2022-2023學(xué)年四川省德陽市第五中學(xué)高二下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)（文）試題 一、單選題1．復(fù)數(shù)，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算法則即可得到答案.【詳解】由題意得，故選：B.2．在等比數(shù)列中，已知，則等于（    ）A．128 B．64 C．64或 D．128或【答案】D【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，求出的值，再結(jié)合條件求出公比，進而即得.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，∴或，設(shè)數(shù)列的公比為，因為，當時，，即，則；當時，，即，則.故選：D .3．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（    ）A． B．C．， D．【答案】B【分析】先求出函數(shù)的定義域，再對函數(shù)求導(dǎo)，然后由導(dǎo)數(shù)大于零，可求出函數(shù)的增區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域為，由，得，令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故選：B.4．已知函數(shù)，在上任取一個實數(shù)x，使得的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，再利用幾何概型的概率公式即可得解.【詳解】由，得，則所求概率.故選：A.5．圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角為60°，底面圓的半徑為8，則圓錐的側(cè)面積為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】運用扇形的弧長公式及圓錐的側(cè)面積公式計算即可.【詳解】設(shè)圓錐的半徑為r，母線長為l，則，由題意知，，解得：，所以圓錐的側(cè)面積為.故選：A.6．已知平面向量，若，則（    ）A． B．1 C．或1 D．0或1【答案】C【分析】由可得，求解即可【詳解】若，則，解得或.故選：C7．命題：已知一條直線a及兩個不同的平面，，若，則“”是“”的充分條件；命題：有兩個面相互平行，其余各面均為梯形的多面體是棱臺．則下列為真命題的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】確定是真命題，是假命題，再依次判斷每個選項得到答案.【詳解】若，，則，充分性；若，，不能得到，不必要，故是真命題.棱臺的側(cè)棱延長線需相交于一點，故是假命題.故為假命題，為真命題，為假命題，為假命題.故選：B8．已知函數(shù)的圖象如圖所示，為了得到的圖象，只需把的圖象上所有點（    ）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】A【分析】依據(jù)圖象可知，可得，然后代入點計算可得，最后根據(jù)平移知識可得結(jié)果.【詳解】有圖象可知：，則所以，將點代入解析式可得由圖象可知：，又，所以令，所以，只需將函數(shù)向左平移個單位長度則可得到的圖象，故選：A9．若曲線在處的切線的傾斜角為，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出，然后利用二倍角公式及弦切互化計算即可.【詳解】因為，所以，所以，所以.故選：D10．我國古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》卷九“勾股”中有一測量問題：“今有立木，系索其末，委地三尺.引索卻行，去本八尺而索盡，問索長幾何?這個問題體現(xiàn)了古代對直角三角形的研究，現(xiàn)有一豎立的木頭柱子，高4米，繩索系在柱子上端，牽著繩索退行，當繩索與底面夾角為75°時繩索未用盡，再退行米繩索用盡（繩索與地面接觸），則繩索長為（   ）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】依題意畫出圖形，利用兩角差的正切公式及銳角三角函數(shù)求出，最后利用勾股定理計算可得.【詳解】解：依題意可得如下圖形：則，，，所以，所以，所以，所以，所以繩索長為米.故選：B11．橢圓的左，右焦點為，且，點P是橢圓C上異于左、右端點的一點，若M是的內(nèi)心，且，則實數(shù)（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，由可得，進而得到，由可得，同除以即可求解.【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則 ，，，可得 .，解得.又因為，所以，即，所以，即，解得（舍去負值），所以.故選：A12．若不等式在有解，則實數(shù)a的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】先得到，不等式變形得到，換元后令，問題轉(zhuǎn)化為存在，使得，求導(dǎo)后得到的單調(diào)性，結(jié)合，得到當時，，比較端點值得到答案.