?天津市和平區(qū)2023屆高三三模數(shù)學(xué)試題
一?選擇題（在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求和，再求補(bǔ)集即可.
【詳解】因?yàn)?，所以，，所?
故選：D.
2. 已知命題，使得，則為（ ）
A. ，使得 B. ，使得
C. ，使得 D. ，使得
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)命題的否定的定義求解.
【詳解】根據(jù)命題的否定的定義，
因?yàn)槊}，使得，
所以為，使得，
故選:B.
3. 函數(shù)圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式可能是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)奇偶性可排除AD，根據(jù)可排除B；結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知C正確.
【詳解】對于A，，為偶函數(shù)，則圖象關(guān)于軸對稱，與已知圖象不符，A錯誤；
對于B，當(dāng)時，，與已知圖象不符，B錯誤；
對于D，，不是奇函數(shù)，則圖象不關(guān)于原點(diǎn)對稱，與已知圖象不符，D錯誤；
對于C，，，
為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；
為上的減函數(shù)，為上的增函數(shù)；
又，圖象與已知圖象符合，C正確.
故選：C.
4. ①一組數(shù)據(jù)的第三四分位數(shù)為8；
②若隨機(jī)變量，且，則；
③具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，其線性回歸方程為，若樣本的中心，則；
④如圖，現(xiàn)要用5種不同的顏色對某市的4個區(qū)縣地圖進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩個地區(qū)不能用同一種顏色，共有180種不同的著色方法.

以上說法正確的個數(shù)為（ ）
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
【答案】C
【解析】
【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排列，再根據(jù)百分位數(shù)計算規(guī)則計算①，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)判斷②，根據(jù)回歸直線必過樣本中心點(diǎn)判斷③，按照分步乘法計數(shù)原理判斷④.
【詳解】對于①：將數(shù)據(jù)從小到大排列為、、、、、、、、、，
所以，則第三四分位數(shù)為，故①錯誤；
對于②：因?yàn)椋遥?br /> 所以，所以，故②正確；
對于③：因?yàn)榫€性回歸方程為，且樣本的中心，
所以，解得，故③正確；
對于④：首先涂I有種，第二步涂II有種，第三步涂III有種，第四步涂IV有種，
按照分步乘法計數(shù)原理可得一共有種涂色方法，故④正確；
故選：C
5. 已知，，且，則ab的最小值為（ ）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
【答案】C
【解析】
【分析】運(yùn)用對數(shù)運(yùn)算及換底公式可得，運(yùn)用基本不等式可求得的最小值.
【詳解】∵，
∴，即：
∴，
∵，，
∴，，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，
即：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
故的最小值為16.
故選：C.
6. 已知滿足，則的大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)之間的等價關(guān)系，畫出相應(yīng)函數(shù)圖象即可求解.
【詳解】由題意知：把的值看成函數(shù)與圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

因?yàn)?，，易知?br /> 把的值看成函數(shù)與圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

，易知；
把的值看成函數(shù)與圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

，與，易知.
所以.
故選：B.
7. 過拋物線的焦點(diǎn)作斜率為的直線與離心率為的雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為.若分別表示的橫坐標(biāo)，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】易得直線的方程為，進(jìn)而求得的橫坐標(biāo)，再根據(jù)列式，結(jié)合雙曲線基本量的關(guān)系求解即可.
【詳解】由題意，知，則直線的方程為，聯(lián)立雙曲線的漸近線，
所以直線與漸近線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)分為，又，即，
整理，得，所以.
故選：D．
8. 如圖所示，扇形的半徑為2，圓心角為，若扇形繞旋轉(zhuǎn)一周，則圖中陰影部分繞旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積為（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)體特點(diǎn)可知所得幾何體為半球減掉一個圓錐，由此可知其表面積構(gòu)成包括圓錐的側(cè)面積以及半球的球面，利用圓錐側(cè)面積和球的表面積公式求得結(jié)果.
【詳解】陰影部分旋轉(zhuǎn)一周以后所得的幾何體為一個以為半徑的半球減掉一個底面半徑為，高為圓錐
幾何體表面積
【點(diǎn)睛】本題考查幾何體表面積的求解問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的特點(diǎn)，將問題轉(zhuǎn)化為圓錐的側(cè)面積和球的表面積的求解問題.
9. 如圖，在中，，，若，則的值為（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】將用表示，利用列方程，解方程求得的值.
【詳解】依題意

