南充高中高2023級(jí)第一學(xué)期第一次月考(數(shù)學(xué))一. 單選題1. 設(shè)集合 ?, 若?, 則?的值為（     ）A. ? B. -3 C. ? D. ?【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合的確定性，互異性，無(wú)序性，進(jìn)行求解.【詳解】由集合中元素的確定性知 ?或?.當(dāng) ?時(shí),?或?; 當(dāng)?時(shí),?.當(dāng) ?時(shí),?不滿足集合中元素的互異性, 故?舍去;當(dāng) ?時(shí),?滿足集合中元素的互異性, 故?滿足要求;當(dāng) ?時(shí),?滿足集合中元素的互異性, 故?滿足要求.綜上, ?或?.故選: D.2. 命題“ ?”的否定是（     ）A. ?B. ?C. ?D. ?【答案】B【解析】【分析】直接根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題得到答案.【詳解】由特稱命題的否定為全稱命題，則原命題的否定為：?.故選：B.3. 設(shè)，則的大小順序是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】將化簡(jiǎn)，使分子相同，即可根據(jù)分母大小關(guān)系進(jìn)行比較；利用作差比較大小關(guān)系即可.【詳解】，，，，.又，故.則.故選：C.4. 某小學(xué)對(duì)小學(xué)生的課外活動(dòng)進(jìn)行了調(diào)查．調(diào)查結(jié)果顯示：參加舞蹈課外活動(dòng)的有63人，參加唱歌課外活動(dòng)的有89人，參加體育課外活動(dòng)的有47人，三種課外活動(dòng)都參加的有24人，只選擇兩種課外活動(dòng)參加的有22人，不參加其中任何一種課外活動(dòng)的有15人，則接受調(diào)查的小學(xué)生共有多少人？（    ）A 120 B. 144 C. 177 D. 192【答案】B【解析】【分析】用韋恩圖表示題設(shè)中的集合關(guān)系，結(jié)合三個(gè)集合的容斥原理，即得解.【詳解】如圖所示，用韋恩圖表示題設(shè)中的集合關(guān)系，不妨將參加舞蹈、唱歌、體育課外活動(dòng)的小學(xué)生分別用集合表示，則，，不妨設(shè)總?cè)藬?shù)為，韋恩圖中三塊區(qū)域的人數(shù)分別為，即，，由容斥原理：，解得：，故選：B.5. “”是“”的A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先考慮充分性，再考慮必要性得解.【詳解】先考慮充分性. ,=，因?yàn)?/span>，所以，所以“”是“”的充分條件.再考慮必要性.,=，不能推出. 如：a=-3,b=-1.所以“”是“”的非必要條件.所以“”是“”的充分不必要條件.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查充分必要條件的判斷，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.6. 已知集合或，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（     ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用并集運(yùn)算結(jié)合數(shù)軸即可求出的范圍.【詳解】因?yàn)榧?/span>或，，所以.故選：B.7. 已知不等式 ?的解集為?, 則不等式?的解集為 （     ）A. ?或?B. ?C. ?D. ?或?【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定的解集求出值，再代入角一元二次不等式即可.【詳解】因?yàn)椴坏仁?/span> ?的解集為?,因此 ?的兩根為?, 且，即?, 解得?，所以不等式 ?化為?, 其解集為?或?.故選： A8. 已知且，則的最小值為（    ）A. 10 B. 9 C. 8 D. 7【答案】B【解析】【分析】令，結(jié)合可得，由此即得，展開(kāi)后利用基本不等式即可求得答案.【詳解】由題意得，，令，則，由得，故，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)取等號(hào)，也即，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為9，故選：B9. 已知集合M，N，P為全集U的子集，且滿足M?P?N，則下列結(jié)論正確的是 （    ）A. UN?UP B. NP?NMC (UP)∩M=? D. (UM)∩N=?【答案】ABC【解析】【分析】由已知條件畫(huà)出Venn圖，如圖所示，然后根據(jù)圖形逐個(gè)分析判斷即可【詳解】因?yàn)榧?/span>M，N，P為全集U的子集，且滿足M?P?N，所以作出Venn圖，如圖所示，由Venn圖，得UN?UP，故A正確；NP?NM，故B正確；(UP)∩M=?，故C正確；(UM)∩N≠?，故D錯(cuò)誤.故選：ABC10. 下列說(shuō)法正確的是（    ）A. 若，則B. 若，，則C. 若，，則D. 