2022-2023學年湖南省長沙市一中多校高三下學期5月高考仿真模擬考試數(shù)學試題含答案

這是一份2022-2023學年湖南省長沙市一中多校高三下學期5月高考仿真模擬考試數(shù)學試題含答案，共22頁。試卷主要包含了本試卷分第I卷兩部分等內(nèi)容，歡迎下載使用。
長沙市一中多校2022-2023學年高三下學期5月高考仿真模擬考試數(shù)  學注意事項： 1.本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。 2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。 3.回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。 4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。  一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，設(shè)全集，則(　　) A． B． C．  D．2．已知復數(shù)滿足，則(　　) A． B． C．2 D． 43．已知平面向量滿足，，且與的夾角為，則(　　) A． B． C． D．4．李明上學有時坐公交車，有時騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，通過統(tǒng)計相關(guān)數(shù)據(jù)后，發(fā)現(xiàn)坐公交車用時和騎自行車用時都近似服從正態(tài)分布. 繪制了概率分布密度曲線，如圖所示，則下列哪種情況下，應(yīng)選擇騎自行車(　　)A. 有26 min可用  B. 有30 min可用 C. 有34 min可用  D. 有38 min可用5．已知角的終邊在直線上，則(　　)A． B． C． D． 6．已知拋物線的焦點為 ，準線為，為上一點，，垂足為，與軸交點為，若，且的面積為，則的方程為(　　) A．      B． C．      D．7．如圖，一個由四根細鐵桿、、、組成的支架（、、、按照逆時針排布），若，一個半徑為1的球恰好放在支架上與四根細鐵桿均有接觸，則球心到點的距離是(　　)A．2 B． C．  D． 8．已知實數(shù)滿足： 則(　　)A． B． C． D． 二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9． 6個數(shù)據(jù)構(gòu)成的散點圖，如圖所示，采用一元線性回歸模型建立經(jīng)驗回歸方程，若在6個數(shù)據(jù)中去掉后，下列說法正確的是(　　)A．解釋變量x與預(yù)報變量y的相關(guān)性變強 B．樣本相關(guān)系數(shù)r變大C．殘差平方和變小  D．決定系數(shù)變小 10．若，且，則(　　)A．  B．  C．  D．11．在△中，角所對的邊分別為，已知，則下列結(jié)論正確的是(　　)A． B．△為鈍角三角形C．若，則△的面積是 D．若△外接圓半徑是，內(nèi)切圓半徑為，則12．如圖，圓柱的底面半徑和母線長均為是底面直徑，點在圓上且，點在母線，點是上底面的一個動點，則(　　)A．的最小值為B．若，則點的軌跡長為4C．若，則四面體的外接球的表面積為D．若，則點的軌跡長為 三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13． 的展開式中二項式系數(shù)最大的項是________．14．中國古代數(shù)學著作《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān).” 則此人在第六天行走的路程是__________里（用數(shù)字作答）.15.直線與橢圓(m>0)有且僅有一個公共點P，則m＝       ，點P的坐標是        .16．若，則的取值范圍是____________． 四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17. （本小題滿分10分）已知等差數(shù)列前項和為，，.(1)求的通項公式； (2)若數(shù)列滿足，求和：.                     18．（本小題滿分12分）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)，其中ω為正整數(shù)，|φ|＜，且．(1)求y＝f (x)圖象的一個對稱中心；(2)若，求φ．                19. （本小題滿分12分）如圖，三棱臺，,，平面平面，， ,與相交于點，，且∥平面.(1)求三棱錐的體積；(2)平面與平面所成角為，與平面所成角為，求證：.               20. （本小題滿分12分）已知函數(shù)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若有三個零點，且在處的切線經(jīng)過點，，求證：.                    21. （本小題滿分12分）甲、乙兩選手進行一場體育競技比賽，采用局勝制的比賽規(guī)則，即先贏下局比賽者最終獲勝. 已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，比賽結(jié)束時，甲最終獲勝的概率為.(1)若，結(jié)束比賽時，比賽的局數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望；(2)若采用5局3勝制比采用3局2勝制對甲更有利，即，(i)求的取值范圍；(ii)證明數(shù)列單調(diào)遞增，并根據(jù)你的理解說明該結(jié)論的實際含義.                  22.（本小題滿分12分）如圖，已知直線，，是平面內(nèi)一個動點，∥且與相交于點（位于第一象限），∥,且與相交于點（位于第四象限），若四邊形（為原點）的面積為.(1)求動點的軌跡的方程；(2)過點的直線與相交于兩點，是否存在定直線，使以為直徑的圓與直線相交于兩點，且為定值，若存在，求出的方程，若不存在，請說明理由.
