?重慶育才中學(xué)教育集團初2023屆初三（下）第一次診斷性作業(yè)數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側(cè)正確答案所對應(yīng)的方框涂黑．
1. 的相反數(shù)是（ ）
A. B. C. D. 2023
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義選擇即可．
【詳解】解：的相反數(shù)是2023．
故選D．
【點睛】本題考查求一個數(shù)的相反數(shù)．掌握只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)和0的相反數(shù)為0是解題關(guān)鍵．
2. 體育精神就是健康向上、不懈奮斗的精神，下列關(guān)于體育運動的圖標(biāo)中是軸對稱圖形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形根據(jù)軸對稱圖形進行逐一判斷即可．
【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，不符合題意；
B、不是軸對稱圖形，不符合題意；
C、是軸對稱圖形，符合題意；
D、不是軸對稱圖形，不符合題意；
故選C．
【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形的識別，熟知軸對稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵．
3. 取下列各數(shù)時，使得有意義的是（ ）
A. 0 B. 2 C. 3 D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式有意義條件進行求解即可．
【詳解】解：∵要有意義，
∴，即，
∴四個選項中只有D選項中的符合題意，
故選：D．
【點睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件，熟知二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于等于零是解題的關(guān)鍵．
4. 如圖，△與位似，點是它們的位似中心，其中相似比為，則與的面積之比是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)相似圖形的性質(zhì)，面積比等于相似比的平方即可求解．
【詳解】解：∵△與位似，點是它們的位似中心，其中相似比為，
∴與的面積之比是，
故選：B．
【點睛】本題考查了相似圖形的性質(zhì)，面積比等于相似比的平方，熟練掌握相似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5. 一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)一次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系即可求解．
【詳解】解：一次函數(shù)中，
∴圖象在一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限，
故選：C．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系：由于與軸交于，當(dāng)時，在軸的正半軸上，直線與軸交于正半軸；當(dāng)時，在軸的負(fù)半軸，直線與軸交于負(fù)半軸．當(dāng)，的圖象在一、二、三象限；，的圖象在一、三、四象限；，的圖象在一、二、四象限；，的圖象在二、三、四象限．
6. 估計的值應(yīng)在（ ）
A. 9和10之間 B. 8和9之間 C. 7和8之間 D. 6和7之間
【答案】C
【解析】
【分析】首先進行二次根式的混合運算，再進行無理數(shù)的估算，即可求解．
【詳解】解：


，
，
，
故選：C．
【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，無理數(shù)的估算，熟練掌握和運用無理數(shù)的估算是解決本題的關(guān)鍵．
7. 下列命題中，錯誤的是（ ）
A. 兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形 B. 兩條對角線互相垂直的四邊形是平行四邊形
C. 三個角是直角的四邊形是矩形 D. 四邊相等的四邊形是菱形
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理、矩形的判定定理、菱形的判定定理進行判斷即可；
【詳解】解：A.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，正確，故不符合題意；
B.兩條對角線互相垂直的四邊形是平行四邊形，錯誤，故符合題意；
C.三個角是直角的四邊形是矩形，正確，故不符合題意；
D.四邊相等的四邊形是菱形，正確，故不符合題意；
故選：B．
【點睛】本題主要考查平行四邊形的判定、矩形的判定、菱形的判定，掌握相關(guān)定理是正確解題的關(guān)鍵．
8. 如圖是小貝散步過程中所走的路程s（單位：m）與步行時間t（單位：）的函數(shù)圖象．下列說法錯誤的是( )

A. 小貝在散步過程中停留了 B. 小貝在第時間段勻速步行
C. 小貝勻速步行的速度是 D. 小貝在散步過程中步行的平均速度是
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)圖象提供的信息逐項求解即可．
【詳解】由圖象可知：
小貝在散步過程中停留了，故A選項正確，不符合題意；
小貝在第時間段勻速步行，故B選項正確，不符合題意；
小貝勻速步行的速度為，故C選項錯誤，符合題意；
小貝在散步過程中步行的平均速度為，故D選項正確，不符合題意．
故選：C
【點睛】本題考查了函數(shù)的圖象，正確的識別圖象、數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
9. 在中，，點是斜邊邊上一點，以為圓心，為半徑作圓，恰好與邊相切于點，連接．若，的半徑為，則的長度為( )

