2022-2023學(xué)年遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）的影響，對近8年的年宣傳費(fèi)和年銷售量數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖．根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，下面四個(gè)回歸模型中，最適合的是（    ）A．y＝bx＋a B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)樣本點(diǎn)分布的分布情況和函數(shù)的圖象特征判斷.【詳解】解：由散點(diǎn)圖看出，樣本點(diǎn)分布在開口向右的拋物線（上支）附近，整體趨勢遞增，單位增長率逐漸變小，所以函數(shù)較適宜，故選：C2．?dāng)S一個(gè)均勻的骰子．記A為“擲得點(diǎn)數(shù)大于等于2”，B為“擲得點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，則為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】列舉出事件A的所有基本事件，然后從其中找出滿足事件B的基本事件，利用古典概型概率公式可得.【詳解】事件有下列可能： ，共5種；在事件A條件下滿足條件有：共2種，所以.故選：D.3．已知某種疾病的某種療法的治愈率為80%．若有100位該病患者采取了這種療法，且每位患者治愈與否相互獨(dú)立，設(shè)其中被治愈的人數(shù)為X，則下列選項(xiàng)中不正確的是（    ）A． B．C． D．存在，使得成立【答案】D【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式、期望與方差公式計(jì)算即可逐一判定.【詳解】由題意可得，由二項(xiàng)分布的概率公式得，即B正確；若，則，與條件矛盾，即D錯誤；由二項(xiàng)分布的期望與方差公式得：，即A、C正確；故選：D4．已知，，，則下列選項(xiàng)中不正確的是（    ）A． B． C． D．A與B獨(dú)立【答案】C【分析】利用條件概率公式，獨(dú)立事件的定義和全概率公式對每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可【詳解】對于A，因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，,所以,故A正確；對于B，因?yàn)?/span>，所以，所以，故B正確；對于C，因?yàn)?/span>，所以，所以，故C不正確；對于D，因?yàn)?/span>，所以，所以A與B獨(dú)立，故D正確故選：C5．甲、乙兩人進(jìn)行比賽，假設(shè)每局甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4，且各局比賽互不影響．若采取“5局3勝制”，則概率最大的比賽結(jié)果是（    ）A．乙贏得比賽 B．甲贏得比賽C．甲贏得比賽 D．甲贏得比賽【答案】C【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式一一計(jì)算比較大小即可.【詳解】若乙贏得比賽，即乙前四場贏兩場，第五場贏，故其概率為：；同理若甲贏得比賽，其概率為：；若甲贏得比賽，即甲前三場都贏，其概率為：；若甲贏得比賽，即甲前三場贏兩場，第四場贏，其概率為：，綜上甲贏得比賽，其概率最大.故選：C6．某貨車為某書店運(yùn)送書籍，共箱，其中箱語文書、箱數(shù)學(xué)書、箱英語書．到達(dá)目的地時(shí)發(fā)現(xiàn)丟失一箱，但不知丟失哪一箱．現(xiàn)從剩下的箱書中隨機(jī)打開箱，結(jié)果是箱語文書、箱數(shù)學(xué)書，則丟失的一箱是英語書的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】記事件從剩下的箱書中隨機(jī)打開箱，結(jié)果是箱語文書、箱數(shù)學(xué)書，記事件丟失的一箱是語文書，事件丟失的一箱是數(shù)學(xué)書，事件丟失的一箱是英語書，利用全概率公式求出的值，再利用貝葉斯公式可求得所求事件的概率.【詳解】記事件從剩下的箱書中隨機(jī)打開箱，結(jié)果是箱語文書、箱數(shù)學(xué)書，記事件丟失的一箱是語文書，事件丟失的一箱是數(shù)學(xué)書，事件丟失的一箱是英語書，則，，由貝葉斯公式可得.故選：B.7．正三棱柱的各棱中點(diǎn)共個(gè)點(diǎn)，在其中取個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有（    ）A．種 B．種 C．種 D．以上都不對【答案】A【分析】作出圖形，求出任選個(gè)點(diǎn)的選法種數(shù)以及四個(gè)點(diǎn)共面的選法種數(shù)，利用間接法可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示，在正三棱柱中，、、、、、、、、為相應(yīng)棱的中點(diǎn)，  從上述個(gè)點(diǎn)中任選個(gè)點(diǎn)，共有種選法，其中所選的個(gè)點(diǎn)在同一側(cè)面上，共種情況；若所選的個(gè)點(diǎn)不在同一側(cè)面上，且構(gòu)成平行四邊形，如、、、，共種情況；若所選的個(gè)點(diǎn)構(gòu)成梯形，如、、、，共種情況.