2023屆河南省濮陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)高三高考模擬質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．已知集合，，則中的元素個(gè)數(shù)為（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】應(yīng)用并運(yùn)算求，即可得元素個(gè)數(shù).【詳解】由題設(shè)，所以，故其中元素共有4個(gè).故選：B2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱(chēng)，則等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】計(jì)算得，關(guān)于虛軸對(duì)稱(chēng)即關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，得出結(jié)果即可．【詳解】由題意得，∵復(fù)數(shù)與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)，∴．故選：D．3．平面向量與相互垂直，已知，，且與向量(1，0)的夾角是鈍角，則=（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先設(shè)出向量的坐標(biāo)，利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示及模的運(yùn)算，向量夾角的定義求解即可．【詳解】設(shè) ①， ，②，與向量(1，0)夾角為鈍角，，③，由①②③解得，，故選：D．4．某高中高一學(xué)生從物化生政史地六科中選三科組合，其中選物化生組合的學(xué)生有600人，選物化地組合的學(xué)生有400人，選政史地組合的學(xué)生有250人，現(xiàn)從高一學(xué)生中選取25人作樣本調(diào)研情況．為保證調(diào)研結(jié)果相對(duì)準(zhǔn)確，下列判斷錯(cuò)誤的是（    ）A．用分層抽樣的方法抽取物化生組合的學(xué)生12人B．用分層抽樣的方法抽取政史地組合的學(xué)生5人C．物化生組合學(xué)生小張被選中的概率比物化地組合學(xué)生小王被選中的概率大D．政史地組合學(xué)生小劉被選中的概率為【答案】C【分析】根據(jù)分層抽樣，計(jì)算各層抽取的人數(shù)以及抽樣比，即可得出答案.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，用分層抽樣的方法抽取物化生組合的學(xué)生為 人，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，用分層抽樣的方法抽取政史地組合的學(xué)生為，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，根據(jù)分層抽樣的特征知，每位同學(xué)被選中的概率相等，均為，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，由C知，每位同學(xué)被選中的概率均為，故D項(xiàng)正確.故選：C.5．已知是無(wú)窮等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，則“為遞增數(shù)列”是“存在使得”的（    ）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】解：因?yàn)?/span>是無(wú)窮等差數(shù)列，若為遞增數(shù)列，所以公差，令，解得，表示取整函數(shù)，所以存在正整數(shù)，有，故充分；設(shè)數(shù)列為5，3，1，-1，…，滿(mǎn)足，但，則數(shù)列是遞減數(shù)列，故不必要，故選：A6．焦點(diǎn)為的拋物線(xiàn)上有一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則滿(mǎn)足的點(diǎn)的坐標(biāo)為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)中，解得，從而得到點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，要滿(mǎn)足，則只需點(diǎn)為的垂直平分線(xiàn)和的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，進(jìn)而求解即可．【詳解】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)中得，解得，則，所以的斜率為1，且的中點(diǎn)為，則的垂直平分線(xiàn)方程為，即，又的垂直平分線(xiàn)方程為，又，則點(diǎn)為的垂直平分線(xiàn)和的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選：B．7．將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，直線(xiàn)與曲線(xiàn)僅交于，三點(diǎn)，為的等差中項(xiàng)，則的最小值為（    ）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【分析】由三角函數(shù)圖象的平移變換可得，由題意推得必為函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心，可得，即可求得答案.【詳解】由題意將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，則，因?yàn)橹本€(xiàn)與曲線(xiàn)僅交于，三點(diǎn)，為的等差中項(xiàng)，由于，在直線(xiàn)上,故為的等差中項(xiàng)，不妨設(shè)，則，即，若 ，則，即，此時(shí)直線(xiàn)與曲線(xiàn)不止三個(gè)交點(diǎn)，不合題意；故，結(jié)合的對(duì)稱(chēng)性，可得有直線(xiàn)與曲線(xiàn)僅有3個(gè)交點(diǎn)，即必為函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心，即，故，因?yàn)?/span>，故時(shí)，的最小值為4，故選：C8．古希臘亞歷山大時(shí)期的數(shù)學(xué)家帕普斯在《數(shù)學(xué)匯編》第3卷中記載著一個(gè)確定重心的定理：“如果同一平面內(nèi)的一個(gè)閉合圖形的內(nèi)部與一條直線(xiàn)不相交，那么該閉合圖形圍繞這條直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積等于閉合圖形面積乘以該閉合圖形的重心旋轉(zhuǎn)所得周長(zhǎng)的積”，即（表示平面圖形繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的體積，表示平面圖形的面積，表示重心繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的周長(zhǎng)）.如圖直角梯形，已知，則重心到的距離為（    ）A． B． C．3 D．2【答案】A【分析】根據(jù)題意，用式子分別表示出圓臺(tái)體積、梯形面積以及重心繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的周長(zhǎng)，進(jìn)而求解答案.