A. B. C. 3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)，根據(jù)等邊對等角，三角形的外角的性質(zhì)，得出，根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理求得，然后根據(jù)切線的性質(zhì)以及已知條件得出，根據(jù)平行線分線段成比例即可求解．
【詳解】解：如圖所示，連接，

∵，
∴，
設(shè)
∵，
∴
∵中，，恰好與邊相切于點，
∴，則
∴，
∴的半徑為，
∴，，
∵，
∴
∴
故選：B．
【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，含度角的直角三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，等邊對等角，勾股定理及平行線分線段成比例定理，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
10. 已知多項式，多項式．
①若，則代數(shù)式的值為；
②當(dāng)，時，代數(shù)式的最小值為；
③當(dāng)時，若，則關(guān)于x的方程有兩個實數(shù)根；
④當(dāng)時，若，則x的取值范圍是．
以上結(jié)論正確的個數(shù)是（ ）
A 0個 B. 1個 C. 2個 D. 3個
【答案】B
【解析】
【分析】①把代入解方程即可求解；②把代入，再配方求最小值即可；③把代入解方程即可求解；④根據(jù)絕對值的意義求解即可．
【詳解】解：①若，則，解得，或，
∴的值為；故①錯誤；
②當(dāng)時，

，∴當(dāng)時，代數(shù)式的最小值為；故②錯誤；
③由題意得，，
∴或，
解得，或；
解，即，沒有實數(shù)解，
∴關(guān)于x的方程有兩個實數(shù)根，故③正確；
④當(dāng)時，



∴，解得；故④錯誤；
綜上，只有③正確；
故選：B．
【點睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，解一元二次方程、解不等式組、絕對值的意義，理解絕對值的性質(zhì)和一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應(yīng)的橫線上．
11. 已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則______．
【答案】12
【解析】
【分析】由反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，可得出，解之即可得出k值．
【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，
∴，
∴．
故答案為：12．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，牢記雙曲線上任意一點的坐標(biāo)都滿足函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
12. 如圖，直線，被直線所截，，，則的度數(shù)為______．

【答案】##50度
【解析】
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】解：，
，
，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握和運用平行線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
13. 計算：______．
【答案】##
【解析】
【分析】首先根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪及零指數(shù)冪的運算法則，特殊角的三角函數(shù)值，進行運算，再進行實數(shù)的加減運算，即可求解．
【詳解】解：


故答案為：．
【點睛】本題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪及零指數(shù)冪的運算法則，特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握和運用各運算法則是解決本題的關(guān)鍵．
14. 在一個不透明的盒子里裝有大小和形狀相同的個紅球和個黃球，先從盒中摸出一個球不放回，再摸出一個球，則兩次摸到的球顏色不一樣的概率為______．
【答案】
【解析】
【分析】列表展示所有種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出兩次摸到的球中顏色不一樣的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計算．
【詳解】解：列表如下：

紅
紅
紅
黃
黃
紅

紅紅
紅紅
紅黃
紅黃
紅
紅紅

紅紅
紅黃
紅黃
紅
紅紅
紅紅

紅黃
紅黃
黃
黃紅
黃紅
黃紅

黃黃
黃
黃紅
黃紅
黃紅
黃黃

共有種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩次摸到的球顏色不一樣的結(jié)果數(shù)為12，
所以兩次摸到的球中顏色不一樣的概率為．
故答案為：．
【點睛】本題考查了利用列表法展示所有可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率，掌握求概率的方法是解題的關(guān)鍵．
15. 如圖，點是矩形的邊上的中點，以點為圓心、為直徑，在矩形的內(nèi)部作出半圓，以點為圓心、為半徑在矩形內(nèi)部作出四分之一圓，與相交于點，連接，已知，，圖中陰影部分的面積______．

【答案】##
【解析】
【分析】連接，根據(jù)題意得出陰影部分面積，根據(jù)已知條件進行計算即可求解．
【詳解】解：如圖所示，連接

∵是半圓的直徑，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴,
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴
∴陰影部分面積



故答案為：．
【點睛】本題考查了求扇形面積，矩形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)題意得出陰影部分面積為
是解題的關(guān)鍵．
16. 如圖，在邊長為5的正方形中，點E，F(xiàn)分別是上的兩點，BE⊥EF，，則的長為______．

【答案】
【解析】
【分析】由于，所以過E作的垂線交于N，交于M，證明，設(shè)，利用列出方程，再運用勾股定理即可求解．
【詳解】解：過E作的垂線交于N，交于M，如圖，

