考點(diǎn)16 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性6種常見考法歸類-備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)一輪題型歸納與解題策略(新高考地區(qū)專用)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?考點(diǎn)16 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性6種常見考法歸類

考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）
考點(diǎn)二含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性
（一）導(dǎo)主一次型
（二）導(dǎo)主二次型
（1）可因式分解型
（2）不可因式分解型
（三）導(dǎo)主指數(shù)型
（四）導(dǎo)主對(duì)數(shù)型
考點(diǎn)三比較大小
考點(diǎn)四解抽象不等式
考點(diǎn)五已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍
（一）在區(qū)間上單調(diào)遞增（減）
（二）在區(qū)間上單調(diào)
（三）單調(diào)區(qū)間是
（四）存在單調(diào)區(qū)間
（五）在區(qū)間上不單調(diào)
（六）由單調(diào)區(qū)間個(gè)數(shù)求參數(shù)
（七）綜合應(yīng)用
考點(diǎn)六函數(shù)圖象與導(dǎo)數(shù)圖象的應(yīng)用
（一）由導(dǎo)函數(shù)圖象確定原函數(shù)單調(diào)性
（二）由導(dǎo)函數(shù)圖象確定原函數(shù)圖象
（三）由原函數(shù)圖象或解析式確定導(dǎo)函數(shù)圖象

1. 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
一般地，函數(shù)f(x)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)f′(x)的正負(fù)之間具有如下的關(guān)系：在某個(gè)區(qū)間(a，b)上，如果f′(x)>0，那么函數(shù)y＝ f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增；如果f′(x)0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；解不等式f′(x)k(k≠0)，構(gòu)造函數(shù)g(x)＝f(x)－kx＋b.
(2)對(duì)于不等式xf′(x)＋f(x)>0，構(gòu)造函數(shù)g(x)＝xf(x)；對(duì)于不等式xf′(x)－f(x)>0，構(gòu)造函數(shù)g(x)＝(x≠0).
(3)對(duì)于不等式xf′(x)＋nf(x)>0，構(gòu)造函數(shù)g(x)＝xnf(x)；對(duì)于不等式xf′(x)－nf(x)>0，構(gòu)造函數(shù)g(x)＝(x≠0).
(4)對(duì)于不等式f′(x)＋f(x)>0，構(gòu)造函數(shù)g(x)＝exf(x)；對(duì)于不等式f′(x)－f(x)>0，構(gòu)造函數(shù)g(x)＝.
(5)對(duì)于不等式f′(x)sinx＋f(x)cosx>0(或f(x)＋f′(x)tanx>0)，構(gòu)造函數(shù)g(x)＝f(x)sinx；對(duì)于不等式f′(x)cosx－f(x)sinx>0(或f′(x)－f(x)tanx>0)，構(gòu)造函數(shù)g(x)＝f(x)cosx.

9. 可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增(減)的充要條件
在某區(qū)間內(nèi)f′(x)>0(f′(x)0(或f′(x)g(x)的一般步驟
(1)構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)，x∈[a，b]．
(2)證明F′(x)＝f′(x)－g′(x)≥0，且F(a)>0.
(3)依(2)知函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)在[a，b]上是單調(diào)遞增函數(shù)，故f(x)－g(x)>0，即f(x)>g(x)．
這是因?yàn)镕(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，
所以F(x)≥F(a)>0，
即f(x)－g(x)≥f(a)－g(a)>0.

考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）
1．（2023·云南·校聯(lián)考二模）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為____________．
【答案】/
【分析】通過二次求導(dǎo)，證明當(dāng)時(shí)，，即得解.
【詳解】由題得函數(shù)定義域?yàn)椋?br /> 所以在上單調(diào)遞增，又，
所以當(dāng)時(shí)，，
故的單調(diào)遞增區(qū)間為（或）．
故答案為：
2．【多選】（2023·廣東·高三專題練習(xí)）已知，則下列說法正確的是（????）
A．是周期函數(shù) B．有對(duì)稱軸
C．有對(duì)稱中心 D．在上單調(diào)遞增
【答案】ACD
【分析】根據(jù)周期函數(shù)的定義判斷判斷A，證明，由此判斷C，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，判斷D，結(jié)合單調(diào)性和周期的性質(zhì)作出函數(shù)在上的圖象，由此判斷B.
【詳解】因?yàn)椋?br /> 所以，
所以函數(shù)為周期函數(shù)，A正確；
因?yàn)?br />
所以，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，故函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
所以為函數(shù)的中心對(duì)稱，C正確；
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椋?br /> 所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，D正確；
由可得，
當(dāng)時(shí)，由，可得，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)，由，可得，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又，，
作出函數(shù)在的大致圖象可得：

