2023年山東省濟南市歷下區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷一、選擇題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  的算術(shù)平方根是(    )A.  B.  C.  D. 2.  如圖所示的三棱柱的主視圖是(    )
 A.  B.  C.  D. 3.  根據(jù)國家統(tǒng)計局在年月的數(shù)據(jù)顯示，年我國的科學(xué)研究與試驗發(fā)展經(jīng)費投入達億元，首次突破萬億大關(guān)，億用科學(xué)記數(shù)法可以表示為(    )A.  B.  C.  D. 4.  如圖，已知，直角三角形的直角頂點在直線上，若，則，(    )A.
B.
C.
D. 5.  下列圖形中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是(    )A. 菱形 B. 矩形 C. 等邊三角形 D. 圓6.  已知，則下列不等式成立的是(    )A.  B.  C.  D. 7.  如圖，分別旋轉(zhuǎn)兩個轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)出的兩個數(shù)字之積為的概率是(    )
 A.  B.  C.  D. 8.  如圖，在平行四邊形中，對角線和交于點，以點為圓心，一定長度為半徑畫弧，分別交，于點和點，再分別以點，為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點，射線恰好經(jīng)過頂點則下列結(jié)論中不一定成立的是(    )
 A.  B.
C.  D. 9.  已知，兩地相距米，甲步行沿一條筆直的公路從地出發(fā)到地，乙騎自行車比甲晚分鐘從地出發(fā)，沿同一條公路到達地后立刻以原速度返回，并與甲同時到達地，甲、乙離地的距離米與甲行走時間分的函數(shù)圖象如圖所示，則甲出發(fā)后兩人第一次相遇所需的時間是(    )
A. 分鐘 B. 分鐘 C. 分鐘 D. 分鐘10.  二次函數(shù)分別交軸、軸于，兩點，點的坐標是若在線段上存在，兩點使得為等腰直角三角形，且，則的取值范圍是(    )A. 或 B. 或
C.  D. 二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）11.  分解因式： ______ ．12.  如果小球在如圖所示的地板上自由地滾動，并隨機的停留在某塊方磚上，那么它最終停留在陰影區(qū)域的概率是______ ．
 13.  一個多邊形的每個外角都是，則這個多邊形的邊數(shù)為______．14.  設(shè)為正整數(shù)，且，則的值為______ ．15.  如圖，已知扇形的半徑，將扇形繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到扇形，則圖中陰影部分的面積是______ ．
 16.  利用圖形的分、合、移、補探索圖形關(guān)系是我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一種重要方法如圖，點、點是矩形對角線上的兩點，四邊形和四邊形是兩個全等的正方形，然后按圖重新擺放，觀察兩圖，若矩形的周長是，面積是，則 ______ ．
三、解答題（本大題共10小題，共86.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.  本小題分
計算：．18.  本小題分
解不等式組：，并寫出它的所有非負整數(shù)解．19.  本小題分
已知：如圖，在菱形中，、分別在邊、上，且，求證：．
20.  本小題分
月日是世界讀書日，習(xí)近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然正氣”某校響應(yīng)號召，開展了“讀江色經(jīng)典，傳革命精神”為主題的讀書活動，隨機抽取了名學(xué)生將他們一周的課外閱讀時間單位：的數(shù)據(jù)作為一個樣本，并對這些數(shù)據(jù)進行了收集、整理和分析，過程如下：
【數(shù)據(jù)收集】；
，，，，，，，，，；
，，，，，，，，，；
，，，，，，，，，；
【數(shù)據(jù)整理】：
將收集的個數(shù)據(jù)按，，，，五組進行整理統(tǒng)計，并繪制了如圖所示的不完整的頻數(shù)分布直方圖說明：，，，，，其中表示閱讀時間；
統(tǒng)計量平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)閱讀時間【數(shù)據(jù)分析】：
請根據(jù)以上信息解答下列問題：
補全頻數(shù)分布直方圖；
填空： ______ ， ______ ；
若將數(shù)據(jù)繪制成扇形統(tǒng)計圖，則組的圓心角為______ ；
已知該校有名學(xué)生，請估計該校學(xué)生中，一周課外閱讀時間不少于小時的學(xué)生人數(shù)．21.  本小題分
如圖，在河流的右岸邊有一高樓，左岸邊有一坡度：坡面的鉛直高度與水平寬度的比稱為坡度的山坡，點、點與點在同一水平面上，與在同一平面內(nèi)某數(shù)學(xué)興趣小組為了測量樓的高度，在坡底處測得樓頂的仰角為，然后沿坡面上行了米到達點處，此時在處測得樓頂的仰角為測角器的高度忽略不計，結(jié)果精確到米，參考數(shù)據(jù)：，，，，
求點到地面的垂直高度的長；
求樓的高度．
22.  本小題分
如圖，在中，以為直徑作交于點，且點為中點，過點作的切線交的延長線于點．
求證：；
若，，求的長．
23.  本小題分
年春節(jié)科幻電影流浪地球火熱上映，激發(fā)了人們閱讀科幻書籍的熱情某學(xué)校圖書館購進甲、乙兩種科幻書籍，已知每本甲圖書的進價比每本乙圖書的進價高元，購買元中圖書的數(shù)量與購買元乙圖書的數(shù)量相同．
求甲、乙兩種圖書每本的進價分別是多少元？
某中學(xué)計劃購進甲、乙兩種圖書共本，且甲種圖書的數(shù)量比乙種圖書的數(shù)量至少多本，怎樣購買，才能使購書總費用最少？并求出最少費用．24.  本小題分
如圖，矩形的邊在平面直角坐標系中的軸上，矩形對角線交于點，過點的反比例函數(shù)與矩形的邊交于點，，直線交射于點．
求反比例函數(shù)的表達式和點的坐標；
若點為軸上一點，當(dāng)最小時，求出點的坐標；
若點為平面內(nèi)任意一點，若以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點的坐標．
25.  本小題分
如圖，和都是等腰直角三角形，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，連接，取中點，連接，．

