2023屆天津市北辰區(qū)高三三模數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．設(shè)集合，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一元二次不等式化簡(jiǎn),進(jìn)而由集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可求解.【詳解】或，由得,所以，故選：D2．已知為非零實(shí)數(shù)，則“”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】首先解分式不等式，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】由，即，即，解得或，所以由可以推出，故充分性成立，由推不出，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A3．函數(shù)的圖象大致為（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，排除AD，取特殊點(diǎn)排除B，由此可得結(jié)論.【詳解】由可得，，，因?yàn)?/span>，所以函數(shù)不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于軸對(duì)稱，A，D錯(cuò)誤，又，B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C滿足以上要求.故選：C.4．少年強(qiáng)則國(guó)強(qiáng)，少年智則國(guó)智．黨和政府一直重視青少年的健康成長(zhǎng)，出臺(tái)了一系列政策和行動(dòng)計(jì)劃，提高學(xué)生身體素質(zhì)．為了加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的營(yíng)養(yǎng)健康監(jiān)測(cè)，某校在3000名學(xué)生中，抽查了100名學(xué)生的體重?cái)?shù)據(jù)情況．根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制樣本的頻率分布直方圖如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．樣本的眾數(shù)為65 B．樣本的第80百分位數(shù)為72.5C．樣本的平均值為67.5 D．該校學(xué)生中低于的學(xué)生大約為1000人【答案】B【分析】根據(jù)眾數(shù)，百分位數(shù)，平均數(shù)的定義判斷A，B，C，再求低于的學(xué)生的頻率，由此估計(jì)總體中體重低于的學(xué)生的人數(shù)，判斷D.【詳解】由頻率分布直方圖可得眾數(shù)為，A錯(cuò)誤；平均數(shù)為，C錯(cuò)誤；因?yàn)轶w重位于的頻率分別為，因?yàn)?/span>，所以第80百分位數(shù)位于區(qū)間內(nèi)，設(shè)第80百分位數(shù)為，則，所以，即樣本的第80百分位數(shù)為72.5，B正確；樣本中低于的學(xué)生的頻率為，所以該校學(xué)生中低于的學(xué)生大約為，D錯(cuò)誤；故選：B.5．設(shè),,,則（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù),,的單調(diào)性,分別判斷的大概范圍,即可得出大小.【詳解】解:由題知,,,因?yàn)?/span>在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,所以,即,因?yàn)?/span>在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,所以,即,因?yàn)?/span>在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,所以,即,綜上:.故選:D6．設(shè)，，則（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可求解.【詳解】由得，所以，故選：C7．設(shè)、分別為雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn).若在雙曲線右支上存在點(diǎn)P，滿足，且到直線的距離等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的漸近線與拋物線的準(zhǔn)線圍成三角形的面積為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意首先求得漸近線方程，然后結(jié)合漸近線方程確定其與準(zhǔn)線方程的交點(diǎn)坐標(biāo)，最后求解三角形的面積即可.【詳解】依題意，可知是一個(gè)等腰三角形，在直線的投影是其中點(diǎn)，由勾股定理可知| 根據(jù)雙曲定義可知，整理得，代入整理得，所以所以雙曲線漸近線方程為，即，拋物線的準(zhǔn)線方程為，漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為：，，的面積.所以雙曲線的漸近線與拋物線的準(zhǔn)線圍成三角形的面積為.故選：B.8．中國(guó)雕刻技藝舉世聞名，雕刻技藝的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相當(dāng)繁復(fù)，成品美輪美奐．1966年，玉石雕刻大師吳公炎將這一雕刻技藝應(yīng)用到玉雕之中，他把玉石鏤成多層圓球，層次重疊，每層都可靈活自如的轉(zhuǎn)動(dòng)，是中國(guó)玉雕工藝的一個(gè)重大突破.今一雕刻大師在棱長(zhǎng)為12的整塊正方體玉石內(nèi)部套雕出一個(gè)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)的球，在球內(nèi)部又套雕出一個(gè)正四面體（所有棱長(zhǎng)均相等的三棱錐），若不計(jì)各層厚度和損失，則最內(nèi)層正四面體的棱長(zhǎng)最長(zhǎng)為（    ）A． B． C． D．6【答案】A【分析】根據(jù)題意，求正方體的內(nèi)切球半徑，易知該球?yàn)樗笳拿骟w的外接球，根據(jù)正四面體的性質(zhì)，可求得棱長(zhǎng)．【詳解】由題意，球是正方體的內(nèi)切球，且該球?yàn)檎拿骟w的外接球時(shí)，四面體的棱長(zhǎng)最大，則該球半徑，如圖：可知為外接球球心，，平面，為底面等邊的中心，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，則，，在中，則，即，解得，即．故選：A9．已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，關(guān)于該函數(shù)有下列四個(gè)說(shuō)法：①的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；②的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；③的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到；⑧若方程在上有且只有兩個(gè)極值點(diǎn)，則的最大值為．以上四個(gè)說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)為（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)圖象及五點(diǎn)作圖法求出函數(shù)解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】依題意可得，，，再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得，解得，．