?長沙市一中多校2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期5月高考仿真模擬考試
數(shù) 學(xué)
注意事項(xiàng)：
1.本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。
2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。
3.回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。
4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。


一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．已知集合，，設(shè)全集，則(　　)
A． B． C． D．
2．已知復(fù)數(shù)滿足，則(　　)
A． B． C．2 D． 4
3．已知平面向量滿足，，且與的夾角為，則(　　)
A． B． C． D．
4．李明上學(xué)有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時(shí)間，通過統(tǒng)計(jì)相關(guān)數(shù)據(jù)后，發(fā)現(xiàn)坐公交車用時(shí)和騎自行車用時(shí)都近似服從正態(tài)分布. 繪制了概率分布密度曲線，如圖所示，則下列哪種情況下，應(yīng)選擇騎自行車(　　)

A. 有26 min可用 B. 有30 min可用
C. 有34 min可用 D. 有38 min可用
5．已知角的終邊在直線上，則(　　)
A． B． C． D．
6．已知拋物線的焦點(diǎn)為 ，準(zhǔn)線為，為上一點(diǎn)，，垂足為，與軸交點(diǎn)為，若，且的面積為，則的方程為(　　)
A． B． C． D．
7．如圖，一個(gè)由四根細(xì)鐵桿、、、組成的支架（、、、按照逆時(shí)針排布），若，一個(gè)半徑為1的球恰好放在支架上與四根細(xì)鐵桿均有接觸，則球心到點(diǎn)的距離是(　　)

A．2 B． C． D．
8．已知實(shí)數(shù)滿足： 則(　　)
A． B． C． D．

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符
合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。
9． 6個(gè)數(shù)據(jù)構(gòu)成的散點(diǎn)圖，如圖所示，采用一元線性回歸模型建立經(jīng)驗(yàn)回歸方程，若在6個(gè)數(shù)據(jù)中去掉后，下列說法正確的是(　　)

A．解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變強(qiáng) B．樣本相關(guān)系數(shù)r變大
C．殘差平方和變小 D．決定系數(shù)變小
10．若，且，則(　　)
A． B．
C． D．
11．在△中，角所對的邊分別為，已知，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．
B．△為鈍角三角形
C．若，則△的面積是
D．若△外接圓半徑是，內(nèi)切圓半徑為，則
12．如圖，圓柱的底面半徑和母線長均為是底面直徑，點(diǎn)在圓上且，點(diǎn)在母線，點(diǎn)是上底面的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則(　　)

A．的最小值為
B．若，則點(diǎn)的軌跡長為4
C．若，則四面體的外接球的表面積為
D．若，則點(diǎn)的軌跡長為

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13． 的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是________．
14．中國古代數(shù)學(xué)著作《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān).” 則此人在第六天行走的路程是__________里（用數(shù)字作答）.
15.直線與橢圓(m>0)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)P，則m＝ ，點(diǎn)P的坐標(biāo)是 .
16．若，則的取值范圍是____________．

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17. （本小題滿分10分）
已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為，，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，
求和：.




















18．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)，其中ω為正整數(shù)，|φ|＜，且．
(1)求y＝f (x)圖象的一個(gè)對稱中心；
(2)若，求φ．
















19. （本小題滿分12分）
如圖，三棱臺，,，平面平面，， ,與相交于點(diǎn)，，且∥平面.
(1)求三棱錐的體積；
(2)平面與平面所成角為，與平面所成角為，求證：.
















20. （本小題滿分12分）
已知函數(shù)
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若有三個(gè)零點(diǎn)，且在處的切線經(jīng)過點(diǎn)，，
求證：.




















21. （本小題滿分12分）
甲、乙兩選手進(jìn)行一場體育競技比賽，采用局勝制的比賽規(guī)則，即先贏下局比賽者最終獲勝. 已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，比賽結(jié)束時(shí)，甲最終獲勝的概率為.
(1)若，結(jié)束比賽時(shí)，比賽的局?jǐn)?shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；
(2)若采用5局3勝制比采用3局2勝制對甲更有利，即，
(i)求的取值范圍；
(ii)證明數(shù)列單調(diào)遞增，并根據(jù)你的理解說明該結(jié)論的實(shí)際含義.


















22.（本小題滿分12分）
如圖，已知直線，，是平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∥且與相交于點(diǎn)（位于第一象限），∥,且與相交于點(diǎn)（位于第四象限），若四邊形（為原點(diǎn)）的面積為.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
(2)過點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，是否存在定直線，使以為直徑的圓與直線相交于兩點(diǎn)，且為定值，若存在，求出的方程，若不存在，請說明理由.


