山東省淄博實驗中學(xué)2023屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________ 一、單選題1．已知集合，，則為（    ）A． B．或C．或 D．或2．設(shè)復(fù)平面上表示和的點分別為點A和點B，則表示向量的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對應(yīng)的點位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限  D．第四象限3．如圖所示，邊長為2的正，以BC的中點O為圓心，BC為直徑在點A的另一側(cè)作半圓弧，點P在圓弧上運動，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．4．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且在上沒有最小值，則的值為（    ）A．2 B．4 C．6 D．105．科技是一個國家強(qiáng)盛之根，創(chuàng)新是一個民族進(jìn)步之魂，科技創(chuàng)新鑄就國之重器，極目一號（如圖1）是中國科學(xué)院空天信息研究院自主研發(fā)的系留浮空器．2022年5月，“極目一號”III型浮空艇成功完成10次升空大氣科學(xué)觀測，最高升空至9050米，超過珠穆朗瑪峰，創(chuàng)造了浮空艇大氣科學(xué)觀測海拔最高的世界紀(jì)錄，彰顯了中國的實力．“極目一號”III型浮空艇長55米，高19米，若將它近似看作一個半球、一個圓柱和一個圓臺的組合體，正視圖如圖2所示，則“極目一號”III型浮空艇的體積約為（    ）（參考數(shù)據(jù)：，，，）A． B． C． D．6．若函數(shù)是偶函數(shù)，則的最小值為（    ）A．4 B．2 C． D．7．已知拋物線的焦點為，直線與拋物線交于兩點，是線段的中點，過作軸的垂線交拋物線于點，則下列判斷不正確的是（    ）A．若過點，則的準(zhǔn)線方程為 B．若過點，則C．若，則 D．若，則點的坐標(biāo)為8．已知在上恒成立，則的最小值是（    ）A．0 B． C． D． 二、多選題9．某企業(yè)對目前銷售的A，B，C，D四種產(chǎn)品進(jìn)行改造升級，經(jīng)過改造升級后，企業(yè)營收實現(xiàn)翻番，現(xiàn)統(tǒng)計了該企業(yè)升級前后四種產(chǎn)品的營收占比，得到如下餅圖：下列說法正確的是（    ）A．產(chǎn)品升級后，產(chǎn)品A的營收是升級前的4倍B．產(chǎn)品升級后，產(chǎn)品B的營收是升級前的2倍C．產(chǎn)品升級后，產(chǎn)品C的營收減少D．產(chǎn)品升級后，產(chǎn)品B?D營收的總和占總營收的比例不變10．下列說法正確的是（    ）A．“”是“”的既不充分也不必要條件B．命題“，”的否定是“，”C．若，則D．的最大值為11．某學(xué)校課外社團(tuán)活動課上，數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行了一次有趣的數(shù)學(xué)實驗操作，課題名稱“不用尺規(guī)等工具，探究水面高度”.如圖甲，是一個水平放置的裝有一定量水的四棱錐密閉容器（容器材料厚度不計），底面為平行四邊形，設(shè)棱錐高為，體積為，現(xiàn)將容器以棱為軸向左側(cè)傾斜，如圖乙，這時水面恰好經(jīng)過，其中分別為棱的中點，則（    ）A．水的體積為B．水的體積為C．圖甲中的水面高度為D．圖甲中的水面高度為12．在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點逆時針旋轉(zhuǎn)后，所得曲線仍然是某個函數(shù)的圖象，則稱為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.那么（    ）A．存在旋轉(zhuǎn)函數(shù)B．旋轉(zhuǎn)函數(shù)一定是旋轉(zhuǎn)函數(shù)C．若為旋轉(zhuǎn)函數(shù)，則D．若為旋轉(zhuǎn)函數(shù)，則 三、填空題13．已知，則______.14．等差數(shù)列，則數(shù)列的前101項之和________15．如圖為三棱錐的平面展開圖，其中，，垂足為，則該三棱錐的體積為______．16．已知雙曲線的左?右焦點分別為，點是的一條漸近線上的兩點，且（為坐標(biāo)原點），．若為的左頂點，且，則雙曲線的離心率為_____ 四、解答題17．在中,.(1)求;(2)若,再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知,使存在且唯一確定,求及的面積.條件①:;條件②:;條件③:.18．已知等差數(shù)列滿足，成等比數(shù)列，且公差，數(shù)列的前n項和為．(1)求；(2)若數(shù)列滿足，且，設(shè)數(shù)列的前n項和為，若對任意的，都有，求的取值范圍．19．在四棱錐中，平面平面，，為的中點.(1)求證：；(2)若，，，，點在棱上，直線與平面所成角為，求點到平面的距離.20．飛盤運動是一項入門簡單，又具有極強(qiáng)的趣味性和社交性的體育運動，目前已經(jīng)成為了年輕人運動的新潮流.某俱樂部為了解年輕人愛好飛盤運動是否與性別有關(guān)，對該地區(qū)的年輕人進(jìn)行了簡單隨機(jī)抽樣，得到如下列聯(lián)表:性別飛盤運動合計不愛好愛好男61622女42428合計104050(1)在上述愛好飛盤運動的年輕人中按照性別采用分層抽樣的方法抽取10人，再從這10人中隨機(jī)選取3人訪談，記參與訪談的男性人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為愛好飛盤運動與性別有關(guān)聯(lián)？如果把上表中所有數(shù)據(jù)都擴(kuò)大到原來的10倍，在相同的檢驗標(biāo)準(zhǔn)下，再用獨立性檢驗推斷愛好飛盤運動與性別之間的關(guān)聯(lián)性，結(jié)論還一樣嗎？請解釋其中的原因.附:，其中.0.10.010.0012.7066.63510.828 21．已知離心率為的橢圓的左焦點為，左、右頂點分別為、，上頂點為，且的外接圓半徑大小為．(1)求橢圓方程；(2)設(shè)斜率存在的直線交橢圓于兩點（位于軸的兩側(cè)），記直線、、、的斜率分別為、、、，若，求面積的取值范圍．22．已知函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求在區(qū)間上的最大值；(3)設(shè)實數(shù)使得對恒成立，寫出的最大整數(shù)值，并說明理由.