∵是正方形，
∴，
∴四邊形為矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四邊形是正方形，為對角線，
∴，
∴，
∴，
在與中，
，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∵，
∴，
∴，
∴，
在，,
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，利用，構(gòu)造一線三直角的全等模型，是解決此題的突破口．
17. 若關(guān)于x的一元一次不等式組無解，且關(guān)于y的分式方程的解為正整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是______．
【答案】
【解析】
【分析】先解不等式組，根據(jù)不等式組無解，得出，解分式方程，根據(jù)分式方程的解為正整數(shù)，得出，求其和，即可求解．
【詳解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∵不等式組無解
∴
解得：，
解分式方程
解得：
∵或
∴或
∵分式方程的解為正整數(shù)，
∴，且
解得：，
∵
∴
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查含參數(shù)的分式方程和含參數(shù)的不等式組，掌握由解集倒推參數(shù)范圍是解本題關(guān)鍵．
18. 若一個四位數(shù)的千位與百位之差等于2，十位與個位之差等于4，稱這個四位數(shù)是“差2倍數(shù)”，若四位數(shù)的千位與百位之差等于3，十位與個位之差等于6，稱這個四位數(shù)是“差3倍數(shù)”，若數(shù)p，q分別為“差2倍數(shù)”和“差3倍數(shù)”，它們的個位數(shù)字均為3，p，q的各數(shù)位數(shù)字之和分別記為和，，若為整數(shù)，此時的最大值為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)定義和已知條件分別設(shè)，，再根據(jù)定義進行計算，由為整數(shù)，以及的最大值，得出符合條件的取值為或，進而解題．
【詳解】解：∵數(shù)p，q分別為“差2倍數(shù)”和“差3倍數(shù)”，它們的個位數(shù)字均為3，
故數(shù)p的十位數(shù)是，數(shù)q的十位數(shù)是，
設(shè)數(shù)p，q的百位數(shù)分別m、n，則數(shù)p的千位數(shù)是，數(shù)q的千位數(shù)是，而且，，
∴，，
∴，
，
∴，，
∴，
∴
∵為整數(shù)，
∴為的約數(shù)，而要使的最大值則有
∴或，
當(dāng)時，即，，
此時，當(dāng)，時，的最大值為，
當(dāng)時，即，，
此時，當(dāng)，時，的最大值為，
綜上所述：當(dāng)，時，的最大值為，
故答案為：
【點睛】本題考查新定義運算，數(shù)的整除、分式的化簡，整式的加減運算等，有一定難度，解題的關(guān)鍵是通過為整數(shù)推出為的約數(shù)．
三、解答題：（本大題共8小題，19題8分，20-26題各10分，共78分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上．
19. 計算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)完全平方公式，單項式乘以多項式進行計算即可求解；
（2）根據(jù)分式加減進行計算，同時將除法轉(zhuǎn)化為乘法，根據(jù)分式的混合運算進行化簡即可求解．
【小問1詳解】
解：

；
【小問2詳解】
解：


．
【點睛】本題考查了整式的化簡，分式的混合運算，熟練掌握整式的運算法則以及分式的運算法則是解題的關(guān)鍵．
20. 如圖，四邊形是菱形，連接，，點在線段上，連接，的延長線交于點．

（1）用尺規(guī)完成以下基本作圖：在內(nèi)部作，使得，交邊于點，交于點，交的延長線于點．保留作圖痕跡
（2）在(1)所作的圖中，求證：．完成下列填空．
證明：四邊形是菱形；
∴，，；
；
與 均為等邊三角形；
，；
；
與中，

；
．
【答案】（1）見解析 （2）；；；
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意作，交邊于點，交于點，交的延長線于點；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)，結(jié)合條件得出與均為等邊三角形；進而證明；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解．
【小問1詳解】
解：如圖所示，
【小問2詳解】
證明：四邊形是菱形；
∴，，；
；
與均為等邊三角形；
，；
；
在與中，