長沙市多校2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期5月高考仿真模擬考試
數(shù)學(xué)參考答案
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．已知集合，，設(shè)全集，則(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，得到，所以，又因，
所以，因?yàn)槿? 故選：C．
2．已知復(fù)數(shù)滿足，則(　　)
A． B． C．2 D． 4
【答案】A
【解析】由，得，
. 故選：A.
3．已知平面向量滿足，，且與的夾角為，則(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
4．李明上學(xué)有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時(shí)間，通過統(tǒng)計(jì)相關(guān)數(shù)據(jù)后，發(fā)現(xiàn)坐公交車用時(shí)和騎自行車用時(shí)都近似服從正態(tài)分布. 繪制了概率分布密度曲線，如圖所示，則下列哪種情況下，應(yīng)選擇騎自行車(　　)
A. 有26 min可用 B. 有30 min可用
C. 有34 min可用 D. 有38 min可用

【答案】D
【解析】根據(jù)X 和Y的分布密度曲線圖可知，.所以，如果有38 min可用，那么騎自行車不遲到的概率大，應(yīng)選擇騎自行車.
【命題來源】改編自《選擇性必修第三冊》P86-例.
5．已知角的終邊在直線上，則(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)榻堑慕K邊在直線上，故，
所以，故選：A.
6．已知拋物線的焦點(diǎn)為 ，準(zhǔn)線為，為上一點(diǎn)，，垂足為，與軸交點(diǎn)為，若，且的面積為，則的方程為(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由拋物線定義知，所以為等邊三角形，為的中點(diǎn)，所以，,
的面積，所以的方程為，故答案為：B.


7．如圖，一個(gè)由四根細(xì)鐵桿、、、組成的支架（、、、按照逆時(shí)針排布），若，一個(gè)半徑為1的球恰好放在支架上與四根細(xì)鐵桿均有接觸，則球心到點(diǎn)的距離是(　　)
A．2 B． C． D．

【答案】C
【解析】如上圖正四棱錐，為底面中心，為球心，
為球體與的切點(diǎn)，
又，
故各側(cè)面均為等邊三角形，
若側(cè)面三角形邊長為，
則，，，
顯然△△，
故，則. 故選A.
8．已知實(shí)數(shù)滿足： 則(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
設(shè)
設(shè)是單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以，即
又是單調(diào)遞減函數(shù)，且，所以，
設(shè)
設(shè)是單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以，即
又是單調(diào)遞減函數(shù)，且，
所以，
同理，由得，
又是單調(diào)遞減函數(shù)，且，
所以，
由，
所以，且是單調(diào)遞減函數(shù)，所以.
綜上：


二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符
合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。
9． 6個(gè)數(shù)據(jù)構(gòu)成的散點(diǎn)圖，如圖所示，采用一元線性回歸模型建立經(jīng)驗(yàn)回歸方程，若在6個(gè)數(shù)據(jù)中去掉后，下列說法正確的是(　　)
A．解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變強(qiáng) B．樣本相關(guān)系數(shù)r變大
C．殘差平方和變小 D．決定系數(shù)變小

【答案】AC
【解析】去掉后，變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變強(qiáng)，故A正確；但由于散點(diǎn)的分布是從左上到右下，故變量x，y負(fù)相關(guān)，所以相關(guān)系數(shù)r變小，
殘差平方和變小， 決定系數(shù)變大，C正確，D錯(cuò)誤，故選：AC.
10．若，且，則(　　)
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】由基本不等式：
，A正確；
B正確；
，C不正確；
，D正確.
11．在△中，角所對的邊分別為，已知，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．
B．△為鈍角三角形
C．若，則△的面積是
D．若△外接圓半徑是，內(nèi)切圓半徑為，則
【答案】BD
【解析】設(shè)，則，
對于A ，，故A不正確；
對于B ，，故B正確；
對于C，若，則，，，所以，
所以△的面積是，故C不正確；
對于D，若正弦定理，
△的周長，，所以內(nèi)切圓半徑為，
所以.故D正確. 故選：BD

12．如圖，圓柱的底面半徑和母線長均為是底面直徑，點(diǎn)在圓上且，點(diǎn)在母線，點(diǎn)是上底面的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則(　　)
A．的最小值為
B．若，則點(diǎn)的軌跡長為4
C．若，則四面體的外接球的表面積為
D．若，則點(diǎn)的軌跡長為