，
又.
由于，所以，
即，
即，
即，
即，解得.
故選：A.
二?填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分）
10. 已知復(fù)數(shù)為的共軛復(fù)數(shù)，則的虛部為___________.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的定義即可求解.
【詳解】由，
則的共軛復(fù)數(shù)，則的虛部為.
故答案為：
11. 若（x2）6的二項(xiàng)展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)a= ．
【答案】-2
【解析】
【分析】由二項(xiàng)式定理可得（x2）6的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，令x的指數(shù)為3，可得r的值為3，代入通項(xiàng)可得含x3項(xiàng)，結(jié)合題意，可得（）3×C63，解可得答案．
【詳解】解：（x2）6的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tr+1＝C6r×（x2）6﹣r×（）r＝（）r×C6r×x12﹣3r，
令12﹣3r＝3，可得r＝3，
此時T4＝（）3×C63×x3，
又由題意，其二項(xiàng)展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)為，即（）3×C63，解得a＝﹣2；
故答案為：﹣2．
【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確寫出該二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)．
12. 已知圓的圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，直線與圓相交于、兩點(diǎn)，且，則圓的方程為______．
【答案】
【解析】
【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)C(a，b)
∵圓心與P關(guān)于直線y=x+1對稱
∴直線CP與y=x+1垂直
∵y=x+1的斜率為1
∴直線CP的斜率為-1
∴
化簡得：a+b+1=0 ①
∵CP的中點(diǎn)在直線y=x+1上
∴
化簡得：a-b-1=0 ②
聯(lián)立①②得到：a=0，b=-1
∴圓心的坐標(biāo)為：(0，-1)
∵圓心C到直線AB的距離d=,
∴根據(jù)勾股定理得到半徑=18
∴圓的方程為.
13. 有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%，第2，3臺加工的次品率均為5%；加工出來的零件混放在一起，且第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%.現(xiàn)從加工出來的零件中任取一個零件，則取到的零件是次品的概率為______，取到的零件是次品，且是第3臺車床加工的概率為______.
【答案】 ①. 0.0525 ②.
【解析】
【分析】首先用數(shù)學(xué)語言表示已知條件，設(shè)B＝“任取一個零件為次品”，Ai＝“零件為第i臺車床加工”(i＝1，2，3)，則Ω＝A1∪A2∪A3，A1，A2，A3兩兩互斥．P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45，P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05.由條件概率公式計算；由條件概率公式計算．
【詳解】設(shè)B＝“任取一個零件為次品”，Ai＝“零件為第i臺車床加工”(i＝1，2，3)，則Ω＝A1∪A2∪A3，A1，A2，A3兩兩互斥．根據(jù)題意得P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45，P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05.
由全概率公式，
得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05
＝0.0525.
“如果取到的零件是次品，計算它是第i(i＝1，2，3)臺車床加工的概率”，
就是計算在B發(fā)生的條件下，事件Ai發(fā)生的概率．
＝
＝＝.
故答案為：0.0525；
14. 已知函數(shù)，（i）若，將函數(shù)沿軸向右平移個單位后得到一個偶函數(shù)，則___________；（ii）若在上單調(diào)遞增，則的最大值為___________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換求出解析式，再根據(jù)偶函數(shù)的定義求解；
（2）根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，結(jié)合函數(shù)的周期可得，再根據(jù)單調(diào)遞增列出不等式即可求得的最大值.
【詳解】,
（i）若,則,
向右平移個單位后所得函數(shù)為，
因?yàn)槠揭频玫揭粋€偶函數(shù)，所以,
解得，
因?yàn)?，所以?dāng)時，滿足題意，
（ii）若在上單調(diào)遞增，
則函數(shù)的最小正周期,
解得，
且，
即，解得，
又因?yàn)?，所以?dāng)時，，即，
所以的最大值為.
故答案為: ；.
15. 已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有三個不相等的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值集合為___________.
【答案】
【解析】
【分析】分類討論的不同取值，并作出的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想，結(jié)合函數(shù)圖象確定兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個數(shù)即可求解.
【詳解】，
當(dāng)時，，
此時無解，不滿足題意；
當(dāng)時，設(shè)，
則與的圖象大致如下，

則對應(yīng)的2個根為，
此時方程均無解，
即方程無解，不滿足題意；
當(dāng)時，設(shè)，則與的圖象大致如下，

則則對應(yīng)的2個根為，
若方程恰有三個不相等的實(shí)數(shù)解，
則與函數(shù)的圖象共有3個不同的交點(diǎn)，
①當(dāng)時，與函數(shù)的圖象共有2個交點(diǎn)，如圖所示，

所以與函數(shù)的圖象只有1個交點(diǎn)，
則，所以，解得；
②當(dāng)時，與函數(shù)的圖象共有2個交點(diǎn)，
所以與函數(shù)的圖象只有1個交點(diǎn)，
則，與矛盾，不合題意；
③當(dāng)時，與函數(shù)的圖象共有2個交點(diǎn)，如圖所示，

