2022-2023學年河南省洛陽市澗西區(qū)八年級（下）期中數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  下列各式中，能與合并的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列運算正確的是(    )A.  B.
C.  D. 3.  下列二次根式中，最簡二次根式為(    )A.  B.  C.  D. 4.  下列各組數(shù)中，能作為直角三角形三邊長的是(    )A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，5.  下列選項中，平行四邊形、矩形、菱形、正方形共同具有的性質(zhì)是(    )A. 對角線相等 B. 對角線互相垂直
C. 對角線互相平分 D. 每條對角線平分一組對角6.  在學習勾股定理時，甲同學用四個相同的直角三角形直角邊長分別為，，斜邊長為構成如圖所示的正方形；乙同學用邊長分別為，的兩個正方形和長為，寬為的兩個長方形構成如圖所示的正方形，甲、乙兩位同學給出的構圖方案，可以證明勾股定理的是(    )
 A. 甲 B. 乙 C. 甲，乙都可以 D. 甲，乙都不可以7.  如圖，在平面直角坐標系中，已知平行四邊形的三個頂點坐標分別為，，，則頂點的坐標為(    )A.
B.
C.
D. 8.  如圖，在中，為斜邊上的中線，點是上方一點，且，連接，若，，則的長為(    )A.
B.
C.
D. 9.  如圖，在?中，對角線與相交于點，點是的中點，連接，以點為圓心，的長為半徑畫弧交于點若，，則的長為(    )
A.  B.  C.  D. 10.  如圖，在正方形中，點是對角線，的交點，過點作射線，分別交，于點，，且，與交于點下列結論中：
是等腰直角三角形；
四邊形的面積為正方形面積的；
；
．
正確的有(    )
A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）11.  使式子有意義的的取值范圍是______ ．12.  如圖，?的對角線，相交于點，請你添加一個條件使?成為矩形，這個條件可以是______ ．
 13.  對于任意正數(shù)，，定義運算“”如下：
，計算結果為______ ．14.  如圖，菱形的邊長為，，分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于，兩點，直線交于點，連接，則的長為______ ．
15.  如圖，在矩形中，，，是邊上一動點不與點，重合，先將沿直線翻折，點的對應點為再作點關于直線的對稱點，連接，，當點恰好落在矩形的邊上時，線段的長為______ ．
三、解答題（本大題共8小題，共75.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.  本小題分
計算：
；
 17.  本小題分
先化簡，再求值：，其中．18.  本小題分
學過勾股定理后，某班興趣小組來到操場上測量旗桿的高度，得到如下信息：
測得從旗桿頂端垂直掛下來的升旗用的繩子比旗桿長米如圖；
當將繩子拉直時，測得此時拉繩子另一端的手到地面的距離為米，到旗桿的距離為米如圖．
根據(jù)以上信息，求旗桿的高度．
19.  本小題分
如圖，在由邊長為的正方形組成的的網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點，點，，，都在格點上，按下列要求畫圖，使得所畫圖形的頂點均在格點上．
在圖中畫以為直角頂點的等腰直角三角形；
在圖中畫線段，使得；
連接，判斷的形狀并說明理由．
20.  本小題分
如圖，矩形的對角線，相交于點，過點作的平行線交的延長線于點求證：．
21.  本小題分
如圖，在平行四邊形中，對角線，相交于點，點，分別從，兩點同時出發(fā)，以相同的速度向終點運動．
當點與點不重合時，四邊形是平行四邊形嗎？請說明理由．
若點，的運動速度都是，且，，當運動時間為______ 時，中的四邊形是矩形．
22.  本小題分
如圖，在四邊形中，，，為對角線的中點，為邊的中點，連接，．
求證：四邊形為菱形；
連接交于點，若，，求四邊形的面積．
23.  本小題分
如圖，四邊形是正方形，點在射線上，點在射線上，且，連接，點為線段的中點．
【感知】如圖，當點在線段上時，
易證：≌不需要證明進而得到與的數(shù)量關系是______ ．
過點作于點，于點，易證：≌不需要證明進而得到與的位置關系是______ ．
【探究】如圖，當點在線段上點不與點、重合時，請寫出與的數(shù)量關系和位置關系，并說明理由．
【應用】當點在線段的延長線上時，直接寫出當，時線段的長．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、不能與合并，本選項不符合題意；
B、，能與合并，本選項符合題意；
C、，不能與合并，本選項不符合題意；
D、，不能與合并，本選項不符合題意；
故選：．
先根據(jù)二次根式的性質(zhì)把各個二次根式化簡，再根據(jù)最簡二次根式的概念判斷即可．
本題考查的是同類二次根式的概念、二次根式的性質(zhì)，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式．
 2.【答案】 【解析】解：．，所以選項不符合題意；
B.，所以選項不符合題意；
C.，所以選項不符合題意；
D.，所以選項符合題意．
故選：．