綜上所述，正三棱柱的各棱中點(diǎn)共個(gè)點(diǎn)，在其中取個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有種.故選：A.8．甲乙兩人玩擲硬幣的游戲，已知硬幣是均勻的，即任何一次擲得正面和擲得反面的概率都是．甲擲次，乙擲次，并規(guī)定：擲得正面的次數(shù)多者獲勝．設(shè)甲獲勝的概率為，則（    ）A． B． C． D．以上都不對【答案】B【分析】設(shè)出甲擲出的正面、反面次數(shù)，乙擲出的正面、反面次數(shù)，可得所求事件的概率為，由為必然事件，且，因?yàn)橛矌攀蔷鶆虻?，根?jù)對稱性得，從而可得.【詳解】設(shè)甲正甲擲出的正面次數(shù)，甲反甲擲出的反面次數(shù)，乙正乙擲出的正面次數(shù)，乙反乙擲出的反面次數(shù)，由題意可得，所求事件的概率為，顯然，為必然事件，而，即，因?yàn)橛矌攀蔷鶆虻模?/span>由對稱性可得，所以.故選：B 二、多選題9．下列關(guān)于相關(guān)系數(shù)r的敘述中，正確的是（    ）A．B．當(dāng)y與x正相關(guān)時(shí)， C．時(shí)，兩個(gè)變量之間的回歸直線方程沒有價(jià)值D．當(dāng)成對數(shù)據(jù)構(gòu)成的點(diǎn)都在回歸直線上時(shí)，則【答案】ABC【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的概念及含義，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對于A中，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的概念，可得，即，所以A正確；對于B中，當(dāng)，可得變量與正相關(guān)，所以B正確；對于C中，當(dāng)時(shí)，兩個(gè)變量之前的相關(guān)性非常弱，所以兩個(gè)變量之間的回歸直線方程沒有價(jià)值，所以C正確；對于D中，當(dāng)成對數(shù)據(jù)構(gòu)成的點(diǎn)都在回歸直線上時(shí)，可得，所以D錯誤.故選：ABC.10．下列關(guān)于正態(tài)分布的敘述中，正確的是（    ）A．X的均值為0B．X的方差為1C．X的概率密度函數(shù)為，D．若，則【答案】ABD【分析】根據(jù)正態(tài)分布的概念與性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】因?yàn)?/span>，則X的均值為0，X的方差為1，故A、B正確；X的概率密度函數(shù)為，，故C錯誤；對于可知：Y的均值為1，Y的方差為4，可得，則，故D正確；故選：ABD.11．下列關(guān)于超幾何分布的敘述中，正確的是（    ）A．X的可能取值為0，1，2，…，20 B．C．X的數(shù)學(xué)期望 D．當(dāng)k＝8時(shí)，最大【答案】ACD【分析】根據(jù)超幾何分布的定義和性質(zhì)即可判斷ABC選項(xiàng)；根據(jù)最大列不等式，解不等式即可得到，即可判斷D選項(xiàng).【詳解】根據(jù)超幾何分布的定義得到的可能取值為0，1，2，20，，，故AC正確，B錯；，解得，所以時(shí)最大，故D正確.故選：ACD.12．有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．A類問題中的每個(gè)問題回答正確得M（M＞0）分，否則得0分；B類問題中的每個(gè)問題回答正確得N（N＞0）分，否則得0分．已知小明能正確回答A類問題的概率為p（0＜p＜1），能正確回答B類問題的概率為q（0＜q＜1），且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)．為使累計(jì)得分的期望最大，下列哪些條件下小明應(yīng)選擇先回答A類問題（    ）A．M＞N且p＞q B．C． D．【答案】AD【分析】在先回答A類問題或先回答B類問題前提下通過題意分析出小明累計(jì)得分所有可能取值，逐一求概率列分布列并求出得分的數(shù)學(xué)期望，比較兩個(gè)期望的大小即可得到應(yīng)滿足的條件．【詳解】若先回答A類問題由題可知，所以得分的所有可能取值為．；；．所以的分布列為故．若小明先回答問題，記為小明的累計(jì)得分，則的所有可能取值為．；；．所以的分布列為所以．若小明選擇先回答A類問題，則，解得，即，所以D正確，C錯誤；當(dāng)M＞N且p＞q時(shí)，顯然有成立，故A正確.對時(shí)不一定成立，故B不正確；故選：AD 三、填空題13．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則______．【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程組計(jì)算，再利用前項(xiàng)和公式計(jì)算即可.【詳解】在等差數(shù)列中，可得，解得，所以.故答案為：14．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則 ；【答案】60【詳解】若數(shù)列{an}為等差數(shù)列則Sm，S2m-Sm，S3m-S2m仍然成等差數(shù)列．