點，連接，．首先證明，求出，，根據(jù)，可得結(jié)論．
解：如圖，取的中點，連接，．

，
，
，
，
，
，
，，
，
，
的最小值為4，
故選：B．
【點撥】本題考查直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是求出，的長，屬于中考?？碱}型．
2．D
【分析】由基本作圖得到得EF垂直平分AB，則MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，連接MA、DA，如圖，利用兩點之間線段最短可判斷MA+MD的最小值為AD，再利用等腰三角形的性質(zhì)得到AD⊥BC，然后利用三角形面積公式計算出AD即可．
解：由作法得EF垂直平分AB，
∴MB＝MA，
∴BM+MD＝MA+MD，
連接MA、DA，如圖，

∵MA+MD≥AD（當(dāng)且僅當(dāng)M點在AD上時取等號），
∴MA+MD的最小值為AD，
∵AB＝AC，D點為BC的中點，
∴AD⊥BC，
∵
∴
∴BM+MD長度的最小值為5．
故選：D．
【點撥】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，利用軸對稱求線段和的最小值，三角形的面積，兩點之間，線段最短，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
3．A
解：如圖，當(dāng)點P運動到點P′，即AP′與⊙O相切時，∠OAP最大．
連接O P′，

則A P′⊥O P′，即△AO P′是直角三角形．
∵OB=AB，OB=OP′
∴OA=2O P′．
∴
∴∠OAP′=300，即∠OAP的最大值是=30°．
故選A．
4．C
【分析】根據(jù)，可得點G在以為直徑的圓上運動，取的中點O，當(dāng)點O，G，B三點共線時，的最小， 再由勾股定理求出的長，即可求解．
解：∵，
即，
∴點G在以為直徑的圓上，
取的中點O，當(dāng)點O，G，B三點共線時，的最小，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的最小值為．
故選：C
【點撥】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)題意得到點G在以為直徑的圓上是解題的關(guān)鍵．
5．C
【分析】如圖，過點作于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理證明，利用垂線段最短即可解決問題．
解：如圖，過點作于，

由作圖可知，平分，
，，
，
根據(jù)垂線段最短可知，的最小值為1．
故選：C．
【點撥】本題考查作圖基本作圖，熟練掌握角平分線的性質(zhì)，垂線段最短是解題的關(guān)鍵．
6．C
【分析】如圖，作關(guān)于對稱的，點E與點Q關(guān)于對稱，連接，則，可得當(dāng)點E，R，P在同一直線上，且時，的長就是的最小值，在需要利用等邊三角形的性質(zhì)求出等邊三角形的高即可得到答案．
解：如圖，作關(guān)于對稱的，點E與點Q關(guān)于對稱，連接，則，
∴，
∴當(dāng)點E，R，P在同一直線上，且時，的長就是的最小值，
∵，
∴，
∴由平行線間間距相等可知的長等于等邊三角形的高的長
∵等邊的邊長為4，
∴等邊三角形的高為，即的最小值為，
故選C．

【點撥】本題考查了軸對稱最短路徑問題，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理等，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線構(gòu)造出最短路徑．
7．A
【分析】在上取一點K，使得，連接，，然后證明出，然后根據(jù)垂線段最短得到當(dāng)時，的值最小，最后利用角直角三角形的性質(zhì)求解即可．
解：如圖所示，在上取一點K，使得，連接，，

∵，，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴當(dāng)時，的值最小，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
∴的長的最小值為．
故選A
【點撥】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判斷，垂線段最短，角直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點．
8．B
【分析】連接，進而得到，當(dāng)三點共線時，線段的值最大，進行求解即可．
解：∵，
∴，
∵將繞頂點C旋轉(zhuǎn)得到，點O是中點，
∴，，
連接，

∵點P是中點，
∴，
∵，
∴當(dāng)三點共線時，線段的值最大．
故選：B．
【點撥】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，含30度的直角三角形．熟練掌握相關(guān)知識點并靈活運算，是解題的關(guān)鍵．
9．B
【分析】如圖，取AC的中點N，連接MN，BN．利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，三角形的中位線定理求出BN，MN，再利用三角形的三邊關(guān)系即可解決問題．
解：如圖，取AC的中點N，連接MN，BN．

∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝5，
∵AN＝NC，
∴BN＝AC＝，
∵AN＝NC，DM＝MC，
∴MN＝AD＝1，
∴BM≤BN+NM，
∴BM≤1+，
∴BM≤，
∴BM的最大值為．
故選：B．
【點撥】本題考查直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)，三角形的中位線定理，三角形的三邊關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，屬于中考?？碱}型．
10．B
【分析】連接，，根據(jù)點B與D關(guān)于對稱，得出，從而得出，即最小值為值為的長，求出的長即可．
解：連接，，如圖所示：