參考答案：1．C【分析】先化簡集合B，再利用集合的交集和補(bǔ)集運算求解.【詳解】解：因為，則或，所以或，或故選：C2．A【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義求出，即可得出向量的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對應(yīng)的點所在象限.【詳解】復(fù)平面上表示和的點分別為點A和點B，則，所以，所以向量的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對應(yīng)的點位于第一象限.故選：A.3．B【分析】根據(jù)給定條件，可得，求出的夾角范圍，再利用向量數(shù)量積的定義、運算律求解作答.【詳解】過點作交半圓弧于點，連接，如圖， 而是正三角形，則，令夾角為，當(dāng)點P在弧上時，，當(dāng)點P在弧上時，，于是，顯然，，所以.故選：B4．A【分析】根據(jù)對稱軸可得或進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)的性子即可求解.【詳解】由的圖象關(guān)于直線對稱可得解得或由，由于在上沒有最小值，所以，又或所以，故選：A5．A【分析】先根據(jù)圖2得半球、圓柱底面和圓臺一個底面的半徑為，而圓臺一個底面的半徑為，再根據(jù)球、圓柱和圓臺的體積公式即可求解．【詳解】由圖2得半球、圓柱底面和圓臺一個底面的半徑為（m），而圓臺一個底面的半徑為（m），則（m3），（m3），（m3），所以（m3）．故選：A．6．A【分析】根據(jù)為偶函數(shù)求出，再利用基本不等式求解.【詳解】由為偶函數(shù)可得，即，所以．因為，且，，所以，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取最小值4．故選：A7．D【分析】根據(jù)直線與橫軸的交點坐標(biāo)、拋物線的定義，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)、根的一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】設(shè)，對于A項，若過點，則點的坐標(biāo)為，所以，故的準(zhǔn)線方程為，故A項正確；對于B項，由A可得的方程為，與的方程聯(lián)立，消去并整理，得，則，，根據(jù)拋物線的定義，可得，，．所以，所以，故B項正確；對于C項，將的方程與的方程聯(lián)立，得，所以，．設(shè)，則，所以，即，由得，即，所以，所以，故C正確；對于D項，由C知，，所以焦點，故D錯誤．故選：D【點睛】關(guān)鍵點睛：利用拋物線的定義、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.8．D【分析】先將條件轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再構(gòu)造函數(shù)，，分，兩種情況討論，再結(jié)合導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而即可求解．【詳解】在上恒成立，等價于在上恒成立，等價于在上恒成立，令，，當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增，則若時，，不符合題意；當(dāng)時，則，若時，，此時單調(diào)遞增；若時，，此時單調(diào)遞減，所以，則，即，令，，則，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減；當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，所以，所以，所以的最小值是．故選：D．9．ABD【分析】根據(jù)扇形統(tǒng)計圖由產(chǎn)品升級前的營收為，升級后的營收為，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】設(shè)產(chǎn)品升級前的營收為，升級后的營收為.對于產(chǎn)品，產(chǎn)品升級前的營收為，升級后的營收為，故升級后的產(chǎn)品的營收是升級前的4倍，A正確.對于產(chǎn)品 ，產(chǎn)品升級前的營收為，升級后的營收為，故升級后的產(chǎn)品的營收是升級前的2倍，B正確，對于產(chǎn)品 ，產(chǎn)品升級前的營收為，升級后的營收為，故升級后的產(chǎn)品的營收增加，C錯誤.產(chǎn)品升級后，產(chǎn)品營收的總和占總營收的比例不變，D正確.故選：ABD10．AD【分析】利用充分條件、必要條件的定義判斷A；利用全稱量詞命題的否定判斷B；舉例說明判斷C；利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性求出最值判斷D作答.【詳解】對于A，“若，則”是假命題，因為，而；“若，則”是假命題，因為，而，即“”是“”的既不充分也不必要條件，A正確；對于B，命題“，”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，因此它的否定是“，”，B錯誤；對于C，當(dāng)時，成立，因此成立，不一定有，C錯誤；對于D，函數(shù)的定義域為，，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此當(dāng)時，，D正確.故選：AD11．