【詳解】直角梯形繞旋轉(zhuǎn)一周所得的圓臺(tái)的體積為；梯形的面積，故記重心到的距離為，則，則，故選：A9．設(shè)，，，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)分析這兩個(gè)函數(shù)在上的單調(diào)性，可得出、的大小關(guān)系，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出、的大小關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?/span>，令，則在上恒成立，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，因?yàn)?/span>，則，所以，，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，即，所以，，故，又因?yàn)?/span>，，，，故，故選：B.10．在正三棱柱中，，點(diǎn)滿(mǎn)足，其中，，則下列說(shuō)法正確的是（    ）①當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為定值；②當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值；③當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得；④若，則點(diǎn)的軌跡所圍成的面積為.A．①② B．②③ C．②④ D．①③【答案】C【分析】取的中點(diǎn)，連接，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，取和求的周長(zhǎng)，可判斷①；利用錐體的體積公式可判斷②；利用求出的值，可判斷③；求出點(diǎn)的軌跡所圍成的面積，可判斷④.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>為等邊三角形，則，且平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，，其中，，，對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，，，若，則，，，此時(shí)，的周長(zhǎng)為；若，則，則，同理可得，此時(shí)，的周長(zhǎng)為，故當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)不是定值，①錯(cuò)；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，所以，，且點(diǎn)到平面的距離也為定值，故為定值，②對(duì)；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，，，，因?yàn)?/span>，則，因?yàn)?/span>，解得或，所以，當(dāng)時(shí)，有且僅有兩個(gè)點(diǎn)，使得，③錯(cuò)；對(duì)于④，設(shè)點(diǎn)，其中，，則，可得，所以，點(diǎn)的軌跡是平面內(nèi)以點(diǎn)為圓心，半徑為的半圓及其內(nèi)部，故點(diǎn)的軌跡所圍成的面積為，④對(duì).故選：C.11．已知，分別是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，，，點(diǎn)到雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)的距離分別為，，則（    ）A． B． C． D．2【答案】B【分析】運(yùn)用雙曲線(xiàn)定義求得a、c的值，進(jìn)而求得兩條漸近線(xiàn)方程，結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求解即可.【詳解】由，得．因?yàn)?/span>，所以．又因?yàn)?/span>，所以，故雙曲線(xiàn)的方程為，所以?xún)蓷l漸近線(xiàn)的方程為．設(shè)，則，故．不妨設(shè)，則，所以，所以．故選：B．12．函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則＝ （    ）A． B．－ C． D．【答案】B【分析】由，代入整理變形可得.構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出在上單調(diào)遞增.即可得出，則，代入即可得出答案.【詳解】由已知可得，，即，即.令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以恒成立，所以在上單調(diào)遞增.所以有可得，，則，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由得出后，進(jìn)行同構(gòu)變形得到然后構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，得到關(guān)于的關(guān)系式，即可得出答案. 二、填空題13．若的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為160，則的最小值為_____________．【答案】4【分析】在二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令的冪指數(shù)等于0，求出的值，即可求出之間的關(guān)系，再結(jié)合不等式的性質(zhì)求解即可.【詳解】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為:，令，則，所以，即,所以，因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以的最小值為4.故答案為：4.14．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，滿(mǎn)足.若為銳角三角形，且，則當(dāng)面積最大時(shí)，其內(nèi)切圓面積為________.【答案】/【分析】先用正弦定理及余弦定理可得，結(jié)合面積公式和基本不等式可得當(dāng)為等邊三角形時(shí)，面積取到最大值，再利用等面積法求內(nèi)切圓半徑即可.【詳解】∵，則由正弦定理可得，整理得，則.∵為銳角三角形，則，故，由面積為，可得當(dāng)面積取到最大值，即為取到最大值.∵，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即為等邊三角形時(shí)等號(hào)成立.故當(dāng)為等邊三角形時(shí)，面積取到最大值，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，解得，故內(nèi)切圓面積為.故答案為：.15．已知點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)滿(mǎn)足，則實(shí)數(shù)的取值的范圍是___________.【答案】【分析】設(shè)，由數(shù)量積的坐標(biāo)表示求得點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓，然后由圓與圓的位置關(guān)系可得的范圍．【詳解】設(shè)，則，，即，在以為圓心，2為半徑的圓上，由題意該圓與圓有公共點(diǎn)，所以，解得．故答案為：．16．若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，則______．【答案】【分析】求導(dǎo)得到，，，，則，解得答案.【詳解】，定義域?yàn)?