因?yàn)?/span>，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故①正確；因?yàn)?/span>，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故②正確；將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，故③錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)且，，因?yàn)楹瘮?shù)在上有且只有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以，解得，即的最大值為，故④正確；故選：C 二、填空題10．已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的虛部為________.【答案】【解析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以其虛部為-1，故答案為：11．在的展開(kāi)式中，的系數(shù)是________．【答案】【分析】利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令x的指數(shù)等于，計(jì)算展開(kāi)式中含有項(xiàng)的系數(shù)即可.【詳解】由題意得：，，只需，可得，所以，故答案為：.12．直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與圓相交截得的弦長(zhǎng)為，則直線的方程為________．【答案】或【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，根據(jù)弦長(zhǎng)求出圓心到直線的距離，分斜率存在與不存在兩種情況討論，分別求出直線方程.【詳解】圓，即，圓心為，半徑，因?yàn)橹本€與圓相交截得的弦長(zhǎng)為，所以圓心到直線的距離，若直線的斜率不存在，此時(shí)直線方程為，滿足圓心到直線的距離為，符合題意；若直線的斜率存在，設(shè)斜率為，則直線方程為，即，則，解得，所以直線方程為，即，綜上可得直線方程為或.故答案為：或 三、雙空題13．有兩臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第一臺(tái)車床加工的優(yōu)秀率為15%，第二臺(tái)車床加工的優(yōu)秀率為10%．假定兩臺(tái)車床加工的優(yōu)秀率互不影響，則兩臺(tái)車床加工零件，同時(shí)出現(xiàn)優(yōu)秀品的概率為________；若把加工出來(lái)的零件混放在一起，已知第一臺(tái)車床加工的零件數(shù)占總數(shù)的60%，第二臺(tái)車床加工的零件數(shù)占總數(shù)的40%，現(xiàn)任取一個(gè)零件，則它是優(yōu)秀品的概率為________．【答案】          【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式即可求解第一空，根據(jù)全概率公式即可求解第二空.【詳解】由于第一臺(tái)車床加工的優(yōu)秀率為15%，第二臺(tái)車床加工的優(yōu)秀率為10%，所以兩臺(tái)車床加工零件，同時(shí)出現(xiàn)優(yōu)秀品的概率為 記 “加工的零件為優(yōu)秀品”， “零件為第1臺(tái)車床加工“， “零件為第2臺(tái)車床加工“，，，，，由全概率公式可得，故答案為：14．在中，，，若為其重心，試用，表示為________；若為其外心，滿足，且，則的最大值為________．【答案】          【分析】結(jié)合重心的定義及向量的線性運(yùn)算，利用，表示，根據(jù)向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積的定義結(jié)合正弦定理化簡(jiǎn)向量等式，可得，結(jié)合基本不等式求的最大值.【詳解】連接并延長(zhǎng)交與點(diǎn)，由重心性質(zhì)可得為線段的中點(diǎn)，且，又，所以，若為的外心，則，設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則，因?yàn)?/span>，，所以可化為：，所以，由正弦定理可得，故所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以的最大值為.故答案為：，. 四、填空題15．設(shè)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，記．若有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】【分析】分析函數(shù)的零點(diǎn)，由條件列不等式求a的取值范圍.【詳解】令，因?yàn)楹瘮?shù)有一個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，又有三個(gè)零點(diǎn)，所以必須有兩個(gè)零點(diǎn)，且其零點(diǎn)與函數(shù)的零點(diǎn)不相等，且函數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)均為函數(shù)的零點(diǎn)，由可得，，所以，所以為函數(shù)的零點(diǎn)，即，所以，令，可得，由已知有兩個(gè)根，設(shè)，則有兩個(gè)正根，所以，，所以，故，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)根，設(shè)其根為，，則，設(shè)，則，，所以，令，則，則，，且，，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，為函數(shù)的零點(diǎn)，又也為函數(shù)的零點(diǎn)，且與互不相等，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：(1)直接求零點(diǎn)：令，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)． 五、解答題16．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．滿足．(1)求角B的大?。?/span>(2)設(shè)，．（ⅰ）求c的值；（ⅱ）求的值．【答案】(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）利用正弦定理和誘導(dǎo)公式求解即可.（2）（ⅰ）利用余弦定理求解即可；（ⅱ）利用二倍角公式，兩角和的正弦定理結(jié)合即可求解.【詳解】（1）由，根據(jù)正弦定理得，,可得，因?yàn)?/span>，故，則，又，所以.（2）由（1）知，，且，，（ⅰ）則，即，解得（舍），.故.（ⅱ）由，得，解得，則，則，，則.17．如圖，在三棱錐中，底面，．點(diǎn)，，分別為棱，，的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，，．(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到直線的距離；(3)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出線段的值，若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3) 【分析】（1）（2）（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算即可.