山東省德州市2023屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________一、單選題1．若集合，，則（    ）．A． B．C． D．2．當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式的解集是，則取得最值的充分條件是（    ）A．有最大值， B．有最小值，C．有最大值， D．有最小值，3．已知扇形的半徑為2，圓心角為，則扇形的弧長是（    ）A．45 B． C． D．904．在極坐標(biāo)中，點(diǎn)到圓的圓心的距離為（   ）A． B． C． D．5．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（    ）A． B． C． D．6．設(shè)，若，則（    ）A．8 B．9 C．10 D．117．已知直線雙曲線相交于不同的兩點(diǎn)A和B，F為雙曲線C的左焦點(diǎn)，且滿足，則雙曲線C的離心率為（    ）A． B．2 C． D．8．已知函數(shù)，則（    ）A．404 B．4044 C．2022 D．2024 二、多選題9．已知復(fù)數(shù)、，其中，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．的虛部為B．的共軛復(fù)數(shù)C．是關(guān)于的方程的一個(gè)根D．若，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的集合是以為圓心，為半徑的圓10．已知函數(shù)，下列說法中正確的有（    ）A．函數(shù)的極大值為，極小值為B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，最小值為C．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為D．曲線在點(diǎn)處的切線方程為11．已知線段BC的長度為4，線段AB的長度為，點(diǎn)D,G滿足，，且點(diǎn)在直線AB上，若以BC所在直線為軸，BC的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則（    ）A．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為圓B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為橢圓，且橢圓的離心率取值范圍為C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為雙曲線，且該雙曲線的漸近線方程為D．當(dāng)時(shí)，面積的最大值為312．我國有著豐富悠久的“印章文化”，古時(shí)候的印章一般用貴重的金屬或玉石制成，本是官員或私人簽署文件時(shí)代表身份的信物，后因其獨(dú)特的文化內(nèi)涵，也被作為裝飾物來使用．圖1是明清時(shí)期的一個(gè)金屬印章擺件，除去頂部的環(huán)可以看作是一個(gè)正四棱柱和一個(gè)正四棱錐組成的幾何體；如圖2，已知正四棱柱和正四棱錐的高相等，且底面邊長均為2，若該幾何體的所有頂點(diǎn)都在球的表面上，則（    ）A．正四棱柱和正四棱錐的高均為B．正四棱柱和正四棱錐組成的幾何體的表面積為C．球的表面積為D．正四棱錐的側(cè)面、側(cè)棱與其底面所成的角分別為、，則 三、填空題13．若，則=__________.14．設(shè)是等差數(shù)列，且，，若，則___________.15．一批電池(一節(jié))用于無線麥克風(fēng)時(shí)，其壽命服從均值為34.3小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差為4.3小時(shí)的正態(tài)分布，隨機(jī)從這批電池中任意抽取一節(jié)，則這節(jié)電池可持續(xù)使用不少于30小時(shí)的概率為______.(參考數(shù)據(jù)：，)16．已知函數(shù)，，若，則的最小值為______． 四、解答題17．如圖，在中，，，，點(diǎn)M?N是邊AB上的兩點(diǎn)，.(1)求的面積；(2)當(dāng)，求MN的長.18．已知正項(xiàng)等比數(shù)列前項(xiàng)和為，且成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，其前項(xiàng)和為，求數(shù)列的前項(xiàng)和．19．盲盒，是指消費(fèi)者不能提前得知具體產(chǎn)品款式的玩具盒子，具有隨機(jī)性．因其獨(dú)有的新鮮性，刺激性及社交屬性而深受各個(gè)年齡段人們的喜愛．已知系列盲盒共有12個(gè)款式，為調(diào)查系列盲盒更受哪個(gè)年齡段的喜愛，向00前、00后人群各隨機(jī)發(fā)放了50份問卷，并全部收回．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，有45%的人未購買該系列育盒，在這些未購買者當(dāng)中，00后占．(1)請根據(jù)以上信息填表，并分析是否有99%的把握認(rèn)為購買該系列盲盒與年齡有關(guān)？ 00前00后總計(jì)購買   未購買   總計(jì)  100 附：，0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828 (2)一批盲盒中，每個(gè)盲盒隨機(jī)裝有一個(gè)款式，甲同學(xué)已經(jīng)買到3個(gè)不同款，乙、丙同學(xué)分別已經(jīng)買到個(gè)不同款，已知三個(gè)同學(xué)各自新購買一個(gè)盲盒，且相互之間無影響，他們同時(shí)買到各自的不同款的概率為．①求；②設(shè)表示三個(gè)同學(xué)中各買到自己不同款的總?cè)藬?shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．20．已知直線，平面，且，，．判斷直線的位置關(guān)系，并說明理由．21．已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對邊，且，(1)求；(2)若，求的取值范圍.22．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，(2)若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
