2023年吉林省長春市德惠市中考數(shù)學(xué)二模試卷一、選擇題（本大題共8小題，共24.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  下列汽車車標(biāo)中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  截至年月日，長江干流六座梯級水電站全年累計(jì)發(fā)電量達(dá)億千瓦時(shí)，相當(dāng)于減排二氧化碳約億噸，將用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為(    )A.  B.  C.  D. 3.  實(shí)數(shù)，在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是(    )
A.  B.  C.  D. 4.  若一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角是，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為(    )A.  B.  C.  D. 5.  如圖，直線，連接，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，，則的大小為(    )A.
B.
C.
D. 6.  如圖，某飛機(jī)于空中處探測到正下方的地面目標(biāo)，此時(shí)飛機(jī)高度為米，從飛機(jī)上看地面控制點(diǎn)的俯角為，則、之間的距離為(    )A. 米
B. 米
C. 米
D. 米7.  如圖，在中，，，以為圓心，任意長為半徑畫弧分別交、于點(diǎn)和，再分別以、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，以下結(jié)論錯(cuò)誤的是(    )A. 是的平分線 B.
C. 點(diǎn)在線段的垂直平分線上 D. ：：8.  在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，的圖象如圖所示，則的值可以為(    )
 A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）9.  因式分解：______．10.  不等式組的解集是______．11.  如果一個(gè)矩形內(nèi)部能用一些正方形鋪滿，既不重疊，又無縫隙，就稱它為“優(yōu)美矩形”，如圖所示，“優(yōu)美矩形”的周長為，則正方形的邊長為______ ．
12.  將一塊含角的三角板如圖放置，三角板的一個(gè)頂點(diǎn)落在以為直徑的半圓上，斜邊恰好經(jīng)過點(diǎn)，一條直角邊與半圓交于點(diǎn)，若，則的長為______結(jié)果保留．
 13.  據(jù)墨經(jīng)記載，在兩千多年前，我國學(xué)者墨子和他的學(xué)生做了世界上第個(gè)“小孔成像”的實(shí)驗(yàn)，闡釋了光的直線傳播原理，如圖所示．如圖所示的小孔成像實(shí)驗(yàn)中，若物距為，像距為，蠟燭火焰倒立的像的高度是，則蠟燭火焰的高度是          ．

