?2022-2023學(xué)年江蘇省南京市鼓樓區(qū)四校聯(lián)考八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分，在每小題所給出的四個選項中，恰有
1．下列圖形中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．菱形 D．平行四邊形
2．下列事件中，是必然事件的是（　?。?br /> A．不共線的三條線段可以組成一個三角形
B．400人中有兩個人的生日在同一天
C．早上的太陽從西方升起
D．打開電視機(jī)，它正在播放動畫片
3．下列調(diào)查中，不適合采用普查的是（　　）
A．調(diào)查一批防疫口罩的質(zhì)量
B．調(diào)查某校八年級某班同學(xué)的視力
C．為保證某種新研發(fā)的大型客機(jī)試飛成功，對其零部件進(jìn)行檢查
D．對乘坐某班次飛機(jī)的乘客進(jìn)行安檢
4．把分式中的x和y都擴(kuò)大2倍，分式的值（　?。?br /> A．不變 B．?dāng)U大2倍
C．縮小為原來的 D．?dāng)U大4倍
5．矩形具備而平行四邊形不一定具備的性質(zhì)是（　　）
A．對角線互相平分 B．對角線互相垂直
C．對角線相等 D．對角線平分一組對角
6．如圖，將四根長度相等的細(xì)木條首尾順次相接，用釘子釘成四邊形ABCD，拉動木條，四邊形的形狀會改變．當(dāng)∠A＝90°時，四邊形的面積為16，則當(dāng)∠A＝30°時，四邊形的面積為（　?。?br />
A．4 B．8 C． D．
二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分.不需寫出解答過程，請把答案直接
7．若分式有意義，則x的取值范圍是 　 　．
8．分式的值為0，則x的值是 　 　．
9．某校對120名初二女生的身高進(jìn)行了測量，身高在1.58～1.63（單位：m）這一小組的頻率為0.25，則該組的人數(shù)為　 ?。?br /> 10．某中學(xué)要了解八年級學(xué)生的視力情況，在八年級中抽取了80名學(xué)生進(jìn)行檢測，這次抽樣調(diào)查的樣本是 　 ?。?br /> 11．菱形周長是20，對角線長的比為3：4，則菱形的面積為　 ?。?br /> 12．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC的中點．若CD＝1，則EF的長為 　 　．

13．八年級（1）班有40位同學(xué)，他們的學(xué)號是1﹣40，隨機(jī)抽取一名學(xué)生參加座談會，下列事件：①抽到的學(xué)號為奇數(shù)；②抽到的學(xué)號是個位數(shù)；③抽到的學(xué)號不小于35．其中，發(fā)生可能性最小的事件為 　 ?。ㄌ钚蛱枺?br /> 14．若分式的值為整數(shù)，x的值也為整數(shù)，則x的最小值為 　 ?。?br /> 15．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，將矩形折疊，使點D與點B重合，點C落在點E處，則折痕FG的長為 　 　．

16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（2，0），點P為y軸上一動點，連接AP并延長至點D，使DP＝AP，取y軸上一點B，以AB，AD為邊作?ABCD，連接OC，則OC長度的取值范圍為 　 　．

三、解答題（本大題共10小題，共68分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字
17．計算：
（1）；
（2）．
18．先化簡：÷（1﹣），然后從2，0，﹣2中選一個合適的數(shù)代入求值．
19．一個不透明的口袋中有若干個紅球和黑球，這兩種球除顏色外無其他差別，將球攪勻后，從口袋中隨機(jī)摸出一個球，記下顏色后放回攪勻，經(jīng)過大量重復(fù)試驗發(fā)現(xiàn)摸到黑球的頻率逐漸穩(wěn)定在0.3附近．
（1）估計摸到黑球的概率是 　 　；
（2）若袋中紅球和黑球的總數(shù)為20個，估計其中黑球的個數(shù)．
20．為了了解某校八年級學(xué)生每天完成家庭作業(yè)所用時長，該校數(shù)學(xué)興趣小組對此展開抽樣調(diào)查．已知八年級共25個班級，每班40名學(xué)生．
（1）小明選擇對2班全體同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，小剛選擇在學(xué)校門口隨機(jī)抽取10名同學(xué)．他們的抽樣是否合理？請分別說明理由．
（2）設(shè)樣本容量為100，請設(shè)計一個合理的抽樣調(diào)查方案．
21．某校組織了關(guān)于古詩知識競賽的活動，隨機(jī)抽取了若干名學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計（成績均為整數(shù)），并將成績按從低到高分成A，B，C，D，E五個小組，繪制如圖不完整的頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖．根據(jù)圖表信息，解答下列問題：