【詳解】（1）因?yàn)?/span>底面，，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，所以，設(shè)為平面的法向量，則，即，不妨設(shè)，可得 ，又， 可得，因?yàn)?/span>平面， 所以平面 ，（2）因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)到直線的距離.（3）設(shè)，，則，設(shè)平面的法向量為，則令，則，所以，即，解得或（舍去），所以.18．設(shè)是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為（），為等比數(shù)列，公比大于1．已知，，，．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和；(3)設(shè)，求證：．【答案】(1)，(2)(3)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，依題意得到方程組，求出、，即可得解；（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算可得；（3）由（1）可得，即可得到，利用放縮法及等邊數(shù)列求和公式計(jì)算可得.【詳解】（1）依題意設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則，，又，，所以，解得或（舍去），所以，.（2）由（1）可得，設(shè)的前項(xiàng)和為，所以.（3）因?yàn)?/span>，所以，所以，所以.19．已知橢圓的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓內(nèi)一點(diǎn)M滿足，．(1)求橢圓的離心率；(2)橢圓上一點(diǎn)P在第一象限，且滿，與橢圓交于點(diǎn)Q，直線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．若的面積為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由已知條件可知，為的中點(diǎn)根據(jù)，代入距離公式與比例關(guān)系可以求得的關(guān)系，即可求得離心率.（2）設(shè)所在直線方程與橢圓聯(lián)立，可以求得的坐標(biāo)，再有直線聯(lián)立可以求得的坐標(biāo)，用點(diǎn)到直線的距離與兩點(diǎn)間的距離公式既可以求出三角形的面積，即可求得橢圓方程.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓內(nèi)一點(diǎn)M滿足，所以為的中點(diǎn)，則，，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?/span>，所以，所以橢圓的離心率為.（2）橢圓上一點(diǎn)P在第一象限，且滿,所以直線，設(shè)直線方程為，由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得，，解得，因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限，，因?yàn)?/span>關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，因?yàn)?/span>，，則直線的方程為，聯(lián)立得，，所以，所以直線的方程為，即，所以點(diǎn)到直線的距離為，，所以的面積，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故橢圓方程為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題為圓錐曲線中直線與橢圓的位置關(guān)系，通常設(shè)直線方程，并與橢圓方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理與點(diǎn)到直線的距離公式即可解決有關(guān)三角形面積的問(wèn)題.20．已知函數(shù)，其中.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)上的切線方程.（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）(2)已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，，且.（ⅰ）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（ⅱ）設(shè)k為大于1的常數(shù)，當(dāng)a變化時(shí)，若有最小值，求k的值.【答案】(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，求出在點(diǎn)處的斜率，最后求切線方程即可；（2）（ⅰ）方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，等價(jià)于函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求出極值，再結(jié)合圖象求出的取值范圍即可；（ⅱ）結(jié)合（ⅰ）及指對(duì)互化得，，從而把最小值化為的最小值，多次構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，利用最值即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，所以，又，所以函數(shù)在點(diǎn)上的切線方程為，即；（2）（ⅰ）即，則有，，設(shè)，，則，令，得，令，得，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又x趨向于0時(shí)，趨向負(fù)無(wú)窮，x趨向于正無(wú)窮大時(shí)，無(wú)限趨向0，且，函數(shù)的圖象如下：由題意，方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，即方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，所以函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖知，，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為；（ⅱ）因?yàn)?/span>，由（ⅰ）得，則，所以，設(shè)，則，即，，由題意有最小值，即有最小值，設(shè)，，則，記，則，由于，，時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，又，，且t趨向于正無(wú)窮大時(shí)，趨向于正無(wú)窮大，故存在唯一，使得，時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞減，時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，有最小值，而，則，即，所以，由題意知，令，設(shè)，則，設(shè)，則，設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，有，此時(shí)，故在上單調(diào)遞增，又，故的唯一解是，故的唯一解是，即，綜上所述，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題，注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理. 

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