廣東省汕頭市潮陽區(qū)2023屆高三三模數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________ 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．2．設(shè)，則在復(fù)平面內(nèi)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．某圓柱的軸截面是周長為的矩形，則該圓柱的側(cè)面積的最大值是（    ）A． B． C． D．4．函數(shù)具有性質(zhì)（    ）A．最大值為2，圖象關(guān)于對(duì)稱 B．最大值為，圖象關(guān)于對(duì)稱C．最大值為2，圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D．最大值為，圖象關(guān)于直線對(duì)稱5．我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如40=3+37.在不超過40的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于40的概率是（    ）A． B． C． D．6．已知，，，則a，b，c大小為（    ）A． B．C． D．7．已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（    ）A． B． C． D．8．已知數(shù)列中，，若，則下列結(jié)論中正確的是（    ）A． B．C． D． 二、多選題9．一個(gè)袋子有10個(gè)大小相同的球，其中有4個(gè)紅球，6個(gè)黑球，試驗(yàn)一：從中隨機(jī)地有放回摸出3個(gè)球，記取到紅球的個(gè)數(shù)為，期望和方差分別為，；試驗(yàn)二：從中隨機(jī)地?zé)o放回摸出3個(gè)球，記取到紅球的個(gè)數(shù)為，期望和方差分別為，；則（    ）A． B．C． D．10．設(shè)函數(shù)定義域?yàn)?/span>，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．B．在上是減函數(shù)C．為奇函數(shù)D．方程僅有6個(gè)實(shí)數(shù)解11．橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，，過，分別作兩條平行的射線，交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，（A，B均在x軸上方），則（    ）A．當(dāng)時(shí)，B．的最小值為3C．當(dāng)時(shí)，四邊形的面積為D．四邊形面積的最大值為312．水平面上緊挨著放置個(gè)半徑的小球（不疊起），用一個(gè)半徑最小的大半球把這個(gè)球罩住，記大半球的半徑為，則（    ）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)， 三、填空題13．展開式中的系數(shù)是_________.14．在中，，，，，求_________.15．現(xiàn)在有5人通過3個(gè)不同的閘機(jī)進(jìn)站乘車，每個(gè)閘機(jī)每次只能過1人，要求每個(gè)閘機(jī)都要有入經(jīng)過，則有_________種不同的進(jìn)站方式（用數(shù)字作答） 四、雙空題16．雙曲線：的左右焦點(diǎn)為，，過右焦點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)與的內(nèi)切圓半徑之比為時(shí)，則直線的斜率為__________，此時(shí)若，則右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為__________. 五、解答題17．等差數(shù)列和各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足：，.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列是由數(shù)列和中不同的項(xiàng)按照從小到大的順序排列得到的新數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.18．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，．，邊上的高為．（1）若，求的周長；（2）求的最大值．19．如圖，在三棱錐中，平面平面BCD，，O為BD的中點(diǎn).(1)證明：；(2)若是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上，，且二面角的大小為45°，求直線AC與平面BCE所成角的正弦值.20．某單位有10000名職工，想通過驗(yàn)血的方式篩查乙肝病毒攜帶者，假設(shè)攜帶病毒的人占0.05，如果對(duì)每個(gè)人的血樣逐一化驗(yàn)，就需要化驗(yàn)10000次，統(tǒng)計(jì)專家提出了一種化驗(yàn)方法：隨機(jī)地按5人一組分組，然后將5個(gè)人的血樣混合再化驗(yàn)，如果混合血樣呈陰性，說明這5人全部陰性；如果混合呈陽性，就需要對(duì)每個(gè)人再分別化驗(yàn)一次.（每一小組都要按要求獨(dú)立完成）(1)按照這種化驗(yàn)方法能減少化驗(yàn)次數(shù)嗎?如果能減少化驗(yàn)次數(shù)，大約能減少多少?(2)如果攜帶病毒的人只占0.02，按照個(gè)人一組，取多大時(shí)化驗(yàn)次數(shù)最少?此時(shí)大約化驗(yàn)多少次?說明：，先減后增0.88580.86810.85080.8337 21．拋物線：的焦點(diǎn)為F，直線過焦點(diǎn)F與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)垂直于x軸時(shí).(1)求拋物線的方程；(2)點(diǎn)，直線AC，BC與拋物線E的交點(diǎn)分別為M，N；探究直線MN是否過定點(diǎn)，如果過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)：如果不過定點(diǎn)，請說明理由.22．已知函數(shù)，．（1）若，求函數(shù)的最大值；（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)、，且不等式恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．