若，則【答案】AD【解析】【分析】通過(guò)不等式性質(zhì)證明選項(xiàng)正確或通過(guò)反例判斷選項(xiàng)錯(cuò)誤即可.【詳解】對(duì)于A，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，當(dāng)，，，時(shí)，有，，但此時(shí)，，，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)，，時(shí)，有，，但此時(shí)，，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，∵，∴，∴，∴，∴，由不等式的同向可加性，由和可得，故選項(xiàng)D正確.故選：AD.11. “關(guān)于的不等式對(duì)恒成立”的必要不充分條件有 （    ）A.  B.  C.  D. 【答案】CD【解析】【分析】討論二次項(xiàng)系數(shù)，求出滿足條件的的范圍，根據(jù)題中條件考查選項(xiàng)即可.【詳解】若關(guān)于的不等式對(duì)恒成立，當(dāng)時(shí)，不等式為，滿足題意；時(shí)，則必有且解得，故的范圍為，故“關(guān)于的不等式對(duì)恒成立”的必要不充分條件的集合必真包含集合，考查選項(xiàng)知滿足條件.故選：12. 若正數(shù)a，b滿足，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】ABC【解析】【分析】利用基本不等式化簡(jiǎn)，可判斷各個(gè)選項(xiàng)的正誤.【詳解】A選項(xiàng)：根據(jù)基本不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A對(duì)；B選項(xiàng)：因?yàn)?/span>，所以，所以，，同理，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B對(duì)；C選項(xiàng)：因?yàn)?/span>，所以，所以，又因?yàn)?/span>，，所以，，，，，所以，故C對(duì)；D選項(xiàng)：，所以，化簡(jiǎn)得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.二.填空題13. 已知集合 ?, 用列舉法表示為________【答案】【解析】【分析】根據(jù)，化簡(jiǎn)求解即可．【詳解】因?yàn)?/span>, 可知，解得，所以.故答案為： .14. 已知?，設(shè)?，則?的取值范圍是________【答案】【解析】【分析】確定，根據(jù)題目條件得到答案.【詳解】令?，則?，，?①，?，故?，?得?.故答案為：.15. 若集合有且僅有兩個(gè)子集，則實(shí)數(shù)的值是__________.【答案】【解析】【分析】通過(guò)集合有且僅有兩個(gè)子集，可知集合中只有一個(gè)元素，根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)是否為分類討論.【詳解】由集合有且僅有兩個(gè)子集，得中只有一個(gè)元素.當(dāng)即時(shí)，，符合題意.當(dāng)即時(shí)， 解得.故答案為：16. 若對(duì)于任意?，不等式?恒成立，設(shè)?，則?取值范圍為________【答案】【解析】【分析】變換得到?恒成立，構(gòu)造，計(jì)算函數(shù)值域，得到，換元得到，即，計(jì)算范圍即可.【詳解】對(duì)于任意?，不等式?恒成立，即當(dāng)?時(shí)，不等式?恒成立，設(shè)?，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，?的值域?yàn)?/span>?，所以原不等式恒成立，等價(jià)于?，即?，設(shè)?，則?，所以?，故?，當(dāng)?時(shí)，?，顯然當(dāng)?時(shí)?，而?，故?，故此時(shí)?；當(dāng)?時(shí)，?，顯然?.綜上所述：?的范圍是?.故答案為：.三．解答題17. 已知全集 .（1）求集合；
 （2）若集合，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1），    （2）【解析】【分析】（1）解一元二次方程及整數(shù)的概念化簡(jiǎn)即可求解；（2）先求出，再求，利用集合相等建立方程組求解即可.【小問(wèn)1詳解】，所以，；【小問(wèn)2詳解】由（1）得，又，所以，所以，得.18. 如圖,某人計(jì)劃用籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻（墻的長(zhǎng)度沒(méi)有限制）的矩形菜園.設(shè)菜園的長(zhǎng)為，寬為.  （1）若菜園面積為，則當(dāng)為何值時(shí)，可使所用籬笆總長(zhǎng)最小?并求出最小值.（2）若使用的籬笆總長(zhǎng)度為，則當(dāng)為何值時(shí)，可使菜園面積最大?并求出最大值.【答案】（1）菜園的長(zhǎng)為，寬為時(shí)，可使所用籬笆總長(zhǎng)最小，最小值為    （2）菜園的長(zhǎng)為，寬為時(shí)，可使菜園面積最大, 最大值為【解析】【分析】（1）利用基本不等式求和的最小值即可；（2）利用基本不等式求積的最大值即可.