參考答案：1．B【分析】解指數(shù)不等式求得集合A，根據(jù)集合的交集運(yùn)算可得答案.【詳解】解不等式，即，故，故，故選：B2．C【解析】計(jì)算得到，，計(jì)算，根據(jù)充分條件的定義得到答案.【詳解】不等式的解集是，故，.，當(dāng)，即時(shí)等號成立，根據(jù)充分條件的定義知滿足.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了充分條件，不等式的解，均值不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.3．C【分析】由弧長公式求解即可.【詳解】因?yàn)閳A心角的弧度數(shù)為，所以扇形的弧長是.故選：C4．C【分析】先把點(diǎn)的坐標(biāo)和圓的方程都化成直角坐標(biāo)方程，再求點(diǎn)到圓心的距離得解.【詳解】由題得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?/span>，所以，所以，即，所以圓心的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)到圓心的距離為，故選：C.5．C【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)?/span>，，，所以，故選：C6．D【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式分別求出的表達(dá)式，解方程即可求得結(jié)果.【詳解】由題可知，，所以；同理可得；由可得，即，所以，即，解得.故選：D7．C【分析】由題意設(shè)A，B的坐標(biāo)，代入直線和雙曲線的方程可得A，B的坐標(biāo)，再由，可得數(shù)量積，可得a，c的關(guān)系，進(jìn)而求出離心率.【詳解】設(shè)，則①，因?yàn)?/span>，所以，即，可得②，因?yàn)?/span>AB在直線上，所以③，由①②③得，解得，所以，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)，及直線的垂直用數(shù)量積為0表示，屬于中檔題.8．B【分析】利用倒序相加法求得正確答案.【詳解】，，所以，以替換得，令，則，兩式相加得.故選：B9．BCD【分析】利用復(fù)數(shù)的概念可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用共軛復(fù)數(shù)的定義可判斷B選項(xiàng)的正誤；解方程可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對于A選項(xiàng)，復(fù)數(shù)的虛部為，A錯(cuò)；對于B選項(xiàng)，，B對；對于C選項(xiàng)， 解方程，即，可得，解得，C對；對于D選項(xiàng)，設(shè)，則，所以，，即，故在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的集合是以為圓心，為半徑的圓，D對.故選：BCD.10．ACD【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值、單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得曲線在點(diǎn)處的切線方程，根據(jù)計(jì)算結(jié)果可得答案.【詳解】因?yàn)?/span>所以，由，得或，由，得，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增，故選項(xiàng)正確，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，在時(shí)，取得極小值，故選項(xiàng)正確，當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，取得最大值，故選項(xiàng)不正確，因?yàn)?/span>，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，故選項(xiàng)正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、最值、單調(diào)區(qū)間，考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.11．BCD【分析】根據(jù)題意可知：點(diǎn)A的軌跡為以B為圓心，半徑為的圓B，點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中垂線與直線AB的交點(diǎn)，則，利用圖形結(jié)合圓錐曲線定義理解分析．【詳解】根據(jù)題意可知：點(diǎn)A的軌跡為以B為圓心，半徑為的圓B，點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中垂線與直線AB的交點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，線段為圓B的弦，則的中垂線過圓心B，點(diǎn)即點(diǎn)B，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，如圖1，點(diǎn)在線段AB上，連接則∴點(diǎn)的軌跡為以B，C為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓，即則橢圓的離心率，B正確；當(dāng)為橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，面積的最大若時(shí)，則，最大面積為，D正確；當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為若點(diǎn)在劣弧（不包括端點(diǎn)）上，如圖2，點(diǎn)在BA的延長線上，連接則∴點(diǎn)的軌跡為以B，C為焦點(diǎn)，長軸長為的雙曲線的左半支若點(diǎn)在優(yōu)弧（不包括端點(diǎn)）上，如圖3，點(diǎn)在AB的延長線上，連接則∴點(diǎn)的軌跡為以B，C為焦點(diǎn)，長軸長為的雙曲線的右半支則點(diǎn)的軌跡為雙曲線∴，漸近線方程為，C正確；故選：BCD．