如圖，當(dāng)點落在邊上，點落在邊上時，線段和線段的位置關(guān)系是______ ，數(shù)量關(guān)系是______ ；
如圖，當(dāng)點落在內(nèi)部時，的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請寫出證明過程；如果不成立，請說明理由．
九年級一班數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)提出了三種思路：
小聰：過點作交線段于點，過點作交線段于點
小明：延長至點，使，延長至點使，連接、
小智：延長至點，使，連接，，
請你選擇一種思路，完善證明過程；
若，，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)點，，三點共線時，連接，請直接寫出的長．26.  本小題分
如圖，已知拋物線經(jīng)過點和點，與軸交于點，頂點是，連接，．

求拋物線的表達式和頂點的坐標；
如圖，若平移拋物線，使其頂點在直線上運動，平移后所得函數(shù)的圖象與軸的負半軸的交點為，連接，，當(dāng)時，求點的坐標；
如圖，若將拋物線進行適當(dāng)?shù)钠揭疲?dāng)平移后的拋物線與直線最多只有一個公共點時，請直接寫出拋物線平移的最短距離及此時拋物線的頂點坐標．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：的算術(shù)平方根是，
故選：．
如果一個數(shù)的平方等于，那么這個數(shù)叫做的平方根，可以表示為，其中，正的平方根叫做的算術(shù)平方根．正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，的算術(shù)平方根是，負數(shù)沒有算術(shù)平方根．
本題考查算術(shù)平方根的定義，明確平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系是本題的關(guān)鍵．
 2.【答案】 【解析】解：主視圖為，
故選B．
根據(jù)三棱柱的主視圖是矩形，主視圖中間有豎著的實線，進行選擇即可．
本題考查實物體的三視圖．在畫圖時一定要將物體的邊緣、棱、頂點都體現(xiàn)出來，看得見的輪廓線都畫成實線，看不見的畫成虛線，不能漏掉．
 3.【答案】 【解析】解：億．
故選：．
用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時，一般形式為，其中，為整數(shù)，且比原來的整數(shù)位數(shù)少，據(jù)此判斷即可．
此題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為，其中，確定與的值是解題的關(guān)鍵．
 4.【答案】 【解析】解：如圖．