【答案】ACD
【解析】設(shè)E關(guān)于D點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，
則，
所以當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號，
故的最小值為，故A正確；
由題意知，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為正方向建立空間直角坐標(biāo)系， 則設(shè)，
則，
對選項(xiàng)B： 當(dāng)時(shí)，，
所以點(diǎn)的軌跡長為上底面圓的一條弦MN，到MN的距離為1，
所以，故點(diǎn)的軌跡長為，所以B錯(cuò)誤；
對選項(xiàng)D： 當(dāng)時(shí)，，
所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，其軌跡長為，故D正確；
對選項(xiàng)C：在中， ，
為直角三角形，其外心為與的交點(diǎn)，且，而
所以，所以Q為四面體的外接球的球心，球半徑為，所以球的表面積為，故C正確. 故選：ACD


三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13． 的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是________．
【答案】
【解析】的二項(xiàng)展開式有7項(xiàng)，其每項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為.
由二項(xiàng)式定理得二項(xiàng)式系數(shù)最大的一項(xiàng)是.
14．中國古代數(shù)學(xué)著作《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān).” 則此人在第六天行走的路程是__________里（用數(shù)字作答）.
【答案】
【解析】將這個(gè)人行走的路程依次排成一列得等比數(shù)列，，其公比，令數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則，而，因此，解得，所以此人在第六天行走的路程（里）.故答案為：6
15.直線與橢圓(m>0)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)P，則m＝ ，點(diǎn)P的坐標(biāo)是 .
【答案】，
【解析】法1：聯(lián)立方程得，
得，所以，得，所以.
法2：設(shè)，則處切線，與可化為，比對得，代入橢圓方程得：，得.
得，所以，得，所以.
法3：橢圓長軸長，焦點(diǎn).由橢圓的定義知，橢圓上每一個(gè)點(diǎn)P，均滿足，橢圓上外部的每一個(gè)點(diǎn)P，均滿足，直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)P，則對于直線上任意一點(diǎn)，滿足，當(dāng)且僅當(dāng)在點(diǎn)處時(shí)，等號成立，即當(dāng)在處時(shí)，取得最小值.求得關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，所以,因此，橢圓方程為，P的坐標(biāo)是.

16．若，則的取值范圍是____________．
【答案】
【解析】∵x>0，原不等式變形得．
或
，
由于，
若，則恒成立，在上單調(diào)遞增，無最大值，不符合題意；
若，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以.
綜上：,

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且，
所以有兩個(gè)零點(diǎn)，
由得
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.
，
且當(dāng)，，單調(diào)遞增，且當(dāng)，，單調(diào)遞減；
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.
所以的取值范圍是.
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17. （本小題滿分10分）
已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為，，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，
求和：.
【解析】(1)，
又，所以，
所以是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
所以的通項(xiàng)公式為. 4分
(2)得

兩式相減得：
又，所以
又，所以. 7分
①
②
兩式相減得：
. 10分
【考查內(nèi)容】等差數(shù)列性質(zhì)與公式，和式遞推數(shù)列求通項(xiàng)，錯(cuò)位相減法求和.

18．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)，其中ω為正整數(shù)，|φ|＜，且．
(1)求y＝f (x)圖象的一個(gè)對稱中心；
(2)若，求φ．
解：(1)由題設(shè)，的最小正周期．
又因?yàn)椋?
所以為圖象的一個(gè)對稱中心是． 4分
(2)由(1)知，故，由，得． 5分
由為的一個(gè)對稱中心，所以． 6分
因?yàn)?，所以或?7分
若，則，即．
不存在整數(shù)，使得． 9分
若，則，即．
不存在整數(shù)，使得．當(dāng)時(shí)，． 11分
此時(shí)，由，得． 12分
【命題來源】改編自2023年四省聯(lián)考T18
【考查內(nèi)容】的對稱性、周期性、單調(diào)性.

19. （本小題滿分12分）
如圖，三棱臺，,，平面平面，， ,與相交于點(diǎn)，，且∥平面.
(1)求三棱錐的體積；
(2)平面與平面所成角為，與平面所成角為，求證：.