 14.  如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、，點(diǎn)、為線段的三等分點(diǎn)，且、在反比例函數(shù)的圖象上，若的面積為，則的值為______ ．
 三、解答題（本大題共10小題，共78.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.  本小題分
先化簡，再求值：，其中．16.  本小題分
一只不透明的袋子中裝有個(gè)白球、個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同．
攪勻后從中任意摸出一個(gè)球，摸到紅球的概率等于______；
攪勻后從中任意摸出一個(gè)球，記錄顏色后放回、攪勻，再從中任意摸出一個(gè)球．用列表或畫樹狀圖的方法，求次都摸到紅球的概率．17.  本小題分
某市政工程隊(duì)承擔(dān)著米長的道路維修任務(wù)．為了減少對交通的影響，在維修了米后通過增加人數(shù)和設(shè)備提高了工程進(jìn)度，工作效率是原來的倍，結(jié)果共用了小時(shí)就完成了任務(wù)．求原來每小時(shí)維修多少米？18.  本小題分
圖，圖，圖均是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上，在圖，圖，圖給定的網(wǎng)格中按要求畫圖保留作圖痕跡
在圖中，在線段上畫出點(diǎn)，使．
在圖中，畫出一個(gè)格點(diǎn)，使是以為斜邊的等腰直角三角形．
在圖中，在線段上畫出點(diǎn)，使．
19.  本小題分
如圖，點(diǎn)，分別在?的邊，上，，連接，請從以下三個(gè)條件：；；中，選擇一個(gè)合適的作為已知條件，使?為菱形．
你添加的條件是______填序號；
添加了條件后，請證明?為菱形．
20.  本小題分
某校為引導(dǎo)學(xué)生傳承紅色精神，爭當(dāng)時(shí)代新人，在全校開展“紅色教育”學(xué)習(xí)活動(dòng)，并讓學(xué)生利用周末的時(shí)間，在家觀看與“紅色教育”相關(guān)的視頻，為了解學(xué)生觀看“紅色教育”相關(guān)視頻的時(shí)間情況，學(xué)校隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生最近一周周末在家觀看“紅色教育”相關(guān)視頻的時(shí)間，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下統(tǒng)計(jì)圖表均不完整． 組別時(shí)間頻數(shù)頻率根據(jù)以上信息，解答下列問題：
共調(diào)查了名學(xué)生；統(tǒng)計(jì)表中， ______ ， ______ ；并將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；
被調(diào)查的學(xué)生觀看“紅色教育”相關(guān)視頻的時(shí)間的中位數(shù)在組；
已知、、、四組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為，，，，請你估計(jì)該校學(xué)生最近一周周末觀看“紅色教育”相關(guān)視頻的時(shí)間的平均數(shù)．
21.  本小題分
小林同學(xué)從家出發(fā)，步行到離家米的公園散步，速度為米分鐘；分鐘后哥哥也從家出發(fā)沿著同一路線騎自行車到公園，哥哥到達(dá)公園后立即以原速返回家中，兩人離家的距離米與小林出發(fā)的時(shí)間分鐘的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
______ ；
求所在直線的函數(shù)表達(dá)式；
小林與哥哥第二次相遇時(shí)距離公園還有多遠(yuǎn)？
22.  本小題分
【自主學(xué)習(xí)】填空：
如圖，點(diǎn)是的平分線上一點(diǎn)，點(diǎn)在上，用圓規(guī)在上截取，
連接，，可得≌______，其理由根據(jù)是______；
【理解運(yùn)用】如圖，在中，，，平分交邊于點(diǎn)，試判斷和、之間的數(shù)量關(guān)系并寫出證明過程．
【拓展延伸】如圖，在中，，，分別是，的平分線，，交于點(diǎn)，若，，請直接寫出的長．
 23.  本小題分
如圖，在矩形中，，，為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，為線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，過點(diǎn)作的平行線，兩線交于點(diǎn)設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．
直接寫出線段的長．用含的代數(shù)式表示
當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，求的值．
當(dāng)與矩形重合部分圖形為四邊形時(shí)，求的取值范圍．
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)到矩形的一個(gè)內(nèi)角的角平分線距離相等時(shí)，直接寫出的值．
24.  本小題分
在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的對稱軸是直線，與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)．
求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．
當(dāng)時(shí)，的取值范圍是______ ．
若時(shí)，，則的取值范圍是______ ．
二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，點(diǎn)，以、為邊構(gòu)建矩形，當(dāng)矩形的邊與二次函數(shù)的圖象只有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直接寫出的取值范圍．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
B.該圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
C.該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
D.該圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意．
故選：．
根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，進(jìn)行判斷即可．把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形．
本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，常見的中心對稱圖形有平行四邊形、圓形、正方形、長方形等等．常見的軸對稱圖形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等．
 2.【答案】 【解析】解：用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為．
故選：．
把一個(gè)大于的數(shù)記成的形式，其中是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法，由此即可得到答案．
本題考查科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，關(guān)鍵是掌握用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)的方法．
 3.【答案】 【解析】解：根據(jù)圖形可以得到：
；
所以：、、都是錯(cuò)誤的；
故選：．
利用數(shù)軸得與實(shí)數(shù)得關(guān)系，及正負(fù)數(shù)在數(shù)軸上的表示求解．
本題考查了數(shù)軸與實(shí)數(shù)的關(guān)系，理解并正確運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
 4.【答案】 【解析】解：正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，且為，
其一個(gè)外角度數(shù)為，
則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為．
故選：．
通過內(nèi)角求出外角，利用多邊形外角和度，用除以外角度數(shù)即可．
本題主要考查了多邊形的內(nèi)角與外角公式，求正多邊形的邊數(shù)時(shí)，內(nèi)角轉(zhuǎn)化為外角，利用外角和知識求解更簡單．
 5.【答案】 【解析】解：，，
，
，
，
故選：．
由平行線的性質(zhì)可得，再由三角形外角性質(zhì)可得即可求解．
本題考查平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)，
 6.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意可得：米，，
，
米．
故選：．
由題可知，在直角三角形中，知道已知角和對邊，只需根據(jù)正切值即可求出．
本題考查解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，本題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形．
 7.【答案】 【解析】解：由作法得平分，所以選項(xiàng)的結(jié)論正確；
，，
，
，
，所以選項(xiàng)的結(jié)論正確；
，
，
點(diǎn)在的垂直平分線上，所以選項(xiàng)的結(jié)論正確；
在中，
，
，
而，
，
：：，
：：，所以選項(xiàng)的結(jié)論錯(cuò)誤．
故選：．
利用基本作圖可對選項(xiàng)進(jìn)行判斷；通過角度的計(jì)算得到，，則可對選項(xiàng)的結(jié)論正確；利用得到，則根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理可對選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)含度的直角三角形三邊的關(guān)系得到，則，所以：：，然后根據(jù)三角形面積公式可對選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握種基本作圖作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線是解題的關(guān)鍵．也考查了角平分線的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)．
 8.【答案】 【解析】解：時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，，即，解得，
所以．
故選：．
利用時(shí)，和當(dāng)時(shí)，得到的范圍，然后對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)決定拋物線的開口方向和大?。?dāng)時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)時(shí)，拋物線向下開口；一次項(xiàng)系數(shù)和二次項(xiàng)系數(shù)共同決定對稱軸的位置．當(dāng)與同號時(shí)即，對稱軸在軸左側(cè)；當(dāng)與異號時(shí)即，對稱軸在軸右側(cè)．
 9.【答案】 【解析】解：原式．
故答案為：．
首先提公因式，然后利用平方差公式即可分解．
本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止．
 10.【答案】 【解析】解：由，得：，
由，得：，
則不等式組的解集為，
故答案為：．
分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】解：設(shè)正方形、、、的邊長分別為、、、，
“優(yōu)美矩形”的周長為，
，
，，，
，
，
，則，
，
，
正方形的邊長為，
故答案為：．
設(shè)正方形、、、的邊長分別為、、、，分別求得，，由“優(yōu)美矩形”的周長得，列式計(jì)算即可求解．
本題考查了整式加減的應(yīng)用，認(rèn)真觀察圖形，根據(jù)長方形的周長公式推導(dǎo)出所求的答案是解題的關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：連接，
由圓周角定理得，，
的長，
故答案為：．

