?2023年廣東省東莞市中考二模數(shù)學(xué)試卷
學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________

一、單選題
1．下列實(shí)數(shù)是無理數(shù)的是（???）
A． B． C． D．
2．某種芯片每個(gè)探針單元的面積為，0.00000164用科學(xué)記數(shù)法可表示為（??）
A． B． C． D．
3．下列立體圖形中，俯視圖是三角形的是（???）
A． B． C． D．
4．下列計(jì)算正確的是（????）
A． B． C． D．
5．一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都等于72°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（?????）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．把拋物線向左平移1個(gè)單位，然后向下平移3個(gè)單位，則平移后拋物線的解析式為（　?。?br /> A． B．
C． D．
7．如圖，．若，則的大小為（????）

A． B． C． D．
8．在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像如圖所示、則當(dāng)時(shí)，自變量的取值范圍為（????）

A． B． C． D．
9．如圖，由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C、D，則的值為（????）

A． B． C． D．
10．如圖1，在中，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)x表示線段的長(zhǎng)，y表示線段的長(zhǎng)，下列結(jié)論不正確的是（　?。?br /> ??
A． B． C． D．

二、填空題
11．若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是 _____．
12．點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)是_____．
13．不等式組的解集是_____．
14．如圖，把△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C，此時(shí)A′B′⊥AC于點(diǎn)D，已知∠A＝50°，則∠B′CB的度數(shù)是 _____．

15．若方程的一個(gè)根是m，則代數(shù)式_________．
16．雙曲線在第一象限的圖象如圖，過y1上的任意一點(diǎn)A，作x軸的平行線交y2于B，交y軸于C，若S△AOB＝3，則k的值為_____．

17．如圖，將等邊的三條邊向外延長(zhǎng)一倍，得到第一個(gè)新的．第二次將等邊的三邊向外延長(zhǎng)一倍，得到第二個(gè)新的，依此規(guī)律繼續(xù)延長(zhǎng)下去，若的面積，則第2023個(gè)新的三角形的面積為_______．
??

三、解答題
18．計(jì)算：．
19．先化簡(jiǎn)，再求值，其中．
20．如圖，已知△ABC，∠C＝90°，
（1）請(qǐng)用直尺與圓規(guī)作圖，作線段AB的垂直平分線，交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D．（不寫作法，但要保留作圖痕跡）
（2）若∠B＝15°，若AC＝，則BD＝　 　．

21．春季開學(xué)后，某校為了讓學(xué)生有效應(yīng)用壓歲錢，開展有意義的“尊老、敬老”慈善捐款活動(dòng)，將捐款捐贈(zèng)給本市敬老院．學(xué)生會(huì)為了了解學(xué)生捐款的情況，隨機(jī)調(diào)查了該校部分學(xué)生，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：

(1)本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為________人，在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，捐款金額為100元所在扇形的圓心角的度數(shù)是________度，在調(diào)查的這組學(xué)生中，捐款金額的中位數(shù)是________元；
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
(3)學(xué)生會(huì)為了更好地引導(dǎo)學(xué)生合理支配壓歲錢，選出甲，乙，丙和丁四人從不同的方面在全校進(jìn)行講解，但由于時(shí)間的限定，臨時(shí)調(diào)整只能兩人講解．因此，學(xué)生會(huì)采用隨機(jī)抽簽的方式從甲，乙，丙和丁四人中確定兩名講解人選．請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方式說明抽中甲和乙的概率是多少？
22．如圖，的半徑為6cm，經(jīng)過上一點(diǎn)C作的切線交半徑的延長(zhǎng)于點(diǎn)B，作的平分線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)F，延長(zhǎng)交于點(diǎn)E．
(1)求證：；
(2)如果，求的長(zhǎng)度．