12．BC【分析】根據(jù)正四棱柱和正四棱錐的幾何的性質(zhì)，結(jié)合球的對稱性、球的表面積公式、線面角、二面角的定義逐一判斷即可.【詳解】設(shè)正四棱柱和正四棱錐的高為，球的半徑為，根據(jù)正四棱柱和球的對稱性可知：該幾何體的外接球的球心為正四棱柱的中心，球的直徑即為正四棱柱的體對角線，且正四棱柱的體心到正四棱錐的頂點(diǎn)的距離，根據(jù)正四棱柱的體對角線公式得，因此，所求球的表面積為，故選項(xiàng)A不正確，C正確；在直角三角形中，，所以正四棱柱和正四棱錐組成的幾何體的表面積為：，所以選項(xiàng)B正確，如圖所示：，，顯然有，所以選項(xiàng)D不正確，故選：BC13．【詳解】14．【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)該等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?/span>，所以由，由，故答案為：15．0.84135【分析】由題知，故，再結(jié)合正態(tài)分布原則求解即可得答案.【詳解】解：由題意知，，所以，故.所以這節(jié)電池可持續(xù)使用不少于30小時(shí)的概率為0.84135.故答案為：0.8413516．【分析】利用函數(shù)同構(gòu)及函數(shù)單調(diào)性得到，問題轉(zhuǎn)化為求（）的最小值，利用導(dǎo)函數(shù)，研究其單調(diào)性，求出最小值.【詳解】，則 ，因?yàn)?/span>，故，又當(dāng)時(shí)，恒成立，即單調(diào)遞增，所以，則，令（），，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在處取得最小值，，的最小值為.故答案為：17．(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理，可求得，根據(jù)結(jié)合面積公式求解；（2）在中利用余弦定理求，在直角中根據(jù)求解．【詳解】（1）在中，，則由正弦定理得：，，則因?yàn)?/span>，則或（不合題意，舍去），則的面積為（2）在中，，，由余弦定理可得則有，所以在直角中，，，則18．(1)；(2). 【分析】（1）設(shè)的公比為，列方程求得后可得通項(xiàng)公式；（2）由題可得，，然后利用裂項(xiàng)相消法即得．【詳解】（1）設(shè)的公比為()，因?yàn)?/span>，且成等差數(shù)列,所以，所以，即，又，所以，所以；（2）由題可知，所以，，所以.19．(1)有99%的把握認(rèn)為購買該系列盲盒與年齡有關(guān)(2)① 4；②見解析 【分析】（1）列出列聯(lián)表，計(jì)算出然后判斷.（2）①利用概率的乘法公式計(jì)算；②分析的取值后，由概率的加法公式和乘法公式計(jì)算，得到分布列，然后計(jì)算期望.【詳解】（1）由題意可得 00前00后總計(jì)購買352055未購買153045總計(jì)5050100 則所以有99%的把握認(rèn)為購買該系列盲盒與年齡有關(guān).（2）①由題意三個(gè)同學(xué)同時(shí)買到各自的不同款的概率為，解得或，因?yàn)?/span>，所以.②由題的所有可能取值為0，1，2，3；；；其分布列為0123 所以數(shù)學(xué)期望.20．它們是平行直線或異面直線；答案見解析．【分析】利用反證法，根據(jù)兩條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，可判斷其位置關(guān)系；【詳解】直線的位置關(guān)系是平行直線或異面直線；理由如下：由，直線分別在平面，內(nèi)，可知直線沒有公共點(diǎn)．因?yàn)槿?/span>有公共點(diǎn)，那么這個(gè)點(diǎn)也是平面，的公共點(diǎn)，這與是平面，平行矛盾．因此直線不相交，它們是平行直線或異面直線．21．(1)(2) 【分析】（1）利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式與正弦定理可得；（2）由推得，再由設(shè)，將轉(zhuǎn)化為，再引入，得，最后利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，則，所以，則，所以為直角三角形，所以（2），所以，而，所以設(shè)，所以，令，又因?yàn)?/span>，所以，所以，令，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以的取值范圍為.22．(1)單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是(2) 【分析】（1）根據(jù)題意，列出方程組求得，得到，進(jìn)而求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由題意得到，結(jié)合條件列出不等式組，即得.（1）由題可得，由題意得，解得，所以，由得或，由得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；（2）因?yàn)?/span>，由（1）可知，在處取得極大值，在處取得極小值，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，依題意，要使有三個(gè)零點(diǎn)，則，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，可以確定函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，所以m的取值范圍為． 

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