結(jié)合函數(shù)是一個(gè)周期為的函數(shù)可得函數(shù)沒有對(duì)稱軸，B錯(cuò)誤.
故選：ACD.
3．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）函數(shù)（　?。?br /> A．嚴(yán)格增函數(shù)
B．在上是嚴(yán)格增函數(shù)，在上是嚴(yán)格減函數(shù)
C．嚴(yán)格減函數(shù)
D．在上是嚴(yán)格減函數(shù)，在上是嚴(yán)格增函數(shù)
【答案】D
【分析】求導(dǎo)后利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)嚴(yán)格增減函數(shù)的定義即可得到選項(xiàng).
【詳解】解：已知，，則，
令，即，解得，
當(dāng)時(shí)，，所以在上是嚴(yán)格減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，所以在上是嚴(yán)格增函數(shù)，
故選：D.
【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或判斷函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)應(yīng)注意如下幾方面：
（1）在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先要確定函數(shù)的定義域；
（2）不能隨意將函數(shù)的2個(gè)獨(dú)立的單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間寫成并集形式；
（3）利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)為增函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為______
【答案】
【分析】由恒成立可得，對(duì)求導(dǎo)，根據(jù)及基本不等式即可求解.
【詳解】由題可得恒成立，又，所以．
對(duì)于函數(shù)，其定義域?yàn)?，有?br /> 又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由得，則，
故的單調(diào)遞增區(qū)間為.
故答案為:.
考點(diǎn)二含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性
（一）導(dǎo)主一次型
5．（2023春·河南鄭州·高三鄭州市第二高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)可得，分和進(jìn)行討論即可得解；
（2）根據(jù)題意參變分離可得恒成立，令，求出的最大值即可得解.
【詳解】（1）依題意，，
當(dāng)時(shí)，顯然，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，得；令，；
即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（2）由題意得恒成立，等價(jià)于恒成立，
令，即時(shí)成立．
則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
那么在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增減，所以，
所以．
6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，.
(1)討論的單調(diào)性；
(2)對(duì)任意的，恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)后，分別在和的情況下，根據(jù)的正負(fù)可確定單調(diào)性；
（2）采用參變分離的方式可得，將不等式右側(cè)變形后，可令，將問題轉(zhuǎn)化為求解；令，利用導(dǎo)數(shù)可證得，進(jìn)而得到，令，利用導(dǎo)數(shù)和零點(diǎn)存在定理可說明等號(hào)能夠成立，采用放縮法可得，由此可得結(jié)果.
【詳解】（1）由題意知：定義域?yàn)椋?br /> 當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，解得：；
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）由恒成立得：，
令，
令，則，
則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）；
令，則恒成立，
在上單調(diào)遞增，又，，
，使得，即，
等號(hào)可以成立，
，
，解得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)討論含參數(shù)函數(shù)單調(diào)性、恒成立問題的求解；本題求解恒成立問題的關(guān)鍵是采用參變分離的方式，根據(jù)所構(gòu)造函數(shù)為指對(duì)混合函數(shù)的特征，采用放縮法來對(duì)函數(shù)進(jìn)行變形，從而求得最值.
（二）導(dǎo)主二次型
（1）可因式分解型
7．（2023春·山東菏澤·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)是否存在正實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的最小值為?若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
【答案】(1)答案見解析
(2)存在，
【分析】（1）由題意可得，按，和分類討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可得的單調(diào)性；
（2）利用（1）中單調(diào)性，按和分情況討論即可求解.
【詳解】（1）由題意可得，
當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，
令解得或，令解得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，
令解得或，令解得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）存在正實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.
由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
①當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，解得，
②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，解得，與矛盾，舍去，
綜上可知存在正實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.
8．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.
(1)討論的單調(diào)區(qū)間；
(2)若有3個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）先求出函數(shù)的定義域，從而根據(jù)函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)在不同區(qū)間上的取值，
根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系即可求出所求區(qū)間．
（2）由條件，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可求的取值范圍.
【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?br /> 若，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.
若，則恒成立，在上單調(diào)遞增.
綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間
（2）因?yàn)橛?個(gè)零點(diǎn)，所以，
又的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，
所以，，
解得，
此時(shí)，，
故函數(shù)在區(qū)間上各有一個(gè)零點(diǎn)，
即函數(shù)在區(qū)間上各有一個(gè)零點(diǎn)，滿足要求；
所以的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．
9．（2023春·廣東佛山·高三華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，（其中）．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)對(duì)于任意，都有成立，求a的取值范圍．
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）先求出，再討論，，和時(shí)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)及函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由對(duì)于任意，都有成立等價(jià)于對(duì)于任意，，構(gòu)造，其中，由導(dǎo)數(shù)求出的最大值，即可得出的取值范圍．
【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)，其中，
所以，
令，得或，
當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
綜上所述，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（2）對(duì)于任意，都有成立對(duì)于任意，，
即對(duì)于任意，對(duì)于任意，，
設(shè)，其中，
則，
因?yàn)椋?br /> 所以，
所以，
所以在單調(diào)遞增，
所以，
所以，
即．
（2）不可因式分解型
10．（2023春·江西·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若過點(diǎn)可作曲線的兩條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)判別式，討論的取值，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）首先設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，化簡后轉(zhuǎn)化為方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求的取值范圍.
【詳解】（1），..
當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，得，，
①當(dāng)時(shí)，