23．某學(xué)校計(jì)劃從商店購(gòu)買測(cè)溫槍和洗手液，已知購(gòu)買一個(gè)測(cè)溫槍比購(gòu)買一瓶洗手液多用20元，若用400元購(gòu)買測(cè)溫槍和用160元購(gòu)買洗手液，則購(gòu)買測(cè)溫槍的個(gè)數(shù)是購(gòu)買洗手液個(gè)數(shù)的一半．
(1)求購(gòu)買一個(gè)測(cè)溫槍、一瓶洗手液各需要多少元；
(2)經(jīng)商談，商店給予該學(xué)校購(gòu)買一個(gè)測(cè)溫槍贈(zèng)送一瓶洗手液的優(yōu)惠，如果該學(xué)校需要洗手液個(gè)數(shù)是測(cè)溫槍個(gè)數(shù)的2倍還多8個(gè)，且該學(xué)校購(gòu)買測(cè)溫槍和洗手液的總費(fèi)用不超過670元，那么該學(xué)校最多可購(gòu)買多少個(gè)測(cè)溫槍？
24．如圖1，在正方形中，點(diǎn)E在邊上（不與點(diǎn)C，D重合），交于點(diǎn)F．
??
(1)求證：．
(2)若，求的長(zhǎng)．
(3)如圖2，連接，則 ．
25．如圖，拋物線y＝ax2+bx+1與x軸交于兩點(diǎn)A（﹣1，0），B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）過點(diǎn)B作BD∥CA拋物線交于點(diǎn)D，求四邊形ACBD的面積；
（3）在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)M，過M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，使以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似？若存在，則求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．


參考答案：
1．C
【分析】無理數(shù)是指無限不循環(huán)小數(shù)，據(jù)此判斷即可．
【詳解】根據(jù)無理數(shù)的定義，為無理數(shù)，
，1，2均為有理數(shù)，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查無理數(shù)的辨別，理解無理數(shù)的定義以及常見形式是解題關(guān)鍵．
2．B
【分析】絕對(duì)值小于1的數(shù)利用科學(xué)記數(shù)法表示的一般形式為a×10-n，指數(shù)n由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．
【詳解】解：0.00000164=1.64×10-6，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小數(shù)的方法，寫成a×10-n的形式是關(guān)鍵．
3．B
【分析】俯視圖是從物體上面看所得到的圖形，據(jù)此判斷得出物體的俯視圖．
【詳解】解：A、圓錐體的俯視圖是圓，故此選項(xiàng)不合題意；
B、三棱柱的俯視圖是三角形，故此選項(xiàng)符合題意；
C、球的俯視圖是圓，故此選項(xiàng)不合題意；
D、圓柱體的俯視圖是圓，故此選項(xiàng)不合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖，掌握定義是關(guān)鍵．注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在三視圖中．
4．B
【分析】分別根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則，冪的乘方運(yùn)算法則，積的乘方運(yùn)算法則以及同底數(shù)冪的除法法則逐一判斷即可．
【詳解】解：A、，原計(jì)算錯(cuò)誤，該選項(xiàng)不符合題意；
B、，正確，該選項(xiàng)符合題意；
C、，原計(jì)算錯(cuò)誤，該選項(xiàng)不符合題意；
D、，原計(jì)算錯(cuò)誤，該選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘除法以及冪的乘方與積的乘方，熟記冪的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
5．A
【分析】根據(jù)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角相等，每個(gè)外角也相等，外角和等于，即可得出答案
【詳解】解：∵多邊形的外角和等于360°，且這個(gè)每個(gè)外角都等于72°，
∴它的邊數(shù)為.
故選A
【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的外角和，解題的關(guān)鍵是掌握多邊形的外角和等于360°.
6．C
【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象平移的方法即可得出結(jié)論．
【詳解】解：拋物線向左平移1個(gè)單位，然后向下平移3個(gè)單位，則平移后拋物線的解析式為：
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“上加下減，左加右減”的法則是解答此題的關(guān)鍵．
7．B
【分析】根據(jù)兩直線平行線，內(nèi)錯(cuò)角相等，求出∠1=∠C=58°，再利用兩直線平行線，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可求出∠CGE的大小，然后利用對(duì)頂角性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：設(shè)CD與EF交于G，
∵AB∥CD
∴∠1=∠C=58°
∵BC∥FE，
∴∠C+∠CGE=180°，
∴∠CGE=180°-58°=122°，
∴∠2=∠CGE=122°，

