2022-2023學(xué)年山東省濟(jì)南市萊蕪區(qū)勝利中學(xué)等八校八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷（五四學(xué)制）一、選擇題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  下列計(jì)算正確的是(    )A.  B.
C.  D. 2.  如圖，四邊形是菱形，，，于，則等于(    ) A.  B.  C.  D. 3.  用配方法解一元二次方程：，配方后得(    )A.  B.  C.  D. 4.  下列判斷錯(cuò)誤的是(    )A. 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形 B. 四個(gè)內(nèi)角都相等的四邊形是矩形
C. 四條邊都相等的四邊形是菱形 D. 兩條對(duì)角線垂直且平分的四邊形是正方形5.  一元二次方程的兩根恰好是等腰三角形的底邊長(zhǎng)和腰長(zhǎng)，則該等腰三角形的周長(zhǎng)為(    )A.  B.  C. 或 D. 不能確定6.  已知，則的值為(    )A.  B.  C.  D. 7.  關(guān)于的方程是一元二次方程，則的取值范圍是(    )A.  B. 且 C. 且 D. 8.  若，，是的三邊，則關(guān)于的方程的根的情況是(    )A. 沒有實(shí)數(shù)根 B. 只有一個(gè)實(shí)數(shù)根
C. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根9.  如圖，在矩形中，對(duì)角線，交于點(diǎn)，下列條件：，，，上述條件能使矩形是正方形的是(    )
 A.  B.  C.  D. 10.  如果并且表示當(dāng)時(shí)的值，即，表示當(dāng)時(shí)的值，即，那么的值是(    )A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）11.  使代數(shù)式有意義的的取值范圍是______．12.  若與最簡(jiǎn)二次根式是同類二次根式，則______．13.  某公司在年的盈利額為萬，預(yù)計(jì)年的盈利額將達(dá)到萬元，若每年比上一年盈利額增長(zhǎng)的百分率相同，那么該公司在年的盈利額為______ 萬元．14.  如圖，菱形的邊長(zhǎng)為，過點(diǎn)、作對(duì)角線的垂線，分別交和的延長(zhǎng)線于點(diǎn)、，，則四邊形的周長(zhǎng)為______ ．
15.  某藥品原價(jià)是元，經(jīng)連續(xù)兩次降價(jià)后，價(jià)格變?yōu)?/span>元，如果每次降價(jià)的百分率是一樣的，那么每次降價(jià)的百分率是______．16.  如圖，對(duì)折矩形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平后再次折疊，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，得到折痕，與相交于點(diǎn)若直線交直線于點(diǎn)，，，則的長(zhǎng)為______ ．三、計(jì)算題（本大題共1小題，共8.0分）17.  已知關(guān)于的方程
若這個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，求的取值范圍；
若此方程有一個(gè)根是，請(qǐng)求出的值．四、解答題（本大題共9小題，共78.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）18.  本小題分
計(jì)算：
；
 19.  本小題分
解方程：
；
配方法．20.  本小題分
已知直角三角形的兩直角邊分別是、，斜邊是，斜邊上的高是．
如果，，求的值；
如果，，求直角三角形的面積及的值．21.  本小題分
已知：如圖，在菱形中，，是對(duì)角線上兩點(diǎn)，連接，，求證：．
22.  本小題分
將矩形紙片折疊，使點(diǎn)剛好落在線段上，且折痕分別與邊、相交．設(shè)折疊后點(diǎn)、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)、，折痕分別與邊，相交于點(diǎn)、．

