?河西區(qū)2022——2023學(xué)年度第二學(xué)期高三年級(jí)總復(fù)習(xí)質(zhì)量調(diào)查（三）
數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合,則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出集合,進(jìn)而求得,由,求出即可.
【詳解】解:因?yàn)榛?
所以,又有,
所以.
故選:C
2. 不等式“”成立，是不等式“”成立的（ ）
A. 充要條件 B. 充分不必要條件
C. 必要不充分條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)充分、必要條件的定義判斷.
【詳解】由，但，所以由“”不能推出“”；
又，但，所以由“”不能推出“”，
即不等式“”成立，是不等式“”成立的既不充分也不必要條件.
故選：D
3. 函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由函數(shù)的奇偶性結(jié)合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.
【詳解】令，
則，
所以為奇函數(shù)，排除BD；
又當(dāng)時(shí)，，所以，排除C.
故選：A.

4. 某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：
廣告費(fèi)用x（萬(wàn)元）
1
2
4
5
銷售額y（萬(wàn)元）
10
26
35
49
根據(jù)上表可得回歸方程的約等于9，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬(wàn)元時(shí)，銷售額約為（ ）
A. 56萬(wàn)元 B. 57萬(wàn)元 C. 58萬(wàn)元 D. 59萬(wàn)元
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出，然后利用樣本中心點(diǎn)在回歸方程上即可求出，然后將代入回歸方程即可求解.
【詳解】，所以，，則，
所以時(shí)，，所以銷售額約為57.
故選：B
5. 設(shè)，則的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得出的大小關(guān)系.
【詳解】因?yàn)椋?br /> ，
，
所以.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查的是有關(guān)指數(shù)冪和對(duì)數(shù)值的比較大小問題，在解題的過程中，注意應(yīng)用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，確定其對(duì)應(yīng)值的范圍.
比較指對(duì)冪形式的數(shù)的大小關(guān)系，常用方法：
（1）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：，當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞減；
（2）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：，當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞減；
（3）借助于中間值，例如：0或1等.
6. 若所有棱長(zhǎng)都是3的直三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】正三棱柱的底面中心的連線的中點(diǎn)就是外接球的球心，求出球的半徑即可求出球的表面積．
【詳解】解：由題意可知：正三棱柱的底面中心的連線的中點(diǎn)就是外接球的球心，底面中心到頂點(diǎn)的距離為：；所以外接球的半徑為：．
所以外接球的表面積為：．
故選：C
【點(diǎn)睛】本題是基礎(chǔ)題，考查正三棱柱的外接球的表面積的求法，找出球的球心是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力，計(jì)算能力．
7. 已知，，則（ ）
A. B. C. 25 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】由指對(duì)互換，表示出，代入原式即可.
【詳解】由， .
故選：A.
8. 已知雙曲線：的左右焦點(diǎn)分別為、，且拋物線：的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，點(diǎn)為與的一個(gè)交點(diǎn)，且直線的傾斜角為45°則雙曲線的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)雙曲線焦點(diǎn)，可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，過點(diǎn)做，垂足為，根據(jù)題意有，可得軸，進(jìn)而將用表示，結(jié)合雙曲線定義，即可求解.
【詳解】設(shè)雙曲線焦點(diǎn)，則拋物線的準(zhǔn)線方程為，
過做，垂足為，則，
，
，
又點(diǎn)在雙曲線上，，
.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線和拋物線的性質(zhì)，應(yīng)用曲線的定義是解題關(guān)鍵，注意幾何方法的合理運(yùn)用，屬于中檔題.
9. 已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確個(gè)數(shù)為（ ）
①著對(duì)于任意，都有成立，則
②若對(duì)于任意，都有成立，則
③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為
④當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，函數(shù)在至少有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
【答案】C
【解析】
【分析】①結(jié)合三角函數(shù)的值域來(lái)處理恒成立問題；
②根據(jù)題干可得到函數(shù)的周期，結(jié)合三角函數(shù)的最小正周期和周期的關(guān)系進(jìn)行判斷；
③根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解；
④由于的任意性，類比至少一個(gè)周期才保證至少有兩個(gè)零點(diǎn).
【詳解】對(duì)于①，若恒成立，只需要，根據(jù)正弦函數(shù)的值域可知，只需要，則，①正確；
對(duì)于②，說(shuō)明周期是，但不能說(shuō)明最小正周期是，最小正周期的倍數(shù)是均符合題意，例如最小正周期是，此時(shí)，顯然也成立，②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，時(shí)，當(dāng)，，根據(jù)正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增可知，，解得，③正確；
對(duì)于④，時(shí)，，當(dāng)，，若，有兩個(gè)零點(diǎn)，則中至少包含一個(gè)完整的周期，即，得到，④正確.綜上所述故有3項(xiàng)正確.
故選：C
10. 已知是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法算出，然后用模長(zhǎng)公式進(jìn)行求解.
【詳解】由題意，，于是.
故答案為：
11. 若直線是圓的一條對(duì)稱軸，則__________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】由已知，直線過圓心即可求解.
【詳解】由題，直線過圓心，將代入直線方程得，解得：.
故答案為：.
12. 在的展開式中，則的系數(shù)為________.
【答案】240
【解析】
【分析】寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，令的冪指數(shù)為，求出通項(xiàng)中的即可求解.
【詳解】依題意可得，的展開式的通項(xiàng)為
，
令，解得，
故項(xiàng)的系數(shù)為.
故答案：240
【點(diǎn)睛】本題考查利用二項(xiàng)式定理求二項(xiàng)展開式中某項(xiàng)的系數(shù)；考查運(yùn)算求解能力；正確寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題.
13. 設(shè)a、b是正實(shí)數(shù)，且，則的最小值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】將所求式子變?yōu)?，整理為符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得結(jié)果.
【詳解】
是正實(shí)數(shù)
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)