參考答案：1．B【分析】解不等式可得集合 ，求函數(shù)值域可得集合，進(jìn)而可得.【詳解】解不等式得，又，所以，即集合，所以，故選：B.2．D【分析】先求出復(fù)數(shù)，再求其共軛復(fù)數(shù)，即可判斷.【詳解】復(fù)數(shù)，所以的共軛復(fù)數(shù)，所以在復(fù)平面內(nèi)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選：D.3．B【分析】根據(jù)圓柱的結(jié)構(gòu)特征并結(jié)合已知，列出圓柱底半徑r與高h的關(guān)系式，再用r表示圓柱側(cè)面積即可作答.【詳解】設(shè)該圓柱的底面圓半徑為，高為，則，即，，于是得圓柱的側(cè)面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，所以時(shí)，圓柱的側(cè)面積取最大值.故選：B4．D【分析】根據(jù)輔助角公式將函數(shù)化簡為，然后代入驗(yàn)證是否是對(duì)稱軸和對(duì)稱中心即可.【詳解】，故最大值為;當(dāng)時(shí)，，故圖象關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，故不是函數(shù)的對(duì)稱中心，故選：D5．C【分析】隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，基本事件總數(shù)為，利用列舉法求出其和等于40包含的基本事件有3個(gè)，由此求出其和等于40的概率．【詳解】不超過40的素?cái)?shù)為：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，共12個(gè)數(shù)，其中，共3組數(shù)，所以其和等于40的概率.故選：C.6．D【分析】a，b，c可以看成分別與，，圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，畫出圖象即可得出答案.【詳解】可以看成與圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，可以看成與圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，可以看成與圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，畫出函數(shù)的圖象如下圖所示，   由圖象可知，.故選：D.7．B【分析】將題設(shè)轉(zhuǎn)化為和有3個(gè)交點(diǎn)，令，求導(dǎo)確定單調(diào)性，進(jìn)而畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象即可求出a的取值范圍.【詳解】函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于即有三個(gè)根，即和有3個(gè)交點(diǎn).令，，當(dāng)時(shí)，，單減；時(shí)，，單增；則當(dāng)時(shí)，取得極小值，當(dāng)時(shí)，取得極大值，又時(shí)，，時(shí)，，畫出圖象如圖所示，結(jié)合圖像可知，當(dāng)，和有3個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).故選：B.8．C【分析】根據(jù)遞推關(guān)系，即可判斷A,由基本不等式即可判斷B,根據(jù)累加法以及放縮法即可判斷C，根據(jù)導(dǎo)數(shù)可證明，進(jìn)而根據(jù)累加法以及放縮即可求解D.【詳解】對(duì)取倒數(shù)得：，對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤;對(duì)于B:，故B錯(cuò).對(duì)于C:，故C正確.對(duì)于D:記，則，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，因此，進(jìn)而可得：，由該結(jié)論可得：，故所以，因此，，所以，故D錯(cuò)誤.故選：C9．AC【分析】根據(jù)條件得到，由二項(xiàng)分布的均值和方差公式可求出.求出的可能取值，及其對(duì)應(yīng)的概率，即可求出的分布列，由方差和期望公式可求出，分別比較，和，可得答案.【詳解】從中隨機(jī)地有放回摸出3個(gè)球，則每次摸到紅球的概率為，則，故，，從中隨機(jī)地?zé)o放回摸出3個(gè)球，記紅球的個(gè)數(shù)為，則的可能取值是0，1，2，3；則，，，，所以隨機(jī)變量的概率分布為： 0123 P   數(shù)學(xué)期望；,故，.故選：AC.10．ACD【分析】根據(jù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，推出函數(shù)的一個(gè)周期為、的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱、關(guān)于直線對(duì)稱，再根據(jù)這些性質(zhì)可判斷A正確，B正確，C錯(cuò)誤；作出與的大致圖象，結(jié)合圖像可判斷D正確.【詳解】因?yàn)?/span>為偶函數(shù)，所以，所以，即，因?yàn)?