2023年北京市海淀區(qū)重點(diǎn)學(xué)校高考數(shù)學(xué)零模試卷一、單選題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)(    )A.  B.  C. 或 D. 或2.  復(fù)數(shù)的虛部是(    )A.  B.  C.  D. 3.  在展開(kāi)式中，的系數(shù)為(    )A.  B.  C.  D. 4.  下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又是區(qū)間上的增函數(shù)的是(    )A.  B.  C.  D. 5.  三條線段的長(zhǎng)分別為，，，則用這三條線段(    )A. 能組成銳角三角形 B. 能組成直角三角形 C. 能組成鈍角三角形????????????? D. 不能組成三角形6.  已知正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，為上一點(diǎn)，則三棱錐的體積為(    )A.  B.  C.  D. 7.  函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且，，則函數(shù)在區(qū)間上(    )A. 是增函數(shù) B. 是減函數(shù)
C. 可以取到最大值 D. 可以取到最小值8.  已知數(shù)列是等比數(shù)列，且滿足，則(    )A. 是遞增數(shù)列 B. 是遞減數(shù)列
C. 是的公比為或 D. 是的公比為9.  已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點(diǎn)，若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為(    )A.  B.  C.  D. 10.  已知圓：，為直線：上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為、，當(dāng)最小時(shí)，(    )A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共5小題，共25.0分）11.  ______ ．12.  已知拋物線經(jīng)過(guò)第二象限，且其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離大于，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的的標(biāo)準(zhǔn)方程______ ．13.  一個(gè)袋子中裝有個(gè)大小相同的球，其中個(gè)紅球，個(gè)白球，從中依次摸出個(gè)球，則在第一次摸到紅球的條件下，第二次摸到白球的概率是______．14.  紫砂壺是中國(guó)特有的手工制造陶土工藝品，其制作始于明朝正德年間紫砂壺的壺型眾多，經(jīng)典的有西施壺、掇球壺、石瓢壺、潘壺等其中，石瓢壺的壺體可以近似看成一個(gè)圓臺(tái)即圓錐用平行于底面的平面截去一個(gè)錐體得到的如圖給出了一個(gè)石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)單位：，那么該壺的容量約為______ ．