；
．
故答案為：；；；．
【點睛】本題考查了作一個角等于已知角，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
21. 九龍坡區(qū)以創(chuàng)建全國文明城區(qū)和全國未成年人思想道德建設(shè)工作先進城區(qū)(簡稱“雙創(chuàng)”)為抓手，堅持立德樹人，以文化人，協(xié)同育人，形成青少年健康成長的良好環(huán)境，學(xué)校德育處為了解學(xué)生對雙創(chuàng)的了解情況，從七、八年級各選取了名同學(xué)，開展了雙創(chuàng)知識競賽，并對競賽成績進行了整理、描述和分析(成績得分用表示，其中：，：，：，：，得分在分及以上為優(yōu)秀)，下面給出了部分信息：
七年級名同學(xué)在組的分?jǐn)?shù)為：，，，；
八年級名同學(xué)在組的分?jǐn)?shù)為：，，，，，，，，．

七、八年級選取的學(xué)生競賽成績統(tǒng)計表
年級
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
優(yōu)秀率
七年級




八年級





（1）填空：______，______，______；
（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為該校七、八年級學(xué)生在“雙創(chuàng)”知識競賽中，哪個年級學(xué)生對“雙創(chuàng)”的了解情況更好？請說明理由；(寫出一條理由即可)
（3）該校七年級有名學(xué)生，八年級有名學(xué)生，估計這兩個年級競賽成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生總?cè)藬?shù)．
【答案】（1），，
（2）八年級學(xué)生對“雙創(chuàng)”的了解情況更好，理由見解析；
（3）估計兩個年級競賽成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生總?cè)藬?shù)為人
【解析】
【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)的定義，求得第10和第11個數(shù)字的中位數(shù)求得的值，根據(jù)分?jǐn)?shù)在分以上的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)求得，根據(jù)眾數(shù)的定義求的值；
（2）根據(jù)眾數(shù)以及優(yōu)秀率進行計算即可求解；
（3）根據(jù)樣本估計總體，用850和900分別乘以七、八年級的優(yōu)秀率即可求解．
【小問1詳解】
解：∵共有20個數(shù)據(jù)，
∴中位數(shù)是第10個數(shù)據(jù)和第11個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，
∴中位數(shù)是，
八年級名同學(xué)在組的分?jǐn)?shù)中，出現(xiàn)了次，出現(xiàn)次數(shù)最多，
∴，
七年級的優(yōu)秀率為，
故答案為：，，．
【小問2詳解】
八年級學(xué)生對“雙創(chuàng)”的了解情況更好．
理由：①八年級學(xué)生成績的中位數(shù)大于七年級學(xué)生成績的中位數(shù)；
②八年級學(xué)生成績的優(yōu)秀率大于七年級學(xué)生成績的優(yōu)秀率；
【小問3詳解】
（人），
答：估計兩個年級競賽成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生總?cè)藬?shù)為人．
【點睛】本題考查了利用統(tǒng)計圖獲取信息的能力，求中位數(shù)，眾數(shù)，樣本估計總體；利用統(tǒng)計圖獲取信息時，必須認(rèn)真觀察、分析、研究統(tǒng)計圖，才能作出正確的判斷和解決問題
22. 山火燒不盡，春風(fēng)吹又生，今年三月，校團委組織師生開展“匯聚青年力量·重建綠色山林”縉云山植樹活動，購入了第一批樹苗，經(jīng)了解，購買甲、乙兩種樹苗共棵，兩種樹苗的單價分別為元和元，共用去資金元．
（1）求第一批購入甲、乙兩種樹苗的數(shù)量；
（2）恰逢植樹節(jié)在周末，有更多的師生參加到植樹活動中來，校團委購入第二批樹苗時發(fā)現(xiàn)甲樹苗供不應(yīng)求單價有所上漲，校團委決定，購入甲樹苗時，若甲樹苗單價每上漲元，購入數(shù)量就比第一批甲樹苗的數(shù)量減少棵（最后數(shù)量不超過第一批甲樹苗的%），購入乙樹苗單價與第一批相同，數(shù)量是第一批乙樹苗的%，最終花費的總資金比第一批減少了%，求第二批購買樹苗的總數(shù)量．
【答案】（1）甲種樹苗的數(shù)量為棵，乙種樹苗的數(shù)量為棵
（2）第二批購買樹苗的總數(shù)量為棵
【解析】
【分析】（1）設(shè)甲種樹苗的數(shù)量為棵，乙種樹苗的數(shù)量為棵，根據(jù)題意列出二元一次方程組，解方程即可求解；
（2）設(shè)甲樹苗單價上漲元，則甲樹苗單價為元，根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程，進而分別求得甲、乙的數(shù)量即可求解．
【小問1詳解】
解：設(shè)甲種樹苗的數(shù)量為棵，乙種樹苗的數(shù)量為棵，根據(jù)題意得，