/span>為奇函數(shù)，所以，所以，即，所以，所以，所以，所以，即函數(shù)的一個(gè)周期為.在中，令，得，在中，令，得，又，所以，故A正確；因?yàn)?/span>在區(qū)間上是增函數(shù)，且的一個(gè)周期為，所以在上單調(diào)遞增，在上不為減函數(shù).故B錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>，所以，所以，從而為奇函數(shù)，故C正確；因?yàn)?/span>為奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)?/span>為偶函數(shù)，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，又當(dāng)時(shí)，，作出與的大致圖象，如圖所示.其中單調(diào)遞減且，所以兩函數(shù)圖象有6個(gè)交點(diǎn)，故方程僅有6個(gè)實(shí)數(shù)解，故D正確.故選：ACD.11．ABD【分析】設(shè)直線．把代入橢圓方程得出的一元二次方程，從而得兩根和及兩根積，由弦長公式得，再根據(jù)對(duì)稱性判斷A,B,C選項(xiàng);寫出平行四邊形面積，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求得最小值可得出D選項(xiàng)．【詳解】  設(shè)，，：．聯(lián)立,得．由韋達(dá)定理有，．設(shè)，，由，得：．聯(lián)立,得．∴，．而，，由對(duì)稱性可知,當(dāng)時(shí)，∴，．,A選項(xiàng)正確;,,的最小值為3,B選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，四邊形的面積為,C選項(xiàng)錯(cuò)誤.，且．四邊形為平行四邊形,，設(shè)（），，∴在上單調(diào)遞增，∴．故的最大值為6，此時(shí)． 四邊形面積的最大值為3,D選項(xiàng)正確.故選:ABD.12．BC【分析】作出每種情形下大致的截面圖，利用球的相切性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.【詳解】A選項(xiàng)，最小的半球顯然是，恰好能蓋住個(gè)半徑為的球，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，對(duì)于個(gè)球，作出如下截面圖：  設(shè)兩球外切于點(diǎn)，其中一球和半球內(nèi)切于點(diǎn)，則半球的半徑為，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，對(duì)于個(gè)球，這個(gè)球的球心和半球的球心會(huì)構(gòu)成一個(gè)正三棱錐如圖，且正三棱錐的高是，設(shè)這三個(gè)球的球心分別是，半球的球心是，設(shè)其中一個(gè)小球和半球內(nèi)切于點(diǎn). 如圖，設(shè)平面，垂足為，根據(jù)正棱錐性質(zhì)，為外心，在等邊三角形中，外接圓半徑易得，又，則，故半球半徑為，C正確；  D選項(xiàng)，對(duì)于個(gè)球，這個(gè)球的球心和半球的球心會(huì)構(gòu)成一個(gè)正四棱錐如圖，且正四棱錐的高是，設(shè)這四個(gè)球的球心分別是，半球的球心是，設(shè)其中一個(gè)小球和半球內(nèi)切于點(diǎn).如圖，設(shè)平面，垂足為，根據(jù)正棱錐性質(zhì)，為正方形中心，易得，又，則，故半球半徑為，D錯(cuò)誤.  故選：BC13．【分析】的展開式中項(xiàng)可以由4個(gè)項(xiàng)、3個(gè)項(xiàng)和0個(gè)常數(shù)項(xiàng)，或3個(gè)項(xiàng)、1個(gè)項(xiàng)和2個(gè)常數(shù)項(xiàng)相乘，從而得解．【詳解】因?yàn)?/span>是7個(gè)相乘，的展開式中項(xiàng)可以由4個(gè)項(xiàng)、3個(gè)項(xiàng)和0個(gè)常數(shù)項(xiàng)，或3個(gè)項(xiàng)、1個(gè)項(xiàng)和3個(gè)常數(shù)項(xiàng)相乘，所以展開式中的系數(shù)是.故答案為：.14．/0.75【分析】根據(jù)已知條件得出,,化簡應(yīng)用數(shù)量積公式計(jì)算求解即得.【詳解】，，，,,.故答案為： 15．720【分析】考慮和兩種情況，結(jié)合同一閘機(jī)的不同人的順序，計(jì)算相加得到答案.【詳解】將5人分為3組，有和兩種情況：當(dāng)分組為時(shí)：共有；當(dāng)分組為時(shí)：共有；綜上所述：共有種不同的進(jìn)站方式.故答案為：.16．          【分析】令，的內(nèi)切圓心為，，與x軸切于M，N，通過內(nèi)切圓的性質(zhì)和雙曲線的定義可得以M、N重合于雙曲線右頂點(diǎn)，設(shè)，通過幾何運(yùn)算可得，即可求出答案【詳解】令雙曲線的焦距為，的內(nèi)切圓心為，，與x軸切于M，N，則，所以M重合于雙曲線右頂點(diǎn)，同理可得，N重合于雙曲線右頂點(diǎn)  由于對(duì)稱性，不妨設(shè)在軸的下方，當(dāng)與的內(nèi)切圓半徑之比為即時(shí)，故設(shè)，易得，，在中，，即，解得，所以，所以此時(shí)直線的斜率為，根據(jù)對(duì)稱性可得當(dāng)設(shè)在軸的上方時(shí)，直線的斜率為；若，所以，即右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為故答案為：；17．(1)，(2)15220 【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列公式列方程求解即可；（2）由，，得，數(shù)列的前100項(xiàng)中含有數(shù)列中的4項(xiàng)，再求和得到答案.