所以S10，S20-S10，S30-S20仍然成等差數(shù)列．因?yàn)樵诘炔顢?shù)列{an}中有S10=10，S20=30，所以S30=60．故答案為60．15．?dāng)?shù)列，滿足，，，．若數(shù)列是等差數(shù)列，則______．【答案】【分析】根據(jù)題意求得和，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得.【詳解】由題意知，，且，可得，，若數(shù)列是等差數(shù)列，可得公差，所以，所以，可得.故答案為：.16．?dāng)?shù)列滿足：，，，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則______．【答案】【分析】根據(jù)遞推公式得到為周期數(shù)列，最小正周期為8，且，從而求出.【詳解】因?yàn)?/span>，，，所以，，，，，，，，，……，故為周期數(shù)列，最小正周期為8，且，所以.故答案為： 四、解答題17．為調(diào)查某市高三學(xué)生是否愿意參加某項(xiàng)活動，用簡單隨機(jī)抽樣方法從該市調(diào)查了100名高三年級學(xué)生，結(jié)果如下： 男女愿意參加該項(xiàng)活動1535不愿意參加該項(xiàng)活動3020(1)估計(jì)該市高三學(xué)生中，愿意參加該項(xiàng)活動的學(xué)生的比例；(2)能否有99%的把握認(rèn)為該市高三學(xué)生是否愿意參加該項(xiàng)活動與性別有關(guān)？(3)根據(jù)（2）的結(jié)論，能否提出更好的調(diào)查方法來估計(jì)該市的高三學(xué)生中，愿意參加該項(xiàng)活動的學(xué)生的比例？附：．0.0500.0100.001k3.8416.63510.828 【答案】(1)(2)有，理由見解析(3)答案見解析 【分析】（1）根據(jù)100名高三年級學(xué)生中愿意參加該項(xiàng)活動的人數(shù)得到答案；（2）計(jì)算出卡方，與6.635比較后得到結(jié)論；（3）按照男、女人數(shù)比，采用分層抽樣的方法比采用簡單隨機(jī)抽樣方法更好．【詳解】（1）調(diào)查了100名高三年級學(xué)生中，愿意參加該項(xiàng)活動的學(xué)生數(shù)為，則估計(jì)該市高三學(xué)生中，愿意參加該項(xiàng)活動的學(xué)生的比例為；（2），故有99%的把握認(rèn)為該市高三學(xué)生是否愿意參加該項(xiàng)活動與性別有關(guān)；（3）調(diào)查時(shí)，先確定該市高三年級學(xué)生中男、女的比例，再把高三年級學(xué)生分成男、女兩層并采用分層抽樣的方法比采用簡單隨機(jī)抽樣方法更好．18．經(jīng)驗(yàn)表明，一般樹的胸徑（樹的主干在地面以上處的直徑）越大，樹就越高．由于測量樹高比測量胸徑困難，因此研究人員希望由胸徑預(yù)測樹高．在研究樹高與胸徑之間的關(guān)系時(shí)，某林場收集了某種樹的一些數(shù)據(jù)：編號胸徑樹高并計(jì)算得，，，，．(1)以胸徑為橫坐標(biāo)，樹高為縱坐標(biāo)繪制散點(diǎn)圖；(2)求該林場這種樹木的樹高（單位：）與胸徑（單位：）的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到）；(3)求該林場這種樹木的樹高（單位：）關(guān)于胸徑（單位：）的回歸直線方程（精確到），并估計(jì)該林場這種樹木的胸徑為時(shí)的樹高（精確到）．附：樣本相關(guān)系數(shù)，，，．【答案】(1)散點(diǎn)圖見解析(2)(3)，估計(jì)樹高為 【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)直接繪制散點(diǎn)圖即可；（2）根據(jù)已知數(shù)據(jù)可計(jì)算得到，利用已知相關(guān)系數(shù)公式直接求解即可；（3）利用最小二乘法可求得回歸直線方程，代入即可求得預(yù)報(bào)值.【詳解】（1）散點(diǎn)圖如下圖所示，（2）由已知數(shù)據(jù)得：，，（3），，關(guān)于的回歸直線方程為：；令，則，即估計(jì)該林場這種樹木的胸徑為時(shí)的樹高約為.19．（1）從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十個(gè)數(shù)字中隨機(jī)的抽取出兩個(gè)數(shù)字，記兩個(gè)數(shù)字的和為X．（i）求X的分布列；（ii）求X的數(shù)學(xué)期望．（2）從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十個(gè)數(shù)字中隨機(jī)的抽取出三個(gè)數(shù)字，記三個(gè)數(shù)字的和為Y．寫出Y的數(shù)學(xué)期望（只需寫出結(jié)果即可，不需寫出推證過程）．【答案】（1）（i）分布列見解析；（ii）；（2）【分析】（1）（i）直接利用古典概型求概率，列出分布列即可.（ii）利用分布列直接求解期望即可.（2）列出分布列，直接求解期望即可.【詳解】（1）（i）X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，，其可能的取值為1，2，3，4，5，…，13，14，15，16，17．