（1）本次調(diào)查的樣本容量為 　 　，頻數(shù)分布直方圖中a的值為 　 ?。?br /> （2）扇形統(tǒng)計圖中D小組所對應(yīng)的扇形圓心角為n°，求n的值；
（3）若成績在80分以上（不含80分）為優(yōu)秀，全校共有3000名學(xué)生，估計成績優(yōu)秀的學(xué)生有多少名？
22．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（5，2），B（﹣1，4），C（2，0）．
（1）若A，B關(guān)于點M成中心對稱，在圖中畫出點M（描黑并標(biāo)注字母，下同）；
（2）若點A繞點N順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點B，在圖中畫出點N；
（3）已知點D是平面內(nèi)一點，若以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出點D所有可能的坐標(biāo)．

23．若a＞0，M＝，N＝
（1）當(dāng)a＝1時，M＝　 　，N＝　 ??；當(dāng)a＝3時，M＝　 　，N＝　 ??；
（2）猜想M與N的大小關(guān)系，并證明你的猜想．
24．如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，G，H分別是BD，AC的中點，順次連接各點得到四邊形EGFH．
（1）求證：四邊形EGFH是平行四邊形；
（2）若AB＝CD，求證：?EGFH是菱形．

25．如圖1，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC上的點．對“中位線定理”逆向思考，可得以下3則命題：
Ⅰ．若D是AB的中點，，則E是AC的中點；
Ⅱ．若DE∥BC，，則D，E分別是AB，AC的中點；
Ⅲ．若D是AB的中點，DE∥BC，則E是AC的中點．
?
（1）從以上命題中選出一個假命題，并在圖2中畫出反例（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；
（2）從以上命題中選出一個真命題，并進(jìn)行證明．
26．如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠D．在此條件下，對它“強(qiáng)化條件”，分別得到圖1的3個命題．
?
（1）命題1的證明思路如下，在圖1中連接AC，BD，并填充證明框圖．
?
①　 　；
②　 　；
③　 ?。?br /> （2）命題2是真命題，請在圖2中完成證明．
（3）命題3是假命題，請畫出反例并解釋反例存在的合理性．