長沙市多校2022-2023學年高三下學期5月高考仿真模擬考試數(shù)學參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，設(shè)全集，則(　　) A． B． C．  D．【答案】C2．已知復數(shù)滿足，則(　　) A． B． C．2 D． 4【答案】A3．已知平面向量滿足，，且與的夾角為，則(　　) A． B． C． D． 【答案】D4．李明上學有時坐公交車，有時騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，通過統(tǒng)計相關(guān)數(shù)據(jù)后，發(fā)現(xiàn)坐公交車用時和騎自行車用時都近似服從正態(tài)分布. 繪制了概率分布密度曲線，如圖所示，則下列哪種情況下，應(yīng)選擇騎自行車(　　) A. 有26 min可用  B. 有30 min可用 C. 有34 min可用  D. 有38 min可用【答案】D5．已知角的終邊在直線上，則(　　)A． B． C． D． 【答案】A6．已知拋物線的焦點為 ，準線為，為上一點，，垂足為，與軸交點為，若，且的面積為，則的方程為(　　) A．      B． C．      D．【答案】B 7．如圖，一個由四根細鐵桿、、、組成的支架（、、、按照逆時針排布），若，一個半徑為1的球恰好放在支架上與四根細鐵桿均有接觸，則球心到點的距離是(　　)A．2 B． C．  D． 【答案】C8．已知實數(shù)滿足： 則(　　)A． B． C． D．【答案】A二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9． 6個數(shù)據(jù)構(gòu)成的散點圖，如圖所示，采用一元線性回歸模型建立經(jīng)驗回歸方程，若在6個數(shù)據(jù)中去掉后，下列說法正確的是(　　)A．解釋變量x與預(yù)報變量y的相關(guān)性變強 B．樣本相關(guān)系數(shù)r變大C．殘差平方和變小  D．決定系數(shù)變小 【答案】AC10．若，且，則(　　)A．  B．  C．  D．【答案】ABD11．在△中，角所對的邊分別為，已知，則下列結(jié)論正確的是(　　)A． B．△為鈍角三角形C．若，則△的面積是 D．若△外接圓半徑是，內(nèi)切圓半徑為，則【答案】BD12．如圖，圓柱的底面半徑和母線長均為是底面直徑，點在圓上且，點在母線，點是上底面的一個動點，則(　　)A．的最小值為B．若，則點的軌跡長為4C．若，則四面體的外接球的表面積為D．若，則點的軌跡長為  【答案】ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13． 的展開式中二項式系數(shù)最大的項是________．【答案】14．中國古代數(shù)學著作《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān).” 則此人在第六天行走的路程是__________里（用數(shù)字作答）.【答案】15.直線與橢圓(m>0)有且僅有一個公共點P，則m＝       ，點P的坐標是        .【答案】，16．若，則的取值范圍是____________．【答案】四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17. （本小題滿分10分）已知等差數(shù)列前項和為，，.(1)求的通項公式； (2)若數(shù)列滿足，求和：. 【解析】(1)，又，所以，所以是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，所以的通項公式為.------------------------------------------------------4分(2)得兩式相減得：又，所以又，所以.-------------------------------------------------------------7分 ①②兩式相減得：.-------------------------------------------------------------------10分【考查內(nèi)容】等差數(shù)列性質(zhì)與公式，和式遞推數(shù)列求通項，錯位相減法求和. 18．（本小題滿分12分）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)，其中ω為正整數(shù)，|φ|＜，且．(1)求y＝f (x)圖象的一個對稱中心；(2)若，求φ．解：(1)由題設(shè)，的最小正周期．又因為，,所以為圖象的一個對稱中心是．----------------------------------------4分(2)由(1)知，故，由，得．--------------------------------------------5分由為的一個對稱中心，所以．-----------------------------------------6分因為，所以或．---------------------------------------------------7分若，則，即．不存在整數(shù)，使得．------------------------------------------------9分若，則，即．不存在整數(shù)，使得．當時，．-----------------------------------------11分此時，由，得．--------------------------------------------------12分【命題來源】改編自2023年四省聯(lián)考T18【考查內(nèi)容】的對稱性、周期性、單調(diào)性. 19. （本小題滿分12分）如圖，三棱臺，,，平面平面，， ,與相交于點，，且∥平面.(1)求三棱錐的體積；(2)平面與平面所成角為，與平面所成角為，求證：.【解析】(1)因為平面平面，且平面平面，又，所以平面，因為平面，所以，又，，所以平面，-------------------------------------------------2分連接，因為∥平面，平面，平面平面，所以，∥， 又，所以，從而.---------------------------------------------------4分所以三棱錐底面的面積，高，因此其體積為：.--------------------------------------------------6分 (2)證明：法1：因為平面∥平面,平面與平面所成角即平面與平面所成角，亦即的平面角， 因為，所以平面，又∥，所以平面，所以即的平面角，所以，--------------------------------------------8分作，垂足為，因為平面，所以，所以平面，所以,-------------------------------------------------10分又△為等腰直角三角形，所以.---------------------------------------------------------12分法2：以為坐標原點，分別以為軸的正方向建立平面直角坐標系，如圖.