湖南省長(zhǎng)沙市明德中學(xué)2023屆高三下學(xué)期高考仿真模擬考試數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________ 一、單選題1．已知集合，，設(shè)全集，則（    ）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿足，則（    ）A． B． C．2 D．43．已知平面向量滿足，，且與的夾角為，則（    ）A． B． C． D．4．李明上學(xué)有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時(shí)間，通過(guò)統(tǒng)計(jì)相關(guān)數(shù)據(jù)后，發(fā)現(xiàn)坐公交車用時(shí)和騎自行車用時(shí)都近似服從正態(tài)分布. 繪制了概率分布密度曲線，如圖所示，則下列哪種情況下，應(yīng)選擇騎自行車（    ）A．有26 min可用 B．有30 min可用C．有34 min可用 D．有38 min可用5．已知角的終邊在直線上，則（    ）A． B． C． D．6．已知拋物線的焦點(diǎn)為 ，準(zhǔn)線為，為上一點(diǎn)，，垂足為，與軸交點(diǎn)為，若，且的面積為，則的方程為（    ）A． B． C． D．7．如圖，一個(gè)由四根細(xì)鐵桿、、、組成的支架（、、、按照逆時(shí)針排布），若，一個(gè)半徑為1的球恰好放在支架上與四根細(xì)鐵桿均有接觸，則球心到點(diǎn)的距離是（    ）A． B． C．2 D．8．已知實(shí)數(shù)滿足： ，則（    ）A． B． C． D． 二、多選題9．6個(gè)數(shù)據(jù)構(gòu)成的散點(diǎn)圖，如圖所示，采用一元線性回歸模型建立經(jīng)驗(yàn)回歸方程，若在6個(gè)數(shù)據(jù)中去掉后，下列說(shuō)法正確的是（    ）A．解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變強(qiáng) B．樣本相關(guān)系數(shù)r變大C．殘差平方和變小 D．決定系數(shù)變小10．若，且，則（    ）A． B．C． D．11．在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．B．為鈍角三角形C．若，則的面積是D．若外接圓半徑是，內(nèi)切圓半徑為，則12．如圖，圓柱的底面半徑和母線長(zhǎng)均為是底面直徑，點(diǎn)在圓上且，點(diǎn)在母線，點(diǎn)是上底面的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（    ）A．的最小值為B．若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為4C．若，則四面體的外接球的表面積為D．若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為 三、填空題13．的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是________.14．中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，如此六日過(guò)其關(guān).” 則此人在第六天行走的路程是__________里（用數(shù)字作答）. 四、雙空題15．直線與橢圓(m>0)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)P，則m＝_______，點(diǎn)P的坐標(biāo)是________. 五、填空題16．若，則的取值范圍是____________. 六、解答題17．已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求和：.18．已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)，其中ω為正整數(shù)，|φ|＜，且.(1)求圖像的一個(gè)對(duì)稱中心；(2)若，求.19．如圖，三棱臺(tái)，，，平面平面，， ，與相交于點(diǎn)，，且∥平面.(1)求三棱錐的體積；(2)平面與平面所成角為，與平面所成角為，求證：.20．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若有三個(gè)零點(diǎn)，且在處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，求證：.21．甲、乙兩選手進(jìn)行一場(chǎng)體育競(jìng)技比賽，采用局勝制的比賽規(guī)則，即先贏下局比賽者最終獲勝. 已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，比賽結(jié)束時(shí)，甲最終獲勝的概率為.(1)若，結(jié)束比賽時(shí)，比賽的局?jǐn)?shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)若采用5局3勝制比采用3局2勝制對(duì)甲更有利，即.(i)求的取值范圍；(ii)證明數(shù)列單調(diào)遞增，并根據(jù)你的理解說(shuō)明該結(jié)論的實(shí)際含義.22．如圖，已知直線，，是平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∥且與相交于點(diǎn)（位于第一象限），∥，且與相交于點(diǎn)（位于第四象限），若四邊形（為原點(diǎn)）的面積為.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，是否存在定直線，使以為直徑的圓與直線相交于兩點(diǎn)，且為定值，若存在，求出的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
