南充高中高2022級(jí)高一下學(xué)期第二次月考數(shù) 學(xué) 試 題第Ⅰ卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1. 已知點(diǎn)在第三象限，則角的終邊位置在（    ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】由所在的象限有，即可判斷所在的象限.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在第三象限，所以，由，可得角的終邊在第二、四象限，由，可得角的終邊在第二、三象限或軸非正半軸上，所以角終邊位置在第二象限，故選：B.2. 平面向量與的夾角為，則=（    ）A.  B.  C. 1 D. 【答案】A【解析】【分析】由平面數(shù)量積的定義求解即可.【詳解】因?yàn)橄蛄?/span>與的夾角為，，故，則.故選：A.3. 已知，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式先化簡(jiǎn)再求值.【詳解】，.故選：A.【點(diǎn)睛】利用三角公式求三角函數(shù)值的關(guān)鍵：(1)角的范圍的判斷；(2)選擇合適的公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值．4. 已知向量滿足則（    ）A. 3 B. 49 C. 6 D. 7【答案】D【解析】【分析】根據(jù)公式直接計(jì)算可得.【詳解】.故選：D5. 已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且，則是（    ）A. 銳角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 鈍角三角形【答案】D【解析】【分析】正弦定理和兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)得到，進(jìn)而得到，得到，即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，由正弦定理得，又因?yàn)?/span>，可得，所以，因?yàn)?/span>，可得，所以，又因?yàn)?/span>，所以，所以為鈍角三角形.故選：D.6. 在直角梯形中，，，，為的中點(diǎn)，則A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】畫出圖形，過點(diǎn)作，垂足為，易知是等腰直角三角形，是正方形，結(jié)合向量的線性運(yùn)算可知，展開運(yùn)算即可得出答案.【詳解】畫出圖形，過點(diǎn)作，垂足為，易知是等腰直角三角形，是正方形，，根據(jù)題意得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的線性運(yùn)算，考查了向量的數(shù)量積，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7. 已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)滿足 則點(diǎn)一定的（    ）A. 外心 B. 重心 C. 內(nèi)心 D. 垂心【答案】C【解析】【分析】表示與的角平分線垂直的向量，因?yàn)?/span>與垂直，所以平行于的角平分線，即點(diǎn)位于的角平分線上，同理可得，點(diǎn)位于的角平分線上以及的角平分線上，即點(diǎn)是的角平分線的交點(diǎn)，因此點(diǎn)是的內(nèi)心.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，即，即可得，即是的角平分線；同理可得是的角平分線，是的角平分線,所以點(diǎn)為三條角平分線的交點(diǎn)，即點(diǎn)是的內(nèi)心.故選：C8. 已知函數(shù)（其中）在區(qū)間上單調(diào)，且，當(dāng)時(shí)，取得最大值，則不等式的解集為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)解析式，然后解正弦不等式即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)，且，所以和均不是的極值點(diǎn)，其極值應(yīng)該在處取得，又，所以也不是的極值點(diǎn)，又時(shí)，取得最大值，所以為另一個(gè)相鄰的極值點(diǎn)，故函數(shù)的最小正周期，所以，又時(shí)，取得最大值，所以，即，因?yàn)?/span>，所以，，可得，由，得，所以，解得，所以不等式的解集為.故選：A二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9. 在下列各組向量中，能作為平面的基底的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】BD【解析】【分析】判斷兩個(gè)向量是否共線即可，不共線的兩個(gè)向量才能作為基底.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?/span>，所以，故兩向量不能作為基底；對(duì)于B，因?yàn)?/span>，所以兩向量不共線，故兩向量能作為基底；對(duì)于C，因?yàn)?/span>，所以，故兩向量不能作為基底；對(duì)于D，因?yàn)?/span>，所以兩向量不共線，故兩向量能作為基底.故選：BD.10. 將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到一個(gè)偶函數(shù)，則的值可以為（     ）A.  B.  C.  D. 【答案】AC【解析】【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，求出變換后的函數(shù)的解析式，根據(jù)正弦型函數(shù)的奇偶性可得出關(guān)于的等式，即可求得值.【詳解】因?yàn)?/span>，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，解得，，則當(dāng)時(shí)，，時(shí)，.故選：AC.11. 已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，則下列說法正確的是（    ）A. 若,則B. 若，則為直角三角形C. 若,則為直角三角形D. 若，則滿足條件的有兩個(gè)【答案】AC【解析】分析】根據(jù)正弦定理、余弦定理知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，則，由正弦定理可得，所以，，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由可得：，則，得到為鈍角，故B選項(xiàng)不正確；對(duì)于C選項(xiàng)，若，由正弦定理可得，所以為直角三角形，故C選項(xiàng)正確；.對(duì)于D選項(xiàng)，由正弦定理可得，則，故，由可得或，因?yàn)?/span>，則，故，故D選項(xiàng)不正確.故選：AC.12. 已知函數(shù)，則（      ）A. 既是周期函數(shù)又是奇函數(shù)B. 的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C. 的圖像關(guān)于直線對(duì)稱D. 的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A，找反例即可判斷；對(duì)于B，驗(yàn)證即可；對(duì)于C，驗(yàn)證即可；對(duì)于D，令，則原函數(shù)可化為，分結(jié)合基本不等式即可判斷.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，對(duì)于A，，，則，所以不是奇函數(shù)， A錯(cuò)誤．對(duì)于B，因，所以的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B正確．對(duì)于C，因?yàn)?/span>，所以的圖像關(guān)于直線對(duì)稱．C正確．