連接，根據(jù)圓周角定理求出，根據(jù)弧長公式計(jì)算即可．
本題考查的是弧長的計(jì)算、圓周角定理，掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵．
 13.【答案】 【解析】解：設(shè)蠟燭火焰的高度是，
由相似三角形的性質(zhì)得到：．
解得．
即蠟燭火焰的高度是．
故答案為：．
直接利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例解答．
本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用及分析問題、解決問題的能力．利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容．解決此問題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．
 14.【答案】 【解析】解：在反比例函數(shù)的圖象上，
設(shè)點(diǎn)，
點(diǎn)、為線段的三等分點(diǎn)，
：：，
點(diǎn)為，
的面積為，
，
．
故答案為：．
設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，利用三等分點(diǎn)的已知條件表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)的面積為，求出即可．
本題考查了反比例函數(shù)的關(guān)系式的求法，利用面積表示點(diǎn)的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．
 15.【答案】解：，
把代入上式得：
原式． 【解析】先把括號中通分后，利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)將除式的分子分解因式后，再利用除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)把除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，約分后得到最簡結(jié)果，再把代入進(jìn)行計(jì)算即可．
此題考查了分式的化簡求值，關(guān)鍵是通分，找出最簡公分母，分式的乘除運(yùn)算關(guān)鍵是約分，約分的關(guān)鍵是找公因式，化簡求值題要將原式化為最簡后再代值．
 16.【答案】解：；
畫樹狀圖如下：

