2023屆河南省濮陽市第一高級中學高三模擬質(zhì)量檢測數(shù)學（文）試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】計算，，再計算交集得到答案.【詳解】，，故.故選：A2．已知為實數(shù)，為虛數(shù)單位，若 ，則A． B． C．  D．【答案】A【詳解】因為，所以是實數(shù)，且，故，應選答案A．3．已知為等差數(shù)列，為其前n項和，若，，則（    ）A．17 B．15 C．13 D．11【答案】C【解析】根據(jù)，求得的值，再代入通項公式，即可得答案；【詳解】，，，故選：C.【點睛】本題考查等差數(shù)列基本量運算，考查函數(shù)與方程思想，考查運算求解能力，屬于基礎題.4．下列命題為真命題的是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】對選項逐一分析，由此確定正確選項.【詳解】對于A選項，構(gòu)造函數(shù)，所以在區(qū)間上，遞減，在上，遞增.所以在處取得極小值也即是最小值，所以，即.所以A選項正確.對于B選項，由于A選項正確，所以B選項錯誤.對于C選項，當時，，所以C選項不正確.對于D選項，當時，，當且僅當時等號成立，所以D選項錯誤.故選：A5．四色猜想是世界三大數(shù)學猜想之一，1976年數(shù)學家阿佩爾與哈肯證明，稱為四色定理.其內(nèi)容是：“任意一張平面地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家涂上不同的顏色.”用數(shù)學語言表示為“將平面任意地細分為不相重疊的區(qū)域，每一個區(qū)域總可以用，，，四個數(shù)字之一標記，而不會使相鄰的兩個區(qū)域得到相同的數(shù)字.”如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗實線圍城的各區(qū)域上分別標有數(shù)字，，，的四色地圖符合四色定理，區(qū)域和區(qū)域標記的數(shù)字丟失.若在該四色地圖上隨機取一點，則恰好取在標記為的區(qū)域的概率所有可能值中，最大的是A． B． C． D．【答案】C【分析】令B為1，結(jié)合古典概型計算公式，得到概率值，即可．【詳解】A,B只能有一個可能為1，題目求最大，令B為1，則總數(shù)有30個，1號有10個，則概率為，故選C．【點睛】本道題考查了古典概型計算公式，難度較小．6．已知正三棱錐中，，，該三棱錐的外接球球心到側(cè)面距離為，到底面距離為，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得到，，兩兩垂直，把該三棱錐補成一個正方體，結(jié)合正方體的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，正三棱錐中，，則，所以，同理可得，即，，兩兩垂直，可把該三棱錐補成一個正方體，則該三棱錐的外接球就是正方體的外接球，即正方體的體對角線就是球的直徑，所以球心位于正方體對角線的中點,所以三棱錐的外接球球心到側(cè)面距離為，到底面距離為，所以.7．設是定義在上的偶函數(shù)，對任意的，都有，且當時，，則在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程的根的個數(shù)為（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意可得的周期為，再根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)在上的解析式，從而得到函數(shù)的圖象，將方程的根的個數(shù)轉(zhuǎn)化為和在上的交點個數(shù)，數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】解：因為是定義在上的偶函數(shù)，對任意的，都有，所以，即，所以函數(shù)的周期為，當時，則，此時，即，由，，得，分別作出函數(shù)和，的圖象，如圖所示，則由圖象可知兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)為個，即方程的零點個數(shù)為個.故選：D.8．設，滿足約束條件，若目標函數(shù)的最大值為，則的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)條件畫出可行域，設，再利用幾何意義求最值，將最大值轉(zhuǎn)化為軸上的截距，只需求出直線，過可行域內(nèi)的點時取得最大值，從而得到一個關(guān)于，的等式，最后利用基本不等式求最小值即可．【詳解】解：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分，當直線過直線與直線的交點時，目標函數(shù)取得最大2，即，而  ．當且僅當，即時取等號；故選：B．【點睛】本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用、簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，本題要求能準確地畫出不等式表示的平面區(qū)域，并且能夠求得目標函數(shù)的最值，屬于中檔題．9．過拋物線的焦點作傾斜角為的直線交拋物線于，兩點，若，則實數(shù)的值為A． B．1 C． D．【答案】B【分析】設直線方程為,，聯(lián)立直線與拋物線可得，可得答案.【詳解】解：易得，設直線方程為，(此題中)，，可得，，可得，，可得，由題意的，故P=1,故選B.【點睛】本題是一道關(guān)于拋物線的題目，關(guān)鍵是掌握拋物線的簡單性質(zhì)及弦長的計算方法.10．