/span>，所以，故，；又，所以．又，故，所以，所以．故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的極值點(diǎn)問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中利用消元的思想解方程是解題的關(guān)鍵. 三、解答題17．設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，，，.(1)求的通項(xiàng)；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）將轉(zhuǎn)化為，化簡(jiǎn)后利用配湊法得到是以為公差的等差數(shù)列，其首項(xiàng)為，求得，再根據(jù)，，求得的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）化簡(jiǎn)，利用裂項(xiàng)求和法求得.【詳解】（1）解：，時(shí)，，展開(kāi)化簡(jiǎn)整理得，，若，，則，此時(shí)，顯然不成立，所以，，所以數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，其首項(xiàng)為，，，又，，所以，顯然當(dāng)時(shí)不滿(mǎn)足題意，所以.（2）解：由于， 數(shù)列的前項(xiàng)和，.18．如圖1，在梯形中，，于，且，將梯形沿折疊成如圖2所示的幾何體，，為直線(xiàn)上一點(diǎn)，且于，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，連接，.(1)證明：；(2)若圖1中，，求當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，平面與平面所成銳角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）根據(jù)線(xiàn)面垂直即可證明線(xiàn)線(xiàn)垂直，（2）根據(jù)體積公式表達(dá)出體積，利用導(dǎo)數(shù)求解最值，進(jìn)而根據(jù)空間向量求解面面角.【詳解】（1）由已知得，，且，平面, 所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以，在梯形中，，因?yàn)?/span>為線(xiàn)段的中點(diǎn)，所以，故，又因?yàn)?/span>，且，平面, 所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以.（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，又因?yàn)?/span>平面,平面 ,所以，又，平面, 所以平面，所以線(xiàn)段的長(zhǎng)度為點(diǎn)到平面的距離.設(shè)，則，則四棱錐的體積，令，，，則時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，即當(dāng)時(shí)，四棱錐的體積最大，此時(shí)，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)，分別為軸、軸，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作與垂直的直線(xiàn)為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，，設(shè)平面的法向量，則有，可取，因?yàn)?/span>平面，所以即為平面的一個(gè)法向量，則，故，所以平面與平面所成銳角的正弦值為.19．江西省作為全國(guó)第四批啟動(dòng)高考綜合改革的7個(gè)省份之一，從2021年秋季學(xué)期起啟動(dòng)實(shí)施高考綜合改革，實(shí)行高考科目“”模式。“3”指語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門(mén)統(tǒng)考學(xué)科，以原始分計(jì)入高考成績(jī)：“1”指考生從物理、歷史兩門(mén)學(xué)科中“首選”一門(mén)學(xué)科，以原始分計(jì)入高考成績(jī)：“2”指考生從政治、地理、化學(xué)、生物四門(mén)學(xué)科中“再選”兩門(mén)學(xué)科，以等級(jí)分計(jì)入高考成績(jī)．按照方案，再選學(xué)科的等級(jí)分賦分規(guī)則如下，將考生原始成績(jī)從高到低劃分為A，B，C，D，E五個(gè)等級(jí)，各等級(jí)人數(shù)所占比例及賦分區(qū)間如下表：等級(jí)ABCDE人數(shù)比例15%35%35%13%2%賦分區(qū)間將各等級(jí)內(nèi)考生的原始分依照等比例轉(zhuǎn)換法分別轉(zhuǎn)換到賦分區(qū)間內(nèi)，得到等級(jí)分，轉(zhuǎn)換公式為，其中，分別表示原始分區(qū)間的最低分和最高分，，分別表示等級(jí)賦分區(qū)間的最低分和最高分，Y表示考生的原始分，T表示考生的等級(jí)分，規(guī)定原始分為時(shí)，等級(jí)分為，計(jì)算結(jié)果四舍五入取整．某次化學(xué)考試的原始分最低分為50，最高分為98，呈連續(xù)整數(shù)分布，其頻率分布直方圖如下：(1)同一組數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，求實(shí)數(shù)a的值并估計(jì)本次考試的平均分；(2)按照等級(jí)分賦分規(guī)則，估計(jì)此次考試化學(xué)成績(jī)A等級(jí)的原始分區(qū)間；(3)用估計(jì)的結(jié)果近似代替原始分區(qū)間，若某學(xué)生化學(xué)成績(jī)的原始分為90，試計(jì)算其等級(jí)分．【答案】(1)，73(2)(3)91分 【分析】（1）先利用頻率分布直方圖頻率之和為1，求出的值，再利用頻率分布直方圖平均數(shù)的求法，將每一個(gè)組區(qū)間的中點(diǎn)值乘以對(duì)應(yīng)的頻率然后求和即可求出答案.（2）由等級(jí)所占的人數(shù)比例為，由頻率分布直方圖可知原始分成績(jī)位于區(qū)間的占比為5%，位于區(qū)間的占比為20%，等級(jí)的最低原始分在區(qū)間中，可設(shè)最低原始分并結(jié)合該區(qū)間所占比例為10%即可求出等級(jí)的最低原始分，再結(jié)合題意最高原始分可得出結(jié)果.（3）由化學(xué)成績(jī)的原始分為90分，落在A等級(jí)中，根據(jù)題意得出原始分的最高和最低，A等級(jí)中賦分區(qū)間的最低分和最高分，代入公式即可求出等級(jí)分.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，頻率之和為1，得，解得，估計(jì)本次考試的平均分為．（2）根據(jù)等級(jí)所占的人數(shù)比例為，由頻率分布直方圖知，原始分成績(jī)位于區(qū)間的占比為5%，位于區(qū)間的占比為20%，所以最低原始分在之間，設(shè)最低原始分為，則，解得，所以估計(jì)此次考試化學(xué)成績(jī)A等級(jí)的原始分區(qū)間為．（3）由題意可知，化學(xué)成績(jī)的原始分為90分，落在A等級(jí)中，則，，，，，代入公式后，解得，該學(xué)生的等級(jí)分為91分．20．已知橢圓的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)、為橢圓上異于、的兩點(diǎn)，面積的最大值為．