共有種等可能的結(jié)果，其中次都摸到紅球的結(jié)果有種，
次都摸到紅球的概率為． 【解析】【分析】
本題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
直接由概率公式求解即可；
畫樹狀圖，共有種等可能的結(jié)果，其中次都摸到紅球的結(jié)果有種，再由概率公式求解即可．
【解答】
解：攪勻后從中任意摸出一個(gè)球，摸到紅球的概率等于，
故答案為：；
見答案．  17.【答案】解：設(shè)原來每小時(shí)維修米． 
根據(jù)題意得，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意．
答：原來每小時(shí)維修米． 【解析】設(shè)原來每小時(shí)維修米，則后來每小時(shí)維修米，等量關(guān)系是：原來維修米所用時(shí)間后來維修米所用時(shí)間小時(shí)，依此列出方程求解即可．
本題考查分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
 18.【答案】解：如圖中，點(diǎn)即為所求；

如圖中，點(diǎn)即為所求；

如圖中，點(diǎn)即為所求；
 【解析】利用平行線分線段成比例定理作出圖形即可；
構(gòu)造等腰直角三角形即可；
根據(jù)，則作出對應(yīng)圖形即可．
本題考查作圖一應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．
 19.【答案】
證明：四邊形是平行四邊形，
，
在和中，
，
≌，
，
?為菱形． 【解析】解：添加的條件是，
故答案為：；
證明：四邊形是平行四邊形，
，
在和中，
，
≌，
，
?為菱形．
添加合適的條件即可；
證≌，得，再由菱形的判定即可得出結(jié)論．
本題考查了菱形的判定、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的判定，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
 20.【答案】   【解析】解：本次共調(diào)查的學(xué)生人數(shù)是：名，
則，，
補(bǔ)全的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：

故答案為：，；
本次調(diào)查共名學(xué)生，觀看“紅色教育”相關(guān)視頻的時(shí)間從小到大排序處于第和的兩名學(xué)生的觀看時(shí)間都是在組，
中位數(shù)位于組，
故答案為：；
、、、四組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為，，，，
名學(xué)生觀看“紅色教育”相關(guān)視頻的時(shí)間的平均數(shù)為：，
估計(jì)該校學(xué)生最近一周周末觀看“紅色教育”相關(guān)視頻的時(shí)間的平均數(shù)為．
由組的頻數(shù)頻率即可得出本次調(diào)查的總?cè)藬?shù)，進(jìn)而求出，的值即可；
根據(jù)中位數(shù)的定義進(jìn)行解答即可；
根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的定義進(jìn)行解答即可．
本題考查了統(tǒng)計(jì)與調(diào)查，熟練掌握總體和頻數(shù)、頻率之間的關(guān)系，中位數(shù)定義和加權(quán)平均數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
 21.【答案】 【解析】解：由圖象可得，
小林家與公園之間的路程為：米，
故答案為：；
設(shè)，由題意得：
由圖象得：，
；
由圖象得：；
設(shè)所在直線的函數(shù)表達(dá)式為：，
則有：
解得：
．
根據(jù)題意可知：
所在直線的函數(shù)表達(dá)式為：．
由，
解得：，
米．
故小林與哥哥第二次相遇時(shí)距離公園還有米
根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)和小林的速度，可以求得小林家與公園之間的路程；
根據(jù)圖象可知：點(diǎn)，在哥哥返回家的過程中與之間的函數(shù)圖象上，然后即可求得該函數(shù)的解析式；
可以分別計(jì)算出兩次時(shí)間，然后作差即可得到小林與哥哥先后兩次相遇的時(shí)間間隔．
本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
 22.【答案】解：；
．
證明：在上截取，連接．