如圖，判斷四邊形的形狀；
如圖，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，若，，求線段的長(zhǎng)度．23.  本小題分
如圖，在?中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別在和的延長(zhǎng)線上，且，連接，．
求證：≌；
連接，當(dāng)平分時(shí)，四邊形是什么特殊四邊形？請(qǐng)說明理由．
 24.  本小題分
細(xì)心觀察圖，認(rèn)真分析下列各式，然后解答問題．
，；，；，；
請(qǐng)用含有是正整數(shù)的等式表示上述變化規(guī)律．
推算出的長(zhǎng)．
求的值．
25.  本小題分
一商店銷售某種商品，平均每天可售出件，每件盈利元．為了擴(kuò)大銷售、增加盈利，該店采取了降價(jià)措施，在每件盈利不少于元的前提下，經(jīng)過一段時(shí)間銷售，發(fā)現(xiàn)銷售單價(jià)每降低元，平均每天可多售出件．
若降價(jià)元，則平均每天銷售數(shù)量為多少件？
當(dāng)每件商品降價(jià)多少元時(shí)，該商店每天銷售利潤為元？26.  本小題分
如圖，在矩形中，，、、、分別從、、、出發(fā)，沿、、、方向在矩形的邊上同時(shí)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)先到達(dá)所在運(yùn)動(dòng)邊的另一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)即停止、已知在相同時(shí)間內(nèi)，若，則，，，
當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)、重合；
當(dāng)為何值時(shí)，以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，
，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，
，故選項(xiàng)C正確，
這個(gè)式子中無意義，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，
故選：．
根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)中的式子可以判斷是否正確，從而可以解答本題．
本題考查二次根式的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確二次根式混合運(yùn)算的計(jì)算方法．
 2.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了勾股定理和菱形的性質(zhì)的應(yīng)用，能根據(jù)菱形的性質(zhì)得出是解此題的關(guān)鍵．
根據(jù)菱形性質(zhì)求出，，，根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)菱形的面積公式求出即可．
【解答】
解：四邊形是菱形，

，，，
，，
，，，
由勾股定理得：，
，
，
，
故選A．  3.【答案】 【解析】解：，
，
則，
，即，
故選：．
將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，再將二次項(xiàng)系數(shù)化為，繼而兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后，再開方即可得．
本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇簡(jiǎn)便的方法．
 4.【答案】 【解析】【分析】
根據(jù)平行四邊形的判定、矩形的判定，菱形的判定以及正方形的判定對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．
本題考查了正方形、平行四邊形、矩形和菱形的判定，熟練掌握各四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
【解答】
解：、兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，正確，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、四個(gè)內(nèi)角都相等的四邊形是矩形，正確，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、四條邊都相等的四邊形是菱形，正確，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、兩條對(duì)角線垂直且平分的四邊形是正方形，錯(cuò)誤，應(yīng)該是菱形，故本選項(xiàng)符合題意．
故選：．  5.【答案】 【解析】【分析】
本題主要考查了用因式分解法解一元二次方程，求出方程的兩個(gè)根，然后根據(jù)三角形三邊的關(guān)系，確定三角形的周長(zhǎng)．
用因式分解法求出方程的兩個(gè)根分別是和，有三角形的三邊關(guān)系，為底，為腰，可以求出三角形的周長(zhǎng)．
【解答】
解：，
，
，．
三角形是等腰三角形，必須滿足三角形三邊的關(guān)系，
，
腰長(zhǎng)是，底邊是，
周長(zhǎng)為：．
故選B．  6.【答案】 【解析】分析
根據(jù)平方數(shù)和二次根式的非負(fù)性得出，的值，再代入求出的值即可．
詳解
解：，
，


