2023年湖南師大附中中考數學一模試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  (    )A.  B.  C.  D. 2.  第屆亞運會將于年月日至月日在中國浙江省杭州市舉行，杭州奧體博覽城，將成為杭州年亞運會的主場館，杭州奧體博覽城核心區(qū)占地公頃，建筑總面積平方米，將數用科學記數法表示為(    )A.  B.  C.  D. 3.  如圖所示的幾何體中，主視圖與左視圖均是三角形的是(    )A.  B.  C.  D. 4.  如圖，為判斷一段紙帶的兩邊，是否平行，小明在紙帶兩邊，上分別取點，，并連接下列條件中，能得到的是(    )A.
B.
C.
D. 5.  下列運算中，正確的是(    )A.  B.
C.  D. 6.  剪紙文化是中國最古老的民間藝術之一，下列剪紙圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(    )A.  B.  C.  D. 7.  智能垃圾箱分為“有害垃圾、可回收垃圾”等若干箱體居民通過刷卡、手機號、人臉識別等身份識別方式進行自動開箱投放，將不同的垃圾投放至不同的箱體內，垃圾箱則根據居民投放的垃圾，自動進行稱重，然后換算出積分可以現金提現或在禮品兌換機兌換實物禮品我市某小區(qū)個家庭一周換算的積分分別為，，，
，，，，關于這組數據，中位數和眾數分別是(    )A. ， B. ， C. ， D. ，8.  某書店拿取高處書籍的登高梯如圖位置擺放，登高梯的頂端恰好放在書架的第七層的頂端已知登高梯的長度為米，登高梯與地面的夾角為，則書架第七層頂端離地面的高度為(    )A. 米 B. 米 C. 米 D. 米9.  解分式方程時，去分母正確的是(    )A.  B.
C.  D. 10.  如圖，在軸的正半軸上依次截取，過點、、、分別作軸的垂線，與反比例函數交于點、、、，連接、、，過點、、分別向、、作垂線段，構成的一系列直角三角形圖中陰影部分的面積和等于(    )A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共6小題，共18分）11.  因式分解：______．12.  方程的解是        ．13.  如圖，≌，點，，在同一條直線上，且，，則的長是______ ．
 14.  如圖，，是的兩條半徑，點在上，若，則的度數為______ ．
 15.  如圖為最受歡迎的智力游戲之一三階魔方，三階魔方是由個小立方塊和一個三維十字連接軸組成，且六個面分別涂有不同顏色，從小立方塊中任取一個，恰好有兩面涂色的概率為______ ．
 16.  某次會議有人參加，參加會議的每個人都可能是說真話的，也可能是不說真話的，現在知道下面兩項事實：這人中，至少有名是不說真話的；其中任何人中，至少有名是說真話的則這次會議活動中，說真話的人數是______ ．三、解答題（本大題共9小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.  本小題分
計算：．18.  本小題分
已知，求代數式的值．19.  本小題分
如圖，小睿為測量公園的一涼亭的高度，他先在水平地面點處用高的測角儀測得頂部的仰角為，然后沿方向向前走到達點處，在點處用高的測角儀測得頂部的仰角為求涼亭的高度結果精確到．
參考數據：，，，，，
 20.  本小題分
整理錯題是一種優(yōu)秀的學習習慣和學習方法，為此湖南師大附中教育集團某校教務處就這項優(yōu)秀的學習習慣對部分九年級學生進行了問卷調查設計的調查問題：對自己做錯的題目進行整理、分析、改正情況：答案選項為：、很少，、有時，、常常，、總是將調查結果的數據進行了整理、繪制成部分統(tǒng)計圖：