根據(jù)二次根式的性質(zhì)對選項進行判斷；根據(jù)二次根式的加法運算對選項和選項進行判斷；根據(jù)二次根式的除法法則對選項進行判斷．
本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法和除法法則是解決問題的關鍵．
 3.【答案】 【解析】解：、是最簡二次根式，本選項符合題意；
B、，被開方數(shù)含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，本選項不符合題意；
C、，被開方數(shù)含分母，不是最簡二次根式，本選項不符合題意；
D、，被開方數(shù)含分母，不是最簡二次根式，本選項不符合題意；
故選：．
根據(jù)最簡二次根式的概念判斷即可．
本題考查的是最簡二次根式的概念，被開方數(shù)不含分母、被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡二次根式．
 4.【答案】 【解析】解：、，
不能組成三角形，
故A不符合題意；
B、，，
，
不能構成直角三角形，
故B不符合題意；
C、，，
，
能成直角三角形，
故C符合題意；
D、，，
，
不能構成直角三角形，
故D不符合題意；
故選：．
根據(jù)勾股定理的逆定理進行計算，逐一判斷即可解答．
本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關鍵．
 5.【答案】 【解析】解：、矩形和正方形的對角線相等，菱形和平行四邊形的對角線不一定相等，故此選項不符合題意；
B、正方形和菱形的對角線垂直，平行四邊形和矩形的對角線不一定垂直，故此選項不符合題意；
C、平行四邊形，矩形，菱形，正方形的對角線都互相平分，故此選項符合題意；
D、菱形和正方形的對角線平分一組對角，矩形和平行四邊形的對角線不一定平分一組對角，故此選項不符合題意；
故選：．
根據(jù)矩形，菱形，正方形都是特殊的平行四邊形，平行四邊形具有的性質(zhì)，特殊平行四邊形都肯定具有，可判斷出正確選項．
本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，熟練掌握并區(qū)分這些性質(zhì)是解題的關鍵．
 6.【答案】 【解析】解：甲同學的的方案：
大正方形的面積小正方形的面積直角三角形的面積，
，
，
，
因此甲同學的的方案可以證明勾股定理；
乙同學的的方案：
大正方形的面積矩形的面積兩個小正方形的面積，
，
得不到，
因此乙同學的的方案不可以證明勾股定理．
故選：．
由圖形中的面積關系，應用完全平方公式即可解決問題．
本題考查勾股定理的證明，關鍵是應用面積法，完全平方公式．
 7.【答案】 【解析】解：平行四邊形中，，，
的長為，
，
，
點的坐標為，
故選A．
根據(jù)、的坐標確定線段的長，然后根據(jù)點的坐標確定點的坐標即可．
本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及坐標與圖形的性質(zhì)，解題的關鍵是根據(jù)點和點的坐標確定線段的長，難度不大．
 8.【答案】 【解析】解：在中，為斜邊上的中線，
，
，
，
在中，，
故選：．
先利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得，然后利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得，從而在中，利用勾股定理進行計算即可解答．
本題考查了直角三角形斜邊上的中線，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線，以及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．
 9.【答案】 【解析】解：在?中，，即是的中點．
點是的中點，
是的中位線．
，
．
以點為圓心，的長為半徑畫弧交于點，，
，
．
故選：．
利用平行四邊形的對角線互相平分得到是的中點，結合已知條件判定是的中位線，由此求得，則．
本題主要考查了三角形中位線定理和平行四邊形的性質(zhì)，解題過程中，利用“平行四邊形的對角線互相平分”得到“是的中點”是解題的突破口．
 10.【答案】 【解析】解：在正方形中，，，，
，
，
，
≌，
，
是等腰直角三角形，故正確；
由全等可得四邊形的面積與面積相等，
四邊形的面積為正方形面積的，故正確；
當四邊形是矩形時，，故不一定正確；
≌，
，
四邊形為正方形，
，
，
在中，，
，故正確；
綜上所述，正確的是，
故選：．
利用全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理逐一分析即可得出正確答案．
本題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關鍵是證出≌．
 11.【答案】 【解析】解：使式子有意義，則，
解得：，
則的取值范圍是：．
故答案為：．
直接利用二次根式有意義的條件，進而得出的取值范圍．
此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握二次根式的定義是解題關鍵．
 12.【答案】答案不唯一 【解析】解：四邊形為平行四邊形，
當時，四邊形為矩形．
故答案為：答案不唯一．
依據(jù)矩形的判定定理進行解答即可．
本題主要考查了矩形的判定與平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的判定定理是解題的關鍵．
 13.【答案】 【解析】解：