 
15.  已知點(diǎn)是邊長(zhǎng)為的正方形的中心，點(diǎn)是正方形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，若．
的取值范圍是______ ；
當(dāng)取得最大值時(shí)， ______ ．三、解答題（本大題共6小題，共85.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）16.  本小題分
已知函數(shù)，且．
求的值和函數(shù)在區(qū)間上的最大值及取得最大值時(shí)的值．
若，，求的值．17.  本小題分
某超市制定的某種有機(jī)蔬菜銷(xiāo)售策略如下：每天以元千克購(gòu)進(jìn)該種蔬菜，然后以元千克出售若每天下午點(diǎn)以前購(gòu)進(jìn)的有機(jī)蔬菜沒(méi)有全部銷(xiāo)售完，則對(duì)未售出的有機(jī)蔬菜進(jìn)行降價(jià)處理，以元千克出售，并且降價(jià)后能夠把剩余蔬菜全部銷(xiāo)售完，且當(dāng)天不再進(jìn)貨該超市整理了過(guò)去兩個(gè)月按天計(jì)算每天下午點(diǎn)前這種有機(jī)蔬菜的日銷(xiāo)售量單位：千克，得到如下的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)注：視頻率為概率，， 每天下午點(diǎn)前的銷(xiāo)售量千克天數(shù)注：每天超市銷(xiāo)售的蔬菜量是相互獨(dú)立的
在接下來(lái)的天中，設(shè)為下午點(diǎn)前的銷(xiāo)售數(shù)量不少于千克的天數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
若該超市擬購(gòu)進(jìn)千克有機(jī)蔬菜，表示蔬菜銷(xiāo)售量．
求分布列和數(shù)學(xué)期望；
寫(xiě)出此時(shí)利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望直接寫(xiě)出結(jié)果．18.  本小題分
如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，再?gòu)臈l件、條件、條件中選擇兩個(gè)能解決下面問(wèn)題的條件作為已知，并作答．
Ⅰ求證：平面；
Ⅱ求直線與平面所成角的正弦值．
條件：；
條件：；
條件：平面平面C.
19.  本小題分
已知橢圓：過(guò)點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為．
求橢圓的方程；
設(shè)為原點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，且直線與軸不重合，直線、分別與軸交于、兩點(diǎn)判斷是否為定值，如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．20.  本小題分
設(shè)函數(shù)，其中函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．
當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且；
若，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)直接寫(xiě)出結(jié)論．21.  本小題分
若無(wú)窮數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù)且對(duì)于，，，都存在，使得，則稱(chēng)數(shù)列滿足性質(zhì)．
判斷下列數(shù)列是否滿足性質(zhì)，并說(shuō)明理由．
，，，，；
，，，，．
若周期數(shù)列滿足性質(zhì)，請(qǐng)寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式不需要證明；
若數(shù)列滿足性質(zhì)，且，求證：集合為無(wú)限集．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：設(shè)集合，
，或，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
所以或．
故選：．
根據(jù)元素與集合的關(guān)系，分別討論和兩種情況，求解并檢驗(yàn)集合的互異性，可得到答案．
本題主要考查元素與集合的關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
 2.【答案】 【解析】【分析】
根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)虛部的概念，以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法運(yùn)算，即可求解．
本題考查了復(fù)數(shù)虛部的概念，以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法運(yùn)算，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題．【解答】解：，
復(fù)數(shù)的虛部為．
故選D．  3.【答案】 【解析】解：根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式：，當(dāng)時(shí)，的系數(shù)為．
故選：．
直接利用二項(xiàng)展開(kāi)式和組合數(shù)求出結(jié)果．
本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：二項(xiàng)展開(kāi)式和組合數(shù)，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．
 4.【答案】 【解析】解：選項(xiàng)A，是非奇非偶函數(shù)，是區(qū)間上的增函數(shù)，錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B，是偶函數(shù)，是區(qū)間上的減函數(shù)，錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C，是偶函數(shù)，是區(qū)間上的增函數(shù)，正確；
選項(xiàng)D，是奇函數(shù)，是區(qū)間上的增函數(shù)，錯(cuò)誤；
故選：．
根據(jù)冪函數(shù)和指對(duì)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，逐一檢驗(yàn)選項(xiàng)，得出答案．
本題主要考查了函數(shù)奇偶性及單調(diào)性的判斷，屬于基礎(chǔ)題．
 5.【答案】 【解析】解：根據(jù)三角形任兩邊之和大于第三邊可判斷能構(gòu)成三角形，
不妨設(shè)的三邊分別為，，，
因?yàn)?/span>，所以角為最大的角．
因?yàn)?/span>，，
所以為銳角，故三角形為銳角三角形．
故選：．
首先根據(jù)三角形任兩邊之和大于第三邊可判斷能構(gòu)成三角形，再根據(jù)大邊對(duì)大角，計(jì)算最長(zhǎng)邊對(duì)應(yīng)的余弦值即可判斷三角形的形狀，從而得到答案．
本題主要考查了余弦定理在三角形形狀判斷中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
 6.【答案】 【解析】解：如圖，為正四棱柱，
為到平面的距離，
根據(jù)等體積算法可得：
．
故選：．
由為到平面的距離，所以根據(jù)等體積法可得，代入數(shù)值即可得解．
本題考查三棱錐的體積的求解，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題．
 7.【答案】 【解析】解：設(shè)，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且，，
則當(dāng)時(shí)，，
而函數(shù)在上先減后增，排除選項(xiàng)A和，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到最小值，排除選項(xiàng)C．
故選：．
由換元法和余弦函數(shù)的圖象，得出的范圍，根據(jù)范圍結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，逐一檢驗(yàn)選項(xiàng)，得出答案．
本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．
 8.【答案】 【解析】解：，
令，得，
又?jǐn)?shù)列是等比數(shù)列，
則，解得，
又該等比數(shù)列的首項(xiàng)不確定，
該等比數(shù)列的單調(diào)性無(wú)法確定，
，，選項(xiàng)錯(cuò)誤，
故選：．
本題可由關(guān)系式，令，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得出答案．
本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
 9.【答案】 【解析】解：取的中點(diǎn)，連結(jié)，