平分，
，
在和中，

≌，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
．
 【解析】分析：
由角平分線的定義得出，根據(jù)可證明≌；
先截取，連接，根據(jù)判定≌，得出，，，進(jìn)而得出結(jié)論；
在上取一點(diǎn)，使，證明≌，由全等三角形的性質(zhì)得出，證明≌，由全等三角形的性質(zhì)得出，則可求出答案．
解：點(diǎn)是的平分線上一點(diǎn)，
，
在和中，
，
≌，
故答案為：；；
．
證明：在上截取，

平分，
，
在和中，

≌，
，
，
，
，
即，
，
，
，
．
在上取一點(diǎn)，使，

在中，，
，
，
，
，
，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
是的平分線，
，
在和中，
，
≌，
，
．
本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)線段的和差關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)．
 23.【答案】解：如圖，四邊形是矩形，，，為邊的中點(diǎn)，
，，
，
，為線段的中點(diǎn)，
，
，
，
，
，
，

當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，如圖，延長交于點(diǎn)，
，，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
．
解得．
如圖，從點(diǎn)與點(diǎn)重合之后到點(diǎn)落在邊上，與矩形重合部分圖形為四邊形，
，
解得；
如圖，從經(jīng)過點(diǎn)到點(diǎn)與點(diǎn)重合之前，與矩形重合部分圖形為四邊形，
，
，
，
，
，
解得，
綜上所述，的取值范圍是或．
延長交于點(diǎn)，則，
，

如圖，的平分線交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，
，，，
≌，
，
，，
，
，
，
解得；
如圖，的平分線交于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，同理可得，
，，
，
，，
，
解得；
如圖，的平分線交于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，同理可得，
，，
，
，，
，
，
解得；
如圖，的平分線交于點(diǎn)，的中點(diǎn)為，
，，
，
，
，
，
點(diǎn)不可能與的中點(diǎn)重合，
不存在點(diǎn)與點(diǎn)到的平分線距離相等的情況，
綜上所述，或或． 【解析】先由，，為邊的中點(diǎn)求得，根據(jù)勾股定理求出的長為，再證明，則，即可求得；
延長交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，則四邊形是矩形，可求得，由列方程求出的值即可；
分兩種情況，一是從點(diǎn)與點(diǎn)重合之后到點(diǎn)落在邊上，與矩形重合部分圖形為四邊形，二是從經(jīng)過點(diǎn)到點(diǎn)與點(diǎn)重合之前，與矩形重合部分圖形為四邊形，分別列不等式組求出的取值范圍即可；
延長交于點(diǎn)，則，再由，求得，可證明當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)到矩形的一個(gè)內(nèi)角的角平分線距離相等時(shí)，則該角平分線經(jīng)過的中點(diǎn)，可得，再分別按點(diǎn)在、、的平分線上，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)列方程分別求出相應(yīng)的的值，并說明不存在點(diǎn)與點(diǎn)到的平分線距離相等的情況即可．
此題重點(diǎn)考查矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、不等式組的應(yīng)用以及數(shù)形結(jié)合與分類討論等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識與方法，正確地用含的代數(shù)式表示線段的長并且列出相應(yīng)的方程或不等式組是解題的關(guān)鍵．
 24.【答案】   【解析】解：拋物線、為常數(shù)的對稱軸為直線，
，
，
拋物線與軸交于點(diǎn)，
．
拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：．
拋物線的對稱軸是直線，且，，
當(dāng)時(shí)，拋物線取最小值，最小值，
當(dāng)時(shí)，拋物線取最大值，最大值，
當(dāng)時(shí)，的取值范圍是；
由知，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，則，
解得：，，
當(dāng)時(shí)，，
；
故答案為：；；
拋物線，當(dāng)時(shí)，，


由圖象可得：當(dāng)矩形的邊與二次函數(shù)的圖象只有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，
．
根據(jù)函數(shù)對稱軸和與軸交點(diǎn)可直接得到結(jié)論；
在時(shí)，求出的最大，最小值即可得到答案；
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則，解得：，，又當(dāng)時(shí)，，即可得出；
利用圖象法求即可．
本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)的特征，函數(shù)的最大小值等知識，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用．
 

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