參考答案
一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分，在每小題所給出的四個選項中，恰有
1．下列圖形中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A．等腰三角形 B．直角三角形 C．菱形 D．平行四邊形
【分析】根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，進(jìn)行判斷即可．把一個圖形繞一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．
解：A．等腰三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
B．直角三角形不一定是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
C．菱形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故此選項符合題意；
D．平行四邊形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項不合題意．
故選：C．
【點評】本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，常見的中心對稱圖形有平行四邊形、圓、正方形、長方形等等．常見的軸對稱圖形有等腰三角形、矩形、正方形、等腰梯形、圓等等．
2．下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．不共線的三條線段可以組成一個三角形
B．400人中有兩個人的生日在同一天
C．早上的太陽從西方升起
D．打開電視機(jī)，它正在播放動畫片
【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷．
解：A、不共線的三條線段可以組成一個三角形，是隨機(jī)事件，不符合題意；
B、400人中有兩個人的生日在同一天，是必然事件，符合題意；
C、早上的太陽從西方升起，是不可能事件，不符合題意；
D、打開電視機(jī)，它正在播放動畫片，是隨機(jī)事件，不符合題意；
故選：B．
【點評】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．
3．下列調(diào)查中，不適合采用普查的是（　　）
A．調(diào)查一批防疫口罩的質(zhì)量
B．調(diào)查某校八年級某班同學(xué)的視力
C．為保證某種新研發(fā)的大型客機(jī)試飛成功，對其零部件進(jìn)行檢查
D．對乘坐某班次飛機(jī)的乘客進(jìn)行安檢
【分析】直接利用全面調(diào)查和抽樣調(diào)查的意義分別分析得出答案．
解：A、調(diào)查一批防疫口罩的質(zhì)量，適合抽樣調(diào)查，符合題意；
B、調(diào)查某校八年級某班同學(xué)的視力，適合全面調(diào)查，不合題意；
C、為保證某種新研發(fā)的大型客機(jī)試飛成功，對其零部件進(jìn)行檢查，必須全面調(diào)查，不合題意；
D、對乘坐某班次飛機(jī)的乘客進(jìn)行安檢，必須全面調(diào)查，不合題意；
故選：A．
【點評】此題主要考查了全面調(diào)查和抽樣調(diào)查的意義，正確理解抽樣調(diào)查的意義是解題關(guān)鍵．
4．把分式中的x和y都擴(kuò)大2倍，分式的值（　?。?br /> A．不變 B．?dāng)U大2倍
C．縮小為原來的 D．?dāng)U大4倍
【分析】把原分式中的x和y都擴(kuò)大2倍得到，根據(jù)分式的基本性質(zhì)化簡得到2?，從而可對各選項進(jìn)行判斷．
解：分式中的x和y都擴(kuò)大2倍，則原分式變形為：＝＝2?，
所以把分式中的x和y都擴(kuò)大2倍，分式的值擴(kuò)大2倍．
故選：B．
【點評】本題考查了分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變．
5．矩形具備而平行四邊形不一定具備的性質(zhì)是（　?。?br /> A．對角線互相平分 B．對角線互相垂直
C．對角線相等 D．對角線平分一組對角
【分析】根據(jù)矩形、平行四邊形的性質(zhì)即可判斷．
解：矩形的對角線互相平分且相等，平行四邊形的對角線互相平分，
∴矩形具備而平行四邊形不一定具備的是矩形的對角線相等，
故選：C．
【點評】本題考查矩形的性質(zhì)，矩形具有平行四邊形的性質(zhì)，又具有自己的特性，要注意運(yùn)用矩形具備而一般平行四邊形不具備的性質(zhì)．如，矩形的對角線相等是?？純?nèi)容．
6．如圖，將四根長度相等的細(xì)木條首尾順次相接，用釘子釘成四邊形ABCD，拉動木條，四邊形的形狀會改變．當(dāng)∠A＝90°時，四邊形的面積為16，則當(dāng)∠A＝30°時，四邊形的面積為（　?。?br />
A．4 B．8 C． D．
【分析】根據(jù)正方形的判定和性質(zhì)解得AB＝BC＝4，進(jìn)而根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)和菱形的面積解答即可．
解：將四根長度相等的細(xì)木條首尾順次相接，用釘子釘成四邊形ABCD，拉動木條，四邊形的形狀會改變．當(dāng)∠A＝90°時，四邊形的面積為16，
∴四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝4，
過A作AE⊥CB，交CB的延長線于E，
∵∠A＝30°，AD∥BC，
∴∠ABE＝30°，
∴AE＝2，
∴四邊形的面積＝AE?BC＝2×4＝8，
故選：B．