．
故答案為：．
根據(jù)題目已知的定義運算進行計算即可．
本題考查了實數(shù)的運算，理解題目已知的定義運算是解題的關鍵．
 14.【答案】 【解析】解：延長交于點，交于點，如圖，
四邊形為菱形，
，，
，
由作法得垂直平分，
，，
，
在中，，
，
，
在中，
，
，
，
在中，．
故答案為：．
延長交于點，交于點，如圖，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，利用作法得垂直平分，所以，，接著計算出，則，然后計算出，最后利用勾股定理計算的長．
本題考查了作圖復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結合幾何圖形的基本性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)．
 15.【答案】或 【解析】解：如圖，點在上，
沿直線翻折，點的對應點為，
，，，
關于的對稱點是，，
、、共線，
，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
如圖，點在上，
由以上解答可知：，
，
，
，
的長是或．
故答案為：或．
分兩種情況，如圖，由翻折變換的性質(zhì)推出，即可求出的長，于是得到的長；如圖，可以得到，由勾股定理求出的長，即可求出的長．
本題考查矩形的性質(zhì)，翻折變換，勾股定理，關鍵是要分兩種情況討論，掌握翻折變換的性質(zhì)．
 16.【答案】解：原式


；
原式
． 【解析】先根據(jù)二次根式除法法則和乘法法則運算，然后化簡后進行有理數(shù)的加法運算；
先利用完全平方公式和平方差公式計算，然后合并即可．
本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法、除法法則和乘法公式是解決問題的關鍵．
 17.【答案】解：



，
當時，
原式

． 【解析】先利用異分母分式加減法法則計算括號里，再算括號外，然后把的值代入化簡后的式子進行計算，即可解答．
本題考查了分式的化簡求值，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．
 18.【答案】解：設米，
則，，
，
，
即：，
，
，
．
答：旗桿的高度為米． 【解析】設，在中根據(jù)勾股定理列方程求解即可．
本題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理的相關知識并在直角三角形中正確運用是解題的關鍵．
 19.【答案】解：如圖所示

如圖所示
為直角三角形，理由如下：
，，
，
為直角三角形． 【解析】根據(jù)等腰直角三角形的定義畫出圖形即可；
利用勾股定理數(shù)形結合的思想畫出圖形即可；
利用勾股定理逆定理證明即可．
本題考查作圖應用與設計作圖，解題的關鍵是理解題意，學會利用數(shù)形結合的思想解決問題．
 20.【答案】證明：四邊形是矩形，
，，
，
又，
四邊形是平行四邊形，
，
． 【解析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可以得到，根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)可以得到，從而可以得到．
本題考查矩形的性質(zhì)，解答本題的關鍵是明確題意，求出．
 21.【答案】 【解析】證明：四邊形是平行四邊形．
理由如下：
，分別從，兩點同時出發(fā)，以相同的速度向終點運動，
，
四邊形是平行四邊形，
，，
，
即：，
四邊形是平行四邊形；
解：四邊形是平行四邊形，
當時四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
，
、兩邊動點的速度都是，
，
當運動時間時，四邊形是矩形．
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，，求出、互相平分，根據(jù)平行四邊形的判定得出即可；
根據(jù)矩形的性質(zhì)求出，，，即可得出答案．
本題考查了矩形的判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定的應用，能熟記矩形和平行四邊形的性質(zhì)和判定是解此題的關鍵．
 22.【答案】證明：為對角線的中點，為邊的中點，
，，，，
，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，且，
四邊形為菱形；

解：如圖，與交于點，

四邊形為菱形，，
，，，
，
在中，，
，
四邊形的面積為：． 【解析】由三角形中位線定理可得，，，可得，，由菱形的判定可得結論；
由菱形的性質(zhì)可得，，，由勾股定理可得，得到的長后，根據(jù)菱形的面積公式可得答案．
本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理，熟練運用菱形的性質(zhì)是本題的關鍵．
 23.【答案】；  ； 【解析】解：【感知】四邊形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
故答案為：；
過點作于點，于點，如圖所示：
則，
四邊形是正方形，
平分，，
四邊形是矩形，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
即，
，
故答案為：；
【探究】
與的數(shù)量關系和位置關系分別為：
，，
理由如下：
設交于，如圖所示：

四邊形是正方形，
，，
為公共邊，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
即，
四邊形是正方形，


；
綜上所述，，；
【應用】，
設交于，如圖所示
四邊形是正方形，
直線是正方形的對稱軸，與是一對對應點，，，，
，
，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
即，
四邊形是正方形，
，
，
是等腰直角三角形，
過點作于，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
．
【感知】證≌，得，再由，即可得出結論；
過點作于點，于點，證≌，得，再證，即可得出結論；
【探究】證≌，得，再證，然后由正方形的性質(zhì)得，則，即可得出結論；
【應用】證≌，得，再證，然后證是等腰直角三角形，過點作于，則是等腰直角三角形，得，則，即可解決問題．
本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、勾股定理等知識，本題綜合性強，熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關鍵，屬于中考?？碱}型．
 

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