【小問(wèn)1詳解】由已知可得，而籬笆總長(zhǎng)為.又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.菜園的長(zhǎng)為，寬為時(shí)，可使所用籬笆總長(zhǎng)最小，最小值為.【小問(wèn)2詳解】由已知得，而菜園面積為，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).菜園的長(zhǎng)為，寬為時(shí)，可使菜園面積最大，最大值為.19. 已知 ?，且?.（1）求證：；（2）求?的最小值以及此時(shí)的?的值【答案】（1）證明見(jiàn)解析    （2）最小值為?，?【解析】【分析】（1）變換得到，展開(kāi)利用均值不等式計(jì)算得到證明.（2）變換，展開(kāi)利用均值不等式計(jì)算得到答案.【小問(wèn)1詳解】?，則?.?，當(dāng)且僅當(dāng)，?時(shí)取等號(hào)，即?.【小問(wèn)2詳解】?.當(dāng)且僅當(dāng)，即?時(shí)取等號(hào).于是?的最小值為?，此時(shí)?.20. 關(guān)于?不等式?.（1）若?，求不等式的解集.（2）若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)?的取值范圍.【答案】（1）?    （2）?.【解析】【分析】（1）將代入不等式，解得答案.（2）考慮和兩種情況，解不等式得到答案.【小問(wèn)1詳解】，則，即，故，不等式的解集為：.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)?，即?時(shí)，原不等式為?，解集為?；當(dāng)?時(shí)，由題意，得，解得 ?.綜上所述：?的取值范圍為?.21. 關(guān)于 ?的一元二次方?恒有兩個(gè)實(shí)數(shù)根?.（1）當(dāng) ?且兩個(gè)根皆為負(fù)時(shí), 求實(shí)數(shù)?的取值范圍.（2）不等式 ?恒成立, 求實(shí)數(shù)?的最大值.【答案】（1）?    （2）?【解析】【分析】（1）兩個(gè)根皆為負(fù)即；（2）韋達(dá)定理的逆運(yùn)用，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，再結(jié)合因式分解，二次函數(shù)的最值進(jìn)行求解.【小問(wèn)1詳解】當(dāng) ?時(shí), 方程化為?由已知有 ?所以實(shí)數(shù) ?的取值范圍為?【小問(wèn)2詳解】?此時(shí)???則 ?的最大值為?.22. 對(duì)任意的非空數(shù)集，定義：，其中表示非空數(shù)集中所有元素的乘積，特別地，如果，規(guī)定.（1）若，請(qǐng)直接寫(xiě)出集合和中元素的個(gè)數(shù).（2）若，其中是正整數(shù)，求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值和最小值，并說(shuō)明理由.（3）若，其中是正實(shí)數(shù)，求集合中元素個(gè)數(shù)的最小值，并說(shuō)明理由.【答案】（1）有4個(gè)元素，有7個(gè)元素    （2）個(gè)，11個(gè)    （3）13，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)已知新定義結(jié)合條件求解即可.（2）根據(jù)已知新定義，分類討論、列舉結(jié)合條件進(jìn)行求解.（3）根據(jù)已知新定義, 分類討論、列舉進(jìn)行求解、證明.小問(wèn)1詳解】因?yàn)?/span>，，所以有4個(gè)元素，有7個(gè)元素.【小問(wèn)2詳解】最大值：集合A的非空子集只有個(gè)，因此最多有31個(gè)元素.可能的構(gòu)造如下：.這個(gè)集合的元素均為素?cái)?shù)，中最大的元素為，則集合A任意兩個(gè)不同子集元素的乘積不同，從而由該數(shù)字的所有大于1的因子組成.最小值：不妨設(shè)，顯然有，則，則至少有11個(gè)元素.可能的構(gòu)造如下：，等比數(shù)列即可.【小問(wèn)3詳解】中至少有13個(gè)元素，可能的構(gòu)造如下：，所以證明如下：考慮對(duì)集合A進(jìn)行分類：，，，設(shè)，，，.設(shè)，再對(duì)集合B進(jìn)行分類：，，，設(shè)，，.分析，，與，，關(guān)系：對(duì)集合中的元素：，則則①對(duì)集合中的元素：；②對(duì)集合中的元素：，則則③①+②+③得到注意到：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（均值不等式）從而元素個(gè)數(shù)至少為13.【點(diǎn)睛】數(shù)學(xué)中的新定義題目解題策略：①仔細(xì)閱讀，理解新定義的內(nèi)涵；②根據(jù)新定義，對(duì)對(duì)應(yīng)知識(shí)進(jìn)行再遷移.

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