【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分.不需寫出解答過程，請把答案直接
7．若分式有意義，則x的取值范圍是 　x≠2　．
【分析】根據(jù)分母不等于零分式有意義，可得答案．
解：∵分式有意義，
∴x﹣2≠0，
解得，x≠2，
故答案為：x≠2．
【點評】本題考查的是分式有意義的條件，熟知分式有意義的條件是分母不等于零是解答此題的關(guān)鍵．
8．分式的值為0，則x的值是 　1　．
【分析】根據(jù)分式的值為零的條件得到x﹣1＝0且x≠0，易得x＝1．
解：∵分式的值為0，
∴x﹣1＝0且x≠0，
∴x＝1．
故答案為1．
【點評】本題考查了分式的值為零的條件：當(dāng)分式的分母不為零，分子為零時，分式的值為零．
9．某校對120名初二女生的身高進(jìn)行了測量，身高在1.58～1.63（單位：m）這一小組的頻率為0.25，則該組的人數(shù)為　30人?。?br /> 【分析】根據(jù)頻率＝頻數(shù)÷總數(shù)，得頻數(shù)＝總數(shù)×頻率．
解：根據(jù)題意，得
該組的人數(shù)為120×0.25＝30（人）．
故答案為：30人．
【點評】此題主要考查了頻數(shù)與頻率．解題的關(guān)鍵是掌握頻率＝頻數(shù)÷數(shù)據(jù)的總數(shù)．
10．某中學(xué)要了解八年級學(xué)生的視力情況，在八年級中抽取了80名學(xué)生進(jìn)行檢測，這次抽樣調(diào)查的樣本是 　從中抽取的30名八年級學(xué)生的視力情況　．
【分析】樣本是總體中所抽取的一部分個體，據(jù)此即可解答．
解：樣本是：從中抽取的80名八年級學(xué)生的視力情況．
故答案是：從中抽取的30名八年級學(xué)生的視力情況．
【點評】本題考查了總體、個體的概念，解題要分清具體問題中的總體、個體與樣本，關(guān)鍵是明確考查的對象．總體、個體與樣本的考查對象是相同的，所不同的是范圍的大?。畼颖救萘渴菢颖局邪膫€體的數(shù)目，不能帶單位．
11．菱形周長是20，對角線長的比為3：4，則菱形的面積為　24　．
【分析】菱形的周長是20，邊長就是5，邊和對角線的一半構(gòu)成直角三角形，根據(jù)勾股定理求出對角線的長，菱形的面積等于對角線乘積的一半從而得解．
解：設(shè)較短對角線的一半是3x，較長對角線的一半是4x，
（3x）2+（4x）2＝52，
解得x＝1（負(fù)值舍去）．
較短的對角線長為：2?3x＝6，
較長的對角線長為：2?4x＝8．
∴菱形的面積為：＝24．
故答案為：24．
【點評】本題考查菱形的性質(zhì)，菱形的對角線互相垂直且平分，以及菱形的面積的計算方法和勾股定理的應(yīng)用．
12．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC的中點．若CD＝1，則EF的長為 　1?。?br />
【分析】已知CD是Rt△ABC斜邊AB的中線，那么AB＝2CD；EF是△ABC的中位線，則EF應(yīng)等于AB的一半．
解：∵△ABC是直角三角形，D是AB的中點，CD＝1，
∴CD是斜邊的中線，
∴AB＝2CD＝2，
∵E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點，
∴EF是△ABC的中位線，
∴EF＝AB＝×2＝1．
故答案為：1．
【點評】此題主要考查了三角形中位線定理以及直角三角形斜邊上的中線等知識，熟知直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半；三三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
13．八年級（1）班有40位同學(xué)，他們的學(xué)號是1﹣40，隨機(jī)抽取一名學(xué)生參加座談會，下列事件：①抽到的學(xué)號為奇數(shù)；②抽到的學(xué)號是個位數(shù)；③抽到的學(xué)號不小于35．其中，發(fā)生可能性最小的事件為 ?、邸。ㄌ钚蛱枺?br /> 【分析】分別求出3個事件的概率即可求解．
解：①抽到的學(xué)號是奇數(shù)的可能性為；
②抽到的學(xué)號是個位數(shù)的可能性為；
③抽到的學(xué)號不小于35的可能性為，
∵，
∴發(fā)生可能性最小的事件為為③．
故答案為：③．
【點評】本題考查了基本概率的計算及比較可能性大小，用到的知識點為：可能性等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
14．若分式的值為整數(shù)，x的值也為整數(shù)，則x的最小值為 　﹣3?。?br /> 【分析】根據(jù)分式的值為整數(shù)，x的值也為整數(shù)，可得x﹣1＝±4或±2或±1，求出x的值，即可確定x的最小值．
解：分式的值為整數(shù)，x的值也為整數(shù)，
∴x﹣1＝±4或±2或±1，
∴x＝5或﹣3或3或﹣1或2或0，
∴x的最小值為﹣3，
故答案為：﹣3．
【點評】本題考查了分式的值，理解題意是解題的關(guān)鍵．
15．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，將矩形折疊，使點D與點B重合，點C落在點E處，則折痕FG的長為 　4?。?br />
【分析】連接BD，在Rt△ABD中，求得BD的長，在Rt△ADF中運(yùn)用勾股定理求得DF的長，即可得到DF長，最后在Rt△DOF中求得FO的長，即可得到答案．
解：如圖，連接BD，交FG于O，則由軸對稱的性質(zhì)可知，F(xiàn)G垂直平分BD，
Rt△ABD中，BD＝，
由折疊可得DO＝BD＝4，∠BFO＝∠DFO，
由AB∥CD可得，∠DFO＝∠BGO，
∴∠DFO＝∠BGO，
∴BF＝BG，即△BFG是等腰三角形，
∴BD平分FG，
∴OF＝OG，
由折疊知，BF＝DF，
設(shè)BF＝DF＝x，則AF＝16﹣x，
在Rt△ABF中，（16﹣x）2+82＝x2，
解得x＝10，即DF＝10，
∴Rt△DOF中，OF＝＝2，
∴FG＝2FO＝4．
故答案為：4．