則.設(shè)平面的法向量為，由，取，則，平面的一個法向量為，所以-----------------------------------------------------------8分--------------------------------------------------------------10分又因為，所以又，所以.------------------------------------------------------12分【考查內(nèi)容】棱錐的體積計算，直線與平面平行的性質(zhì)定理，平面與平面垂直的性質(zhì)定理，直線與平面所成角，平面與平面所成角，兩角和的正、余弦公式。 20. （本小題滿分12分）已知函數(shù)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若有三個零點，且在處的切線經(jīng)過點，，求證：.【解析】(1)，令(i)當時，時，，時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；-----------------------------------------------------------3分(ii)當時，時，，時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；-----------------------------------------------------------6分(2)有三個零點，當且僅當或，，①-----------------------------------------------------------8分在處的切線方程為：，該切線經(jīng)過點，則，即,②---------------------------------------------------------10分①、②聯(lián)立得：因為，所以，所以，即.-------------------------------------------------------12分【命題來源】改編自《選擇性必修第二冊P99-T13》【考查內(nèi)容】利用導數(shù)研究三次函數(shù)的單調(diào)性，曲線的切線，【背景】三次方程的韋達定理. 21. （本小題滿分12分）甲、乙兩選手進行一場體育競技比賽，采用局勝制的比賽規(guī)則，即先贏下局比賽者最終獲勝. 已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，比賽結(jié)束時，甲最終獲勝的概率為.(1)若，結(jié)束比賽時，比賽的局數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望；(2)若采用5局3勝制比采用3局2勝制對甲更有利，即，(i)求的取值范圍；(ii)證明數(shù)列單調(diào)遞增，并根據(jù)你的理解說明該結(jié)論的實際含義.【解析】(1) ，即采用3局2勝制，所有可能取值為，--------------------------------------------------------------2分的分布列如下表：23所以的數(shù)學期望為.-------------------------------------------------3分(2)采用3局2勝制：不妨設(shè)賽滿3局，用表示3局比賽中甲勝的局數(shù)，則，甲最終獲勝的概率為：--------------------------------------------------------------4分采用5局3勝制：不妨設(shè)賽滿5局，用表示5局比賽中甲勝的局數(shù)，則，甲最終獲勝的概率為：          ，--------------------------------------------------------5分，得.------------------------------------------------------------7分(3)由(2)知.局比賽中恰好甲贏了局的概率為,局比賽中恰好甲贏了局的概率為，則局比賽中甲至少贏局的概率為. 考慮局比賽的前局：如果這局比賽甲至少贏局，則無論后面結(jié)果如何都勝利，其概率為，如果這局比賽甲贏了局，則需要后兩場至少贏一局，其概率為，如果這局比賽甲贏了局，則需要后兩場都贏，其概率為，因此局里甲最終獲勝的概率為：,因此，即數(shù)列單調(diào)遞增. --------------------------------------------11分該結(jié)論的實際意義是：比賽局數(shù)越多，對實力較強者越有利. -------------------12分【命題來源】改編自《選擇性必修第三冊P75例3》【考查內(nèi)容】離散型隨機變量分布列，二項分布模型，三次函數(shù)的因式分解，概率與數(shù)列的綜合應(yīng)用. 22.（本小題滿分12分）如圖，已知直線，，是平面內(nèi)一個動點，∥且與相交于點（位于第一象限），∥,且與相交于點（位于第四象限），若四邊形（為原點）的面積為.(1)求動點的軌跡的方程；(2)過點的直線與相交于兩點，是否存在定直線，使以為直徑的圓與直線相交于兩點，且為定值，若存在，求出的方程，若不存在，請說明理由.【解析】(1)設(shè)，所在直線方程為，聯(lián)立方程得，同理,-------------------------------------------------2分若四邊形的面積：化簡得，.-------------------------------------------------------4分因為位于第一象限，位于第四象限，，，所以，即動點的軌跡的方程為.---------------------------------------------5分(2)假設(shè)存在定直線，使為定值.設(shè),中點，直線方程為，聯(lián)立方程，------------------------------------------------------------6分由得--------------------------------------------------------------------7分，-------------------------------------------------------------------8分，設(shè)到直線的距離--------------------------------------------------------9分因為為定值，所以為定值. ----------------------------------------------10分由為定值得即，即當時，為定值，此時.所以存在定直線，使為定值.-----------------------------------------12分【命題來源】改編自《選擇性必修第二冊》P128-T11和P146-T16.【考查內(nèi)容】動點軌跡問題，直線與雙曲線位置關(guān)系，直線與圓位置關(guān)系，探索性問題，定值問題.