∵四邊形為正方形，
∴點B與D關(guān)于對稱，
∴，
∴，
∴最小值為的長，
∵正方形的面積為12，
∴，
又∵是等邊三角形，
∴，
∴最小值為，故B正確．
故選：B．
【點撥】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出的長為的最小值．
11．##
【分析】在CD上取點H，使DH=DE，連接EH，PH，過點F作FK⊥CD于點K，可得DG垂直平分EH，從而得到當(dāng)點F、P、H三點共線時，的周長最小，最小值為FH+EF，再分別求出EF和FH，即可求解．
解：如圖，在CD上取點H，使DH=DE，連接EH，PH，過點F作FK⊥CD于點K，

在矩形ABCD中，∠A=∠ADC=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，
∴△DEH為等腰直角三角形，
∵DG平分∠ADC，
∴DG垂直平分EH，
∴PE=PH，
∴的周長等于PE+PF+EF=PH+PF+EF≥FH+EF，
∴當(dāng)點F、P、H三點共線時，的周長最小，最小值為FH+EF，
∵E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點，
∴AE=DE=DH=3，AF=4，
∴EF=5，
∵FK⊥CD，
∴∠DKF=∠A=∠ADC=90°，
∴四邊形ADKF為矩形，
∴DK=AF=4，F(xiàn)K=AD=6，
∴HK=1，
∴，
∴FH+EF=，即的周長最小為．
故答案為：
【點撥】本題主要考查了最短距離問題，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，明確題意，準(zhǔn)確得到當(dāng)點F、P、H三點共線時，的周長最小，最小值為FH+EF是解題的關(guān)鍵．
12．
【分析】過點C作CE⊥AB于E，交BD于G，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題以及垂線段最短可知CE為FG+CG的最小值，當(dāng)P與點F重合，Q與G重合時，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即可求解．
解：如圖，過點C作CE⊥AB于E，交BD于G，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題以及垂線段最短可知CE為FG+CG的最小值，當(dāng)P與點F重合，Q與G重合時，PQ+QC最小，

菱形的邊長為2，，
中，
PQ+QC的最小值為
故答案為：
【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，掌握軸對稱的性質(zhì)求線段和的最小值是解題的關(guān)鍵．
13．
【分析】如圖，作G關(guān)于AB的對稱點G'，在CD上截取CH=1，然后連接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此時GE+CF的值最小，可得四邊形EFCH是平行四邊形，從而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的長，即可求解．
解：如圖，作G關(guān)于AB的對稱點G'，在CD上截取CH=1，然后連接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此時GE+CF的值最小，

∴G'E=GE，AG=AG'，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD=BC=2
∴CH∥EF，
∵CH=EF=1，
∴四邊形EFCH是平行四邊形，
∴EH=CF，
∴G'H=EG'+EH=EG+CF，
∵AB=4，BC=AD=2，G為邊AD的中點，
∴AG=AG'=1
∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，
∴，
即的最小值為．
故答案為：
【點撥】此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑問題，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識，確定GE+CF最小時E，F(xiàn)位置是解題關(guān)鍵．
14．???? ????
【分析】當(dāng)點M與點B重合時，EF垂直平分AB，利用三角函數(shù)即可求得EF的長；根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，AF=FM,若DF取最大值，則FM取最小值，即為邊AD與BC的距離DG，即可求解.
解：當(dāng)點M與點B重合時，由折疊的性質(zhì)知EF垂直平分AB，
∴AE=EB=AB=3，
在Rt△AEF中，∠A=60°，AE=3，
tan60°=，
∴EF=3；
當(dāng)AF長取得最小值時，DF長取得最大值，
由折疊的性質(zhì)知EF垂直平分AM，則AF=FM，
∴FM⊥BC時，F(xiàn)M長取得最小值，此時DF長取得最大值，
過點D作DG⊥BC于點C，則四邊形DGMF為矩形，
∴FM=DG，
在Rt△DGC中，∠C=∠A=60°，DC=AB=6，
∴DG=DCsin60°=3，
∴DF長的最大值為AD-AF=AD-FM=AD-DG=6-3，
故答案為：3；6-3．

【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．
15．5．
解：當(dāng)B在x軸上時，對角線OB長的最小，
如圖所示：直線x=1與x軸交于點D，直線x=4與x軸交于點E，
根據(jù)題意得：∠ADO=∠CEB=90°，OD=1，OE=4，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA∥BC，OA=BC，
∴∠AOD=∠CBE，在△AOD和△CBE中，
∵∠AOD=∠CBE，∠ADO=∠CEB，OA=BC，
∴△AOD≌△CBE（AAS），
∴OD=BE=1，
∴OB=OE+BE=5；
故答案為5．