【詳解】由有意義可知，，變形為，即，令，即有，因為，所以，令，問題轉(zhuǎn)化為存在，使得，因為，令，即，解得，令，即，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，而，所以當時，，若存在，使得成立，只需且，解得.故選：D【點睛】對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，一般有三個方法，一是分離參數(shù)法, 使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)，通過兩個函數(shù)圖像確定條件. 二、填空題13．為慶祝中國共產(chǎn)黨第二十次代表大會勝利閉幕，某高中學(xué)校在學(xué)生中開展了“學(xué)精神，悟思想，談收獲”的二十大精神宣講主題活動．為了解該校學(xué)生參加主題學(xué)習(xí)活動的具體情況，校團委利用分層抽樣的方法從三個年級中抽取了260人進行問卷調(diào)查，其中高一、高二年級各抽取了85人．已知該校高三年級共有720名學(xué)生，則該校共有學(xué)生______人．【答案】【分析】根據(jù)題意求得每個學(xué)生抽到的概率，結(jié)合分層抽樣列出方程，即可求解.【詳解】利用分層抽樣的方法從三個年級中抽取了260人進行問卷調(diào)查，其中高一、高二年級各抽取了85人，可得高三年級共有90人，又由高三年級共有720名學(xué)生，則每個學(xué)生被抽到的概率為，設(shè)該校共有名學(xué)生，可得，解得（人），即該校共有名學(xué)生.故答案為：.14．已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則__________.【答案】【分析】由于復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以可得，從而可求出的值，進而可求得答案【詳解】根據(jù)已知得，所以，于是.故答案為：15．若點是曲線上的點，則的最小值為_________．【答案】/【分析】令，不妨設(shè)，，代入可得，由有最大值得到有最小值，從而可解.【詳解】令，則原問題轉(zhuǎn)化為求解的最小值，不妨設(shè)，，由題意可得：，即整理可得：，所以當時，有最大值，即有最小值，所以可得的最小值是.故答案為：16．在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，在鱉臑中，平面，，，已知動點從點出發(fā)，沿外表面經(jīng)過棱上一點到點的最短距離為，則該棱錐的外接球的體積為______. 【答案】【分析】將沿翻折到與共面得到平面四邊形如圖1所示，設(shè)，利用余弦定理求出，將三棱錐補成長方體如圖2所示，該棱錐的外接球即為長方體的外接球，求出外接球的半徑，即可求出其體積.【詳解】解：將沿翻折到與共面得到平面四邊形如圖1所示，設(shè)，即，由題意得，在中，由余弦定理得即即，解得或（舍去），將三棱錐補成長方體如圖2所示，該棱錐的外接球即為長方體的外接球，則外接球的半徑，所以外接球的體積.故答案為： 三、解答題17．已知函數(shù)在處取得極值.（1）求實數(shù)的值；（2）當時，求函數(shù)的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)極值的定義可以求出實數(shù)的值；（2）求導(dǎo)，求出時的極值，比較極值和之間的大小的關(guān)系，最后求出函數(shù)的最小值.【詳解】（1），函數(shù)在處取得極值，所以有；（2）由（1）可知：，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，故函數(shù)在處取得極大值，因此，，，故函數(shù)的最小值為.【點睛】本題考查了求閉區(qū)間上函數(shù)的最小值，考查了極值的定義，考查了數(shù)學(xué)運算能力.18．網(wǎng)購是當前人們購物的新方式，某公司為了改進營銷方式，隨機調(diào)查了名市民，統(tǒng)計了不同年齡的人群網(wǎng)購的人數(shù)如下表：年齡段（歲）網(wǎng)購人數(shù)男性人數(shù)（1）若把年齡在的人稱為“網(wǎng)購迷”，否則稱為“非網(wǎng)購迷”，請完成下面的列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為網(wǎng)購與性別有關(guān)？ 網(wǎng)購迷非網(wǎng)購迷總計男性   女性   總計   附：.（2）若從年齡小于歲的網(wǎng)購男性中用分層抽樣的方法抽取人，再從中抽取兩人，求兩人年齡都小于歲的概率.【答案】（1）列聯(lián)表答案見解析，能在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為網(wǎng)購與性別有關(guān)；（2）.【解析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可題中信息可完善列聯(lián)表，計算出的觀測值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論；（2）計算得出年齡段應(yīng)抽取人，分別記為、、；年齡段應(yīng)抽取人，分別記為、，列舉出所有的基本事件，并確定事件“所抽的兩人年齡都小于歲”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】（1）由題中信息可完善列聯(lián)表如下表所示： 網(wǎng)購迷非網(wǎng)購迷總計男性女性總計計算得，故能在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為網(wǎng)購與性別有關(guān)；（2）年齡在、網(wǎng)購男性分別有人、人.