【點評】本題是折疊問題，主要考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理以及矩形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理列方程求解．
16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（2，0），點P為y軸上一動點，連接AP并延長至點D，使DP＝AP，取y軸上一點B，以AB，AD為邊作?ABCD，連接OC，則OC長度的取值范圍為 　OC≥4?。?br />
【分析】過點D作x軸的平行線交y軸于點F，過點C作y軸的平行線交FD于點E，首先證明△AOP≌△DFP （ASA），得OA＝DF＝2，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠EDC＝∠OAB，再證明△ECD≌△OBA（AAS），得DE＝OA＝2，所以EF＝DE+DF＝4，根據(jù)CE⊥EF，EF∥y軸，得C點始終在平行于y軸的直線上運(yùn)動，并且這條直線與y軸的距離為4，則O到這條直線的距離為4，進(jìn)而可得OC長度的取值范圍為OC≥4．
解：∵A（2，0），
∴OA＝2，
如圖，過點D作x軸的平行線交y軸于點F，過點C作y軸的平行線交FD于點E，

∴∠OAP＝∠FDP，
∵∠APO＝∠DPF，AP＝DP，
∴△AOP≌△DFP （ASA），
∴OA＝DF＝2，
在?ABCD中，AB＝CD，
∵EF∥OA，
∴∠EDA+∠OAD＝180°，
∵DC∥AB，
∴∠CDA+∠BAD＝180°，
∴∠EDA+∠OAD﹣∠CDA﹣∠BAD＝0，
∴∠EDA﹣∠CDA＝∠BAD﹣∠OAD，
∴∠EDC＝∠OAB，
∵∠CED＝∠BOA＝90°，CD＝BA，
∴△ECD≌△OBA（AAS），
∴DE＝OA＝2，
∴EF＝DE+DF＝4，
∵CE⊥EF，EF∥y軸，
∴C點始終在平行于y軸的直線上運(yùn)動，并且這條直線與y軸的距離為4，
則O到這條直線的距離為4，
∴OC長度的取值范圍為OC≥4．
故答案為：OC≥4．
【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是利用平行四邊形的性質(zhì)得到∠EDC＝∠OAB．
三、解答題（本大題共10小題，共68分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字
17．計算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）整理第二個分式的分母，再進(jìn)行分式的加減運(yùn)算，約分；
（2）先把1化成分式，計算小括號，第二個分式的分子、分母因式分解，再把除法運(yùn)算變成乘法運(yùn)算，分子分母約分即可．
解：（1）
＝
＝
＝1；
（2）
＝
＝
＝
＝．
【點評】本題考查了分式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握分式的加減乘除運(yùn)算法則．
18．先化簡：÷（1﹣），然后從2，0，﹣2中選一個合適的數(shù)代入求值．
【分析】先根據(jù)分式的減法法則算括號里面的，再根據(jù)分式的除法法則把除法變成乘法，算乘法，根據(jù)分式有意義的條件求出x不能為﹣2和2，取x＝0，最后代入求出答案即可．
解：÷（1﹣）
＝÷
＝÷
＝?
＝x﹣2，
要使分式÷（1﹣）有意義，x+2≠0且x﹣2≠0，
所以x不能為﹣2和2，
取x＝0，
當(dāng)x＝0時，原式＝0﹣2＝﹣2．
【點評】本題考查了分式的化簡求值，能正確根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡是解此題的關(guān)鍵．