AC【分析】將四棱錐補(bǔ)成平行六面體，利用棱柱和棱錐的體積公式逐項分析即可.【詳解】如圖將四棱錐補(bǔ)成平行六面體，設(shè)平行四面體的體積為，根據(jù)分別為棱的中點，則，而三棱柱與平行六面體的高相同，則，根據(jù)四棱錐與平行六面體底和高均相同，則，則易知，則，故A正確，B錯誤，圖甲中上方的小四棱錐高為,則，則，故圖甲中的水面高度為，故C正確,D錯誤；故選：AC.12．ACD【分析】對A，舉例說明即可；對B，舉反例判斷即可；根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”的定義逐個判斷即可；對CD，將旋轉(zhuǎn)函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)與任意斜率為1的函數(shù)最多一個交點，再聯(lián)立函數(shù)與直線的方程，分析零點個數(shù)判斷即可.【詳解】對A，如滿足條件，故A正確；對B，如傾斜角為的直線是旋轉(zhuǎn)函數(shù)，不是旋轉(zhuǎn)函數(shù)，故B錯誤；對C，若為旋轉(zhuǎn)函數(shù)，則根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得，逆時針旋轉(zhuǎn)后，不存在與軸垂直的直線，使得直線與函數(shù)有1個以上的交點.故不存在傾斜角為的直線與的函數(shù)圖象有兩個交點.即與至多1個交點.聯(lián)立可得.當(dāng)時，最多1個解，滿足題意；當(dāng)時，的判別式，對任意的，都存在使得判別式大于0，不滿足題意，故.故C正確；對D，同C，與的交點個數(shù)小于等于1，即對任意的，至多1個解，故為單調(diào)函數(shù)，即為非正或非負(fù)函數(shù).又，故，即恒成立.即圖象在上方，故，即.當(dāng)與相切時，可設(shè)切點，對求導(dǎo)有，故，解得，此時，故.故D正確.故選：ACD13．2【分析】利用賦值法計算即可.【詳解】由，令，則，令，則，∴.故答案為：2.14．-99【詳解】故答案為：15．【分析】根據(jù)幾何體平面展開圖得到其直觀圖，再根據(jù)錐體的體積公式計算可得.【詳解】由三棱錐的平面展開圖可得其直觀圖如下：其中，，，，又，平面，所以平面，所以，故答案為：16．【分析】根據(jù)，可得關(guān)于原點對稱，從而可得四邊形為平行四邊形，再根據(jù)，可得四邊形為矩形，再求出的坐標(biāo)，求出，再利用余弦定理構(gòu)造齊次式即可得解.【詳解】設(shè)雙曲線的焦距為，因為，所以，所以關(guān)于原點對稱，又，所以四邊形為平行四邊形，又，所以四邊形為矩形，因為以為直徑的圓的方程為，不妨設(shè)所在的漸近線方程為，則，由，解得或，不妨設(shè)，因為為雙曲線的左頂點，所以，所以，又，由余弦定理得，即，整理得，所以離心率．故答案為：．【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組或不等式組，求得、的值或不等式，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值或取值范圍；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程或不等式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程或不等式求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值構(gòu)建方程或不等式，求得離心率的值或取值范圍.17．(1)(2)答案見解析 【分析】（1）利用正弦定理和二倍角公式求解即可;（2）結(jié)合正弦定理和余弦定理求解即可;【詳解】（1）由正弦定理得,得,,因為,所以則.所以,所以.（2）選條件①:因為,由正弦定理得,由余弦定理得,解得，則,解得，所以存在且唯一確定,則.選條件②:,已知由正弦定理得,因為,所以,,所以存在且唯一確定,則.選條件③:,由余弦定理得,即,所以,即,因為,所以不存在使得存在.18．(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)成等比數(shù)列，列出方程，求出公差，得到答案；（2）由題干條件得到，推導(dǎo)出，求出，列出不等式，得到，作差法求出的單調(diào)性，得到最值，求出答案.【詳解】（1）因為數(shù)列為等差數(shù)列，，成等比數(shù)列，所以，因為，所以，所以．（2）因為，所以，兩式相減得，所以．所以，所以，所以．因為對任意的，都有，所以，所以．令，則，所以當(dāng)時，遞增，而，所以，所以．19．(1)證明見解析；(2) 【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證明；（2）由邊長關(guān)系，根據(jù)勾股定理證明得，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出對應(yīng)點的坐標(biāo)和相關(guān)向量的坐標(biāo)，設(shè)，利用空間向量的夾角公式，根據(jù)直線與平面的夾角列式計算點的坐標(biāo)，求解平面的法向量，再利用點到平面的距離公式列式求解距離即可.【詳解】（1）∵，為的中點，∴又∵平面平面，平面平面，∴平面，又平面，∴（2）由，，可知四邊形為等腰梯形，易知，∵，∴建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，，平面的法向量為，設(shè)，則，，，∵直線與平面所成角為，∴，∴①∵點在棱上，∴，即，∴，，代入①解得或（舍去）.