2023年高考全真模擬卷（三）數(shù)學(xué)（天津卷）（考試時間：120分鐘  試卷滿分：150分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共9個小題，每小題5分，共45分．每小題給出的四個選項只有一個符合題目要求．1．集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，所以．故選：D.2．設(shè)，則“”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】C【詳解】由，可得或，則可以推出；由，可得：或，則可以推出，所以“”是“”的充分必要條件，故選：.3．展開式中的常數(shù)項是（    ）A． B．135 C．1215 D．【答案】B【詳解】由二項展開式通項公式可得，令解得，所以常數(shù)項，故選：B4．已知奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)．若，，，則，，的大小關(guān)系為（    ）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù)，則，即函數(shù)是偶函數(shù)，，而，，，即有，又函數(shù)在上是增函數(shù)，則，所以.故選：B5．若某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率均為，每次射擊的結(jié)果相互獨立，則在他連續(xù)4次射擊中，恰好有兩次擊中目標(biāo)的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】B【詳解】他連續(xù)4次射擊中，恰好有兩次擊中目標(biāo)的概率為.故選：B.6．函數(shù)的部分圖像如圖中實線所示，圖中圓與的圖像交于，兩點，且在軸上，有如下說法：①函數(shù)的最小正周期是②函數(shù)在上單調(diào)遞減③函數(shù)的圖像向左平移個單位后關(guān)于直線對稱④若圓的半徑為，則函數(shù)的解析式為則其中正確的說法是（    ）A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②④【答案】C【詳解】因為圓與的圖像交于，兩點，所以，關(guān)于點對稱.因為所以.由圖像可得：的半個周期為，所以最小正周期為.故①正確；因為最小正周期為，所以，由，解得：.因為，所以由“五點法”可得：，解得：.所以.當(dāng)時，.因為在上單減，在上單增，所以函數(shù)在上不單調(diào).故②錯誤；函數(shù)的圖像向左平移個單位后得到函數(shù).所以的對稱軸為，即.所以函數(shù)的圖像向左平移個單位后關(guān)于直線對稱.故③正確；若圓的半徑為，則解得：.所以函數(shù)解析式為：.故④正確.綜上所述：①③④正確.故選：C7．棱長為1的正方體的頂點都在一個球的球面上，則該球的體積為（    ）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意知：正方體的體對角線長等于該正方體外接球直徑，則球半徑，所以該球的體積為，故選：.8．已知雙曲線的右焦點為，關(guān)于原點對稱的兩點，分別在雙曲線的左、右兩支上，，，且點在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】B【詳解】令雙曲線右焦點，則其左焦點，連接，如圖，顯然與互相平分于點O，即四邊形為平行四邊形，又，則，因此四邊形為矩形，令，由得，由雙曲線定義知，，在中，，即，解得，在中，，而，于是得，解得，所以雙曲線的離心率.故選：B9．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，設(shè)，下列四個說法：①；②當(dāng)時，；③任意，都有；④若曲線上存在不同兩點，，且在點，處的切線斜率均為，則實數(shù)的取值范圍為.以上四個說法中，正確的個數(shù)為（    ）A．3個 B．2個 C．1個 D．0個【答案】B【詳解】解：對于①，函數(shù)，，，當(dāng)時，取到等號，故①不正確；對于②，，設(shè)，，所以在恒成立，則在上單調(diào)遞減，故，即，又，則，所以，可得令，所以在恒成立，則在上單調(diào)遞減，故，即，所以，綜上，恒成立，故②正確；對于③，設(shè)，則，因為，所以，又，設(shè)，所以，又，所以，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，則，所以，單調(diào)遞減，則恒成立，所以，即，故③正確；對于④，因為，所以，令，則得，所以，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，所以，又得，且則可以得的圖象如下：因為曲線上存在不同兩點，，且在點，處的切線斜率均為，所以，則與應(yīng)存在兩個不同的交點，所以，故④不正確.綜上，②③正確，①④不正確.故選：B.二、填空題（本大題共6個小題，每小題5分，共30分．把答案填在題中橫線上．）10．復(fù)數(shù)________．【答案】【詳解】.故答案為：11．已知圓：，且圓外有一點，過點作圓的兩條切線，且切點分別為，，則______.【答案】【詳解】圓：，即，圓的圓心為，半徑.畫出圖象如下圖所示，，四邊形的面積為，解得.故答案為：12．某公司新成立3個產(chǎn)品研發(fā)小組，公司選派了5名專家對研發(fā)工作進行指導(dǎo).若每個小組至少有一名專家且5人均要派出，若專家甲?