增
減
增
②當(dāng)時(shí)，

減
增
綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在和遞增，
在遞減；
當(dāng)時(shí)，在遞增，在遞減.
（2）設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，又過點(diǎn)，則，即，.①
依題意若有兩條切線，則方程①有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，
設(shè)，，易知在上遞增，在上遞減，
.且時(shí)，時(shí).
，.
11．（2023春·福建福州·高三福建省福州第一中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若，求a的取值范圍.
【答案】(1)當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，；
減區(qū)間為.
(2)
【分析】（1）求出，的符號(hào)由二次函數(shù)的函數(shù)值的符號(hào)決定，分二次函數(shù)有零點(diǎn)和無零點(diǎn)討論，有零點(diǎn)再分零點(diǎn)是否大于零討論，得到的單調(diào)區(qū)間；
（2）將恒成立轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，求出最小值即可求解.
【詳解】（1）由得.
令，則
當(dāng)時(shí)，又，所以，即，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，有，，所以，
所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，令即，
又，得或，
令即，得，
所以的增區(qū)間為，；
減區(qū)間為；
綜上：當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，；
減區(qū)間為.
（2）由題意，，
即，所以在上恒成立，
故，
令，
則，
令，則，
所以在單調(diào)遞增，且，
所以存在，則，
故當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞增，
所以，
設(shè)，則，于是，
設(shè)，則在內(nèi)單調(diào)遞減，且，
又，故，于是，所以，
所以，即a的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)函數(shù)中的最值問題，涉及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是多次構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而可求得結(jié)果.
12．（2023·湖南長沙·長郡中學(xué)?？家荒＃┮阎瘮?shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)記的零點(diǎn)為，的極小值點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，判斷與的大小關(guān)系，并說明理由.
【答案】(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
(2)，理由見解析
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出的導(dǎo)數(shù)，得出的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的極小值點(diǎn)，得到，又，故，從而證明結(jié)論.
【詳解】（1）由，
①若a0，則在上單調(diào)遞增;
②若 a0時(shí)，在上單調(diào)遞增，
.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二小問中，利用二階求導(dǎo)求出的單調(diào)性是關(guān)鍵，從而可得存在，使得是的極小值點(diǎn)，得從而與函數(shù)關(guān)聯(lián)起來.本題是綜合題，考查了函數(shù)的單調(diào)性，極值問題，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的概念，以及轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想，屬于較難題.
（三）導(dǎo)主指數(shù)型
13．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性；
(2)若恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，且，證明：．
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)得，分兩種情況：若，若，討論的單調(diào)性，進(jìn)而可得答案．
（2）由（1）可知若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則，且極大值，，即，當(dāng)時(shí)，又，且，兩式相減可得，不妨設(shè)，則且，，進(jìn)而可得，要證，即證，即可得出答案．
【詳解】（1）解：，
若，則恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，
若，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
下面判斷與的大小關(guān)系，
令，
則，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，
所以，
所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，
所以當(dāng)且時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，
綜上所述，當(dāng)，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)且時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（2）證明：由可知若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則，且極大值，
，
由不等式可得，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，恒成立，
又，且，
兩式相減可得，
不妨設(shè)，則且，
所以，即，
所以，
，
設(shè)，
，
所以，即，
所以，
由可得，
要證，
需要證，
只要證，
即，
即，
即證，由可證，
所以即證．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問關(guān)鍵是：由時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，由，且，兩式相減可得，設(shè)，，構(gòu)造，進(jìn)而得到，將，轉(zhuǎn)化為證明而得解.
14．（2023春·天津南開·高三南開中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，討論其單調(diào)區(qū)間與極值.
【答案】答案見詳解
【分析】求導(dǎo)，討論的正負(fù)以及與0的大小，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性與極值.
【詳解】由題意可得：，
（i）當(dāng)時(shí)，則，
令，解得；令，解得；
可得的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，有極大值，無極小值；
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，令，解得或，
①當(dāng)，即時(shí)，令，解得或；令，解得；
可得的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，有極大值，極小值；
②當(dāng)，即時(shí)，則，
可得的單調(diào)遞增區(qū)間為，無極值；
③當(dāng)，即時(shí)，令，解得或；令，解得；
可得的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，有極大值，極小值；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，有極大值，無極小值；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，有極大值，極小值；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無極值；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，有極大值，極小值.
15．（2023春·甘肅金昌·高三永昌縣第一高級(jí)中學(xué)校考期中）已知函數(shù)，，討論函數(shù)的極值.
【答案】答案見解析
【分析】求導(dǎo)，分類討論判斷單調(diào)性，進(jìn)而確定極值.
【詳解】由題意可得：的定義域?yàn)?，?br /> 令，得，，
①當(dāng)，即時(shí)，恒成立，
則函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在定義域內(nèi)沒有極值；
②當(dāng)，即時(shí)，
當(dāng)和時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
則函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值；
③當(dāng)，即時(shí)，
當(dāng)和時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
此時(shí)函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，沒有極值；
當(dāng)時(shí)，有極大值，極小值；
當(dāng)時(shí)，有極小值，極大值.
（四）導(dǎo)主對(duì)數(shù)型
16．（2023秋·河南·高三洛陽市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中且．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）先求定義域，再求導(dǎo)，分與兩種情況，求解函數(shù)的單調(diào)性；
（2）先進(jìn)行必要性探究，得到，再進(jìn)行充分性證明，令，求導(dǎo)后得到其最小值為，故只需證明在上恒成立，構(gòu)造，求導(dǎo)后得到單調(diào)性，求出，即，再結(jié)合，證明出結(jié)論.
【詳解】（1）定義域?yàn)椋?br /> ，
當(dāng)時(shí)，，故恒成立，
此時(shí)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，令，解得：，
令，解得：，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）解：由題意得在上恒成立，
即，令，故，
接下來進(jìn)行充分性證明：
令，則，
令，解得：，
故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故在處取得極小值，也是最小值，
，
故只需證明恒成立，
當(dāng)時(shí)，令，故，
即函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，即，故，
而由可知，故恒成立，
所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是
【點(diǎn)睛】數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化要注意等價(jià)性，也就是充分性與必要性兼?zhèn)?，有時(shí)在探求參數(shù)的取值范圍時(shí)，為了尋找解題突破口，從滿足題意得自變量范圍內(nèi)選擇一個(gè)數(shù)，代入求得參數(shù)的取值范圍，從而得到使得問題成立的一個(gè)必要條件，這個(gè)范圍可能恰好就是所求范圍，也可能比所求的范圍大，需要驗(yàn)證其充分性，這就是所謂的必要性探路和充分性證明，對(duì)于特殊值的選取策略一般是某個(gè)常數(shù)，實(shí)際上時(shí)切線的橫坐標(biāo)，端點(diǎn)值或極值點(diǎn)等.
17．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，證明：存在唯一的極小值點(diǎn)，且.
【答案】(1)在單調(diào)遞增
(2)證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)可得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)遞增，代入可得，即可求證；