， ，，設(shè)平面的法向量為，，令，得，，所以點到平面的距離【點睛】對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.20．(1)答案見解析(2)答案見解析 【分析】(1)分別寫出對相應(yīng)概率列分布列求數(shù)學(xué)期望即可；(2)先求 再根據(jù)數(shù)表對應(yīng)判斷相關(guān)性即可，對比兩次的值可以得出結(jié)論說明原因.【詳解】（1）樣本中愛好飛盤運動的年輕人中男性 16 人，女性 24 人，比例為 ，按照性別采用分層抽樣的方法抽取 10 人，則抽取男性 4人，女性 6人.隨機(jī)變量的取值為:.,,隨機(jī)變量的分布列為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.（2）零假設(shè)為:愛好飛盤運動與性別無關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表重的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為愛好飛盤運動與性別無關(guān)聯(lián).列聯(lián)表中所有數(shù)據(jù)都擴(kuò)大到原來的10倍后，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷成立，即認(rèn)為愛好飛盤運動與性別有關(guān)聯(lián).所以結(jié)論不一樣，原因是每個數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來的 10 倍，相當(dāng)于樣本量變大為原來的 10 倍，導(dǎo)致推斷結(jié)論發(fā)生了變化.21．(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率確定橢圓中的關(guān)系，再結(jié)合正弦定理的推論確定外接圓半徑與邊角關(guān)系即可得的值，從而求得橢圓方程；（2）由題可設(shè)直線，，，聯(lián)立直線與橢圓即可得交點坐標(biāo)關(guān)系，根據(jù)斜率的計算式可得，，再由已知等式確定，由坐標(biāo)關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化可求得的值，求解面積的表達(dá)式，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)即可得面積的取值范圍．【詳解】（1）根據(jù)橢圓C的離心率為知，所以，如圖，則則在中，可得，，由正弦定理得，解得，所以，，所以橢圓C的方程為．（2）由條件知直線的斜率不為0，設(shè)直線，，，聯(lián)立，得，得于是，，因為，，代入橢圓方程得，所以， 同理，于是，，因為，所以，即．又直線l的斜率存在，所以，于是，所以，即，又，，所以，整理得，所以，化簡整理得，又P、Q位于x軸的兩側(cè)，所以，解得，所以，此時直線l與橢圓C有兩個不同的交點，于是直線l恒過定點．當(dāng)時，，，的面積 ，令，因為直線l的斜率存在，則，，于是，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以面積的取值范圍為．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了直線與橢圓相交的坐標(biāo)關(guān)系，利用坐標(biāo)運算解決直線斜率關(guān)系及面積關(guān)系.解決本題的關(guān)鍵是確定直線直線、、、之間的斜率關(guān)系，結(jié)合橢圓上的任意一點與左右頂點之間的斜率關(guān)系，可將四個斜率值簡化為兩個斜率關(guān)系，即可減少位置數(shù)，從而利用坐標(biāo)運算及坐標(biāo)關(guān)系確定所設(shè)直線過定點，于是簡化所求面積表達(dá)式中的變量個數(shù)從而可結(jié)合函數(shù)關(guān)系確定取值范圍，得以解決問題.22．(1)(2)(3)，理由見解析 【分析】（1）求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，即切線斜率，求出，即可得出切線方程；（2）求出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，求出最值即可；（3）將不等式等價轉(zhuǎn)化為在上恒成立.構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性和最小值，進(jìn)而得證.【詳解】（1）因為，所以，則，又，所以曲線在點處的切線方程為.（2）令，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增.因為，，所以，使得.所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，又，，所以.（3）滿足條件的的最大整數(shù)值為.理由如下：不等式恒成立等價于恒成立.令，當(dāng)時，，所以恒成立.當(dāng)時，令，，，與的情況如下：1 所以，當(dāng)趨近正無窮大時，，且無限趨近于0，所以的值域為，因為，所以的最小值小于且大于.所以的最大整數(shù)值為. 

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