中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點(diǎn)復(fù)習(xí)題型09 二次函數(shù)綜合題類型八二次函數(shù)與平行四邊形有關(guān)的問(wèn)題（專題訓(xùn)練）（2份打包，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?題型九二次函數(shù)綜合題
類型八二次函數(shù)與平行四邊形有關(guān)的問(wèn)題（專題訓(xùn)練）
1.（2021·四川南充市·中考真題）如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和B，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為．

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，若點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q，連接OQ．當(dāng)線段PQ長(zhǎng)度最大時(shí)，判斷四邊形OCPQ的形狀并說(shuō)明理由．
（3）如圖2，在（2）的條件下，D是OC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q的直線與拋物線交于點(diǎn)E，且．在y軸上是否存在點(diǎn)F，使得為等腰三角形？若存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）；（2）四邊形OCPQ是平行四邊形，理由見詳解；（3）（0，）或（0，1）或（0，-1）
【分析】
（1）設(shè)拋物線，根據(jù)待定系數(shù)法，即可求解；
（2）先求出直線BC的解析式為：y=-x+4，設(shè)P（x，-x+4），則Q（x，），（0≤x≤4），得到PQ =，從而求出線段PQ長(zhǎng)度最大值，進(jìn)而即可得到結(jié)論；
（3）過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥y軸，過(guò)點(diǎn)Q作QN∥y軸，過(guò)點(diǎn)E作EN∥x軸，交于點(diǎn)N，推出，從而得，進(jìn)而求出E（5，4），設(shè)F（0，y），分三種情況討論，即可求解．
【詳解】
解：（1）∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和B，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線，
∴B（4，0），C（0，4），
設(shè)拋物線，把C（0，4）代入得：，解得：a=1，
∴拋物線的解析式為：；
（2）∵B（4，0），C（0，4），
∴直線BC的解析式為：y=-x+4，
設(shè)P（x，-x+4），則Q（x，），（0≤x≤4），
∴PQ=-x+4-()==，
∴當(dāng)x=2時(shí)，線段PQ長(zhǎng)度最大=4，
∴此時(shí)，PQ=CO，
又∵PQ∥CO，
∴四邊形OCPQ是平行四邊形；
（3）過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥y軸，過(guò)點(diǎn)Q作QN∥y軸，過(guò)點(diǎn)E作EN∥x軸，交于點(diǎn)N，
由（2）得：Q（2，-2），
∵D是OC的中點(diǎn)，
∴D（0，2），
∵QN∥y軸，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即：，
設(shè)E（x，），則，解得：，（舍去），
∴E（5，4），
設(shè)F（0，y），則，
，，
①當(dāng)BF=EF時(shí)，，解得：，
②當(dāng)BF=BE時(shí)，，解得：或，
③當(dāng)EF=BE時(shí)，，無(wú)解，
綜上所述：點(diǎn)F的坐標(biāo)為：（0，）或（0，1）或（0，-1）．
．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查二次函數(shù)與平面幾何的綜合，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，是解題的關(guān)鍵．
2.（2021·重慶中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）直線l為該拋物線的對(duì)稱軸，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于直線l對(duì)稱，點(diǎn)P為直線AD下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PD，求面積的最大值；
（3）在（2）的條件下，將拋物線沿射線AD平移個(gè)單位，得到新的拋物線，點(diǎn)E為點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)F為的對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)，在上確定一點(diǎn)G，使得以點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點(diǎn)G的坐標(biāo)，并任選其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出求解過(guò)程．
【答案】（1）y=x2-3x-4；（2）8；（3）或或，過(guò)程見解析
【分析】
（1）將，的坐標(biāo)代入函數(shù)式利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先得出拋物線的對(duì)稱軸，作PE∥y軸交直線AD于E，設(shè)P（m，m2-3m-4），用m表示出△APD的面積即可求出最大面積；
（3）通過(guò)平移距離為，轉(zhuǎn)化為向右平移4個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位，根據(jù)平移變化得出平移后的拋物線關(guān)系式和E的坐標(biāo)，分DE為對(duì)角線、EG為對(duì)角線、EF為對(duì)角線三種情況進(jìn)行討論即可．
【詳解】
解：（1）將A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx-4得
，解得：，
∴該拋物線的解析式為y=x2-3x-4，
（2）把x=0代入y=x2-3x-4中得：y=-4，
∴C（0，-4），
拋物線y=x2-3x-4的對(duì)稱軸l為
∵點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于直線l對(duì)稱，
∴D（3，-4），
∵A（-1，0），
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b；
∴，解得：，
∴直線AD的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x-1，
設(shè)P（m，m2-3m-4），
作PE∥y軸交直線AD于E，
∴E（m，-m-1），
∴PE=-m-1-（m2-3m-4）=-m2+2m+3，
∴，
∴，
∴當(dāng)m=1時(shí)，的面積最大，最大值為：8