故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，掌握平行線性質(zhì)是解題關(guān)鍵
8．D
【分析】觀察圖像得到兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再觀察一次函數(shù)函數(shù)圖像在反比例函數(shù)圖像上方的區(qū)段，從而可得答案．
【詳解】解：由圖像可得：兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是：
所以：當(dāng)時(shí)，
，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是利用一次函數(shù)圖像與反比例函數(shù)圖像解不等式，掌握數(shù)型結(jié)合的方法是解題的關(guān)鍵．
9．A
【分析】首先根據(jù)圓周角定理可知，∠ABC＝，在Rt△ACB中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出∠ABC的正弦值．
【詳解】∵和∠ABC所對(duì)的弧長(zhǎng)都是，
∴根據(jù)圓周角定理知，∠ABC＝，
∴在Rt△ACB中，AB=
根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義知，sin∠ABC＝，
∴=，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義和圓周角的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是利用圓周角定理把求的正弦值轉(zhuǎn)化成求∠ABC的正弦值，本題是一道比較不錯(cuò)的習(xí)題．
10．C
【分析】由函數(shù)圖象可知，，當(dāng)時(shí)，BP取得最小值，由“垂線段最短”得到當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，，從而求得的底邊上的高的長(zhǎng)度，即可在中，求出的長(zhǎng)，再在中，由勾股定理求得的長(zhǎng)，最后利用勾股定理的逆定理可求得．
【詳解】解：由函數(shù)圖象可知，，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，取得最小值，
則如圖，過點(diǎn)B作于點(diǎn)P，則，
∴在中，，，
∴在中，，故選項(xiàng)B正確，不符合題意；
∴，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，符合題意；
∵，
∴，故選項(xiàng)D正確，不符合題意；
故選：C．
??
【點(diǎn)睛】本題考查的是動(dòng)點(diǎn)的函數(shù)圖象，勾股定理，此類題目的核心是在圖形和圖象上，找到動(dòng)點(diǎn)位置在兩個(gè)圖上的對(duì)應(yīng)位置關(guān)系，這類題目有一定的難度．
11．
【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)即可得出答案．
【詳解】解：∵，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．
12．(-2，-3)
【分析】點(diǎn)(x，y)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(-x，y)，據(jù)此進(jìn)行求解即可得.
【詳解】點(diǎn)P(2，-3)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是(-2，-3)，
故答案為(-2，-3).
【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解決的關(guān)鍵是對(duì)知識(shí)點(diǎn)的正確記憶．關(guān)于橫軸的對(duì)稱點(diǎn)，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變成相反數(shù)；關(guān)于縱軸的對(duì)稱點(diǎn)，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變成相反數(shù)；關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，橫縱坐標(biāo)都變成相反數(shù)．
13．．
【分析】根據(jù)解一元一次不等式組的方法求解即可.
【詳解】解：，
由不等式①，得，
由不等式②，得，
故原不等式組的解集是，
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式組的解法，屬于基礎(chǔ)題目，熟練掌握一元一次不等式組的解法是解題的關(guān)鍵.
14．40°
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠A＝∠A'＝50°，∠BCB'＝∠ACA'，由直角三角形的性質(zhì)可求∠ACA'＝40°＝∠B′CB．
【詳解】解：∵把△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C，
∴∠A＝∠A'＝50°，∠BCB'＝∠ACA'，
∵A'B'⊥AC，
∴∠A'＋∠ACA'＝90°，
∴∠ACA'＝40°，
∴∠B′CB＝40°，
故答案為：40°．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解．
15．6
【分析】根據(jù)一元二次方程解的定義得到，即，則．
【詳解】解：∵方程的一個(gè)根是m，
∴，
∴，
∴，
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程解的定義和代數(shù)式求值，熟知一元二次方程解的定義是解題的關(guān)鍵．
16．10
【分析】根據(jù)S△BOC﹣S△AOC＝S△AOB，列出方程，求出k的值．
【詳解】由題意得：S△BOC﹣S△AOC＝S△AOB，

解得，k＝10，
故答案為10
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，過雙曲線上的任意一點(diǎn)分別向兩條坐標(biāo)軸作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積就等于|k|．根據(jù)面積關(guān)系得出方程是解決問題的關(guān)鍵．
17．72023
【分析】如圖，連接，根據(jù)等底等高的三角形的面積相等求出的面積即可；根據(jù)等底等高的三角形的面積相等得到向外擴(kuò)展了一次得到的的面積，向外擴(kuò)展了二次得到的的面積，，找出規(guī)律即可．
【詳解】解：如圖，連接，
??
，
，
，
用同樣的方法得到，，，
；
向外擴(kuò)展了一次得到的的面積為；
向外擴(kuò)展了二次得到的，可以看作是向外擴(kuò)展了一次得到，
的面積為的面積；
向外擴(kuò)展了二次得到的的面積，，
同理：向外擴(kuò)展了次得到的的面積為，
第2023個(gè)新的三角形的面積為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律型：圖形變化類，首先應(yīng)找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．探尋規(guī)律要認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想來解決這類問題．
18．3
【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值、絕對(duì)值的意義和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的計(jì)算方法計(jì)算即可．
【詳解】解：原式