本題正確結(jié)果：
【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式求解和的最小值的問題，關(guān)鍵是構(gòu)造出符合基本不等式的形式，從而得到結(jié)果，屬于常規(guī)題型.
14. 現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1，2，2，3，4，5，6．從這7張卡片中隨機(jī)抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為，則__________，_________．
【答案】 ①. ， ②. ##
【解析】
【分析】利用古典概型概率公式求，由條件求分布列，再由期望公式求其期望.
【詳解】從寫有數(shù)字1,2,2,3,4,5,6的7張卡片中任取3張共有種取法，其中所抽取的卡片上的數(shù)字的最小值為2的取法有種，所以，
由已知可得的取值有1，2，3，4，
，，
，
所以,
故答案為：，.

15. 在平面四邊形中，，，若，則_____；若為邊上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，則值為_____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根據(jù)題意可知是等邊三角形，是有一個(gè)內(nèi)角為60°的直角三角形，又知道它們的邊長(zhǎng)，所以可以建立坐標(biāo)系，將問題坐標(biāo)化后進(jìn)行計(jì)算求解．
詳解】解：∵平面四邊形中，，，
∴是邊長(zhǎng)為2的等邊三角，
在中，，所以，
又，
∴是邊的四等分點(diǎn)．
如圖建立坐標(biāo)系：則：，
，
所以
，
再設(shè)，則，
∴，
顯然時(shí)，最小，此時(shí)，
∴．
故答案為：，．

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量在幾何問題中應(yīng)用，涉及向量的數(shù)量積和向量夾角的余弦值，通過建系將問題坐標(biāo)化是一種常見的求角或距離的解題方法，同時(shí)考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想.
16. 已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，.
（1）求的值；
（2）若，
（i）求的值；
（ⅱ）求的值.
【答案】（1）
（2）（i）；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意利用正弦定理運(yùn)算求解；
（2）（i）利用余弦定理運(yùn)算求解；（ⅱ）根據(jù)三角恒等變換運(yùn)算求解.
【小問1詳解】
由，且C是三角形的內(nèi)角，則，
因?yàn)?，由正弦定理得?br /> 所以.
【小問2詳解】
（i）由余弦定理得，
即，解得或.
（ⅱ）由（1）知，由知A為銳角，得，
所以，
，
所以.
17. 已知直三棱柱中，，，，D,E分別為的中點(diǎn)，F(xiàn)為CD的中點(diǎn).