考點：平行四邊形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．
16．
【分析】正方形中，，，當(dāng)與垂直時，點到點的距離最小，即的值最小，取的中點，當(dāng)點圓心，以為直徑畫圓，當(dāng)點在一條直線上時，的值最小，在中根據(jù)勾股定理可求證的長，根據(jù)可求出的長，由此即可求解．
解：如圖所示，當(dāng)與垂直時，點到點的距離最小，即的值最小，取的中點，當(dāng)點圓心，以為直徑畫圓，當(dāng)點在一條直線上時，的值最小，

∴，，點是的中點，
∴，
在中，是直徑，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【點撥】本題主要考查正方形，動點，最短路徑，勾股定理的綜合，掌握正方形的性質(zhì)，動點運動的規(guī)律，求最短距離的方法，勾股定理是解題的關(guān)鍵．
17．##
【分析】設(shè)的周長為，則，因為點是圓周上一動點，所以當(dāng)時直徑時，最長；求出，，所以，，則最大為．
解：設(shè)的周長為，
則，
，
，
點是圓周上一動點，
當(dāng)時直徑時，最長，
，
，，
，
，
，，
最大為；
故答案為：．
【點撥】本題考查了直徑所對的圓周角是直角，圓的基本概念，勾股定理，含30度的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用已知條件將三角形的周長轉(zhuǎn)化為．
18．2
【分析】根據(jù)題意，當(dāng)共線時，最小，據(jù)此求得即可；
解：如圖所示，連接，
∵四邊形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
由折疊的性質(zhì)可得，
∵，即，
∴當(dāng)共線時，最小，最小值即為2，
故答案為：2．

【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，三角形三邊的關(guān)系，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．
19．（1）證明見分析；（2）正方形的面積最小值為32．
【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，然后利用同角的余角相等可得，然后利用AAS即可證出；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，設(shè)，則，然后即可求出正方形ABCD的面積與x的二次函數(shù)關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)求最值即可．
解：（1）證明：四邊形為正方形，
∴，．
∴，，
∴．
∴．
∴．
在和中，

∴；
（2）解：∵，
∴．
設(shè)，則，
∵正方形的面積，
∵2＞0
∴當(dāng)時，正方形的面積取最小值，最小值為32．
【點撥】此題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)和求正方形面積的最值，掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)和利用二次函數(shù)求最值是解決此題的關(guān)鍵．
20．（1）見分析；（2）不可能，見分析；（3）
【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形即可．
（2）如圖1中，結(jié)論：不可能．連接BD．只要證明平行時，點E與B重合，不符合題意即可．
（3）如圖2中，取AD的中點T，連接GT，CG，CT，AC．解直角三角形求出CT，GT，根據(jù)CG≥CT﹣GT，求出CG的最小值即可．
解：（1）圖形如圖1所示：

（2）如圖1中，結(jié)論：不可能．
理由：連接BD．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，AB＝AD，
∴∠ADB＝∠BDC＝30°，
∵點B關(guān)于直線AE的對稱點為點F，
∴AF＝AB＝AD，∠AFE＝∠ABE＝60°，
∵點G為DF中點，
∴FG＝DG，
∴AG⊥DF，
若EFAG，則EF⊥DF，
∴∠EFG＝90°，
∴∠AFG＝30°，
∵∠AFD＝∠ADF，
∴∠ADF＝30°，
∴∠ADB＝∠ADF，此時點F與B重合，不符合題意，
∴不可能存在EFAG．
（3）如圖2中，取AD的中點T，連接GT，CG，CT，AC．

∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠ADC＝60°，DA＝DC，
∴△ACD是等邊三角形，
∵AT＝TD，
∴CT⊥AD，
∴CT＝CD?sin60°＝，
∵AG⊥DF，
∴∠AGD＝90°，
∵AT＝TD，
∴TG＝AD＝1，
∵CG≥CT﹣GT，
∴CG≥﹣1，
∴CG的最小值為﹣1．
【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，三角形三邊關(guān)系等；解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線．
21．（1）等腰直角三角形，見分析；（2）y =﹣x2?+ x，當(dāng)x=2?，y有最大值1；（3）不變，16
【分析】（1）先判斷出∠FDA=∠CDE，證得△ADF≌△CDE，即可得出結(jié)論；
（2）利用平行線分線段成比例定理得出比例式表示出AF邊上的高，即可得出結(jié)論；
（3）先判斷出△FAM≌△EIM，得出ME=FM，再判斷出△AND∽△CDM，即可得出結(jié)論．
解：（1）在正方形ABCD中，AD=CD，∠ADC=∠DCB=∠DAB =90°，
∵∠FDE=∠ADC=90°，
∴∠FDA=∠CDE，
在△ADF和△CDE中，
，
∴△ADF≌△CDE，
∴DE =DF，
∴△DFE為等腰直角三角形；
(2)過M作MG⊥AB于G，

