2022-2023學(xué)年江蘇省淮安市盱眙縣第二高級(jí)中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．若直線經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，則有（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】由一次函數(shù)的性質(zhì)判斷【詳解】直線即，經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，則，得，故選：B2．已知兩點(diǎn)所在直線的傾斜角為，則實(shí)數(shù)的值為（    ）A．-7 B．-5 C．-2 D．2【答案】A【分析】根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)，列出斜率表達(dá)式，然后根據(jù)傾斜角得到斜率，列出方程求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>兩點(diǎn)所在直線的傾斜角為，則，即故選:A.3．拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是C上一點(diǎn)，若，則點(diǎn)P到y軸的距離為（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】設(shè)出，由拋物線定義得到方程，求出，從而得到答案.【詳解】設(shè)，由拋物線定義知：，所以，即點(diǎn)P到y軸的距離為4故選：C4．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足：，則（    ）A．72 B．75 C．60 D．100【答案】B【分析】由，代入即得解.【詳解】由可得：，故選：B5．在平面直角坐標(biāo)系中， 以點(diǎn)(0，1)為圓心且與直線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由條件利用點(diǎn)到直線的距離公式求得半徑，可得要求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【詳解】由題意可得圓心為點(diǎn)(0，1)，半徑為，要求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：A．6．已知雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由漸近線判斷與的關(guān)系，進(jìn)而得到與的關(guān)系，從而得到離心率.【詳解】由雙曲線方程得知：雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，由漸近線方程知：即：，即：，又，∴，，∴.故選：B.7．正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則（    ）A．4 B．8 C．32 D．64【答案】D【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)?/span>是等比數(shù)列，所以.故選：D.8．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B為平面上兩點(diǎn)，且，M為線段AB中點(diǎn)，其坐標(biāo)為，若，則的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知可得以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)O，對(duì)條件變形得到，從幾何意義出發(fā)得到圓M與直線相切，從而得到圓M的半徑最小值為點(diǎn)到直線的距離的一半，利用點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，即以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)O，因?yàn)?/span>M為線段AB中點(diǎn)，坐標(biāo)為，，則，幾何意義為圓M的半徑與點(diǎn)M到直線的距離相等，即圓M與直線相切，則圓M的半徑最小值為點(diǎn)到直線的距離的一半，即.故選：B 二、多選題9．下列說(shuō)法中，正確的是（    ）A．過(guò)兩點(diǎn)的直線方程為B．直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是8C．過(guò)點(diǎn)且與直線相互平行的直線方程是D．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距都相等的直線方程為【答案】BC【分析】由x2＝x1或y2＝y1時(shí)，式子無(wú)意義可判斷A；求解直線與兩個(gè)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算面積可判斷B；設(shè)平行的直線為，代入點(diǎn)坐標(biāo)求解可判斷C；過(guò)原點(diǎn)的直線在兩個(gè)坐標(biāo)軸上截距也相等，分析可判斷D.【詳解】對(duì)A，當(dāng)x2＝x1或y2＝y1時(shí)，式子＝無(wú)意義，故A不正確；對(duì)B，直線x﹣y﹣4＝0與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，故圍成的三角形的面積是×4×4＝8，故B正確；對(duì)C，與直線平行，所求直線設(shè)為，將點(diǎn)代入得，所以所求直線為，即，故C正確；對(duì)D，斜率為-1以及過(guò)原點(diǎn)的直線在兩個(gè)坐標(biāo)軸上截距都相等，故經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2）且在兩坐標(biāo)軸上截距都相等的直線方程為x+y﹣3＝0或y＝2x，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10．圓和圓的交點(diǎn)為，則有（    ）A．公共弦所在直線方程為B．公共弦的長(zhǎng)為C．線段中垂線方程為D．為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則到直線距離的最大值為【答案】ABC【分析】對(duì)于A，兩圓方程作差即可求出公共弦方程；對(duì)于B，求出一個(gè)圓的圓心到公共弦的距離，利用垂徑定理計(jì)算即可；對(duì)于C，線段的中垂線即為兩圓圓心的連線，利用點(diǎn)斜式求解即可；對(duì)于D，求出到公共弦的距離，加上半徑即可求出最大值.