=3．
【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值、絕對(duì)值的意義和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則等知識(shí)，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解答本題的關(guān)鍵．
19．x2-2y，0
【分析】首先運(yùn)用平方差公式計(jì)算，再運(yùn)用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式計(jì)算，最后合并同類項(xiàng)，即可化簡(jiǎn)，然后把x、y值代入計(jì)算即可．
【詳解】解：
=x2-y2+y2-2y
=x2-2y
當(dāng)x=1，y=時(shí)，原式=12-2×=0．
【點(diǎn)睛】本題考查整式化簡(jiǎn)求值，熟練掌握整式混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
20．（1）見解析；（2）2
【分析】（1）以A、B兩點(diǎn)為圓心，大于AB為半徑，畫弧交M、N兩點(diǎn)，過M、N作直線MN即可，
（2）利用MN是垂直平分線得DA＝DB，由等邊對(duì)等角得∠B＝∠DAB＝15°，由外角求∠ADC＝30°，利用直角三角形中30o角的性質(zhì)BD＝AD＝2AC即可．
【詳解】（1）如圖，直線MN即為所求．

（2）連接AD．
∵M(jìn)N垂直平分線段AB，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠DAB＝15°，
∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝30°，
∵∠C＝90°，AC＝，
∴BD＝AD＝2AC＝2，
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖和垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形中30o角的性質(zhì)，掌握尺規(guī)作圖和垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形中30o角的性質(zhì)，會(huì)用尺規(guī)作線段垂直平分線，會(huì)利用垂直平分線求角，會(huì)利用30度角的性質(zhì)解題是關(guān)鍵．
21．(1)60，108，50
(2)見解析
(3)

【分析】（1）由捐款金額為50元的有21人，所占的百分比為，即可求得這次被調(diào)查的學(xué)生數(shù)；用360度乘以捐款金額為100元所占的百分比，即可求得B所占扇形的圓心角；根據(jù)中位數(shù)的求法可求得捐款金額的中位數(shù)；
（2）首先求得捐款金額為20元對(duì)應(yīng)人數(shù)、捐款金額為200元對(duì)應(yīng)人數(shù)，即可補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖；
（3）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的情況，再利用概率公式即可求得答案．
【詳解】（1）解：∵捐款金額為50元的有21人，所占的百分比為，
∴這次被調(diào)查的學(xué)生共有：（人）；
捐款金額為100元所在扇形的圓心角的度數(shù)是：；
捐款金額的中位數(shù)是第30、31兩個(gè)數(shù)，即50元；
故答案為：60，108，50；
（2）解：捐款金額為20元對(duì)應(yīng)人數(shù)為：（人）
捐款金額為200元對(duì)應(yīng)人數(shù)為：（人）；
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖．
；
（3）解：畫樹狀圖得：

∵共有12種等可能的情況，恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的有2種，
∴P（選中甲、乙）．
【點(diǎn)睛】本題考查了列表法或樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果求出n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式求出事件A或B的概率．也考查了條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用．
22．(1)證明見解析；
(2)．

【分析】（1）由平分，易證得，即可證得；
（2）切于點(diǎn)C，，易證得平行四邊形是菱形，繼而可證得是等邊三角形，則可得：，繼而求得弧的長(zhǎng)度．
【詳解】（1）證明：∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）∵切于點(diǎn)C，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴四邊形是平行四邊形．
∵，
∴平行四邊形是菱形，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴弧的長(zhǎng)度=．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)以及弧長(zhǎng)公式．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
23．(1)購(gòu)買一個(gè)測(cè)溫槍需要25元，購(gòu)買一瓶洗手液需要5元
(2)該學(xué)校最多可購(gòu)買21個(gè)測(cè)溫槍