請根據圖中信息，解答下列問題：
填空： ______ ， ______ ，“常?！睂刃蔚膱A心角度為______ ；
請你補全條形統(tǒng)計圖；
為了共同進步，王老師從被調查的類和類學生中各選出兩人，再從四人中選取兩位學生進行“一幫一”互助學習，請用列表法或畫樹形圖的方法求出所選兩位學生恰好組合成功即“很少”和“總是”的兩人為一組的概率．21.  本小題分
如圖，已知是的直徑，點在上，連接、，在的延長線上取一點，使得，連接．
求證：直線是的切線；
若，，求的長．
22.  本小題分
為進一步落實“德、智、體、美、勞”五育并舉工作，某中學以體育為突破口，準備從體育用品商場一次性購買若干個足球和籃球，用于學校球類比賽活動每個足球的價格都相同，每個籃球的價格也相同已知籃球的單價比足球單價的倍少元，用相同的費用，購買的足球數量與購買的籃球數量之比為：．
足球和籃球的單價各是多少元？
根據學校實際情況，需一次性購買足球和籃球共個，但要求足球和籃球的總費用不超過元，學校最多可以購買多少個籃球？23.  本小題分
如圖，已知正方形，邊長，點為對角線上任一點，連接，過點作交于點．
求證：；
若，求四邊形的面積．
24.  本小題分
對于一個函數，如果在該函數圖象上至少存在一點，那么我們不妨稱這個函數為攀登函數，稱這個點為該函數的攀登星請根據以上規(guī)定嘗試完成以下問題：
試判斷函數是不是攀登函數，如果是，請求出攀登星；若不是，請說明理由；
已知一次函數是攀登函數且有唯一的攀登星，請求出該函數的解析式及攀登星；
已知二次函數是攀登函數，兩個攀登星記為，，，函數最小值為，且，求的取值范圍．25.  本小題分
如圖，已知、是半徑為的的兩條弦，且，的延長線交于點，連接、．

證明：；
連接，當是直角三角形時，求的長；
試探究的值是否為定值？如果是，請求出式子的值；如果不是，請說明理由；
記、、的面積分別為、、，若，求的長．
答案和解析 1.【答案】 解：．
故選：．
根據負數的絕對值等于它的相反數，即可求解．
本題考查了求一個數的絕對值，掌握負數的絕對值等于它的相反數是關鍵．
 2.【答案】 解：用科學記數法可表示為：．
故選：．
科學記數法的表示形式為的形式，其中，為整數．確定的值時，要看把原數變成時，小數點移動了多少位，的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值時，是正數；當原數的絕對值時，是負數．
此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為的形式，其中，為整數，表示時關鍵要正確確定的值以及的值．
 3.【答案】 解：、球的主視圖和左視圖均為全等的圓，不符合題意；
B、正方體的主視圖和左視圖均為全等的正方形，不符合題意；
C、圓錐的主視圖和左視圖均為全等的三角形，符合題意；
D、圓柱的主視圖和左視圖均為全等的長方形，不符合題意；．
故選：．
找到從正面和左面看所得到的圖形，得出主視圖和左視圖均是三角形的即可．
此題主要考查了幾何體的三視圖，關鍵是掌握主視圖和左視圖所看的位置．
 4.【答案】 解：、，和是鄰補角，不能證明，不符合題意；
B、，和是同旁內角，同旁內角相等不能證明，不符合題意；
C、，和屬于內錯角，內錯角互補不能證明，不符合題意；
D、，
同旁內角互補兩直線平行，符合題意．
故選：．
根據平行線的判定定理進行判斷即可．
本題考查了平行線的判定定理，熟知：同位角相等，兩直線平行；內錯角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行；是解本題的關鍵．
 5.【答案】 解：、原式不能合并，錯誤；
B、原式，錯誤；
C、原式，正確；
D、原式，錯誤，
故選：．
原式各項計算得到結果，即可作出判斷．
此題考查了整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
 6.【答案】 解：既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，符合題意；
B.不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，不符合題意；
C.是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，不符合題意；
D.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；
故選：．
根據中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念進行判斷即可．
本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉度后與自身重合．
 7.【答案】 解：某小區(qū)個家庭一周換算的積分出現次數最多的是分，出現次，因此眾數是分，
將某小區(qū)個家庭一周換算的積分從小到大排列，處在中間位置的一個數是分，因此中位數是分，
故選：．
根據中位數、眾數的定義，找出出現次數最多的數，以及從小到大排列后處在中間位置的兩個數的平均數即可．
本題考查中位數、眾數，理解中位數、眾數的定義，掌握中位數、眾數的計算方法是正確解答的前提．
 8.【答案】 解：由題意可得，
，米，，
，
米，
故選：．
根據題目中的數據和銳角三角函數，可以計算出書架第七層頂端離地面的高度．
本題考查解直角三角形的應用坡度坡角問題，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．
 9.【答案】 解：，
方程兩邊都乘，得，
故選：．
根據等式的性質方程兩邊都乘得出，再得出選項即可．
本題考查了解分式方程，能把分式方程轉化成整式方程是解此題的關鍵．
 10.【答案】 解：，
點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為點的坐標為，
、、、，在反比例函數的圖象上，
，，，
；
；
；