數(shù)列滿足，，現(xiàn)求得的通項公式為，，若表示不超過的最大整數(shù)，則的值為（    ）A．43 B．44 C．45 D．46【答案】D【分析】根據(jù)題意可解得，，分別計算可得，，由可得，所以.【詳解】聯(lián)立方程；解得，，則，由題可得，，，且，所以，則，因為，所以，故，故選：D.11．已如函數(shù)的定義域為,且恒成立,若（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），則不等式的解集為（    ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)，可構(gòu)造函數(shù)，且，再將不等式配湊為，結(jié)合單調(diào)性，即可求解.【詳解】依題意，令，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，，又因為在上單調(diào)遞增，且，故，所以原不等式的解集為.故選：B．【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)解不等式，關(guān)鍵在于根據(jù)條件構(gòu)造輔助函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進行解題.12．點C，D是平面內(nèi)的兩個定點，，點在平面的同一側(cè)，且，，若與平面所成的角分別為，則下列關(guān)于四面體ABCD的說法中，不正確的是（    ）A．點A在空間中的運動軌跡是一個圓 B．面積的最小值為2C．四面體ABCD體積的最大值為 D．當四面體ABCD的體積達最大時，其外接球的表面積為【答案】C【分析】由題意畫出圖形，過作平面的垂線，分析可知A在以為軸線，以為母線的上底面圓周上，可判斷A；寫出的面積，求出的最小值，可得面積的最小值可判斷B；當最大，且平面時，四面體ABCD體積取得最大值，求出最大值可判斷C；求出四面體ABCD體積取得最大值時，其外接球的半徑，進一步求出外接球的表面積可判斷D.【詳解】如圖所示，對于A，因為與平面所成的角為，過作平面的垂線,則與所成的角為，則A在以為軸線，以為母線的上底面圓周上，故A正確；對于B，B在以為軸線，以為母線的上底面圓周上，則，由圖可知，，即，則面積的最小值為，故B正確； 對于C，當最大，且平面時，四面體ABCD體積取得最大值為，故C錯誤；對于D，當四面體ABCD體積取得最大值時，，，，利用余弦定理求得，滿足，可得，則所在截面圓的圓心為中點，設四面體ABCD外接球的球心為，則平面，則，，在直角中，求得，即四面體ABCD外接球的半徑為，其表面積為，故D正確；故選：C【點睛】方法點睛：空間幾何體與球接、切問題的求解方法(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解．(2)若球面上四點P，A，B，C構(gòu)成的三條線段兩兩互相垂直，一般把有關(guān)元素“補形”成為一個球內(nèi)接長方體，利用求解． 二、填空題13．若，，，則______．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出，再利用數(shù)量積的運算律求解作答.【詳解】因為，，，則，解得，所以.故答案為：14．設等比數(shù)列的前n項和為，若，且，則__________.【答案】【分析】由可得，根據(jù)前n項和公式即可求解.【詳解】因為是等比數(shù)列，所以有，所以，所以，因為，所以，即，即：，解得：.故答案為：.15．已知O為平面直角坐標系的原點，為雙曲線的右焦點，E為的中點，過雙曲線左頂點A作兩漸近線的平行線分別y軸交于C，D兩點，B為雙曲線的右頂點，若四邊形ACBD的內(nèi)切圓經(jīng)過點E，則雙曲線的離心率為______．【答案】【分析】由條件列關(guān)于的齊次方程，再結(jié)合關(guān)系可求離心率.【詳解】設雙曲線的半焦距為，雙曲線的左頂點的坐標為，漸近線方程為，所以直線的方程為，即，由對稱性可得四邊形的內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，又，所以，故，所以，所以離心率，故答案為：.  16．已知函數(shù)，，若當時，存在，，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是_____________.【答案】【分析】本題將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值，不等式問題，再解不等式即可.【詳解】由題意：存在，，使得成立，等價于.因為，，所以當時，.因為，，所以.所以在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以.又，所以或.故實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：【點睛】本題考查不等式恒成立問題，函數(shù)的最值問題，是中檔題. 三、解答題17．已知(1)若，求函數(shù)的值域；(2)在，角，，的對邊分別為，，，若，且的面積為，當時，求的周長．【答案】(1)(2)． 【分析】（1）應用誘導公式、輔助角公式化簡函數(shù)式，由正弦型函數(shù)性質(zhì)求值域；（2）由已知可得，結(jié)合三角形面積公式、余弦定理求，進而求周長.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，，當時，可得，∴，故，所以函數(shù)的值域為．（2）由（1）得，所以，因為，得，所以，解得，又，可得，由余弦定理得，因為，所以，所以的周長為．18．