【詳解】（1）根據(jù)條件，設(shè)，，又，解得，故，.（2）當(dāng)時(shí)，，由，得，，又，，，，故在數(shù)列的前100項(xiàng)中含有數(shù)列中的4項(xiàng)，所以，所以.18．（1）；（2）．【分析】（1）由三角形面積公式可得，，結(jié)合余弦定理，可得，即可得的周長；（2）由（1）和正弦定理可得，，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)以后利用輔助角公式化簡運(yùn)算，由，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解最大值.【詳解】解：（1）依題意，可得，因?yàn)?/span>，所以．由余弦定理得，因此，即．故的周長為．（2）由（1）及正弦定理可得，，（其中為銳角，且）由題意可知，因此，當(dāng)時(shí)，取得最大值．【點(diǎn)睛】一般關(guān)于解三角形中的最值問題，主要方法有兩類，一是找到邊之間的關(guān)系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的函數(shù)，利用求三角函數(shù)值域的方法求解最值.19．(1)證明見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)證明面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【詳解】（1）∵，為中點(diǎn)，∴，∵面，面面，且面面，∴面，又面，∴；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，垂直且過的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，由，所以，故，∵，，設(shè)為面法向量，則有令，則，，∴，因?yàn)?/span>面，則面法向量可取，，解得，∴，∴，，，設(shè)直線AC與平面BCE所成的角的大小為，∴，∴直線AC與平面BCE所成角的正弦值為.20．(1)混合化驗(yàn)?zāi)軠p少化驗(yàn)的次數(shù)，大約減少5738次(2)當(dāng)時(shí)，最小，大約化驗(yàn)：2742次. 【分析】（1）根據(jù)題意求出5人一組需要驗(yàn)血次數(shù)X的均值，然后求出總共需要多少次，再根據(jù)題中數(shù)據(jù)作差即可求解；（2）假設(shè)個(gè)人一組，設(shè)每個(gè)人需要化驗(yàn)的次數(shù)為，先求出每個(gè)人需要化驗(yàn)的次數(shù)的分布列，然后求出均值的表達(dá)式，再利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）5人一組需要驗(yàn)血次數(shù)X的所有可能取值為1，6.∴，∴的分布列為：16∴∴共需要化驗(yàn)次數(shù)大約為：（次）大約減少（次）∴混合化驗(yàn)?zāi)軠p少化驗(yàn)的次數(shù)，大約減少5738次.（2）假設(shè)個(gè)人一組，設(shè)每個(gè)人需要化驗(yàn)的次數(shù)為，若混合血樣呈陰性，則，若混合血樣呈陽性，則∴的分布列為：∴∵先減后增，，∴，∴∴當(dāng)時(shí)，最小，最小值為：，此時(shí)大約化驗(yàn)：次.21．(1)(2)直線MN恒過定點(diǎn)，理由見解析 【分析】（1）當(dāng)軸時(shí)，根據(jù)拋物線的定義可得，可求出，即可求解；（2）設(shè)，，，，求出直線AB，直線AM，直線BN的方程，可得到，故可得到直線MN的方程為，即可求得定點(diǎn)【詳解】（1）∵，∴當(dāng)軸時(shí)，，∴根據(jù)拋物線的定義可得，解得，∴拋物線的方程：（2）設(shè)，，，，   ∴直線AB方程為：即，∵直線AB過點(diǎn)，∴，同理，直線AM：即，∵直線AM過點(diǎn)，∴，同理可得，∴，∴，直線MN的方程為：，∴當(dāng)時(shí)，，∴直線MN恒過定點(diǎn)【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：這道題的關(guān)鍵之處是利用直線AB，直線AM，直線BN的方程，可得到，故直線MN的方程可求解，即可求得定點(diǎn)22．（1）；（2）.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求得，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，由此可求得函數(shù)的最大值；（2）分析可知有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根、，求得，利用韋達(dá)定理得出、，利用參變量分離法得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的值域，由此可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，所以，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，有最大值為；（2）因?yàn)?/span>的定義域?yàn)?/span>，，令可得，又因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)、，所以有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根、，所以，可得，且，所以，，所以，，所以，，由，，從而，由不等式恒成立，所以恒成立，又，令，所以在時(shí)恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以，，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：（1），；（2），；（3），；（4），. 

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