對(duì)于D，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)函數(shù)取得最大值，D正確．故選：BCD第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13. 若非零向量與的夾角為，且，設(shè)為與同向的單位向量，則在方向上的投影向量為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)投影向量及求出答案.【詳解】，又為與同向的單位向量，故，所以.故答案為：14. 已知扇形的面積為，該扇形圓心角的弧度數(shù)是2，則扇形的弧長(zhǎng)為____________cm．【答案】【解析】【分析】設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為，半徑為，由已知可得出，求解即可得出答案.【詳解】設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為，半徑為，由已知可得，圓心角，面積，所以有，即，解得.故答案為：.15. 已知是平面內(nèi)兩個(gè)夾角為的單位向量，若，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量夾角為銳角得到，再排除的情況，計(jì)算得到答案.【詳解】因?yàn)?/span>與的夾角為銳角，所以，又因，則，解得，當(dāng)時(shí)，，即，，解得.綜上所述：且故答案：16. 如圖，在中，，，直線交于點(diǎn)，若則_________ .  【答案】##0.6【解析】【分析】由三點(diǎn)共線可得存在實(shí)數(shù)使得，再由三點(diǎn)共線可解得，利用向量的線性運(yùn)算化簡(jiǎn)可得，即.【詳解】由題可知，三點(diǎn)共線，由共線定理可知，存在實(shí)數(shù)使得,又，所以，又三點(diǎn)共線，所以，解得，即可得，所以，所以，即，可得，又，即可得.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，第17題10分，18-22題每題12分，共70分17. 已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以非負(fù)半軸為始邊的角終邊經(jīng)過點(diǎn)．（1）求；（2）求的值．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）分子分母同除，即可變成的分式，代入求值即可；（2）利用二倍角公式變形，1的代換變成分式，分子分母同除，即可變成的分式，代入求值即可.【小問1詳解】因?yàn)榻?/span>終邊經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以；【小問2詳解】.18. 已知向量，，，（）（1）若向量與垂直，求實(shí)數(shù)的值（2）當(dāng)為何值時(shí)，向量與平行.【答案】（1）2    （2）1【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)公式可得；根據(jù)向量平行的坐標(biāo)公式可得.【小問1詳解】由已知可得，因?yàn)橄蛄?/span>與垂直，所以，解得；【小問2詳解】，因?yàn)?/span>與平行，所以，解得，所以當(dāng)時(shí)，向量與平行19. 已知，，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用倍角公式和誘導(dǎo)公式計(jì)算；（2）利用兩角和與差的余弦公式計(jì)算，注意角的范圍.【小問1詳解】.【小問2詳解】因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，所以，所以；因?yàn)?/span>，所以，所以.所以.20. 已知向量，函數(shù).（1）求函數(shù)的最大值及相應(yīng)自變量的取值集合；（2）在中，角的對(duì)邊分別為，若，求面積的最大值.【答案】（1），此時(shí)自變量的取值集合為    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可得到解析式，再由輔助角公式化簡(jiǎn)，由正弦型函數(shù)的最值即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，結(jié)合（1）中解析式可得，再由余弦定理以及基本不等式即可得到結(jié)果.小問1詳解】由題知，，當(dāng)，即時(shí)，最大，且最大值為，即，此時(shí)自變量的取值集合為.【小問2詳解】由（1）知，，則，因?yàn)樵?/span>中， ，所以，所以，所以，又由余弦定理及，得：，即，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.所以.21. 如圖，游客從某旅游景區(qū)景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑：一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為，在甲出發(fā)后，乙從A乘纜車到B，再?gòu)?/span>B勻速步行到C．假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)行的速度為，山路AC長(zhǎng)為3150m，經(jīng)測(cè)量，.  （1）求索道AB的長(zhǎng)；（2）問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？【答案】（1）2600m    （2）【解析】【分析】1）在△ABC中，由cosA和cosC可得sinA和sinC，從而得sinB，由正弦定理，可得AB；（2）假設(shè)乙出發(fā)分鐘后，通過余弦定理算出此時(shí)甲乙之間的距離，結(jié)合二次函數(shù)即可得最值.【小問1詳解】法一：由題意得： 所以    由正弦定理得:所以.    法二：，∴，          如圖作于點(diǎn)D,設(shè)，則，，                由，解得：則【小問2詳解】設(shè)乙出發(fā) （）后到達(dá)點(diǎn)M，此時(shí)甲到達(dá)N點(diǎn)，如圖所示，則，           由余弦定理得： 所以當(dāng)時(shí)，MN最小，此時(shí)乙在纜車上與甲的距離最短.22. 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時(shí)稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù).（1）設(shè)函數(shù)，試求的相伴特征向量；（2）若向量的相伴函數(shù)為，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）已知，，為的相伴特征向量，，請(qǐng)問在的圖象上是否存在一點(diǎn)P，使得.若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【答案】（1）    （2）    （3）存在，【解析】【分析】（1）化簡(jiǎn)得到，得到相伴特征向量.（2）確定，計(jì)算函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到，解得答案.（3）確定得到，再計(jì)算，，根據(jù)向量垂直關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)有界性得到答案.【小問1詳解】，的相伴特征向量為【小問2詳解】向量的相伴函數(shù)為，故，取，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，故，且，即，且，解得所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【小問3詳解】，相伴特征向量為，故，則，，設(shè)，，故，，，故，即，，，，故，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，和同時(shí)等于，等式成立，故在圖像上存在點(diǎn)，使得.
 

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