近幾年隨著移動網(wǎng)絡的發(fā)展，更多的消費者選擇利用手機軟件進行網(wǎng)絡購物，某科技公司開發(fā)了一款手機購物軟件，并在各大手機應用商店上架．為了更好地推廣該軟件，該公司統(tǒng)計得到了此軟件的網(wǎng)絡推廣費用（萬元）和在各個手機應用商店的總下載量（萬次）的數(shù)據(jù)，如下表：（1）請利用所給數(shù)據(jù)，求總下載量與網(wǎng)絡推廣費用之間的回歸直線方程（、精確到）；（2）預測網(wǎng)絡推廣費用為萬元時，該軟件在各個手機應用商店的總下載量．（參考公式：，）【答案】（1）；（2）萬次.【解析】（1）計算出、的值，將表格中的數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式，求出、的值，即可得出載量與網(wǎng)絡推廣費用之間的回歸直線方程；（2）將代入回歸直線方程可求得結(jié)果.【詳解】（1）由表中數(shù)據(jù)，得，，，，所以與之間的回歸直線方程為；（2）當時，，預測網(wǎng)絡推廣費用為萬元時該軟件在各個手機應用商店的總下載量為萬次．19．如圖①，在平面四邊形中，，，．將沿著折疊，使得點到達點的位置，且二面角為直二面角，如圖②．已知分別是的中點，是棱上的點，且與平面所成角的正切值為．(1)證明：平面平面；(2)求四棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）利用三角形中位線性質(zhì)和線面平行的判定可證得平面，平面，由面面平行的判定可證得結(jié)論；（2）取的中點，根據(jù)已知的長度關(guān)系和面面垂直性質(zhì)可證得平面，結(jié)合線面角定義可得，由此可確定點位置，從而求得，利用棱錐體積公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）分別為的中點，，，平面，平面，平面，平面，又，平面，平面平面.（2）取的中點，連接，，，為等邊三角形，，又，，為等腰直角三角形，，；二面角是直二面角，即平面平面，平面平面，平面，平面，即為與平面所成角，，解得：；在中，由余弦定理得：，即，解得：，為線段上靠近點的四等分點，，.20．如圖，已知橢圓，點B是其下頂點，過點B的直線交橢圓C于另一點A（A點在軸下方），且線段AB的中點E在直線上.（1）求直線AB的方程；（2）若點P為橢圓C上異于A、B的動點，且直線AP,BP分別交直線于點M、N，證明：為定值.【答案】（1）（2）詳見解析【詳解】解：（1）設點E（m，m），由B（0，－2）得A（2m，2m+2）．代入橢圓方程得，即，解得或（舍）．所以A（，）， 故直線AB的方程為．（2）設，則，即．設,由A，P，M三點共線，即， ∴， 又點M在直線y=x上，解得M點的橫坐標， 設，由B，P，N三點共線，即，∴， 點N在直線y=x上，，解得N點的橫坐標． 所以=＝2====． 【解析】直線與橢圓位置關(guān)系21．已知函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）若是的極值點，求的值，并求的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，證明：．【答案】（1）；的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）證明見解析；【分析】（1）求導得，則（1），從而得出的值；于是，令，則，再比較與0的大小關(guān)系即可得解．（2）由題可知，，構(gòu)造函數(shù)，易知在上單調(diào)遞增，又，，于是存在，使得，從而推出在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，故，接下來利用基本不等式的性質(zhì)證明即可．【詳解】解：（1），，是的極值點，，解得．此時，，令，則，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增．故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）證明：當時，，，令，則，即在上單調(diào)遞增，又，，存在，使得，即，也就是，當時，，，單調(diào)遞減；當，時，，，單調(diào)遞增．，故．【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問題，運用了隱零點的思維、基本不等式的性質(zhì)，考查學生的邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．22．在直角坐標系以中，直線：，圓的參數(shù)方程為，為參數(shù)，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系．(1)求直線和圓的極坐標方程；(2)若直線的極坐標方程為（），設，與圓的公共點分別為，，求的值．【答案】(1)（），(2) 【分析】（1）根據(jù)，，得到直線的極坐標方程，先將圓的方程化為普通方程，再將，代入求解； （2）將代入，解得，將代入，解得．然后在中由余弦定理求解.【詳解】（1）解：，，直線的極坐標方程為，即（）．圓的普通方程為，圓的極坐標方程為．（2）將代入，得，解得，將代入，得，解得．在中由余弦定理得，，.23．已知(1)求不等式的解集；(2)若，且，恒成立，求m的最大值．【答案】(1)(2)2 【分析】（1）考慮，，，解不等式得到答案.（2）計算，，得到，確定，變換，得到答案.【詳解】（1），當時，，得，故；當時，，得，故；當時，由，得，此時無解.綜上所述：原不等式的解集是．（2），故，，，則，，，故，，，故m的最大值為2． 

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