按分層抽樣的方法隨機抽取人，年齡段應(yīng)抽取人，分別記為、、；年齡段應(yīng)抽取人，分別記為、.從中隨機抽取人的一切可能結(jié)果所組成的基本事件共個：、、、、、、、、、.用表示“兩人年齡都小于歲”這一事件，則事件由個基本事件組成：、、.故事件的概率為.【點睛】方法點睛：求解古典概型的概率方法如下：（1）列舉法；（2）列表法；（3）樹狀圖法；（4）排列、組合數(shù)的應(yīng)用.19．如圖，在直三棱柱中，，，，M，N分別是，的中點．(1)求證：；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)詳見解析(2) 【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理證明線線垂直；（2）利用等體積公式，轉(zhuǎn)化為，即可求解體積.【詳解】（1）因為三棱柱是直三棱柱，所以平面平面，且平面平面，因為，，且點是的中點，所以平面，又因為平面，所以；（2）三棱錐,由條件可知是等腰直角三角形，，所以，點到平面的距離，.20．在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線的方程為.（1）求曲線的直角坐標方程；（2）設(shè)曲線與直線交于點，點的坐標為（3，1），求.【答案】（1）（2）【解析】利用極坐標與直角坐標的互化公式:即可求解;聯(lián)立直線的方程和曲線的方程,整理化簡得到關(guān)于的一元二次方程,由題知點在直線上,利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義及一元二次方程中的韋達定理即可求出的值.【詳解】因為曲線的方程， ∴， ∴，化簡得,曲線的直角坐標方程為：.（2）把直線代入曲線得，整理得，.∵，所以方程有兩個不等實根，設(shè)為方程的兩個實數(shù)根，由韋達定理可得,，，∴為異號，又∵點（3，1）在直線上，由參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義可得,.所以.【點睛】本題考查極坐標與直角坐標的互化、參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義等知識，考查學(xué)生的運算能力、推理論證能力；其中正確掌握參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.21．在圓上任取一點P，過點P作y軸的垂線，垂足為D，點Q滿足．當點P在圓O上運動時，點Q的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)設(shè)曲線C與y軸正半軸交點為A，不過點A的直線l與曲線C交于M，N兩點，若，試探究直線l是否過定點．若過定點，求出該點的坐標；若不過定點，請說明理由．【答案】(1)(2)恒過點，理由見解析 【分析】（1）設(shè)點，由得出，繼而由圓的方程得出曲線的方程；（2）討論斜率存在和不存在兩種情況，由得出，結(jié)合韋達定理以及數(shù)量積公式得出，進而得出定點.【詳解】（1）設(shè)點∵，∴∵，，則曲線的方程為（2），設(shè)，由∴當直線軸時，△MAN為鈍角三角形，且，不滿足題意．∴直線l的斜率存在．設(shè)直線l的方程為：由，化簡得：∴∴整理得，∵，∴∴直線l的方程為：，恒過點．【點睛】關(guān)鍵點睛：對于第（2）問，關(guān)鍵是聯(lián)立直線和橢圓的方程，由韋達定理結(jié)合數(shù)量積公式得出，進而由斜截式方程得出定點.22．已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)的零點個數(shù)；（2）若，求的值．【答案】（1）有且只有一個零點；（2）．【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，結(jié)合零點存在定理可得出結(jié)論；（2）分析可知不等式對任意的恒成立，令，，可得出，對實數(shù)的取值進行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合可求得實數(shù)的值.【詳解】（1）因為，該函數(shù)的定義域為，且，       令，所以.當時，，所以在上單調(diào)遞增；當時，，所以在上單調(diào)遞減；當時，，所以在上單調(diào)遞增；            因為，，，所以有且只有一個零點，即有且只有一個零點；（2）因為，所以，則， 即，令，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，令，則對任意的恒成立，因為，，且.①若，則對任意的恒成立，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，此時函數(shù)無最小值，不合乎題意；②若，由，可得，此時函數(shù)單調(diào)遞減，由，可得，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，所以，.綜上所述，.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題. 

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