參考答案：1．B【分析】利用指數(shù)不等式，求出，再利用集合間的交并補(bǔ)運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】由，得到，所以又因，所以，因?yàn)槿?/span>，所以故選：B．2．A【分析】根據(jù)已知，先化簡(jiǎn)，得到，繼而利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出答案.【詳解】由，得，則所以.故選：A3．D【分析】根據(jù)模長(zhǎng)以及與的夾角為，可以求得向量的夾角，再利用模長(zhǎng)計(jì)算公式即可.【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄?/span>滿足，，且與的夾角為，則，則，即解得，所以.故選：D4．D【分析】應(yīng)選擇在給定時(shí)間內(nèi)不遲到的概率大的交通工具，結(jié)合圖形，比較概率的大小可得答案.【詳解】由題意，應(yīng)選擇在給定時(shí)間內(nèi)不遲到的概率大的交通工具.根據(jù)和的分布密度曲線圖可知，，，，.所以，如果有38 min可用，那么騎自行車不遲到的概率大，應(yīng)選擇騎自行車.故選：D.5．A【分析】根據(jù)終邊上一點(diǎn)求出角的正切，再結(jié)合二倍角正弦公式，余弦公式，化簡(jiǎn)求值即可. 【詳解】因?yàn)榻?/span>的終邊在直線上，故，所以.故選：A.6．A【分析】根據(jù)拋物線定義，結(jié)合圖形特征，用p表示三角形面積列式可求拋物線方程. 【詳解】由拋物線定義知，所以為等邊三角形，為的中點(diǎn)，所以，，的面積，所以的方程為.故選：A. 7．B【分析】將支架看作一個(gè)正四棱錐，根據(jù)已知及相切關(guān)系得到三角形相似，利用相似比求球心到點(diǎn)的距離.【詳解】如上圖正四棱錐，為底面中心，為球心，為球體與的切點(diǎn)，又，故各側(cè)面均為等邊三角形，若側(cè)面三角形邊長(zhǎng)為，則，，，顯然△△，故，則.故選：B.8．A【分析】首先可得，再設(shè)，即可得到，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到，同理得到、，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到，即可判斷.【詳解】因?yàn)?/span>，即，所以，設(shè)，，設(shè)是單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以，即，又是單調(diào)遞減函數(shù)，且，所以，設(shè)設(shè)是單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以，即又是單調(diào)遞減函數(shù)，且，，所以，同理，由得，又是單調(diào)遞減函數(shù)，且，，所以，由，所以且是單調(diào)遞減函數(shù)，所以.綜上可得故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是合理的構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷.9．AC【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖的性質(zhì)可知去掉E后相關(guān)性變強(qiáng)判斷A選項(xiàng)，相關(guān)系數(shù)為負(fù)判斷B選項(xiàng)，殘差平方和判斷C,D選項(xiàng). 【詳解】去掉后，變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變強(qiáng)，故A正確；但由于散點(diǎn)的分布是從左上到右下，故變量x，y負(fù)相關(guān)，所以相關(guān)系數(shù)r變小，殘差平方和變小， 決定系數(shù)變大，C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC.10．ABD【分析】利用基本不等式判斷A、B、D，消元、結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷C.【詳解】因?yàn)?/span>，且，對(duì)于A：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A正確；對(duì)于B：，當(dāng)且僅當(dāng)，即、時(shí)取等號(hào)，故B正確；對(duì)于C：，當(dāng)且僅當(dāng)、時(shí)取等號(hào)，故C不正確；對(duì)于D：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確.故選：ABD11．BD【分析】由正弦定理得到A選項(xiàng)；由大邊對(duì)大角確定C最大，由余弦定理求出得到答案；C選項(xiàng)，由角C的余弦求出角C的正弦，再用面積公式求解；D選項(xiàng)，正弦定理求出外接圓半徑,設(shè)出內(nèi)切圓半徑，利用面積列出方程，求出內(nèi)切圓半徑.【詳解】設(shè)，則，對(duì)于A ，，故A不正確；對(duì)于B ，c最大，所以C最大，，故B正確；對(duì)于C，若，則，，所以，所以的面積是，故C不正確；對(duì)于D，若正弦定理，的周長(zhǎng)，，所以內(nèi)切圓半徑為，所以.故D正確. 故選：BD12．ACD【分析】作出E關(guān)于D點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，根據(jù)對(duì)稱性的最小值即為的長(zhǎng)度，即可判斷A；根據(jù)題意，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，對(duì)于BCD不同的條件，分別利用，然后往要求的方面轉(zhuǎn)化，即可判斷選項(xiàng)的正誤.