【分析】（1）設(shè)購(gòu)買一瓶洗手液需要元，則購(gòu)買一個(gè)測(cè)溫槍需要元，根據(jù)用400元購(gòu)買測(cè)溫槍的數(shù)量是用160元購(gòu)買洗手液的一半，即可得出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)該學(xué)校購(gòu)買個(gè)測(cè)溫槍，則購(gòu)買瓶洗手液，根據(jù)總價(jià)單價(jià)數(shù)量結(jié)合總價(jià)不超過670元，即可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）設(shè)購(gòu)買一瓶洗手液需要元，則購(gòu)買一個(gè)測(cè)溫槍需要元，
依題意，得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，
．
答：購(gòu)買一個(gè)測(cè)溫槍需要25元，購(gòu)買一瓶洗手液需要5元．
（2）設(shè)該學(xué)校購(gòu)買個(gè)測(cè)溫槍，則購(gòu)買瓶洗手液，
依題意，得：，
解得：．
答：該學(xué)校最多可購(gòu)買21個(gè)測(cè)溫槍．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．
24．(1)見解析
(2)
(3)

【分析】（1）由“”可證，可得，，由四邊形內(nèi)角和定理可證，可得；
（2）過點(diǎn)作于，利用勾股定理可求的長(zhǎng)，即可求解；
（3）在上截取，連接，由“”可證，可得，，可得，即可求解．
【詳解】（1）證明：連接，
????
四邊形是正方形，
，，，
又，
，
，，
，且，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如圖2，過點(diǎn)作于，
????
，，
，
，
，，
，，
，
，
，（負(fù)值舍去），
；
（3）解：如圖3，在上截取，連接，
??
，，
，
，，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線是本題的關(guān)鍵．
25．（1）y＝﹣x2+1；（2）4；（3）M （，﹣）或（4，﹣15）或（﹣2，﹣3）．
【分析】（1）將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)的值；
（2）先求出直線AC的解析式，由于BD∥AC，那么直線BD的斜率與直線AC的相同，可據(jù)此求出直線BD的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式即可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；由圖知四邊形ACBD的面積是△ABC和△ABD的面積和，由此可求得其面積；
（3）易知OA＝OB＝OC＝1，那么△ACB是等腰直角三角形，由于AC∥BD，則∠CBD＝90°；根據(jù)B、C的坐標(biāo)可求出BC、BD的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出它們的比例關(guān)系；若以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似，那么兩個(gè)直角三角形的對(duì)應(yīng)直角邊應(yīng)該成立，可據(jù)此求出△AMN兩條直角邊的比例關(guān)系，連接拋物線的解析式即可求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】解：（1）依題意，得：，解得；
∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+1；
（2）易知A（﹣1，0），C（0，1），則直線AC的解析式為：y＝x+1；
由于AC∥BD，可設(shè)直線BD的解析式為y＝x+h，則有：1+h＝0，h＝﹣1；
∴直線BD的解析式為y＝x﹣1；聯(lián)立拋物線的解析式得：
，解得，；
∴D（﹣2，﹣3）；
∴S四邊形ACBD＝S△ABC+S△ABD＝×2×1+×2×3＝4；
（3）∵OA＝OB＝OC＝1，
∴△ABC是等腰Rt△；
∵AC∥BD，
∴∠CBD＝90°；
易求得BC＝，BD＝3；
∴BC：BD＝1：3；
由于∠CBD＝∠MNA＝90°，若以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似，則有：
△MNA∽△CBD或△MNA∽△DBC，得：
或；
即MN＝AN或MN＝3AN；
設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，﹣x2+1），
①當(dāng)x＞1時(shí)，AN＝x﹣（﹣1）＝x+1，MN＝x2﹣1；
∴x2﹣1＝（x+1）或x2﹣1＝3（x+1），
解得x＝，x＝﹣1（舍去）或x＝4，x＝﹣1（舍去）；
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為：M（，﹣）或（4，﹣15）；
②當(dāng)x＜﹣1時(shí)，AN＝﹣1﹣x，MN＝x2﹣1；
∴x2﹣1＝（﹣x﹣1）或x2﹣1＝3（﹣x﹣1），
解得x＝，x＝﹣1（兩個(gè)都不合題意，舍去）或x＝﹣2，x＝﹣1（舍去）；
∴M（﹣2，﹣3）；
故存在符合條件的M點(diǎn)，且坐標(biāo)為：M（，﹣）或（4，﹣15）或（﹣2，﹣3）．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法以及相似三角形的判定和性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想．

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