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)閳A：和圓：的交點(diǎn)為，作差得，所以圓與圓的公共弦所在的直線方程為，故A正確；對(duì)于B，圓：的圓心為，半徑，則圓心到直線的距離，所以圓與圓的公共弦的長(zhǎng)為，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)閳A心，，所在直線斜率為，所以線段的中垂線的方程為，即，故C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)B易得，到直線的距離的最大值為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的有（    ）A．若a，b，c成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列B．若a，b，c成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列C．若a，b，c成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列D．若a，b，c成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列【答案】ABD【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義，結(jié)合特例法進(jìn)行判斷即可.【詳解】A：顯然成等差數(shù)列，但是顯然不成等差數(shù)列，因此本說(shuō)法不正確；B：顯然成等差數(shù)列，但是這三個(gè)式子沒(méi)有意義，因此本說(shuō)法不正確；C：因?yàn)?/span>a，b，c成等差數(shù)列，所以，因?yàn)?/span>，所以成等差數(shù)列，因此本說(shuō)法正確；D：顯然成等差數(shù)列，但是，顯然不成等差數(shù)列，因此本說(shuō)法不正確；故選：ABD12．橢圓的左右焦點(diǎn)分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，給出以下四個(gè)命題，正確的是（    ）A．過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則△的周長(zhǎng)為8；B．橢圓上不存在點(diǎn)，使得；C．橢圓離心率為；D．為橢圓一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)的最大距離為4.【答案】AC【分析】根據(jù)橢圓方程寫(xiě)出a、b、c及焦點(diǎn)坐標(biāo)，由橢圓定義求焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)判斷A；根據(jù)橢圓的性質(zhì)及余弦定理求的最大值，進(jìn)而確定其范圍判斷B；直接法求離心率判斷C；根據(jù)圓的方程確定與橢圓的位置關(guān)系，進(jìn)而判斷的距離范圍，即可判斷D.【詳解】由題設(shè)橢圓參數(shù)為，且、，對(duì)A：由橢圓定義知：，則△的周長(zhǎng)為8，A正確；對(duì)B：當(dāng)在y軸上時(shí)，，而，此時(shí)，且，易知，故，則存在點(diǎn)使得，故存在點(diǎn)使得，B錯(cuò)誤；對(duì)C：橢圓的離心率為，C正確；對(duì)D：由橢圓和圓的方程知：它們?cè)?/span>y軸上的交點(diǎn)為橢圓上下頂點(diǎn)，而圓在x軸上的交點(diǎn)為，所以，故的最大距離為3，D錯(cuò)誤.故選：AC. 三、填空題13．若焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的焦距為4，則___________．【答案】4【分析】根據(jù)橢圓中基本量的關(guān)系得到關(guān)于m的方程，解方程得到m的值.【詳解】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上且焦距為4，所以，解得.故答案為：4.14．已知的頂點(diǎn)，邊上的高所在直線為，直線的方程為___________.【答案】【分析】由直線垂直可知直線的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式即可得出方程.【詳解】因?yàn)?/span>，而直線的斜率為，所以直線的斜率為，所以直線的方程為：，即.故答案為：.15．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則______.【答案】7【分析】將代入根據(jù)可得出答案；當(dāng)時(shí)由，求出，從而可得出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，所以.故答案為：16．若函數(shù)的圖象與直線有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【答案】【分析】作出的圖象，由直線與圓的位置關(guān)系來(lái)求解即可.【詳解】由得：且，表示以為圓心，為半徑的圓在軸及其下方的部分，函數(shù)的圖象如圖所示由圖象知：當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，；當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，圓心到直線距離，解得：或（舍）；函數(shù)的圖象與直線有公共點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：. 四、解答題17．在等差數(shù)列中，已知 且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，；(2) 【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意得到關(guān)于、的方程組，解得即可；（2）根據(jù)等差數(shù)列求和公式計(jì)算可得.【詳解】（1）解：由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，， 解得，，，；（2）解：因?yàn)?/span>，所以.18．已知直線.(1)當(dāng)a=1時(shí)，求兩直線的距離；(2)寫(xiě)出原點(diǎn)到直線的距離，并求出該距離的最大值.【答案】(1)(2)； 【分析】（1）直接根據(jù)兩直線的距離公式計(jì)算得到答案.