【詳解】設(shè)E關(guān)于D點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，故的最小值為，故A正確；由題意知，則以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)，則，對(duì)選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為上底面圓的一條弦MN，到MN的距離為1，所以，故點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為，所以B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，其軌跡長(zhǎng)為，故D正確；對(duì)選項(xiàng)C：在中， ，為直角三角形，其外心為與的交點(diǎn)，且，而，所以，所以Q為四面體的外接球的球心，球半徑為，所以球的表面積為，故C正確.故選：ACD13．/【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)即可知最大，由二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)特征即可求解.【詳解】的二項(xiàng)展開(kāi)式有7項(xiàng)，其二項(xiàng)式系數(shù)為，由組合數(shù)的性質(zhì)可知最大，故由二項(xiàng)式定理得二項(xiàng)式系數(shù)最大的一項(xiàng)是.故答案為：14．6【分析】根據(jù)題意分析，看成首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，已知，繼而求出，即可得出答案.【詳解】將這個(gè)人行走的路程依次排成一列得等比數(shù)列，，其公比，令數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則，而，因此，解得，所以此人在第六天行走的路程（里）.故答案為：615．          【分析】法1用代數(shù)法轉(zhuǎn)化為一元二次方程只有兩個(gè)相等實(shí)根求解；法2用橢圓在橢圓上一點(diǎn)處的切線方程的形式求解；法3用橢圓的定義可求解.【詳解】法1：聯(lián)立方程得，得，所以，得，所以.法2：設(shè)，則處切線，可化為，比對(duì)得，代入橢圓方程得：，得.得，所以，得，所以.法3：橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)，焦點(diǎn). 由橢圓的定義知，橢圓上每一個(gè)點(diǎn)P，均滿足，橢圓上外部的每一個(gè)點(diǎn)P，均滿足，直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)P，則對(duì)于直線上任意一點(diǎn)，滿足，當(dāng)且僅當(dāng)在點(diǎn)處時(shí)，等號(hào)成立，即當(dāng)在處時(shí)，取得最小值.求得關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，所以，因此，橢圓方程為，P的坐標(biāo)是.故答案為：；16．【分析】根據(jù)題意，將不等式變形然后轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立問(wèn)題，將范圍轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問(wèn)題，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可得到結(jié)果.【詳解】，原不等式變形得.，或，，由于，若，則恒成立，在上單調(diào)遞增，無(wú)最大值，不符合題意；若，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.綜上：，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，由得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.，且當(dāng)，，單調(diào)遞增，且當(dāng)，，單調(diào)遞減；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵在于先轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，再構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)作為工具研究函數(shù)的最值，即可得到結(jié)果.17．(1)(2) 【分析】（1）先利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式與性質(zhì)得到，從而結(jié)合條件求得公差，從而得解；（2）先利用推遞作差法求得，從而求得，再利用錯(cuò)位相減法即可得解.【詳解】（1）因?yàn)榈炔顢?shù)列前項(xiàng)和為，所以，又，所以，又，所以是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，所以的通項(xiàng)公式為.（2）因?yàn)?/span>，所以，兩式相減得：，又滿足上式，所以，又，所以.所以，，兩式相減得：.18．(1)(2) 【分析】（1）由題意，，則有，可得函數(shù)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心. （2）由周期的范圍，得，由，求滿足條件的.【詳解】（1）由題設(shè)，的最小正周期，，又因?yàn)?/span>，，所以為圖像的一個(gè)對(duì)稱中心是.（2）由（1）知，故，由，得. 由為的一個(gè)對(duì)稱中心，所以. 因?yàn)?/span>，所以或. 若，則，即.不存在整數(shù)，使得. 若，則，即.不存在整數(shù)，使得.當(dāng)時(shí)，. 此時(shí)，由，得.19．