（2）由零點(diǎn)存在定理可得存在唯一，使得，通過導(dǎo)數(shù)易得存在唯一的極小值點(diǎn)，由可設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)即可證明
【詳解】（1）由可得，
設(shè)，，
因?yàn)?，故單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，，
于是恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，
所以在單調(diào)遞增.
（2）當(dāng)時(shí)，，，
則存在唯一，使得，
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
故在處取得極小值.
因?yàn)?，即?br /> 又，則，，
設(shè)，則，
因?yàn)椋?，所以?br /> 則單調(diào)遞增，又，，
所以.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明不等式，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.
考點(diǎn)三比較大小
18．（2023·河南·校聯(lián)考三模）現(xiàn)有下列四個(gè)不等式：
①；②；③；④．
其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（????）
A．①④ B．②③ C．①②④ D．②③④
【答案】B
【分析】構(gòu)造，求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，確定，得到①錯(cuò)誤，確定，再構(gòu)造，求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到答案.
【詳解】令，則，．
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即，所以，故①錯(cuò)誤．
從而，所以．
綜上所述：．
令，，則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，
從而可得，，所以在上單調(diào)遞減，
所以，化簡可得，故③正確．
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，
即，所以當(dāng)時(shí)，．
令，則，即；令，，
故②正確，④錯(cuò)誤．
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了比較數(shù)的大小關(guān)系，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較數(shù)的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
19．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）設(shè)，則（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)進(jìn)行構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，推出a與1的大小關(guān)系，同理判斷b與1的關(guān)系，判斷的大小范圍時(shí)采用分析的方法，結(jié)合的特點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，即可判斷其范圍.
【詳解】設(shè)函數(shù),求導(dǎo)得：,
∴在上單調(diào)遞減，所以，A錯(cuò)誤；
設(shè)函數(shù)，則，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
故，僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
即，則時(shí)，，即，
所以，D錯(cuò)誤；
由，
下面證明，
，即證,
令，即證：，即，
構(gòu)造函數(shù) ，即證，
由，所以在上單調(diào)遞減，則，
即證，
令，，
即在上單調(diào)遞減，故，即成立，
故成立，所以，
故選：B
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題比較大小，要明確數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，確定其中的變量，進(jìn)而構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，利用單調(diào)性進(jìn)行大小比較，難點(diǎn)是本題解答時(shí)要選擇恰當(dāng)?shù)淖兞?，連續(xù)構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，進(jìn)行解答.
20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，且，則下列關(guān)系式恒成立的為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】構(gòu)造，，求導(dǎo)研究其單調(diào)性，分類討論得到正確選項(xiàng).
【詳解】構(gòu)造，，
則，
當(dāng)時(shí)，，，
所以在單調(diào)遞增，
因?yàn)椋?br /> 當(dāng)，時(shí)，則,所以所以
單調(diào)遞增，所以;
當(dāng)，時(shí),所以所以,
單調(diào)遞減，所以.
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛，構(gòu)造函數(shù)，本題中構(gòu)造進(jìn)行求解，利用函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，.
21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，，，則（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】構(gòu)造函數(shù)，研究的奇偶性和單調(diào)性，由此判斷出的大小關(guān)系.
【詳解】設(shè)，則，，．
因?yàn)椋?br /> 所以．
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br /> 所以在上單調(diào)遞增．
因?yàn)椋裕?br /> 要比較和的大小關(guān)系，
即比較和的大小關(guān)系，
即比較和的大小關(guān)系，
其中，，
所以，所以，所以．
所以.
的另解：先證明，
不妨設(shè)，即證，
即證，其中，
即證，
構(gòu)造函數(shù)，
，
所以在上單調(diào)遞增，，
所以當(dāng)時(shí)，，即成立，
也即成立.
所以，即.
故選：A
【點(diǎn)睛】比較實(shí)數(shù)的大小關(guān)系有很多方法，如差比較法、利用函數(shù)的單調(diào)性的方法、利用分段法、利用導(dǎo)數(shù)的方法.其中利用導(dǎo)數(shù)來比較大小，可以先根據(jù)要比較的數(shù)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，由此來得出大小關(guān)系.
22．（2023·福建·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，，，則（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】構(gòu)造，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)可得在上單調(diào)遞減，進(jìn)而可得出.構(gòu)造，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合中間值1即可得出，即可得出答案.
【詳解】令，則，
令，則恒成立，
所以，即在R上單調(diào)遞增.
又，
所以，當(dāng)時(shí)，恒成立，
所以，在上單調(diào)遞減.
又，，所以，
即，，即，即，所以.
令，則，導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增，
且所以存在，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且，所以，
又，所以；
綜上可得，.
故選：A.
23．（2023·河南洛陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意求得函數(shù)為偶函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在上單調(diào)遞增，結(jié)合偶函數(shù)和單調(diào)性分析判斷.
【詳解】因?yàn)椋傻煤瘮?shù)為偶函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，則，可得，
構(gòu)建，則，
令，解得；令，解得；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
可得，
即在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)椋遥?br /> 所以，即.
故選：D.
24．（2023·浙江·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，，，，若，，則（????）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)選項(xiàng)中不等式特征構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)其單調(diào)性可得，繼而構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性推出，再結(jié)合不等式性質(zhì)即可推出答案.
【詳解】設(shè)，則在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，故，即?br /> 設(shè)，則，
故在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，故?br /> 即，
由于，，故，
則，即，所以A錯(cuò)誤，B正確；
由，，無法確定還是，C，D錯(cuò)誤，
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)各選項(xiàng)中不等式特征，能夠構(gòu)造函數(shù)以及，繼而判斷其單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性解決問題.
考點(diǎn)四解抽象不等式
25．（2023·河南·校聯(lián)考三模）已知函數(shù).若.則的取值范圍是__________.
【答案】
【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，根據(jù)奇偶性與單調(diào)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，，?br /> 所以是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增，
由0，可得，則，解得，
即的取值范圍是.
故答案為：.
26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知偶函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且也是偶函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由偶函數(shù)的定義結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得出，由已知可得出，可求出的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可知函數(shù)在上為增函數(shù)，再由可得出，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解之即可.
【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，等式兩邊求導(dǎo)可得，①
因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，②
聯(lián)立①②可得，
令，則，且不恒為零，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，即函數(shù)在上為增函數(shù)，
故當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，
由可得，
所以，，整理可得，解得.