所以與函數(shù)的圖象只有1個交點(diǎn)，
則，所以，解得；
綜上，的取值集合為，
故答案為: .
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于作出函數(shù)的圖象，將方程恰有三個不相等的實(shí)數(shù)解轉(zhuǎn)化為兩條橫線與函數(shù)圖象的圖象的交點(diǎn)的個數(shù)共計3個，數(shù)形結(jié)合思想求解.
三?解答題（本大題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
16. 在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知，且.
（1）求值；
（2）求的面積；
（3）求.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求角的正余弦值，再應(yīng)用兩角和差計算即可；
（2）由正弦定理求邊，再應(yīng)用兩角和差求正弦值，最后應(yīng)用面積公式求解；
（3）根據(jù)二倍角公式計算可得最后應(yīng)用誘導(dǎo)公式及兩角和差計算可得.
【小問1詳解】
因?yàn)?
.
【小問2詳解】
由正弦定理可得.
,
所以的面積.
【小問3詳解】



17. 如圖，四棱臺中，上?下底面均是正方形，且側(cè)面是全等的等腰梯形，分別為的中點(diǎn)，上下底面中心的連線垂直于上下底面，且與側(cè)棱所在直線所成的角為.

（1）求證：平面；
（2）求點(diǎn)到平面的距離；
（3）邊上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角的正弦值為，若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）詳見解析；
（2）；
（3）存在點(diǎn)，此時
【解析】
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系后，用直線的方向向量和平面的法向量垂直即可證明線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系后，用點(diǎn)到平面的距離公式即可求解；（3）假設(shè)存在，列出方程求解即可.
【小問1詳解】

因?yàn)槠矫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
因?yàn)閭?cè)棱所在直線與上下底面中心的連線所成的角為，則
，，，，，
所以，，
設(shè)平面的一個法向量為，則
，令，則.
因?yàn)椋?，所以?br /> 又因?yàn)槠矫妫云矫?
【小問2詳解】
由（1）知，，
所以點(diǎn)到平面的距離為.
【小問3詳解】
假設(shè)邊上存點(diǎn)滿足條件，，
則，
設(shè)直線與平面所成角為，
由題意可得，
化簡得，則或（舍去），
即存在點(diǎn)符合題意，此時.
18. 在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的上，下焦點(diǎn)分別為，橢圓上的任意一點(diǎn)到下焦點(diǎn)的最大距離為3，最小距離為1.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于點(diǎn)，垂直于的直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且，求直線的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)得到，即可求出、，再求出，即可得解；
（2）由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立直線方程，求出點(diǎn)坐標(biāo)，依題意在的垂直平分線上，即可求出點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出的方程，表示出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)求出，即可得解.
【小問1詳解】
設(shè)橢圓的半焦距為，長半軸為，依題意，解得，
所以，
所以橢圓方程為.
【小問2詳解】
由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，，
由，消去可得，解得，
則，
即，
因?yàn)?，則為的垂直平分線與的交點(diǎn)，
所以，解得，所以，
又直線，所以直線的方程為，令，解得，
所以，
又，
所以，，
因?yàn)?，所以?br /> 解得，所以，所以直線的方程為.

19. 已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個等差數(shù)列，記插入的這個數(shù)之和為，若不等式對一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）記，求證：.
【答案】（1）
（2）
（3）詳見解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)和的關(guān)系即可求解；（2）根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求出代入化簡即可解決；（3）求出，進(jìn)行適當(dāng)放縮后用裂項(xiàng)相消求和解決.
【小問1詳解】
設(shè)等比數(shù)列的公比為，
當(dāng)時，有，則 ①
當(dāng)時，，兩式相減可得：，
整理得，可知，代入①可得，
所以等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）.
【小問2詳解】
由已知在與之間插入個數(shù)，組成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，
所以，
則，
設(shè)，則遞增數(shù)列，
當(dāng)為偶數(shù)時，恒成立，即，所以；
當(dāng)為奇數(shù)時，恒成立，即，所以；
綜上所述，的取值范圍是.
【小問3詳解】
證明：由（1）得，
則有
.

,原不等式得證.
20. 已知函數(shù)，，其中.
（1）若曲線在處的切線與曲線在處的切線平行，求的值；
（2）若時，求函數(shù)的最小值；
（3）若的最小值為，證明：當(dāng)時，.
【答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出，，依題意兩數(shù)相等，即可得到方程，解得即可；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值；
（3）利用導(dǎo)數(shù)說明的單調(diào)性，即可求出的最小值，從而得到的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值，即可得證.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br /> 所以，，
所以，，
因?yàn)閮蓷l切線平行，所以，解得
【小問2詳解】
由（1）可知，令，即，
即，即，又，解得，
令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以時，函數(shù)的最小值為.
【小問3詳解】
證明：因，，，
令，則，即，
所以當(dāng)時解得，所以在上單調(diào)遞增，
令，解得，所以在上單調(diào)遞減，
所以在處取得極小值即最小值，
所以，
即的最小值為的解析式為，，
則，令，解得，
所以當(dāng)時，即在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，即在上單調(diào)遞增，
所以在處取得極大值即最大值，即，
所以，即當(dāng)時，總有.

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