，
故選C．
點(diǎn)評(píng)
本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為，則這幾個(gè)數(shù)都同時(shí)為是解題的關(guān)鍵．
 7.【答案】 【解析】【分析】
此題主要考查了一元二次方程的定義，二次根式有意義的條件，正確把握定義是解題關(guān)鍵．
直接利用一元二次方程的定義和二次根式有意義的條件分析得出答案．
【解答】
解：關(guān)于的方程是一元二次方程，
，，
解得：，且．
故選：．  8.【答案】 【解析】解：，，是的三邊，
，，
，
方程沒有實(shí)數(shù)根．
故選：．
利用，，是的三邊得到，，所以方程為一元二次方程，由于，則，然后根據(jù)根的判別式的意義判斷方程根的情況．
本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．
 9.【答案】 【解析】解：當(dāng)時(shí)，根據(jù)對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形，可知矩形是正方形；
當(dāng)時(shí)，根據(jù)有一組鄰邊相等的矩形是正方形，可知矩形是正方形；
當(dāng)時(shí)，的等腰直角三角形，則，根據(jù)有一組鄰邊相等的矩形是正方形，可知矩形是正方形；
當(dāng)時(shí)可得，不能得到矩形是正方形，
綜上可知，能使矩形成為正方形．
故選：．
根據(jù)矩形的性質(zhì)及正方形的判定方法，對(duì)各選項(xiàng)逐一進(jìn)行判斷即可．
本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的判定的應(yīng)用，能熟記正方形的判定定理是解此題的關(guān)鍵．
 10.【答案】 【解析】解：代入計(jì)算可得，，，，，
所以，原式．
故選：．
認(rèn)真觀察題中式子的特點(diǎn)，找出其中的規(guī)律，代入計(jì)算即可．
解答此類題目的關(guān)鍵是認(rèn)真觀察題中式子的特點(diǎn)，找出其中的規(guī)律．
 11.【答案】且 【解析】解：代數(shù)式有意義：則且，
解得：且．
故的取值范圍是：且．
故答案為：且．
直接利用二次根式的性質(zhì)分析得出答案．
此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握定義是解題關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：，
，
解得：，
故答案為：．
根據(jù)同類二次根式的被開方數(shù)相同可得出關(guān)于的方程，解出即可得出答案．
此題考查了同類二次根式的知識(shí)，解答本題需要掌握同類二次根式的被開方數(shù)相同這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，難度一般．
 13.【答案】 【解析】解：設(shè)平均每年盈利額增長(zhǎng)的百分率為，
依題意得：，
解得：，不合題意，舍去，
．
故答案為：．
設(shè)平均每年盈利額增長(zhǎng)的百分率為，利用年的盈利額年的盈利額平均每年盈利額增長(zhǎng)的百分率，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其正值即可得出平均每年盈利額增長(zhǎng)的百分率，再利用年的盈利額年的盈利額平均每年盈利額增長(zhǎng)的百分率，即可求出結(jié)論．
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
 14.【答案】 【解析】解：菱形的邊長(zhǎng)為，
，，
，
，
，
，
，
，
，
同理：，
，
，
四邊形是平行四邊形，
平行四邊形的周長(zhǎng)，
故答案為：．
證，得，則，同理，再證四邊形是平行四邊形，即可得出結(jié)論．
本題考查了菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握菱形的性質(zhì)和等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 15.【答案】 【解析】解：設(shè)每次降價(jià)的百分率為，第二次降價(jià)后價(jià)格變?yōu)?/span>元，
根據(jù)題意得，
解得，，
因?yàn)?/span>不合題意，故舍去，
所以，
即每次降價(jià)的百分率為．
故答案為．
本題可設(shè)每次降價(jià)的百分率為，第一次降價(jià)后價(jià)格變?yōu)?/span>元，第二次在第一次降價(jià)后的基礎(chǔ)上再降，變?yōu)?/span>，即元，從而列出方程，即可求出答案．
本題考查一元二次方程的應(yīng)用．
 16.【答案】 【解析】解：連接，如圖：

對(duì)折矩形紙片，使與重合，得到折痕，
，
把紙片展平后再次折疊，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，得到折痕，
，，
為等邊三角形，
，
又，
，
，
，，
在直角中，，，
，
，
故答案為：．
連接，先證明為等邊三角形，得，從而求出、，再在中求出，即可得到答案．
本題考查矩形性質(zhì)及應(yīng)用、折疊等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)折疊得到是等邊三角形．
 17.【答案】解：有實(shí)數(shù)根，
，
解得：；

將代入方程得：，即，
，
解得，
所以，或． 【解析】由方程有實(shí)數(shù)根，得到根的判別式大于等于，列出關(guān)于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范圍；
將代入方程中，得到關(guān)于的方程，求出方程的解即可得到的值．
此題考查了一元二次方程根的判別式，根的判別式的值大于，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；根的判別式的值等于時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；根的判別式的值小于時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．
 18.【答案】解：


；


． 【解析】根據(jù)完全平方公式將題目中的式子展開，然后去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)即可；
先化簡(jiǎn)，然后合并同類項(xiàng)即可．
本題考查二次根式的混合運(yùn)算、分母有理化，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
 19.【答案】解：，
，
，
或，
，；
，
，
，
，
，
或，
，． 【解析】利用解一元二次方程因式分解法，進(jìn)行計(jì)算即可解答；
利用解一元二次方程配方法，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
本題考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．
 20.【答案】解：由勾股定理得，
，
答：的值為；
由勾股定理得，
．
由三角形的面積公式可得，
，
又因?yàn)?/span>，
所以，
解得，
答：三角形的面積為，的值為． 【解析】根據(jù)勾股定理即可求出斜邊的值；
根據(jù)勾股定理求出直角邊，再根據(jù)三角形的面積公式可求出面積和斜邊上的高的值．
本題考查直角三角形勾股定理，三角形的面積計(jì)算，掌握勾股定理和三角形的面積公式是解決問題的前提．
 21.【答案】證明：四邊形是菱形，
，
，
，
，
，
在和中，