（2）直接根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得到答案.【詳解】（1）當(dāng)a=1時(shí)，，所以兩直線的距離為.（2）原點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)時(shí)，19．已知橢圓C的方程為，右焦點(diǎn)為，且離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)經(jīng)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)，求的長(zhǎng).【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)題意可確定c,結(jié)合離心率求得a,繼而求得b，即得答案.（2）寫(xiě)出直線l的方程，聯(lián)立橢圓方程，得根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式即可求得答案.【詳解】（1）由題意，橢圓半焦距且，所以，又，所以橢圓方程為;（2）過(guò)且斜率為1的直線為，將代入，可得，整理得，設(shè)，則，∴.20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2+y2-4x=0及點(diǎn)A（-1，0），B（1，2）．(1)若直線l平行于AB，與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，且MN=AB，求直線l的方程；(2)圓C上是否存在點(diǎn)P，使得PA2+PB2=12?若存在，求點(diǎn)P的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)x-y=0或x-y-4=0(2)存在，點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為2 【分析】（1）根據(jù)l∥AB，可得直線l的斜率為1，設(shè)直線l的方程為x-y+m=0，根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式，結(jié)合題意，即可求得m值，即可得答案.（2）設(shè)P（x，y），則，根據(jù)題意，化簡(jiǎn)可得x2+（y-1）2=4，根據(jù)圓心距可得兩圓的位置關(guān)系，即可得答案.【詳解】（1）圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心C（2，0），半徑為2．因?yàn)?/span>l∥AB，且A（-1，0），B（1，2），所以直線l的斜率為．設(shè)直線l的方程為x-y+m=0，則圓心C到直線l的距離為．因?yàn)?/span>，而，所以，解得m=0或m=-4，所以直線l的方程為x-y=0或x-y-4=0．（2）假設(shè)圓C上存在點(diǎn)P，設(shè)P（x，y），則，所以PA2+PB2=，整理得x2+y2-2y-3=0，即x2+（y-1）2=4．因?yàn)?/span>，所以圓（x-2）2+y2=4與圓x2+（y-1）2=4相交，所以點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為2．21．已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.①數(shù)列{an}是等差數(shù)列；②數(shù)列{}是等差數(shù)列；③a2＝3a1.【答案】證明見(jiàn)解析【分析】首先確定條件和結(jié)論，然后結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式證明結(jié)論即可．【詳解】選擇①③為條件，②結(jié)論．證明過(guò)程如下：由題意可得：，，數(shù)列的前項(xiàng)和：，故，據(jù)此可得數(shù)列 是等差數(shù)列．選擇①②為條件，③結(jié)論：設(shè)數(shù)列的公差為，則：，數(shù)列 為等差數(shù)列，則：，即：，整理可得：，．選擇③②為條件，①結(jié)論：由題意可得：，，則數(shù)列 的公差為，通項(xiàng)公式為：，據(jù)此可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)上式也成立，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，由，可知數(shù)列是等差數(shù)列．22．已知雙曲線C1：，拋物線C2：（），F為C2的焦點(diǎn)，過(guò)F垂直于x軸的直線l被拋物線C2截得的弦長(zhǎng)等于雙曲線C1的實(shí)軸長(zhǎng)．(1)求拋物線C2的方程；(2)過(guò)焦點(diǎn)F作互相垂直的兩條直線，與拋物線C2分別相交于點(diǎn)A、B和C、D，點(diǎn)P、Q分別為AB、CD的中點(diǎn)，求△FPQ面積的最小值．【答案】(1)；(2)16. 【分析】（1）由題設(shè)有直線l為，聯(lián)立拋物線求相交弦長(zhǎng)有，即可寫(xiě)出拋物線方程.（2）由題意，可設(shè)直線AB為且，聯(lián)立拋物線應(yīng)用韋達(dá)定理求、坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)距離公式求、，進(jìn)而得到關(guān)于k的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式求最小值，注意等號(hào)成立條件.【詳解】（1）由題意，雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)，直線l方程為，由，得，則過(guò)F垂直于x軸的直線l被拋物線C2的弦長(zhǎng)為2p，所以，故拋物線的方程為.（2）因?yàn)?/span>，若直線AB、CD分別與兩坐標(biāo)軸垂直，則其中有一條與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意；所以，直線AB，CD的斜率均存在且不為0，設(shè)直線AB的斜率為，則直線AB的方程為聯(lián)立，得，則，設(shè)，則．設(shè)，則，則即，同理得，故，，又，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故△FPQ面積的最小值為16． 

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