（1）求證：//平面ABC；
（2）求平面CED與平面夾角的余弦值；
（3）求點(diǎn)到平面的距離．
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，證明垂直平面的法向量即可；
（2）利用空間向量求出兩個(gè)平面的法向量，然后用夾角公式計(jì)算；
（3）利用點(diǎn)到面距離的向量的公式計(jì)算.
【小問1詳解】

在直三棱柱中，平面，且，
以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC，BA，所在直線分別為x，y，z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
則，，，，.
易知平面ABC的一個(gè)法向量為，則，故，又因?yàn)槠矫妫?/平面
【小問2詳解】
，
設(shè)平面CED的法向量為，則，
不妨設(shè)，因?yàn)椋?br /> 設(shè)平面CED的法向量為，則，不妨設(shè)
則
因此，平面CED與平面夾角的余弦值為.
【小問3詳解】
因?yàn)?，根?jù)點(diǎn)到平面的距離公式，
則
即點(diǎn)到平面CED的距離為.
18. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，直線的傾斜角為，原點(diǎn)到直線的距離是．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知直線與橢圓相切，切點(diǎn)在第二象限，過點(diǎn)作直線的垂線，交橢圓于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第二象限），直線交軸于點(diǎn)，若，求直線的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)出直線的方程，由原點(diǎn)到直線的距離是，列方程解出，進(jìn)而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，令，解出和切點(diǎn)的坐標(biāo)；由已知，直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，可得的坐標(biāo)；由于與的面積相等，且，可得，結(jié)合列方程，求出，得到直線的方程．
【小問1詳解】
因?yàn)辄c(diǎn)，且直線的傾斜角為，
所以直線的方程為，所以，即
又原點(diǎn)到直線的距離是，
所以，所以，
所以橢圓的方程為．
【小問2詳解】
由題意知，直線的斜率存在且不為，
設(shè)直線的方程為，則直線的方程為．
聯(lián)立，消去，化簡(jiǎn)得．
因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以，即，
化簡(jiǎn)得，且切點(diǎn)為．
聯(lián)立，消去，得，解得，
所以，．
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以與的面積相等，
又，所以，
所以，即．
所以，即．
又，所以，解得．
因?yàn)?，，所以，?br /> 故直線的方程為．
19. 設(shè)是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，，是和的等比中項(xiàng)，的前項(xiàng)和為，.
（1）求和的通項(xiàng)公式;
（2）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.
（i）求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（ii）求.
【答案】（1），；（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）因?yàn)?，是和的等比中?xiàng)，根據(jù)等比中項(xiàng)可求得，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，利用與的關(guān)系，證出是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)（1）中和的通項(xiàng)公式，列出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用分組求和法，分成奇數(shù)組和偶數(shù)組，即可求出數(shù)列的前項(xiàng)和；
將分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，運(yùn)用裂項(xiàng)相消法化簡(jiǎn)求出結(jié)果；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，運(yùn)用錯(cuò)位相減法求出結(jié)果；分別求解出后，相加求得的值即可．
【詳解】（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)椋呛偷牡缺戎许?xiàng)，
所以，即，
解得，因?yàn)槭歉黜?xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，
所以，
故，
因?yàn)?，所以?br /> 兩式相減得：，
當(dāng)時(shí)，，，
是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
.
（2）（i）解：，
所以
.
（ii）解：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，
設(shè)
，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，
設(shè)，
，
所以，
故，
所以.
【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，以及運(yùn)用分組求和法、裂項(xiàng)相消法和錯(cuò)位相減法求和，屬于中檔題．
20. 已知函數(shù)．
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；
（3）證明：對(duì)任意的，有．
【答案】（1）
（2）在上單調(diào)遞增.
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）先求出切點(diǎn)坐標(biāo)，在由導(dǎo)數(shù)求得切線斜率，即得切線方程；
（2）在求一次導(dǎo)數(shù)無(wú)法判斷的情況下，構(gòu)造新的函數(shù)，再求一次導(dǎo)數(shù)，問題即得解；
（3）令，，即證，由第二問結(jié)論可知在[0,+∞）上單調(diào)遞增，即得證.
小問1詳解】
解：因?yàn)椋裕?br /> 即切點(diǎn)坐標(biāo)為，
又，
∴切線斜率
∴切線方程為：
【小問2詳解】
解：因?yàn)椋?
所以，
令，
則，
∴在上單調(diào)遞增，
∴
∴在上恒成立，
∴在上單調(diào)遞增.
【小問3詳解】
解：原不等式等價(jià)于，
令，，
即證，
∵，
，
由（2）知在上單調(diào)遞增，
∴，
∴
∴在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?br /> ∴，所以命題得證.


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