，
．
由題意得，，．
．
故選：．
根據(jù)平行線的性質(zhì)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補解決此題．
本題主要考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】解：、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，不符合題意；
B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，不符合題意；
C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，符合題意；
D、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，不符合題意．
故選：．
根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
掌握中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．
如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．
如果一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)后能夠與自身重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心．
 6.【答案】 【解析】解：，
，
選項A不符合題意；

，
，
，
選項B不符合題意；

，
，
選項C符合題意；

，
，
選項D不符合題意．
故選：．
根據(jù)，應(yīng)用不等式的性質(zhì)，逐項判斷即可．
此題主要考查了不等式的基本性質(zhì)：不等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變；不等式的兩邊同時乘或除以同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式的兩邊同時乘或除以同一個負數(shù)，不等號的方向改變．
 7.【答案】 【解析】解：畫樹狀圖為：

共有種等可能的結(jié)果，其中轉(zhuǎn)出的兩個數(shù)字之積為的結(jié)果數(shù)為，
所以轉(zhuǎn)出的兩個數(shù)字之積為的概率．
故選：．
利用樹狀圖展示所有等可能的結(jié)果，再找出轉(zhuǎn)出的兩個數(shù)字之積為的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計算．
本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有可能的結(jié)果求出，再從中選出符合事件或的結(jié)果數(shù)目，然后根據(jù)概率公式計算事件或事件的概率．
 8.【答案】 【解析】解：由作法得平分，
，所以選項不符合題意；
四邊形為平行四邊形，
，
，
，
，所以選項不符合題意；
四邊形為菱形，
，所以選項不符合題意；
只有當(dāng)，即時，，所以選項符合題意；
故選：．
利用基本作圖可判斷平分，則可對選項進行判斷；再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明，所以，則可對選項進行判斷；接著證明四邊形為菱形，則根據(jù)菱形的性質(zhì)可選項進行判斷；由于只有當(dāng)，才有，從而可對選項進行判斷．
本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵．也考查了角平分線的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)．
 9.【答案】 【解析】解：由圖象可得，
甲步行的速度為：米分，
乙的速度為：米分，
設(shè)甲出發(fā)后兩人第一次相遇所需的時間是分鐘，
，
解得，
即甲出發(fā)后兩人第一次相遇所需的時間是分鐘，
故選：．
根據(jù)題意和圖象中的數(shù)據(jù)，可以計算出甲、乙的速度，然后即可列出相應(yīng)的方程，求解即可．
本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答是解答本題的關(guān)鍵．
 10.【答案】 【解析】解：令，則，
解得，，
，
令，則，
，
直線為，
分兩種情況討論，如圖，當(dāng)直線在點上方時，過作于，延長交軸于，

則為等腰直角三角形，，
故在線段上必存在點，使得，，
將，代入得：，
即，
當(dāng)直線在點下方時，過作于，延長線交軸于，

則時，符合題意，
當(dāng)直線過點時，，如圖，

此時，，
即，
即，
綜上，或；
故選：．
分點在線段的下方、上方分別畫出圖形，過作于，延長交軸于，則或的長度要大于等于的長度即可．
本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，作出符合題意的圖形，同時要注意數(shù)形結(jié)合、分類討論思想的運用．
 11.【答案】 【解析】．
故答案為：．
利用提取公因式法分解．
本題考查了整式的因式分解，掌握提公因式法是解決本題的關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：根據(jù)圖示，陰影區(qū)域的面積等于塊地板的面積，總面積等于塊地板的面積，
小球最終停留在陰影區(qū)域的概率是．
故答案為：．
根據(jù)幾何概率的求法可知，小球最終停在陰影區(qū)域的概率等于陰影區(qū)域的面積與總面積的比值．
本題主要考查了幾何概率，正確記憶概率陰影區(qū)域的面積與總面積之比是解題關(guān)鍵．
 13.【答案】 【解析】解：多邊形的外角的個數(shù)是，
所以多邊形的邊數(shù)是．
故答案為：．
利用任何多邊形的外角和是，用除以一個外角度數(shù)即可求出答案．
本題主要考查了多邊形的外角和定理，已知外角求邊數(shù)的這種方法是需要熟記的內(nèi)容．
 14.【答案】 【解析】解：，
，
即，
，
故答案為：．
先對該算式進行計算，再進行無理數(shù)大小的估算．
此題考查了對無理數(shù)大小的估算能力，關(guān)鍵是能準確理解并運用該方法．
 15.【答案】 【解析】解：如圖，連接，，，由題意可知，點、、三點在同一條直線上，，
由旋轉(zhuǎn)可知，，，
，
，
是等邊三角形，
，
，
是等邊三角形，
四邊形是菱形，
在中，，，
，，
，