用表格表示X的分布列，如下圖所示：X1234567891011121314151617P（ii）．（2）的可能取值為，，則，，，，，，，，.．20．已知，，，四個(gè)袋，每個(gè)袋中都有1個(gè)黑球和1個(gè)白球共兩個(gè)球，這些球除顏色外完全相同．現(xiàn)有，兩個(gè)空盒，甲同學(xué)從，兩袋中各隨機(jī)取出1個(gè)球，放入盒中；乙同學(xué)從，兩袋中各隨機(jī)取出1個(gè)球，放入盒中．(1)求：盒中是兩個(gè)黑球的概率，盒中是一個(gè)黑球和一個(gè)白球的概率，盒中是兩個(gè)白球的概率；(2)接下來丙同學(xué)從，兩盒各隨機(jī)取出1個(gè)球，記錄下顏色后，放回原盒；隨后丁同學(xué)從，兩盒各隨機(jī)取出1個(gè)球，記錄下顏色后，放回原盒．（i）求：丙同學(xué)取得兩個(gè)白球的概率；（ii）在，兩盒中無任何一盒是兩個(gè)白球的條件下，求丙、丁兩位同學(xué)都取得兩個(gè)白球的概率．【答案】(1)答案見解析(2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用古典概型的概率求解；（2）（i）分，盒中是兩個(gè)黑球的概率，，盒中是一個(gè)黑球和一個(gè)白球的概率，，盒中是兩個(gè)白球，利用古典概型的概率和獨(dú)立事件的概率求解；（ii）法一：利用古典概型的概率求解；法二：利用條件概率求解.【詳解】（1）解：盒中是兩個(gè)黑球的概率為，或；盒中是一個(gè)黑球和一個(gè)白球的概率為，或；盒中是兩個(gè)白球的概率為，或．（2）（i）丙同學(xué)取得兩個(gè)白球的概率為，或．（ii）法一：在，兩盒中無任何一盒是兩個(gè)白球的條件下，丙、丁兩位同學(xué)都取得兩個(gè)白球的概率為．法二：，兩盒中無任何一盒是兩個(gè)白球的概率為．，兩盒中無任何一盒是兩個(gè)白球且丙、丁兩位同學(xué)都取得兩個(gè)白球的概率為．從而在，兩盒都不是兩個(gè)白球的條件下，丙、丁兩位同學(xué)都取得兩個(gè)白球的概率為．21．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為．(1)若，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若，求證：數(shù)列是等差數(shù)列．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析 【分析】（1）利用和與項(xiàng)的關(guān)系求得通項(xiàng)，再利用定義法即可證明；（2）利用和與項(xiàng)的關(guān)系求得，進(jìn)而得，其中,再結(jié)合中項(xiàng)法即可證明.【詳解】（1）當(dāng)n＝1時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上，，其中．所以當(dāng)時(shí)，，故數(shù)列是等差數(shù)列．（2）當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，有和，所以．即．所以當(dāng)時(shí)，有和，從而，其中．即，其中．故數(shù)列是等差數(shù)列．22．（1）已知橢圓E：，直線經(jīng)過點(diǎn)，交橢圓E于點(diǎn)A，B，直線經(jīng)過點(diǎn)，交橢圓E于點(diǎn)A，C，其中點(diǎn)A不是橢圓E的頂點(diǎn)．若直線OA的斜率為，求直線BC的斜率（用表示）．（2）已知橢圓E：，直線經(jīng)過點(diǎn)，交橢圓E于點(diǎn)A，B，直線經(jīng)過點(diǎn)，交橢圓E于點(diǎn)A，C，其中點(diǎn)A不是橢圓E的頂點(diǎn)．記為直線OA的斜率，為直線BC的斜率．寫出與的關(guān)系式（只需寫出結(jié)果即可，不需寫出推證過程）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）運(yùn)用韋達(dá)定理可將用的代數(shù)表示，用的代數(shù)表示，同理可得與，用，代入公式中求解即可.（2）同（1）思路相同求解即可.【詳解】（1）如圖所示，設(shè)直線為，則點(diǎn)A，B滿足：，所以，滿足：，即．所以．所以，所以，即，．同理，．所以．即直線BC的斜率為.（2）．理由如下：設(shè)直線為，則點(diǎn)A，B滿足：，所以，滿足：，即．所以．所以，所以，即，．同理，．所以，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略（1）求代數(shù)式為定值．依題設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡即可得出定值．（2）求點(diǎn)到直線的距離為定值．利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡、變形求得．（3）求某線段長度為定值．利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對解析式進(jìn)行化簡、變形即可求得． 

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