故選：B.
27．【多選】（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若且對(duì)任意，不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值可以是（????）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】AB
【分析】由題意可得為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，不等式等價(jià)于，由，解不等式即可.
【詳解】函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，，則定義域?yàn)椋?br /> ，為偶函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，
當(dāng)，，則有，
即，所以，
由，可得，
根據(jù)選項(xiàng)可知，實(shí)數(shù)a的取值可以是-1和0.
故選：AB.
28．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，滿足，，，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為______．
【答案】
【分析】令，由及可得，，從而得關(guān)于對(duì)稱，再令，則原不等式等價(jià)于，利用導(dǎo)數(shù)得在上單調(diào)遞增，再由得關(guān)于對(duì)稱，從而得在上單調(diào)遞增且有，從而得答案.
【詳解】解：令，因?yàn)椋?br /> 所以，所以（為常數(shù)），
又因?yàn)?，所以，所以?，
即，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，
令，則原不等式等價(jià)于，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br /> 則，
此時(shí)單調(diào)遞增．
因?yàn)?，所以函?shù)關(guān)于對(duì)稱，
則函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，
又因?yàn)?，則，，
所以的解集為，
即原不等式的解集為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于解抽象函數(shù)(可導(dǎo))的不等式的試題，要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性再結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性(周期性)求解即可.
29．（2023·湖北·模擬預(yù)測）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，且滿足時(shí)，．若不等式在上恒成立，則a的取值范圍是__________,
【答案】
【分析】構(gòu)造，得到其奇偶性和單調(diào)性，對(duì)不等式變形得到，從而得到，平方后由一次函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，求出a的取值范圍.
【詳解】令，則，故為R上的偶函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，．
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．
等價(jià)于，
即在上恒成立．
所以，平方后化簡得到．
由一次函數(shù)性質(zhì)可得，
解得，即，
故a的取值范圍是．
故答案為：.
【點(diǎn)睛】利用函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的相關(guān)不等式構(gòu)造函數(shù)，然后利用所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性解不等式，是高考常考題目，以下是構(gòu)造函數(shù)的常見思路：
比如：若，則構(gòu)造，若，則構(gòu)造，
若，則構(gòu)造，若，則構(gòu)造.
30．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，則關(guān)于的不等式的解集是__________.
【答案】
【分析】根據(jù)題意可得不等式的解集為，再根據(jù)二次不等式的解集與系數(shù)的關(guān)系解得，，再代入因式分解求解不等式即可
【詳解】，的單調(diào)遞減區(qū)間是，則不等式的解集為，所以是的兩根，故，，所以，，.令，得，即，得；令，得，即，得；所以不等式的解集為.
故答案為：
考點(diǎn)五已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍
（一）在區(qū)間上單調(diào)遞增（減）
31．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則“”是“在上單調(diào)遞增”的（????）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】求得在上單調(diào)遞增的充要條件即可判斷.
【詳解】由題
若在上單調(diào)遞增，則恒成立，即，
故“”是“在上單調(diào)遞增”的必要不充分條件
故選:.
32．（2023·廣西玉林·統(tǒng)考二模）若函數(shù)在上為增函數(shù)，則a的取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)題意可得對(duì)恒成立，列出不等式組，解之即可求解.
【詳解】依題意得對(duì)恒成立，
即對(duì)恒成立．
因?yàn)閥＝ax＋a＋1的圖象為直線，
所以，解得．
故選：B.
33．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意可得在上恒成立，構(gòu)建，結(jié)合定點(diǎn)分析運(yùn)算.
【詳解】因?yàn)?，則，
由題意可得在上恒成立，
構(gòu)建，則，
注意到，則，解得，
若，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
若，因?yàn)?，則，
可得；
若，因?yàn)椋瑒t，
可得；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上恒成立，
則在上單調(diào)遞增，可得，符合題意；
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
故選：D.
【點(diǎn)睛】方法定睛：兩招破解不等式的恒成立問題
（1）分離參數(shù)法
第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；
第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；
第三步：根據(jù)要求得所求范圍．
（2）函數(shù)思想法
第一步：將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題；
第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值；
第三步：構(gòu)建不等式求解．
34．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再分和兩種情況討論，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可得解.
【詳解】令，則，
當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在和上遞減，在上遞增，
當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，
所以，解得，
此時(shí)在上遞增，則恒成立，
當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，
所以，無解，
綜上所述，的取值范圍是.
故選：A.
35．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性知導(dǎo)數(shù)小于等于0恒成立，分離參數(shù)后由正切函數(shù)單調(diào)性求解.
【詳解】由題意，在上恒成立，
即在上恒成立，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，
所以在時(shí)，，
所以.
故選：B
36．（2023秋·河南鄭州·高三校聯(lián)考期末）已知，函數(shù)在其定義域上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)__________.
【答案】2
【分析】由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系結(jié)合條件可得對(duì)任意的恒成立，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值和取最大值的條件，由此可得的值.
【詳解】因?yàn)?，所以?br /> 由已知函數(shù)在其定義域上單調(diào)遞減，
所以對(duì)任意的恒成立.
設(shè)，則，
由知，
所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以在時(shí)取得最大值，又
所以對(duì)任意的恒成立，
即的最大值為，所以，解得.
故答案為：2
37．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則函數(shù)在的值域是（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出的導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，可得，從而求得實(shí)數(shù)的值，利用導(dǎo)數(shù)求出在，的單調(diào)性，即可求得值域．
【詳解】解：，
∵在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
，即，
，
，，
當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
在，上單調(diào)遞減，在，，上單調(diào)遞增，
符合題意，
又，（1），（2），
函數(shù)在，的值域是，．
故選：A．
38．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用導(dǎo)數(shù)使得函數(shù)，在區(qū)間單調(diào)遞增；同時(shí)也要根據(jù)指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，保證在區(qū)間上單調(diào)遞增；最后再保證在分割點(diǎn)處，使得的函數(shù)值小于等于的函數(shù)值即可.
【詳解】由題知，，即；
由得
只需保證在上恒成立，則在上恒成立，即；
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則需滿足，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：C.
【點(diǎn)睛】此題考查分段函數(shù)的單調(diào)性，三次函數(shù)單調(diào)性，恒成立問題等，涉及導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，屬于較難題.
39．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若對(duì)任意的，，且，都有，則m的最小值是（????）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】已知不等式變形為，引入函數(shù)，
則其為減函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)求出的減區(qū)間后可的最小值．
【詳解】因?yàn)椋?br /> 所以由，
可得，
，
即．
所以在上是減函數(shù)，
，
當(dāng)時(shí)，，遞增，
當(dāng)時(shí)，，遞減，
即的減區(qū)間是，
所以由題意的最小值是．
故選：A．
（二）在區(qū)間上單調(diào)
40．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若f(x)在R上單調(diào)，則a的取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由在R上單調(diào)，可知恒成立或恒成立，構(gòu)造函數(shù)，分類討論a的取值范圍，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值即可得解.
【詳解】求導(dǎo)，令，
由在R上單調(diào)，可知恒成立或恒成立，分類討論：