設(shè)，則，，
因?yàn)?/span>，所以，
從而，
故選：．
利用等邊三角形的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義，建立，的等量關(guān)系式求解．
本題考查了雙曲線離心率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．
 10.【答案】 【解析】解：由圓的知識(shí)可知，，，，四點(diǎn)共圓，且，
圓：，圓心，半徑，
所以，
所以當(dāng)最小時(shí)，即當(dāng)最小時(shí)，
又，當(dāng)時(shí)，此時(shí)取得最小值，
此時(shí)，
則．
故選：．
首先根據(jù)題意得到當(dāng)時(shí)，此時(shí)取得最小值，然后由點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合勾股定理，即可得到結(jié)果．
本題考查圓的幾何性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．
 11.【答案】 【解析】解：．
故答案為：．
根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值求解作答．
本題主要考查了誘導(dǎo)公式在三角化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
 12.【答案】答案不唯一 【解析】解：設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
由題意知，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，
所以，可取，
則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故答案為：答案不唯一．
設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意得，即可得出拋物線方程．
本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．
 13.【答案】 【解析】解：一個(gè)袋子中裝有個(gè)大小相同的球，其中個(gè)紅球，個(gè)白球，從中依次摸出個(gè)球，
第一次摸出紅球的概率，
第一次摸出紅球且第二次也摸出白球的概率，
故在第一次摸到紅球的條件下，第二次摸到白球的概率．
故答案為：．
直接利用條件概率的關(guān)系式求出結(jié)果．
本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：條件概率，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．
 14.【答案】 【解析】解：由題意可知，圓臺(tái)上底面半徑為，下底面半徑為，高為，
所以．
故答案為：．
根據(jù)圓臺(tái)的體積公式求解即可．
本題考查了圓臺(tái)的體積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．
 15.【答案】  【解析】解：建立以為原點(diǎn)的坐標(biāo)系，如圖所示：