，
故答案為：．
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義求出，再根據(jù)扇形面積以及三角形面積的計算方法進行計算即可．
本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，扇形面積的計算，掌握扇形面積、三角形面積的計算方法以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是正確解答的前提．
 16.【答案】 【解析】解：矩形的周長是，面積是，
，，
，
由圖得：，
，
解得：．
故答案為：．
由長方形的周長與面積，可得，，由圖可知，長方形的長為，再利用等積即可求解．
本題主要考查全等圖形，解答的關(guān)鍵是明確圖與圖的面積相等．
 17.【答案】解：原式

． 【解析】直接利用負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)以及零指數(shù)冪的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、絕對值的性質(zhì)分別化簡，進而得出答案．
此題主要考查了實數(shù)的運算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．
 18.【答案】解：由得：，
由得：，
則不等式組的解集為，
所以該不等式組的非負整數(shù)解為、、． 【解析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
 19.【答案】證明：四邊形是菱形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
． 【解析】由“”可證≌，可得．
本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運用菱形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
 20.【答案】     【解析】解：補全直方圖如下：

眾數(shù)，中位數(shù)，
故答案為：，；
若將數(shù)據(jù)繪制成扇形統(tǒng)計圖，則組的圓心角為，
故答案為：；
人，
答：估計該校學(xué)生中，一周課外閱讀時間不少于小時的學(xué)生人數(shù)為人．
根據(jù)已知數(shù)據(jù)即可補全圖形；
由眾數(shù)和中位數(shù)的的定義可得出答案．
用乘以組人數(shù)所占比例即可；
用總?cè)藬?shù)乘以樣本中每周不少于的人數(shù)占比，即可得出答案．
本題考查頻數(shù)分布直方圖、用樣本估計總體，從收集的數(shù)據(jù)中獲取必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．
 21.【答案】解：由題意得：，米，
山坡的坡度：，
，
設(shè)米，則米，
在中，米，
，
解得：，
米，米，
點到地面的垂直高度的長約為米；
過點作，垂足為，

由題意得：米，，
設(shè)米，
米，
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
米，
，
解得：，
米，
樓的高度約為米． 【解析】由題意得：，米，根據(jù)已知山坡的坡度：，可設(shè)米，則米，然后在中，利用勾股定理進行計算可求出，的長，即可解答；
過點作，垂足為，根據(jù)題意可得：米，，設(shè)米，則米，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，從而求出的長，最后列出關(guān)于的方程，進行計算即可解答．
本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，坡度坡角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
 22.【答案】證明：連接，
為的直徑，
，
點為中點，
，
；
解：連接，
是的切線，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
． 【解析】連接，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到結(jié)論；連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．
本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，三角函數(shù)的定義，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
 23.【答案】解：設(shè)甲種圖書每本的進價是元，則乙種圖書每本的進價是元，
根據(jù)題意得：，
解得，
經(jīng)檢驗，是原方程的解，也符合題意，
，
甲種圖書每本的進價是元，則乙種圖書每本的進價是元；
設(shè)購買甲種圖書本，則購買乙種圖書本，
甲種圖書的數(shù)量比乙種圖書的數(shù)量至少多本，
，
解得，
根據(jù)題意得：，
，
隨的增大而增大，
時，取最小值，最小值為，
此時，
購買甲種圖書本，購買乙種圖書本，能使購書總費用最少，最少費用為元． 【解析】設(shè)甲種圖書每本的進價是元，可得：，解方程并檢驗可得答案；
設(shè)購買甲種圖書本，由甲種圖書的數(shù)量比乙種圖書的數(shù)量至少多本，得，而，根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)可得答案．
本題考查分式方程，一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出方程和函數(shù)關(guān)系式．
 24.【答案】解：將點的坐標代入反比例函數(shù)表達式得：，
則反比例函數(shù)表達式為：，
將點的坐標代入上式得：，即點，
，則點，
則點；