（1）當(dāng)時(shí)，，令，得
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
，即恒成立，符合題意；
（2）當(dāng)時(shí)，，令，得
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；
，即恒成立，符合題意；
（3）當(dāng)時(shí)，令，得或，

研究內(nèi)的情況即可：
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，且滿足；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，且滿足
，且
同理，且
又，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故不符合；
所以a的取值范圍是
故選：A
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立問題，不等式恒成立問題常見方法：
①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；
②數(shù)形結(jié)合( 圖像在上方即可)；
③討論最值或恒成立.
41．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（????）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，求出此函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由單調(diào)性得出需Δ≤0即可求解得選項(xiàng).
【詳解】若函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，只需在上恒成立，
即，
∴．故的取值范圍為．
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍，關(guān)鍵在于運(yùn)用其導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.
42．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則的最大值是______.
【答案】3
【分析】首先求解導(dǎo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)確定實(shí)數(shù)a的最大值即可.
【詳解】由題意可得：，由題意導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值要么恒非負(fù)，要么恒非正，很明顯函數(shù)值不可能恒非負(fù)，故，
即在區(qū)間上恒成立，據(jù)此可得：，
即的最大值是3.
故答案為3．
【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，恒成立問題的處理方法等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.
43．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知三次函數(shù)在上單調(diào)遞增，則最小值為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由函數(shù)單調(diào)性可知恒成立，結(jié)合二次函數(shù)圖象與性質(zhì)可確定，由此化簡所求式子為；利用，配湊出符合對(duì)號(hào)函數(shù)的形式，利用對(duì)號(hào)函數(shù)求得最小值.
【詳解】在上單調(diào)遞增，恒成立，
，，，，
，
令，設(shè)，
則，
，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），
，即的最小值為.
故選：.
【點(diǎn)睛】本題考查利用對(duì)號(hào)函數(shù)求解最值的問題，涉及到根據(jù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性確定參數(shù)范圍、分式型函數(shù)最值的求解問題；關(guān)鍵是能夠通過二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定的關(guān)系，進(jìn)而構(gòu)造出符合對(duì)號(hào)函數(shù)特點(diǎn)的函數(shù).
（三）單調(diào)區(qū)間是
44．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若的單調(diào)遞減區(qū)間為，求實(shí)數(shù)的值．
【答案】
【分析】根據(jù)單調(diào)遞減區(qū)間區(qū)間可得極值點(diǎn)，再根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可得參數(shù)的值.
【詳解】的單調(diào)遞減區(qū)間為,
，是的兩個(gè)根，
，
即.
45．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，則（????）
A．3 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合韋達(dá)定理得出的值.
【詳解】函數(shù)，則導(dǎo)數(shù)
令，即，
∵，的單調(diào)遞減區(qū)間是，
∴0，4是方程的兩根，
∴，，
∴
故選：B.
46．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，則（????）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)得到，再根據(jù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，得到和1是方程的兩個(gè)根，代入解方程即可.
【詳解】由得，又的單調(diào)遞減區(qū)間是，所以和1是方程的兩個(gè)根，代入得.經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意
故選：B.
（四）存在單調(diào)區(qū)間
47．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________．
【答案】
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為，而求出最小值，從而求出a的范圍即可．
【詳解】，在內(nèi)成立，所以，
由于，所以，，所以．
故答案為:
48．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】首先計(jì)算出,由存在單調(diào)遞減區(qū)間知在上有解即可得出結(jié)果.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且其導(dǎo)數(shù)為．由存在單調(diào)遞減區(qū)間知在上有解，即有解．因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以．要使有解，只需要的最小值小于，所以，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故選:B．
49．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求證：函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，并求出單調(diào)遞減區(qū)間的長度的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，通分后，對(duì)分子令，由二次方程知識(shí)說明其在上有兩個(gè)不等實(shí)根，由韋達(dá)定理把用參數(shù)表示，根據(jù)已知范圍可得結(jié)論；
（2）不等式變形后引入函數(shù)，求出函數(shù)，然后對(duì)再多次求導(dǎo)后，分類討論確定導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，得函數(shù)的單調(diào)性，從而得不等式是否恒成立．
【詳解】（1），
令，
∵，，∴有兩個(gè)不等實(shí)根（不妨設(shè)），
而，，因此，
所以在上的解集為，
即的單調(diào)減區(qū)間是，
由韋達(dá)定理得，，
，
∵，∴；
（2）由題意在上恒成立，
令，
，令，
則，令，
則，令，
則，
所以在上單調(diào)遞減，，
所以在上單調(diào)遞減，，
當(dāng)，即時(shí)，，
在上單調(diào)遞減，，
所以在上單調(diào)遞減，成立，所以，
當(dāng)，即時(shí)，在上有根，設(shè)根為，
在上，，在上，
所以在上遞增，在上遞減且，時(shí)，，
因此在上有解，設(shè)解為，
在上，，單調(diào)遞增，而，因此在上，，從而在上不恒成立，
綜上所述，．
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，研究不等式恒成立問題，方法是不等式變形為（其中引入新函數(shù)），求出導(dǎo)函數(shù)，難點(diǎn)是需要對(duì)多次求導(dǎo)后，才能通過分類討論確定導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性．
（五）在區(qū)間上不單調(diào)
50．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．若在內(nèi)不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．
【答案】
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后參數(shù)分離，先求出函數(shù)在內(nèi)單調(diào)時(shí)的范圍，從而可得不單調(diào)時(shí)的范圍.
【詳解】由，得，
當(dāng)在內(nèi)為減函數(shù)時(shí)，則在內(nèi)恒成立，
所以在內(nèi)恒成立，
當(dāng)在內(nèi)為增函數(shù)時(shí)，則在內(nèi)恒成立，
所以在內(nèi)恒成立，
令，因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，
所以在內(nèi)的值域?yàn)椋曰颍?br /> 所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)時(shí)，a的取值范圍是，
故在上不單調(diào)時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．
故答案為：．
51．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若對(duì)于任意，函數(shù)在區(qū)間(t,3)上總不為單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．
【答案】
【分析】求導(dǎo)，先求解在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，分單調(diào)遞增和單調(diào)遞減兩種情況討論，然后轉(zhuǎn)化成恒成立問題，分離參數(shù)求解最值，進(jìn)而可得不單調(diào)時(shí)m的取值范圍.
【詳解】，若存在，在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，
則①在上恒成立，或②在上恒成立．
由①得在上恒成立，由于，所以，
即在上恒成立，由于函數(shù)均為上的單調(diào)遞減函數(shù)，
所以單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取最大值，則，
又存在，所以，
當(dāng)時(shí)，取到最小值-5，所以，即；
由②得在上恒成立，則，即，
所以存在，函數(shù)g(x)在區(qū)間(t,3)上為單調(diào)函數(shù)的m的取值范圍為或，
因此使函數(shù)g(x)在區(qū)間(t,3)上總不為單調(diào)函數(shù)的m的取值范圍為.
故答案為：
52．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上不單調(diào)，則的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)，故利用在上必有零點(diǎn)，利用，構(gòu)造函數(shù)，通過的范圍，由此求得的取值范圍.
【詳解】依題意，故在上有零點(diǎn)，令，令，得，令，
則，由，得，單調(diào)遞增，又由，得，
故，所以，的取值范圍
故選：A
53．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有零點(diǎn)，用分離參數(shù)法得到，規(guī)定函數(shù)，求出值域即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】因?yàn)樵趨^(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，
所以在區(qū)間上有解，即在區(qū)間上有解．
令，則．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又因?yàn)椋?br /> 且當(dāng)時(shí)，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得.
故選：A
54．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（????）
A． B． C．(1，2] D．[1，2)
【答案】A
【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值性，令極值點(diǎn)屬于已知區(qū)間即可.
【詳解】顯然函數(shù)的定義域?yàn)?，?br /> 由，得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；
由，得函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為．
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，所以，解得，又因?yàn)闉槎x域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間，所以，即．
綜上可知實(shí)數(shù)k的取值范圍是．
故選：A
【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，其中考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于結(jié)合已知條件，得，進(jìn)而求解.
（六）由單調(diào)區(qū)間的個(gè)數(shù)求參數(shù)
55．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】三次函數(shù)才可能有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，因此，另外有兩個(gè)不等實(shí)根．
【詳解】，∴有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，∴，解得且．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．三次函數(shù)有三個(gè)單調(diào)區(qū)間的條件是其導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．
56．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)存在三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式，即可求解.
【詳解】由題意，函數(shù)，可得，
因?yàn)楹瘮?shù)存在三個(gè)單調(diào)區(qū)間，可得有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
則滿足，解得或，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：C.
57．（2023·全國·高三對(duì)口高考）設(shè)函數(shù)恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，試確定a的取值范圍．
【答案】.
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，分和討論結(jié)合條件即得.
【詳解】由題可知的定義域?yàn)镽，，
若，則恒成立，此時(shí)在R上單調(diào)遞增，即只有一個(gè)單調(diào)區(qū)間，不符題意；
若，由解得，
由解得或，
此時(shí)在上單調(diào)遞增，在與上單調(diào)遞減，共有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，符合題意；
所以a的取值范圍是．
（七）綜合應(yīng)用
58．（2023·甘肅蘭州·?？家荒＃┮阎瘮?shù)
(1)若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；
(2)若函數(shù)在[1,4]上單調(diào)遞減，求a的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意整理函數(shù)的函數(shù)解析式，明確定義域并求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為不等式在閉區(qū)間有解問題，分情況討論，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；
（2）由題意，將問題轉(zhuǎn)化為不等式在閉區(qū)間上恒成立問題，利用分情況求最值，可得答案.
【詳解】（1）由，易知其定義域?yàn)?，則，
因?yàn)楹瘮?shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以在上有解，
當(dāng)時(shí)，不等式為，解得，則當(dāng)時(shí)，不等式成立，符合題意；
令，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)為開口向下的二次函數(shù)，則在上必定有解，符合題意；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)為開口向下的二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為直線，令，解得，即時(shí)，在上有解，符合題意；
綜上，.
（2）由（1）可知，，令，
由函數(shù)在[1，4]上單調(diào)遞減，則在上恒成立，
當(dāng)時(shí)，由（1）可知，，解得，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，符合題意；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)為開口向下的二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為直線，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，即，
令，解得，符合題意；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)為開口向上的二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為直線，
①當(dāng)，即時(shí)，則函數(shù)在上，令，解得，即當(dāng)時(shí)，符合題意；
②當(dāng)，即時(shí)，則函數(shù)在上，令，解得，即當(dāng)時(shí)，符合題意.
綜上，.
59．【多選】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，若，其中，則（????）
A． B．
C． D．的取值范圍為
【答案】BCD
【分析】對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可得函數(shù)的大致圖象．設(shè)，由圖象可得知，，的取值范圍，從而可判斷A；又根據(jù)，對(duì)照系數(shù)可得的值，可得得取值范圍，從而可判斷C，D；結(jié)合A和C即可判斷B．
【詳解】因?yàn)椋裕?br /> 令，解得或，
當(dāng)時(shí)，或，所以單調(diào)遞增區(qū)間為和；
當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減區(qū)間為，
的圖象如右圖所示，