（3）∵直線AD的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x-1，
∴直線AD與x軸正方向夾角為45°，
∴拋物線沿射線AD方向平移平移個(gè)單位，相當(dāng)于將拋物線向右平移4個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位，
∵，，平移后的坐標(biāo)分別為（3，-4），（8，-4），
設(shè)平移后的拋物線的解析式為
則，解得：，
∴平移后y1=x2-11x+20，
∴拋物線y1的對(duì)稱軸為：，
∵P（1，-6），
∴E（5，-10），
∵以點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，分三種情況：
設(shè)G（n，n2-11n+20），F(xiàn)（，y），
①當(dāng)DE為對(duì)角線時(shí)，平行四邊形的對(duì)角線互相平分
∴，∴
∴
②當(dāng)EF為對(duì)角線時(shí)，平行四邊形的對(duì)角線互相平分
∴，∴
∴
③當(dāng)EG為對(duì)角線時(shí)，平行四邊形的對(duì)角線互相平分
∴，∴
∴
∴或或
【點(diǎn)睛】
本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式和最值問(wèn)題，求三角形的面積，以及平移的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，注意分類討論的數(shù)學(xué)思想．
3.（2022·四川眉山）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，且點(diǎn)的坐標(biāo)為．

(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖1，若點(diǎn)是第二象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到直線距離的最大值；(3)如圖2，若點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)(2)最大為(3)存在，的坐標(biāo)為或（3，-16）或
【分析】（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，求出c的值即可；
（2）過(guò)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，證明是等腰直角三角形，得，當(dāng)最大時(shí)，最大，，運(yùn)用待定系數(shù)法求直線解析式為，設(shè)，，則，求得PH，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（3）分①當(dāng)AC為平行四邊形ANMC的邊，②當(dāng)AC為平行四邊形AMNC的邊，③當(dāng)AC為對(duì)角線三種情況討論求解即可．
(1)
（1）∵點(diǎn)在拋物線的圖象上，
∴
∴，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；
(2)過(guò)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，如圖：

∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵軸，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴當(dāng)最大時(shí)，最大，
設(shè)直線解析式為，
將代入得，
∴，
∴直線解析式為，
設(shè)，，則，
∴，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，最大為，
∴此時(shí)最大為，即點(diǎn)到直線的距離值最大；
(3)存在．∵
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，
設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-2，m），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，）
分三種情況：①當(dāng)AC為平行四邊形ANMC的邊時(shí)，如圖，

∵A（-5，0），C（0，5），
∴，即
解得，x=3.
∴
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，-16）
②當(dāng)AC為平行四邊形AMNC的邊長(zhǎng)時(shí)，如圖，

方法同①可得，，
∴
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-7，-16）；
③當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，如圖，

∵A（-5，0），C（0，5），
∴線段AC的中點(diǎn)H的坐標(biāo)為，即H（）
∴，解得，。
∴
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-3，8）
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或（3，-16）或．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，其中涉及到二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)．熟知幾何圖形的性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
4.（2021·重慶中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)A（0，﹣1），B（4，1）．直線AB交x軸于點(diǎn)C，P是直線AB下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB，垂足為D，PE∥x軸，交AB于點(diǎn)E．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)△PDE的周長(zhǎng)取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PDE周長(zhǎng)的最大值；
（3）把拋物線平移，使得新拋物線的頂點(diǎn)為（2）中求得的點(diǎn)P．M是新拋物線上一點(diǎn)，N是新拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，直接寫出所有使得以點(diǎn)A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)M的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)M的坐標(biāo)的過(guò)程寫出來(lái)．
【答案】（1）；（2）t=2時(shí)，△PDE周長(zhǎng)取得最大值，最大值為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣4）；（3）滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12），過(guò)程見解析
【分析】
（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式即可；
（2）先求出直線AB的函數(shù)表達(dá)式和點(diǎn)C坐標(biāo)，設(shè)P，其中0

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