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線(xiàn)、的斜率分別為、，且．①求證：直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．②設(shè)和的面積分別為、，求的最大值．【答案】(1)(2)①證明見(jiàn)解析；② 【分析】（1）根據(jù)題意可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個(gè)量的值，即可得出橢圓的方程；（2）①分析可知直線(xiàn)不與軸垂直，設(shè)直線(xiàn)的方程為，可知，設(shè)點(diǎn)、.將直線(xiàn)的方程的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用求出的值，即可得出直線(xiàn)所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)；②寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可求得的最大值.【詳解】（1）解：當(dāng)點(diǎn)為橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，的面積取最大值，且最大值為，由題意可得，解得，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解：①設(shè)點(diǎn)、.若直線(xiàn)的斜率為零，則點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則，不合乎題意.設(shè)直線(xiàn)的方程為，由于直線(xiàn)不過(guò)橢圓的左、右焦點(diǎn)，則，聯(lián)立可得，，可得，由韋達(dá)定理可得，，則，所以，，解得，即直線(xiàn)的方程為，故直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).②由韋達(dá)定理可得，，所以，，，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，故，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線(xiàn)系或曲線(xiàn)的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，常利用直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程或截距式來(lái)證明.21．已知函數(shù)．(1)若時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)若，設(shè)函數(shù)的較大的一個(gè)零點(diǎn)記為，求證：．【答案】(1)極小值為，無(wú)極大值(2)證明見(jiàn)解析 【分析】（1），求導(dǎo)，利用函數(shù)的單調(diào)性及極值的定義求解；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，，，以必然存在，使得，即，所以，要證明，只要證明，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可證得結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則在為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，則在為增函數(shù)；所以的極小值為，無(wú)極大值．（2）由，則，因?yàn)?/span>且．當(dāng)時(shí)，，則在為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，則在為增函數(shù)；所以當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)，此時(shí)，所以必然存在，使得，即，所以，要證明，即證明，即證明，即只要證明，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，，則在上為減函數(shù)，所以．即，即．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見(jiàn)解題策略：（1）構(gòu)造差函數(shù)，根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式；（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù)．一般思路為利用條件將問(wèn)題逐步轉(zhuǎn)化，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，再通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證明．22．在直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為為參數(shù)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．(1)求的極坐標(biāo)方程；(2)已知射線(xiàn)和分別與交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），與極軸交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），求四邊形的面積．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用余弦的倍角公式和基本關(guān)系式，消去參數(shù)得到，再由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，即可求得的極坐標(biāo)方程；（2）由，，求得和，結(jié)合，即可求解.【詳解】（1）解：因?yàn)?/span>為參數(shù)，所以，即，平方相加，可得，即，又由，，可得，所以的極坐標(biāo)方程為．（2）解：因?yàn)?/span>，，又因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>是圓的直徑，所以，又因?yàn)?/span>，所以，所以．23．已知函數(shù)f（x）＝｜x－1｜＋｜x－m｜（m＞1），若f（x）＞4的解集是{x｜x＜0或x＞4}．（1）求m的值；（2）若正實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足＋＋＝，求證：a＋2b＋3c≥9．【答案】（1）3 ； （2）見(jiàn)解析.【分析】（1）先求出函數(shù)f(x),再作出函數(shù)的圖像，由圖像得m的值. （2）由（1）m＝3，從而.再化簡(jiǎn)利用基本不等式證明a＋2b＋3c≥9.【詳解】（1）∵m＞1，∴作出函數(shù)f（x）的圖像，由f（x）＞4的解集及函數(shù)圖像得，得m＝3.（2）由（1）m＝3，從而.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“＝”成立.【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查分段函數(shù)及其圖像，考查基本不等式證明不等式，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)解答第2問(wèn)的關(guān)鍵是化簡(jiǎn)變形. 

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