解得：
答：甲種樹苗的數(shù)量為棵，乙種樹苗的數(shù)量為棵
【小問2詳解】
解：設(shè)甲樹苗單價上漲元，則甲樹苗單價為元，
依題意
解得：或
∵最后數(shù)量不超過第一批甲樹苗的%
即
解得：，
∴，
∴求第二批購買樹苗的總數(shù)量為（棵）
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程（組）是解題的關(guān)鍵．
23. 在一次數(shù)學(xué)建模活動課上，吳老師制作了一張簡易的海域安全監(jiān)測平面圖，在圖中標(biāo)明了三個監(jiān)測點的位置坐標(biāo)，，，由三個監(jiān)測點確定的圓形區(qū)域是安全警戒區(qū)域．

（1）某天海面上出現(xiàn)可疑船只C，在監(jiān)測點A測得C位于南偏東，同時在監(jiān)測點O測得C位于南偏東，求監(jiān)測點O到C船的距離．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，）
（2）當(dāng)可疑船只C由（1）中位置向正北方向航行時，是否會闖入安全警戒區(qū)域？請通過計算作答．
【答案】（1）
（2）不會
【解析】
【分析】（1）過點C作軸于點D，由題意可知，，即可得，設(shè)，則，再利用解直角三角形，即可求得與的長，據(jù)此即可求解；
（2）過點C作正北方向線，過圓的圓心作軸于點E，交正北方向線于點F，交圓于點M，根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)即可求得，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，即可求得長，根據(jù)勾股定理即可求得直徑的長，即可求得的長，再與進行比較，即可解答．
【小問1詳解】
解：如圖：過點C作軸于點D，

由題意可知，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
設(shè)，則，
，
，
解得，
即，，

，
故監(jiān)測點O到C船的距離為；
【小問2詳解】
解：如圖：過點C作正北方向線，過圓的圓心作軸于點E，交正北方向線于點F，交圓于點M，

四邊形是矩形，，
，
，
，
，，
，，
，，
，
，
，
，
可疑船只不會闖入安全警戒區(qū)域．
【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，圓周角定理，直線與圓的位置關(guān)系，矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．
24. 如圖，是等腰直角三角形，，，點M是的中點．點P從點B出發(fā)，沿B→A→M的路徑向點M運動，點Q在射線上，連接、、．當(dāng)點P到達點M時停止運動．在點P整個運動過程中，點都滿足．設(shè)點P的運動路程為x，．

（1）直接寫出與x的函數(shù)表達式，并補全表格中的值，以表中各組對應(yīng)值作為點的坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點，并在x的取值范圍內(nèi)畫出的函數(shù)圖象：
x

1

2

3








（2）寫出函數(shù)的一條性質(zhì)：______．
（3）在直角坐標(biāo)系中已經(jīng)畫出的函數(shù)圖象，結(jié)合和的函數(shù)圖象，請直接寫出當(dāng)時，x的取值范圍．（結(jié)果取精確值）
【答案】（1）7，3，，1；，1；
（2）當(dāng)時，隨的增大而減小，當(dāng)時，不變（答案不唯一）
（3）．
【解析】
【分析】（1）①當(dāng)點在上運動時，求出，得到，即可求解；②當(dāng)點在上時，則，則，即可求解；
（2）看表格數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論；
（3）觀察函數(shù)圖象即可求解．
【小問1詳解】
解：是等腰直角三角形，
，，
點是的中點，
．
①當(dāng)點在上運動時，此時，
過點作于點，

則，
則，
則，
，
，
解得：，
則，
當(dāng)時，，
同理可得：當(dāng)時，，
時，，
時，；
②當(dāng)點在上時，此時，
則，
則，
則，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
故答案為：7，3，，1；1，1；
【小問2詳解】
從表格看：當(dāng)時，隨的增大而減小，當(dāng)時，不變（答案不唯一），
故答案為：當(dāng)時，隨的增大而減小，當(dāng)時，不變（答案不唯一）；
【小問3詳解】
畫出的函數(shù)圖象如下（圖象加粗的部分）