作點關(guān)于軸的對稱點，連接交軸于點，則點為所求點，

由矩形的性質(zhì)知，點是的中點，由中點坐標公式得，點，
由點、的坐標得，直線的表達式為：，
令，則，
則點；

由點、的坐標得，直線的表達式為：，
當(dāng)時，則，即點，
設(shè)點，
當(dāng)是對角線時，由中點坐標公式得：
，解得：，
即點的坐標為：；
當(dāng)或是對角線時，由中點坐標公式得：
，
解得：，
則點的坐標為：或；
綜上，點的坐標為：或或． 【解析】由待定系數(shù)法即可求解；
作點關(guān)于軸的對稱點，連接交軸于點，則點為所求點，進而求解；
當(dāng)是對角線時，由中點坐標公式列出方程組，即可求解；當(dāng)或是對角線時，同理可解．
本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、點的對稱性等，其中，要注意分類求解，避免遺漏．
 25.【答案】   【解析】解：結(jié)論：，．
理由：，，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，．
故答案為：，；

結(jié)論成立．
理由：延長到，使得，連接，，，延長交的延長線于點，交于點．

，，，
≌，
，，
，
，
，
，
，，
≌，
，，
，
，
，，
即，；

當(dāng)點在線段上時，

，，
，
，，
，
，
，
，
，
當(dāng)點在線段上時，同法可得，
．

綜上所述，或．
結(jié)論：，利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)證明即可；
結(jié)論成立．延長到，使得，連接，，，延長交的延長線于點，交于點證明是等腰直角三角形，可得結(jié)論；
分兩種情形：當(dāng)點在線段上時，當(dāng)點在線段上時，利用等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理求解．
本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會隱忍分類討論的思想思考問題．
 26.【答案】解：拋物線經(jīng)過點和點，
，
解得：，
該拋物線的函數(shù)表達式為，
，
頂點的坐標為；
由知，，
，
，
由知，拋物線的表達式為，
，
點在軸負半軸上，
，
設(shè)直線的解析式為，把、代入得：，
解得：，
直線的解析式為，
平移后的拋物線的頂點在直線上運動，
設(shè)，
則平移后的拋物線解析式為，
將點代入得：，
解得：，
；
解：過點作的垂線，交于，交軸于點，過點作軸于點，如圖，

當(dāng)拋物線沿著直線的向上平移時，平移距離最短，
設(shè)直線的解析式為，則，
解得：，
直線的解析式為，
，
，，
，
，
，
∽，
，
，，
，而，即點在軸負半軸上，
，
，
設(shè)直線的解析式為，則，
解得：，
直線的解析式為，
設(shè)平移后拋物線的頂點坐標為，
則平移后拋物線解析式為，
拋物線與直線恰有一個公共點，
，
整理得：，
，
解得：，
此時平移后拋物線的頂點坐標為，而點的坐標為，
，
拋物線平移的最短距離為，此時頂點坐標為 【解析】把、兩點的坐標代入中，解方程組即可求得函數(shù)解析式，利用配方法將拋物線解析式化為頂點式即可求得頂點坐標；
利用三角形面積可求得，進而得出點的坐標，根據(jù)拋物線解析式求出點的坐標，則可求得的解析式，設(shè)點的坐標，則可得平移后拋物線的解析式，將點的坐標代入，解方程即可求得點的坐標；
過點作的垂線，交于，交軸于點，過點作軸于點，當(dāng)拋物線沿著直線的向上平移時，平移距離最短，先求出直線的解析式，由點的坐標及相似三角形的性質(zhì)易得點的坐標，利用待定系數(shù)法可求得的解析式，設(shè)拋物線的頂點坐標，根據(jù)拋物線與直線恰有一個公共點時可求得平移后的拋物線頂點坐標，則可求得此時平移的距離此時拋物線的頂點坐標．
本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，拋物線的平移，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程根的判別式等知識，本題涉及知識點較多，綜合性強，對學(xué)生的計算能力要求較高，是一道典型的中考數(shù)學(xué)壓軸題．
 

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