乙需到同一個小組指導(dǎo)工作，則不同的專家派遣方案總數(shù)為___________.（用數(shù)字作答）【答案】【詳解】當(dāng)甲?乙兩人組成一組時，不同的專家派遣方案總數(shù)為：；當(dāng)甲?乙兩人與其他三人中選一人組成一組時，不同的專家派遣方案總數(shù)為：，所以專家甲?乙需到同一個小組指導(dǎo)工作，則不同的專家派遣方案總數(shù)為：，故答案為：13．若，且，則的最小值為______.【答案】##【詳解】因為，則，又因為，所以，即，解得或 (舍去)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最小值為.故答案為：.14．在梯形中，，，，，、分別為線段和線段上的動點，且，，則的取值范圍為______．【答案】【詳解】以點為坐標(biāo)原點，直線為軸，過點且垂直于直線的直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則、、、，則，由題意可得，解得，，所以，，由對勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，.因此，的取值范圍是.故答案為：.15．一個盒子里有5個相同的球，其中2個紅球，2個黃球，1個綠球，每次從盒中隨機取出一個且不放回，則紅球首先被全部取完的概率為______；若紅球全部被取出視為取球結(jié)束，記在此過程中取到黃球的個數(shù)為，則______.【答案】          【詳解】由題可知紅球2次取完的概率為，紅球3次取完(前2次中有1次取到黃球)的概率為，所以紅球先取完的概率為；由題可知可能的取值為0，1，2，則， ，，所以.故答案為：；.三、解答題：（本大題5個題，共75分）16．在中，角所對的邊分別是，已知．(1)求角的大??；(2)設(shè)①求的值；②求的值．【答案】(1)(2)①；②【詳解】（1）因為，由正弦定理可得：，則，因為在中，，所以，則有，因為，所以，，故.（2）①由（1）知：，在中，因為，由余弦定理可得：，則.②在中，由正弦定理可得：，即，所以，因為，所以，則為銳角，所以，則，，所以.17．如圖，已知四棱錐，底面為菱形，平面，，直線與底面所成的角，，，分別是，，的中點．(1)證明：平面；(2)證明：；(3)求二面角的余弦值；(4)若，求棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)；(4).【詳解】（1）證明：連接交與，連接 四邊形是菱形，是的中點，又是的中點，，平面，平面，平面．（2）證明：平面，平面，，四邊形是菱形，，是等邊三角形，，是中點，，，又，平面，平面 平面，平面，．（3）以為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，平面，為直線與平面所成的角，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令得．設(shè)平面的法向量為則，令得則.二面角的余弦值為．（4）平面，為直線與平面所成的角，，，18．已知橢圓的左右焦點為為其上頂點，正三角形(1)求橢圓的離心率；(2)若直線與橢圓交于兩點，為坐標(biāo)原點，直線的斜率之積等于的面積是，求橢圓的方程．【答案】(1)；(2). 【詳解】（1）設(shè)，顯然，因為為正三角形，則，所以橢圓的離心率.（2）由（1）知，，橢圓的方程為：，顯然，由消去y并整理得：，，即有，設(shè)，則有，，因此，整理得，滿足，點O到直線的距離，，的面積，解得，所以橢圓的方程為.19．已知數(shù)列是公比的等比數(shù)列，前三項和為13，且，，恰好分別是等差數(shù)列的第一項，第三項，第五項.(1)求和的通項公式；(2)設(shè)，求證：數(shù)列的前項和(3)求，其中；【答案】(1)(2)證明見詳解(3) 【詳解】（1）由題意可得：，則，解得，可得，解得或（舍去），故，∵，則，∴數(shù)列是首項，公差的等差數(shù)列，故.（2）由（1）可得：，則數(shù)列的前項和.（3）由題意可得：，當(dāng)時，則，則，∵，可得，兩式相減可得：∴，故.20．已知函數(shù)，直線.(1)若直線為曲線的切線，求的值；(2)若不等式對任意的恒成立，求實數(shù)的最大值；(3)若直線與曲線有兩個交點.求證：.【答案】(1)(2)2(3)證明見解析 【詳解】（1）因為，所以，設(shè)切點為，則切線斜率，切線方程為：，因為直線過坐標(biāo)原點，則有，解得，所以.（2）設(shè)，因為，所以的一個必要條件是，又，所以，則，當(dāng)時，，則，又因為，所以單調(diào)遞增，而，則，所以在上單調(diào)遞增，故，符合題意，所以實數(shù)的最大值為2.（3）依題意，方程有兩個不同的實根.令，則有①若，則在上恒成立，所以在單調(diào)遞增，此時不可能有兩個不同的零點，故舍去；②若，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而，解得.又，故在有一個零點.設(shè)正數(shù)，則.由于，因此在有一個零點.綜上所述，.不妨設(shè)，則，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，可得，即，又是函數(shù)的兩個零點，即，所以，因為，所以，又，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，又，所以，因此
 

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