聯(lián)立和并整理得：
，
解得：（負(fù)值已舍去），
從圖象看，當(dāng)時，的取值范圍為：．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)綜合運用，涉及到解直角三角形，反比例函數(shù)的基本性質(zhì)，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題．
25. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，，與y軸交于點C，連接，D為拋物線的頂點．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）點P為直線下方拋物線上的一動點，過P作于點E，過P作軸于點F，交直線于點G，求的最大值，以及此時點P的坐標(biāo)；
（3）將拋物線沿射線方向平移，平移后的圖象經(jīng)過點，點M為D的對應(yīng)點，平移后的拋物線與y軸交于點N，點Q為平移后的拋物線對稱軸上的一點，且點Q在第一象限．在平面直角坐標(biāo)系中確定點R，使得以點M，N，Q，R為頂點的四邊形為菱形，請寫出所有符合條件的點R的坐標(biāo)，并寫出求解點R的坐標(biāo)的其中一種情況的過程．
【答案】（1）
（2）的最大值為，此時點的坐標(biāo)為
（3）或或，見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)拋物線與x軸交于點兩點，即知拋物線的表達式為，即 ；
（2）證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，設(shè)出P點的坐標(biāo)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可；
（3）先根據(jù)平移規(guī)律求出平移后的拋物線的解析式，以及點M，N的坐標(biāo)，然后設(shè)出點Q的坐標(biāo)，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出Q的坐標(biāo)，即可得點R的坐標(biāo)．
小問1詳解】
∵拋物線與x軸交于，，
∴拋物線的解析式為，即；
【小問2詳解】
，
令，則，

設(shè)直線的解析式為：，
把，代入，得：
，
解得，，
∴直線的解析式為：；
軸，
軸
，
，
，
，
，

，

設(shè)，則，
，
∴當(dāng)時，的最大值為2，
的最大值為，此時點的坐標(biāo)為；
【小問3詳解】
∵將拋物線沿射線方向平移，，，
設(shè)拋物線向上平移個單位，向右平移個單位，
∴新拋物線的解析式為，
∵平移后的圖象經(jīng)過點，
，
解得，或（不符合題意，舍去）
∴新拋物線的解析式為,
∴點，點的坐標(biāo)為，
設(shè)，
，，，
①當(dāng)時，，
解得，或（舍去）
此時，、為對角線，
，
；
②當(dāng)時，，
解得，，
此時，、為對角線，
，
，
③當(dāng)時，，
解得，或（舍去）
此時，、為對角線，
，
，
綜上所述，點的坐標(biāo)為或或
【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)三角形面積，平移的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵
26. 如圖，為等邊三角形，D為邊上一點，過點D作，交于點E，連接，F(xiàn)為的中點，連接．

（1）如圖1，，，求的面積；
（2）如圖2，點G在內(nèi)部，連接、，，過點G作，垂足為K，，垂足為H，，連接，求證：；
（3）如圖3，在（2）的條件下，點D在線段上運動，連接，延長交于點P，將線段繞F點順時針旋轉(zhuǎn)到，與相交于點Q，當(dāng)最小時，求的值．
【答案】（1）
（2）見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）作于，解直角三角形，求得和，進而解直角三角形，求得，從而求得三角形的面積，根據(jù)三角形中線的性質(zhì)進一步得出結(jié)果；
（2）連接，，，可得出，，，，從而得出，進一步得出結(jié)果；
（3）取的中點，作直線，交于，作于，可推出點在過的中點，且與平行的直線上運動，當(dāng)時，最??；設(shè)與交于，交于，交于，作于，設(shè)，則，進一步求得，，從而得出結(jié)果．
【小問1詳解】
解：如圖1，

作于，
∵是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵點是的中點，
∴；
【小問2詳解】
證明：如圖2，

連接，，，
∵是等邊三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，則平分，
∵，
∴，，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴、、、三點共線，即：平分，是的中點，
∵，，，
∴在的平分線上，
∴，則，
∴，
∵是的中點，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小問3詳解】
解：如圖3，

取的中點，作直線，交于，作于，
∵點是的中點，
∴，則，即：為為中點，
∴點在過中點，且與平行的直線上運動，
由（2）知：，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，，
由旋轉(zhuǎn)知：，，
∴，
∴，即：點到直線的距離為，
∴在線段取點，使得點到直線的距離為，
點在過的，且與平行的直線上運動，
∴當(dāng)時，最小，
如圖4，

則，設(shè)與交于，交于I，交于，作于，
∴，，是矩形，
設(shè)，則，
∴，
∴，
∵，，
∴，
，
∴，
，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了等邊三角形性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形及尋找點的軌跡．




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