設(shè)MG=h，
又∵∠GAM =45°，
∴AG =MG=h，由(1)知FA=CE =，
∵CB⊥AB，
∴MG//BC，
∴=，即=，
∴h=，
∴y =·= （）；
，
∵，
∴當(dāng) ，有最大值1；
（3）不變，如圖3，過點E作EI∥AB交AC于I，連接DM，

∴∠EIC=∠ICE=45°，
∴EI=EC=AF，
∵EI∥AB，
∴∠FAM=∠MIE，∠MFA=∠IEM，
∴△FAM≌△EIM，
∴ME=FM，
由（1）可得，△FDE是等腰直角三角形，
∴DM⊥EF，
∴∠MDE=45°，∠MDC=45°+∠CDN=∠DNA，
∵∠DAN=∠DCM=45°，
∴△AND∽△CDM，
∴，
∴AN?CM=AD?CD=16．
【點撥】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式，作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解本題的關(guān)鍵．
22．（1）①60°，②；（2），證明見分析；（3）4
【分析】（1）①先判斷出∠BAD＝∠CAE，即可判斷出△ABD≌△ACE，即可得出結(jié)論；
②由①得，△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出BC＝AC，再同（1）的方法判斷出△ABD≌△ACE，即可得出結(jié)論；
（3）先判斷出點A，D，C，E四點共圓，再由AF最小判斷出四邊形ADCE是矩形，即可得出結(jié)論．
解：（1）①∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠BAC＝60，
由旋轉(zhuǎn)知，AD＝AE，∠DAE＝60＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ACE＝∠B＝60，
故答案為：60；
②由（1）知，△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，
∴BC＝BD＋CD＝CE＋CD，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC＝BC，
∴AC＝CE＋CD，
故答案為：AC＝CE＋CD；
（2）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90，
∴BC＝=AC，
由旋轉(zhuǎn)知，AD＝AE，∠DAE＝90＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∴BC＝BD＋CD＝CE＋CD，
∴AC＝CE＋CD；
（3）由（2）知，△ABD≌△ACE，
∴∠ACE＝∠ABD，
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABD＝∠ACB＝45，
∴∠ACE＝45，
∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝90，
∵∠DAE＝90，
∴∠BCE＋∠DAE＝180，
∴點A，D，C，E在以DE為直徑的圓上，
∵AC與DE交于點F，
∴AF是直徑DE上的一點到點A的距離，
即：當(dāng)AF⊥DE時，AF最小，
∴∠CFD＝90，
∴∠CDF＝90°?∠ACB＝45°，
∵∠ADE＝45°，
∴∠ADC＝90°，
∴四邊形ADCE是矩形，
∴AF最?。紸C＝4．

【點撥】此題是幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，四點共圓，矩形的判定，判斷出BD＝CE是解本題的關(guān)鍵．
23．（1）證明見分析；（2）；（3）．
【分析】（1）過作垂線，垂足為，證明OM=OE即可；
（2）根據(jù)“S△AEO-S扇形EOF=S陰影”進行計算即可；
（3）作關(guān)于的對稱點，交于，連接交于，此時最?。?通過證明∽即可求解
解：（1）過作垂線，垂足為

∵，
∴平分
∵
∴
∵為⊙的半徑，
∴為⊙的半徑，
∴是⊙的切線
（2）∵且是的中點
∴，，
∴
∵
∴即，
∴
（3）作關(guān)于的對稱點，交于，連接交于
此時最小
由（2）知，，
∴
∵
∴，，
∵，
∴∽
∴，即
∵，
∴即，
∴．
【點撥】本題是圓的綜合題，主要考查了圓的切線的判定，不規(guī)則圖形的面積計算以及最短路徑問題．找出點E的對稱點G是解決一題的關(guān)鍵．
24．(1)A（4，0），B（-2，0），C（0，-4）；；(2)△PCD面積的取最大值3時，以PA、PD為鄰邊的平行四邊形不是菱形，理由見分析
【分析】（1）令x=0，可得C（0，-4），令y=0，可得B（-2，0），A（4，0），再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，即可求解；
（2）過點P作PE⊥AC于點E，根據(jù)PD∥AC，可得△BDP∽△BCA，從而得到，再求出，可得，可得到當(dāng)x=1時，△PCD面積的最大，再分別求出PA、PD，即可求解．
（1）解：令x=0，則y=-4，
∴C（0，-4）
令y=0，則，
解得：x1=-2，x2=4，
∴B（-2，0），A（4，0），
∴A（4，0），B（-2，0），C（0，-4）；
設(shè)直線BC的解析式為：，
將B（-2，0）、C（0，-4）代入得：，
解得：，
∴；
（2）解：如圖，過點P作PE⊥AC于點E，

設(shè)P（x，0）且-2

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