由可得的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
設(shè)，則有，
所以，
又因?yàn)?/span>，
所以，
由的軌跡方程可知，
即，所以，
所以的范圍為：；
將代入，得，
所以點(diǎn)在圓上，
設(shè)
則，
所以當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)，
所以，
所以，
所以．
故答案為：；．
建立以為原點(diǎn)的坐標(biāo)系，可得的軌跡方程，由的軌跡方程可知，即，即可求解．
將代入的軌跡方程得，設(shè)，利用三角函數(shù)求得當(dāng)時(shí)，取最大值，代入即可求解．
本題主要考查平面向量的基本定理，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
 16.【答案】解，解得，
，
，
，
，
當(dāng)，即時(shí)，取得最大值為，
當(dāng)時(shí)，取得最大值為，
即在上的最大值為，此時(shí)的值為．
，
，
又，
，
，
．
故的值為． 【解析】由求得的值，再由的范圍求得的范圍進(jìn)而求得的最大值即可．
由得，再由范圍求出的范圍來(lái)判斷的符號(hào)，進(jìn)而求得的值，再運(yùn)用配湊角，求得值．
本題主要考查了二倍角公式，和差角公式，輔助角公式在三角化簡(jiǎn)中的應(yīng)用，還考查了正弦函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．
 17.【答案】解：依題意，天下午點(diǎn)前的銷(xiāo)售量不少于千克的概率，
隨機(jī)變量的可能值為，，，，，，
所以的分布列為： 的數(shù)學(xué)期望；
根據(jù)題意可得：隨機(jī)變量的可能值為，，，
根據(jù)題意可得；；，
所以的分布列為： 的數(shù)學(xué)期望；
． 【解析】求出天下午點(diǎn)前的銷(xiāo)售量不少于千克的概率，再求出的可能值及對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列并求出期望作答．
根據(jù)列分布列的步驟求出購(gòu)進(jìn)千克有機(jī)蔬菜，表示蔬菜銷(xiāo)售量，分布列和數(shù)學(xué)期望；
利用均值的線性運(yùn)算直接求解即可．
本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望的求解，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．
 18.【答案】解：若選擇，
Ⅰ證明：，，，
，
又，，，平面，
平面；
Ⅱ由Ⅰ可知，，，
四邊形是正方形，
，
如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，
，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，則可取，
設(shè)直線與平面所成角為，則，
直線與平面所成角的正弦值為．
若選擇，
Ⅰ證明：，，，
，
又平面平面，平面平面，
平面；
Ⅱ由Ⅰ可知，，，
四邊形是正方形，
，
如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，
，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，則可取，
設(shè)直線與平面所成角為，則，
直線與平面所成角的正弦值為． 【解析】本題考查線面垂直的判定以及利用空間向量求解線面角的正弦值，考查邏輯推理能力以及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
Ⅰ若選擇，先由勾股定理可得，再結(jié)合，，即可得證；若選擇，先由勾股定理可得，再利用面面垂直的性質(zhì)定理即可得證；
Ⅱ建立空間直角坐標(biāo)系，求得各點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得平面的法向量，再利用向量的夾角公式求解即可．
 19.【答案】解：由題意知，，則，
所以，
將代入得：，
所以橢圓方程為；
是定值，為，
設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立方程，
設(shè)，，則，，
因?yàn)?/span>，
所以設(shè)直線的方程為，
令得，
同理可得：，，
故是定值，為． 【解析】根據(jù)已知條件求得、的值即可；
設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系，通過(guò)直線和直線的方程求出、兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求得．
本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．
 20.【答案】解：當(dāng)時(shí)，，
則，所以，
又，所以，即在點(diǎn)處的切線方程為．
證明：因?yàn)?/span>的定義域?yàn)?/span>，，，
則，
令，
則，
又因?yàn)?/span>，，
所以，
所以在上單調(diào)遞減，
又因?yàn)?/span>，，，
所以，，即，
所以，，
所以在上有唯一零點(diǎn)，且，
即有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且．
當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?/span>，則，
所以由零點(diǎn)存在性定理知，在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)?/span>，，
所以在上有唯一零點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，由知，在上單調(diào)遞減，且有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，，
所以，即：，
所以，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
又因?yàn)?/span>，，
令，
則，
所以在上單調(diào)遞減，
又因?yàn)?/span>，
所以，即：，
所以由零點(diǎn)存在性定理知，在上有個(gè)零點(diǎn)．
綜述：當(dāng)時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)． 【解析】運(yùn)用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線的斜率，進(jìn)而求得切線方程．
令，令，研究的單調(diào)性及運(yùn)用零點(diǎn)存在性定理即可證明．
分類(lèi)討論與時(shí)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)研究原函數(shù)的單調(diào)性及圖象即可求得結(jié)果．
本題考查利用導(dǎo)數(shù)求切線，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)，化歸轉(zhuǎn)化思想，分類(lèi)討論思想，屬難題．
 21.【答案】解：對(duì)，取，對(duì)，，則 ，，
可得，
顯然不存在，，使得，
故數(shù)列 不滿足性質(zhì)；
對(duì)，對(duì)于，，，則，，
故，
，，，，則，
存在，，
使得，
故數(shù)列滿足性質(zhì)；
設(shè)周期數(shù)列的周期為，，則對(duì)，均有，
設(shè)周期數(shù)列的最大項(xiàng)為，，，
最小項(xiàng)為，，，
即對(duì)，均有，
若數(shù)列滿足性質(zhì)：
反證：假設(shè)時(shí)，取，，則，，
使得，
則，即，
這對(duì)，均有矛盾，假設(shè)不成立；
則對(duì)，均有；
反證：假設(shè)時(shí)，取，，則，，
使得，
這與對(duì)，均有矛盾，假設(shè)不成立，
即對(duì)，均有，
綜上所述：對(duì)，均有，
反證：假設(shè)為數(shù)列中的項(xiàng)，由可得：，為數(shù)列中的項(xiàng)，
，即為數(shù)列中的項(xiàng)，這與對(duì)均有相矛盾，
即對(duì)均有，同理可證：，
，則，
當(dāng)時(shí)，即數(shù)列為常數(shù)列時(shí)，設(shè)，
故對(duì)，，，都存在，
使得，解得或，即或符合題意；
當(dāng)時(shí)，即數(shù)列至少有兩個(gè)不同項(xiàng)，則有：
當(dāng)，為數(shù)列中的項(xiàng)，則，即為數(shù)列中的項(xiàng)，但，不成立；
當(dāng)，為數(shù)列中的項(xiàng)，則，即為數(shù)列中的項(xiàng)，但，不成立；
當(dāng)，為數(shù)列中的項(xiàng)，則，即為數(shù)列中的項(xiàng)，但，不成立；
綜上所述：或．
證明：若數(shù)列滿足性質(zhì)，且，則有：
取，，，均存在，，使得 ，
取，，，均存在，，使得，
取，，均存在，，使得，
故數(shù)列 中存在 ，使得，即，
反證：假設(shè)為有限集，其元素由小到大依次為，，，，
取，，均存在，，使得 ，
取，，均存在，，使得，
取，，均存在，，使得，
即這與假設(shè)相矛盾，
故集合為無(wú)限集． 【解析】根據(jù)題意分析判斷；
根據(jù)題意先證為數(shù)列中的項(xiàng)，再利用反證法證明集合為無(wú)限集；
先根據(jù)題意證明，再分為常數(shù)列和非常數(shù)列兩種情況，分析判斷．
本題以數(shù)列為載體，著重考查邏輯思維、推理論證能力，屬難題．
 

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2022年北京市海淀區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷：

這是一份2022年北京市海淀區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷，共22頁(yè)。試卷主要包含了解答題共6小題，共85分等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2021年北京市海淀區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷：

這是一份2021年北京市海淀區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷，共25頁(yè)。試卷主要包含了解答題共6小題，共85分等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2023年北京市海淀區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校高考數(shù)學(xué)三模試卷：

這是一份2023年北京市海淀區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校高考數(shù)學(xué)三模試卷，共18頁(yè)。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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