【解析】(1)因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面?br /> 又，所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以?br /> 又，，所以平面， 2分
連接，因?yàn)椤纹矫?，平面，平面平面?br /> 所以，∥，
又，所以，從而. 4分
所以三棱錐底面的面積，高，
因此其體積為：. 6分
(2)證明：法1：因?yàn)槠矫妗纹矫?平面與平面所成角即平面與平面所成角，亦即的平面角，
因?yàn)?，所以平面，又∥，所以平面?br /> 所以即的平面角，所以， 8分
作，垂足為，因?yàn)槠矫?，所以?br /> 所以平面，所以, 10分
又△為等腰直角三角形，
所以. 12分
法2：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，
如圖.
則.
設(shè)平面的法向量為，
由，取，則，
平面的一個(gè)法向量為，
所以 8分
10分
又因?yàn)?，所?br />
又，所以. 12分
【考查內(nèi)容】棱錐的體積計(jì)算，直線與平面平行的性質(zhì)定理，平面與平面垂直的性質(zhì)定理，直線與平面所成角，平面與平面所成角，兩角和的正、余弦公式。

20. （本小題滿分12分）
已知函數(shù)
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若有三個(gè)零點(diǎn)，且在處的切線經(jīng)過點(diǎn)，，
求證：.
【解析】(1)，令
(i)當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
3分
(ii)當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
6分
(2)有三個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)或，
，① 8分
在處的切線方程為：，
該切線經(jīng)過點(diǎn)，則，
即,② 10分
①、②聯(lián)立得：

因?yàn)椋?br /> 所以，
所以，即. 12分
【命題來源】改編自《選擇性必修第二冊P99-T13》
【考查內(nèi)容】利用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)的單調(diào)性，曲線的切線，
【背景】三次方程的韋達(dá)定理.

21. （本小題滿分12分）
甲、乙兩選手進(jìn)行一場體育競技比賽，采用局勝制的比賽規(guī)則，即先贏下局比賽者最終獲勝. 已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，比賽結(jié)束時(shí)，甲最終獲勝的概率為.
(1)若，結(jié)束比賽時(shí)，比賽的局?jǐn)?shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；
(2)若采用5局3勝制比采用3局2勝制對甲更有利，即，
(i)求的取值范圍；(ii)證明數(shù)列單調(diào)遞增，并根據(jù)你的理解說明該結(jié)論的實(shí)際含義.
【解析】(1) ，即采用3局2勝制，所有可能取值為，
2分
的分布列如下表：

2
3



所以的數(shù)學(xué)期望為. 3分
(2)采用3局2勝制：不妨設(shè)賽滿3局，用表示3局比賽中甲勝的局?jǐn)?shù)，則，甲最終獲勝的概率為：
4分
采用5局3勝制：不妨設(shè)賽滿5局，用表示5局比賽中甲勝的局?jǐn)?shù)，則，甲最終獲勝的概率為：

， 5分

，
得. 7分
(3)由(2)知.
局比賽中恰好甲贏了局的概率為,
局比賽中恰好甲贏了局的概率為，
則局比賽中甲至少贏局的概率為.
考慮局比賽的前局：
如果這局比賽甲至少贏局，則無論后面結(jié)果如何都勝利，其概率為，
如果這局比賽甲贏了局，則需要后兩場至少贏一局，其概率為，
如果這局比賽甲贏了局，則需要后兩場都贏，其概率為，
因此局里甲最終獲勝的概率為：,

因此，即數(shù)列單調(diào)遞增. 11分
該結(jié)論的實(shí)際意義是：比賽局?jǐn)?shù)越多，對實(shí)力較強(qiáng)者越有利. 12分
【命題來源】改編自《選擇性必修第三冊P75例3》
【考查內(nèi)容】離散型隨機(jī)變量分布列，二項(xiàng)分布模型，三次函數(shù)的因式分解，概率與數(shù)列的綜合應(yīng)用.

22.（本小題滿分12分）
如圖，已知直線，，是平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∥且與相交于點(diǎn)（位于第一象限），∥,且與相交于點(diǎn)（位于第四象限），若四邊形（為原點(diǎn)）的面積為.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
(2)過點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，是否存在定直線，使以為直徑的圓與直線相交于兩點(diǎn)，且為定值，若存在，求出的方程，若不存在，請說明理由.

【解析】(1)設(shè)，
所在直線方程為，
聯(lián)立方程得，同理, 2分

若四邊形的面積：

化簡得，. 4分
因?yàn)槲挥诘谝幌笙?，位于第四象限，，?br /> 所以，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為. 5分
(2)假設(shè)存在定直線，使為定值.
設(shè),中點(diǎn)，直線方程為，
聯(lián)立方程， 6分
由得
7分
， 8分
，
設(shè)到直線的距離 9分

因?yàn)闉槎ㄖ担詾槎ㄖ? 10分
由為定值得即，
即當(dāng)時(shí)，為定值，此時(shí).
所以存在定直線，使為定值. 12分
【命題來源】改編自《選擇性必修第二冊》P128-T11和P146-T16.
【考查內(nèi)容】動(dòng)點(diǎn)軌跡問題，直線與雙曲線位置關(guān)系，直線與圓位置關(guān)系，探索性問題，定值問題.




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