，
．
故選：．
可知點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為點的坐標為，把，，代入反比例函數的解析式即可求出、、的值，再由三角形的面積公式可得出、、的值，故可得出結論．
本題考查的是反比例函數綜合題，熟知反比例函數圖象上各點的坐標一定適合此函數的解析式是解答此題的關鍵．
 11.【答案】 解：．
故答案為：．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此題主要考查了公式法分解因式，正確運用平方差公式分解因式是解題關鍵．
 12.【答案】， 解：，
或，
所以，．
故答案為：，．
利用因式分解法解方程．
本題考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右邊化為，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了數學轉化思想．
 13.【答案】 解：≌，，，
，，
，
故答案為：．
根據全等三角形的性質得出對應邊相等，進而解答即可．
本題考查全等三角形的性質，關鍵是根據全等三角形的性質得出對應邊相等解答．
 14.【答案】 解：，，
，
故答案為：．
根據圓周角定理求解即可．
此題考查了圓周角定理，熟記“同弧或等弧所對的圓周角等于圓心角的一半”是解題的關鍵．
 15.【答案】 解：由圖形可知，三階魔方的個小立方塊里一面涂色有個，兩面涂色有個，三面涂色有個，
恰好有兩面涂色的概率為，
故答案為：．
由圖形可知，三階魔方的個小立方塊里兩面涂色有個，利用概率公式進行計算即可得到答案．
本題考查了概率計算，熟練掌握概率公式是解題關鍵．
 16.【答案】人 解：這人中，至少有名是不說真話的，人，
說真話的人數最多是人；
假設有人不說真話，當抽到的人都是不說真話的人的時候，不滿足“其中任何人中，至少有名是說真話的”，
只能有人不說真話，
說真話的人數是人．
故答案為：人．
首先根據，這次會議活動中，說真話的人數最多是人，然后根據，假設有人不說真話，不滿足“其中任何人中，至少有名是說真話的”，所以只能有人不說真話，所以說真話的人數是人．
此題主要考查了推理與論證，解答此題的關鍵是假設法的應用．
 17.【答案】解：原式

． 【解析】先根據有理數的乘方運算、特殊角的三角函數值、零指數冪和二次根式的性質進行化簡，再進行加減運算即可求解．
本題考查了實數的混合運算，涉及有理數的乘方運算、特殊角的三角函數值、零指數冪和二次根式的性質，熟練掌握各個運算法則是解題的關鍵．
 18.【答案】解：，
，即，
原式． 【解析】原式前兩項利用多項式乘多項式法則計算，去括號合并得到最簡結果，變形后，將已知等式代入計算即可求出值．
此題考查了整式的混合運算化簡求值，涉及的知識有：多項式乘多項式，去括號法則，以及合并同類項法則，熟練掌握公式及法則是解本題的關鍵．
 19.【答案】解：延長交于點，如圖所示，
由題意可得，
，，，，
，
，，
，
，
解得，
，
即涼亭的高度約為． 【解析】根據題意和銳角三角函數可以求得的長，然后即可求得的長．
本題考查解直角三角形的應用仰角俯角問題，解答本題的關鍵是明確題意，求出的長．
 20.【答案】     解：調查的總人數是：人，
，
，
“常?！睂刃蔚膱A心角度數為，
故答案為：，，；
常常的人數有：人，
補全條形統(tǒng)計圖如圖所示：