(1)2(2)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）通過(guò)證明線線和線面垂直，并結(jié)合已知條件即可得出三棱錐的體積；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，表達(dá)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，求出所成角為與的正余弦值，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）由題意，∵平面平面，且平面平面，，平面ABC∴平面，∵平面，∴，又，，平面ABC∴平面， 連接，∵平面，平面，平面平面，∴， ∵，∴，∴. ∴三棱錐底面的面積，高，∴其體積為：.（2）證明：由題意及（1）得，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.則.設(shè)平面的法向量為，由，取，則，平面的一個(gè)法向量為，所以 又因?yàn)?/span>，所以又，所以.20．(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）求導(dǎo)，分為，兩種情況討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，得出函數(shù)的單調(diào)性；（2）有三個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)，由此得出范圍．由題意①，由在處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)求得②，①②聯(lián)立化簡(jiǎn)整理即可得出結(jié)論.【詳解】（1），令，(i)當(dāng)時(shí)，時(shí)，；時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；(ii)當(dāng)時(shí)，時(shí)，；時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）有三個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)或，由題意，①在處的切線方程為：，該切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，即，②①②聯(lián)立得：，，因?yàn)?/span>，所以，，所以，即.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先要求函數(shù)的定義域，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)含有參數(shù)時(shí)，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，在確定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)時(shí)，難點(diǎn)在于分類討論時(shí)標(biāo)準(zhǔn)的確定，主要是按照是否有根，根的大小進(jìn)行分類求解的．21．(1)分布列見(jiàn)解析，(2)（i）；（ii）證明見(jiàn)解析，比賽局?jǐn)?shù)越多，對(duì)實(shí)力較強(qiáng)者越有利 【分析】（1）先寫(xiě)出離散型隨機(jī)變量的分布列，再求出數(shù)學(xué)期望即可；（2）先根據(jù)已知不等式列式求解，再根據(jù)單調(diào)性定義作差證明單調(diào)遞增說(shuō)明結(jié)論.【詳解】（1），即采用3局2勝制，所有可能取值為，，的分布列如下表：23所以的數(shù)學(xué)期望為.（2）采用3局2勝制：不妨設(shè)賽滿3局，用表示3局比賽中甲勝的局?jǐn)?shù)，則，甲最終獲勝的概率為：，采用5局3勝制：不妨設(shè)賽滿5局，用表示5局比賽中甲勝的局?jǐn)?shù)，則，甲最終獲勝的概率為：，，得. （ii）由（i）知.局比賽中恰好甲贏了局的概率為，局比賽中恰好甲贏了局的概率為，則局比賽中甲至少贏局的概率為. 考慮局比賽的前局：如果這局比賽甲至少贏局，則無(wú)論后面結(jié)果如何都勝利，其概率為，如果這局比賽甲贏了局，則需要后兩場(chǎng)至少贏一局，其概率為，如果這局比賽甲贏了局，則需要后兩場(chǎng)都贏，其概率為，因此局里甲最終獲勝的概率為：，因此，即數(shù)列單調(diào)遞增. 該結(jié)論的實(shí)際意義是：比賽局?jǐn)?shù)越多，對(duì)實(shí)力較強(qiáng)者越有利.22．(1)(2)存在， 【分析】（1）設(shè)，，聯(lián)立方程解得，同理，根據(jù)面積公式，化簡(jiǎn)得到答案.（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程根據(jù)韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，確定為定值，計(jì)算得到答案.【詳解】（1）設(shè)，，所在直線方程為，聯(lián)立方程得，同理， ，若四邊形的面積：，化簡(jiǎn)得. 因?yàn)?/span>位于第一象限，位于第四象限，，，即，所以，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）假設(shè)存在定直線，使為定值.設(shè)，中點(diǎn)，直線方程為，聯(lián)立方程， ，由，得，，， ，設(shè)到直線的距離，，因?yàn)?/span>為定值，所以為定值. 由為定值，故即，即當(dāng)時(shí)，為定值，此時(shí).所以存在定直線，使為定值.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了雙曲線方程，定值問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中，利用設(shè)而不求的思想，利用韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵，此方法是?？挤椒?，需要熟練掌握. 

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