設(shè)，則，，故A錯(cuò)誤；
又，所以，
即，
對(duì)照系數(shù)得，故選項(xiàng)C正確；
，故選項(xiàng)D正確；
因?yàn)椋?，解得，故選項(xiàng)B正確．
故選：BCD．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可得函數(shù)的大致圖象，再利用數(shù)形結(jié)合求解是解答本題的關(guān)鍵．
60．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)向量，滿足，，若函數(shù)單調(diào)遞增，則的取值范圍為_____________．
【答案】
【分析】依題意得的解析式（含參），再結(jié)合題意有恒成立，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得參數(shù)的范圍．
【詳解】依題意得，
又函數(shù)單調(diào)遞增，
則恒成立，
所以，，
所以，即．
故答案為：．
考點(diǎn)六函數(shù)圖象與導(dǎo)數(shù)圖象的應(yīng)用
（一）由導(dǎo)函數(shù)圖象確定原函數(shù)單調(diào)性
61．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)的大致圖象如圖所示，則（????）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)圖形，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和極值點(diǎn)的概念以及韋達(dá)定理，計(jì)算即可求解.
【詳解】由圖可知，函數(shù)有兩個(gè)遞增區(qū)間，一個(gè)遞減區(qū)間，
所以函數(shù)圖象開口方向朝上，且于x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
故；
又函數(shù)的極大值點(diǎn)在y軸左側(cè)，極小值點(diǎn)在y軸右側(cè)，且極大值點(diǎn)離y軸較近，
所以方程的兩根滿足，
即，得，
因此.
故選；B.
62．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下列判斷正確的是（????）