畫圖如下：

共有種等可能的情況數，其中所選兩位同學恰好組合成功的有種，
則所選兩位同學恰好組合成功即“很少”和“總是”的兩人為一組的概率是．
“有時”的有人，占調查人數的，可求出調查人數，進而求出、的值，“常?！彼鶎膱A心角的度數為的；
求出“常?！钡娜藬?，即可補全條形統(tǒng)計圖；
畫出樹狀圖得出所有等可能的情況數，找出符合條件的情況數，然后根據概率公式即可得出答案．
此題主要考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數據；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大?。?/span>
 21.【答案】證明：是的直徑，

，
又，
，
∽，
，
，
，
，
即，
又是的半徑，
直線是的切線；

在中，
，
，
，則，
又，
，
，
． 【解析】首先根據題意證明出∽，然后得到，進而得到，即可求解；
首先根據和求出，，然后利用求出，進而可求出的長．
本題考查了相似三角形的判定與性質、圓周角定理、切線的判定與性質與解直角三角形，熟練掌握相似三角形的性質和判定以及三角函數是解題的關鍵．
 22.【答案】解：設足球的單價為元，則籃球的單價為元，
依題意得：，
解得：，
．
答：足球的單價為元，籃球的單價為元．
設購買籃球個，則購買足球個，
依題意得：，
解得：．
又為正整數，
的最大值為．
答：學校最多可以購買個籃球． 【解析】設足球的單價為元，則籃球的單價為元，根據用相同的費用購買的足球數量與購買的籃球數量之比為：，即可得出關于的一元一次方程，解之即可得出足球的單價，再將其代入中即可求出籃球的單價．
設購買籃球個，則購買足球個，利用總價單價數量，結合總價不超過元，即可得出關于的一元一次不等式，解之取其中最大的整數值即可得出結論．
本題考查了一元一次方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：找準等量關系，正確列出一元一次方程；根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式．
 23.【答案】證明：過點作交于點，交于點，

四邊形是正方形，
，
，，
四邊形為矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：在等腰直角三角形中，，
根據勾股定理得，
，
四邊形的面積． 【解析】過點作交于點，交于點，根據正方形的性質和已知條件先證明四邊形為矩形，進而得出，通過證明≌，利用全等三角形的性質證明即可；
根據等腰直角三角形的性質求出，根據勾股定理得，再根據四邊形的面積求解即可．
本題考查了正方形的性質，矩形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
 24.【答案】解：令，則，
解得：，
該函數是攀登函數，且攀登星為；
一次函數是攀登函數，
，
，
一次函數有唯一的攀登星，
方程有兩個相等的實數根，
，
，，
，
，
，
，，
解析式為，攀登星為；
二次函數是攀登函數，
，即，
該函數有兩個攀登星，
，
，，
，
，
，
即，
函數最小值為，
，
即，
代入：，
，
，
令，則，
且對稱軸為，
，
當時，，
，
，
，
． 【解析】令，求出的值即可得到答案；
先根據攀登函數的定義得到，再由只有一個攀登星，可得方程有兩個相等的實數根，利用根的判別式求解即可；
先根據攀登函數的定義得到，再由根與系數的關系得到，；由，得到，進一步推出，；再由函數最小值為，得到，即，代入：，再由，得到，令，利用二次函數的性質求出的函數值取值范圍即可得到答案．
本題主要考查了二次函數的性質，二次函數與一元二次方程的關系，反比例函數的旋轉，一次函數的性質等等，正確理解題意并靈活運用所學知識是解題的關鍵．
 25.【答案】證明：連接，

，
，
同理：，
，
即；
解：當時，

，
，
，
，
為正三角形，
，
，
，
，，
；
當時，，
；

當時，，與三角形內角和定理矛盾，此種情況不成立．
綜上所述：或；
解：，
，
，
，
，
∽，
，
，

，
，
，即的值是定值；
在和中，
，
≌，
，
作交于，設，，

，，
，
又，
，
，
，
，
，
，即． 【解析】本題屬于圓綜合題，考查圓的基本性質，等腰三角形的性質，等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，解一元二次方程等知識點，綜合性較強，難度較大，屬于中考壓軸題，能夠綜合運用上述知識點是解題的關鍵．
連，利用等腰三角形中等邊對等角進行證明即可；
分，，三種情況，分別討論即可；
先證∽，推出，等量代換可得，變形可得；
先證≌，推出，作交于，設，，可得，，，利用列方程，求出的值即可．
 

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