≌，
． 【解析】利用菱形的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，，利用證明≌可證明結(jié)論．
本題主要考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明≌是解題的關(guān)鍵．
 22.【答案】解：四邊形是菱形．
證明：四邊形是矩形，
，
，
圖形翻折后點(diǎn)與點(diǎn)重合，為折線，
，，，
，
，
，
四邊形為菱形；

如圖，當(dāng)與重合時(shí)，由折疊的性質(zhì)得，
，
中，，
即，
解得，． 【解析】根據(jù)翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到，，，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，得到，得到，根據(jù)菱形的判定定理證明；
根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可．
本題考查的是菱形的判定、勾股定理的運(yùn)用，掌握四條邊相等的四邊形是菱形、翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 23.【答案】證明：四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
在和中，
，
≌；
當(dāng)平分時(shí)，四邊形是菱形，

理由：平分，
，
四邊形是平行四邊形，
，，，
，
，
，
平行四邊形是菱形，
，
，
，即，
，
又，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是菱形． 【解析】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定、全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
根據(jù)四邊形是平行四邊形，可以得到，，，從而可以得到，然后根據(jù)即可證明結(jié)論成立；
根據(jù)平分和平行四邊形的性質(zhì)，可以證明?是菱形，從而可以得到，然后即可得到，再根據(jù)題目中的條件，可以證明四邊形是平行四邊形，然后根據(jù)，即可得到四邊形是菱形．
 24.【答案】解：，是正整數(shù)
由得，，即，
．
． 【解析】利用已知可得，注意觀察數(shù)據(jù)的變化，
結(jié)合中規(guī)律即可求出的值即可求出，
將前個(gè)三角形面積相加，利用數(shù)據(jù)的特殊性即可求出．
本題主要考查勾股定理以及作圖的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的知識(shí)，此題難度不大．
 25.【答案】解：件．
答：若降價(jià)元，則平均每天銷售數(shù)量為件．
設(shè)每件襯衫降價(jià)元，則每件盈利元，每天可以售出件，
依題意得：，
整理得：，
解得：，．
又每件盈利不少于元，即，
，
．
答：當(dāng)每件商品降價(jià)元時(shí)，該商店每天銷售利潤為元． 【解析】利用平均每天的銷售量每件降低的價(jià)格，即可求出結(jié)論；
設(shè)每件襯衫降價(jià)元，則每件盈利元，每天可以售出件，根據(jù)該商店每天銷售該種商品的利潤為元，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出的值，再結(jié)合每件盈利不少于元，即可得出每件商品應(yīng)降價(jià)元．
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
 26.【答案】解：，重合，
，
，舍去，
當(dāng)時(shí)，，重合；

因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)和點(diǎn)還未相遇，
所以點(diǎn)只能在點(diǎn)的左側(cè)，
當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，依題意得
，
解得舍去，，
當(dāng)時(shí)四邊形是平行四邊形；
當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，依題意得
，
解得舍去，，
當(dāng)時(shí)四邊形是平行四邊形，
所以當(dāng)或時(shí)，以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形． 【解析】由于若，則，，，而點(diǎn)、重合，那么，解這個(gè)方程即可求出的值；
由于當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)和點(diǎn)還未相遇，所以點(diǎn)只能在點(diǎn)的左側(cè)．
以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)分兩種情況：
當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，由此即可得到關(guān)于的方程，解方程即可；
當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，由此也可以列出關(guān)于的方程，解方程即可．
此題是一個(gè)運(yùn)動(dòng)型問題，把運(yùn)動(dòng)和平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合起來，利用題目的熟練關(guān)系列出一元二次方程解決問題．解題時(shí)首先要認(rèn)真閱讀題目，正確理解題意，然后才能正確設(shè)未知數(shù)列出方程解題．
 

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