A．在區(qū)間上，是增函數(shù)
B．當(dāng)時(shí)，取到極小值
C．在區(qū)間上，是減函數(shù)
D．在區(qū)間上，是增函數(shù)
【答案】D
【分析】對(duì)于ACD,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)和原函數(shù)單調(diào)性之間的聯(lián)系進(jìn)行判斷即可;
對(duì)于B，根據(jù)極值點(diǎn)處左右兩邊的單調(diào)性進(jìn)行判斷.
【詳解】由導(dǎo)函數(shù)圖象知，在時(shí)，，遞減，A錯(cuò)；時(shí)，取得極大值（函數(shù)是先增后減），B錯(cuò)；時(shí)，，遞增，C錯(cuò)；時(shí)，，遞增，D正確．
故選：D.
63．【多選】（2023春·河南洛陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（????）

A．是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)
B．是函數(shù)的極小值點(diǎn)
C．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是
D．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是
【答案】BCD
【分析】觀察導(dǎo)函數(shù)圖象，分別確定導(dǎo)數(shù)取正值和負(fù)值的區(qū)域，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性和極值的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值即可.
【詳解】由題意可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，
所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以B，C，D正確，A錯(cuò)誤.
故選：BCD.
64．【多選】（2023春·重慶巫溪·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)與的圖象如圖所示，則（????）

A．在區(qū)間上是單調(diào)遞增的
B．在區(qū)間上是單調(diào)遞減的
C．在區(qū)間上是單調(diào)遞減的
D．在區(qū)間單調(diào)遞減的
【答案】AC
【分析】首先根據(jù)函數(shù)的定義域，排除選項(xiàng)，再求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)圖象，判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷選項(xiàng).
【詳解】當(dāng)或時(shí)，，則函數(shù)的定義域?yàn)?，排除選項(xiàng)BD；
，由圖易得當(dāng)時(shí)，，即，所以函數(shù)在上是單調(diào)遞增的，故選項(xiàng)A正確；
又由圖易得當(dāng)時(shí)，，
即，所以函數(shù)在上是單調(diào)遞減的，故選C正確；
故選：AC
（二）由導(dǎo)函數(shù)圖象確定原函數(shù)圖象
65．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)的圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），下面四個(gè)圖象中可能是圖象的是（????）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)的圖像，得到不同范圍下，的正負(fù)，得到的單調(diào)性，得到答案.
【詳解】由的圖象知，當(dāng)時(shí)，，故，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)，，故，
等號(hào)僅有可能在x＝0處取得，
所以時(shí)，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，故，單調(diào)遞增，結(jié)合選項(xiàng)只有C符合.
故選：C.
66．（2023春·上海浦東新·高三上海市進(jìn)才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是

A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】原函數(shù)先減再增，再減再增，且位于增區(qū)間內(nèi)，因此選D．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)圖象與原函數(shù)圖象的關(guān)系：若導(dǎo)函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)為，且圖象在兩側(cè)附近連續(xù)分布于軸上下方，則為原函數(shù)單調(diào)性的拐點(diǎn)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來討論函數(shù)單調(diào)性時(shí)，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
67．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是（????）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，便可以解題.，函數(shù)為增函數(shù)，，函數(shù)為減函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖形找到對(duì)應(yīng)區(qū)間就可以得出答案.
【詳解】由圖象知，當(dāng)或時(shí)，，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)或時(shí)，，函數(shù)為減函數(shù)，對(duì)應(yīng)圖象為A.
故選：A．

68．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖像如圖所示，則的圖像是圖四個(gè)圖像中的（????）．

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得答案.
【詳解】由題意可知，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則在上增的越來越快，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則在上增的越來越慢，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則在上減的越來越快，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則在上減的越來越慢，
只有A選項(xiàng)符合.
故選：A.
69．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖像如圖所示，則的圖像最有可能的是（????）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.
【詳解】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可得當(dāng)時(shí)，,函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，,函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，,函數(shù)單調(diào)遞增.
只有C選項(xiàng)的圖象符合.
故選:C.
（三）由原函數(shù)圖象或解析式確定導(dǎo)函數(shù)圖象
70．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（????）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系判斷即可；
【詳解】解：由的圖象可知，當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，則，故排除C、D；
當(dāng)時(shí)先遞減、再遞增最后遞減，所以所對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值應(yīng)該先小于，再大于，最后小于，故排除B；
故選：A
71．（2023春·河北石家莊·高三石家莊市第二十五中學(xué)?？计谥校┰O(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（????）
??
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)的圖象可得的單調(diào)性，從而得到在相應(yīng)范圍上的符號(hào)，據(jù)此可判斷的圖象.
【詳解】由的圖象可知，在上為單調(diào)遞減函數(shù)，故時(shí)，，故排除A，C；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象是先遞增，再遞減，最后再遞增，所以的值是先正，再負(fù)，最后是正，因此排除B，
故選：D.
72．（2023·陜西西安·校聯(lián)考一模）已知定義在上的函數(shù)的大致圖像如圖所示，是的導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為（????）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分、兩種情況求解即可.
【詳解】若，則單調(diào)遞減，圖像可知，，
若，則單調(diào)遞增，由圖像可知，
故不等式的解集為．
故選：C
73．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在R上可導(dǎo)的函數(shù)的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式的解集為______．

【答案】或
【分析】根據(jù)原函數(shù)的圖象可得導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，從而可求不等式的解.
【詳解】由的圖象可得的解為或，
的解為.
而即為或，
故或，
故答案為：或

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