19．一個不透明的口袋中有若干個紅球和黑球，這兩種球除顏色外無其他差別，將球攪勻后，從口袋中隨機(jī)摸出一個球，記下顏色后放回攪勻，經(jīng)過大量重復(fù)試驗發(fā)現(xiàn)摸到黑球的頻率逐漸穩(wěn)定在0.3附近．
（1）估計摸到黑球的概率是 　0.3??；
（2）若袋中紅球和黑球的總數(shù)為20個，估計其中黑球的個數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)摸出的黑球的頻率在0.3附近擺動可估計摸出一球是黑球的概率為0.3，據(jù)此可得；
（2）根據(jù)概率公式可得．
解：（1）∵經(jīng)過大量重復(fù)試驗發(fā)現(xiàn)摸到黑球的頻率逐漸穩(wěn)定在0.3附近．
∴估計摸到黑球的概率為0.3；
故答案為：0.3；
（2）20×0.3＝6（個）；
答：估計其中黑球的個數(shù)6個．
【點評】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復(fù)實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢，估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．
20．為了了解某校八年級學(xué)生每天完成家庭作業(yè)所用時長，該校數(shù)學(xué)興趣小組對此展開抽樣調(diào)查．已知八年級共25個班級，每班40名學(xué)生．
（1）小明選擇對2班全體同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，小剛選擇在學(xué)校門口隨機(jī)抽取10名同學(xué)．他們的抽樣是否合理？請分別說明理由．
（2）設(shè)樣本容量為100，請設(shè)計一個合理的抽樣調(diào)查方案．
【分析】（1）如果抽取的樣本得當(dāng)，就能很好地反映總體的情況，否則抽樣調(diào)查的結(jié)果會偏離總體情況；
（2）答案不唯一，根據(jù)樣本容量為100，設(shè)計一個合理的調(diào)查方案即可．
解：（1）小明的抽樣不合理．
理由：全年級每個學(xué)生被抽到的機(jī)會不相等，樣本不具有代表性；
小剛的抽樣不合理．
理由：樣本容量太小，樣本不具有廣泛性．

（2）答案不唯一，如：數(shù)學(xué)興趣小組從25個班級各隨機(jī)抽取學(xué)號為9，19，29，39的4名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查．
【點評】本題主要考查總體、個體、樣本、樣本容量，解題的關(guān)鍵是掌握它們的定義：①總體：我們把所要考察的對象的全體叫做總體；②個體：把組成總體的每一個考察對象叫做個體；③樣本：從總體中取出的一部分個體叫做這個總體的一個樣本；④樣本容量：一個樣本包括的個體數(shù)量叫做樣本容量．
21．某校組織了關(guān)于古詩知識競賽的活動，隨機(jī)抽取了若干名學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計（成績均為整數(shù)），并將成績按從低到高分成A，B，C，D，E五個小組，繪制如圖不完整的頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖．根據(jù)圖表信息，解答下列問題：

（1）本次調(diào)查的樣本容量為 　200　，頻數(shù)分布直方圖中a的值為 　16?。?br /> （2）扇形統(tǒng)計圖中D小組所對應(yīng)的扇形圓心角為n°，求n的值；
（3）若成績在80分以上（不含80分）為優(yōu)秀，全校共有3000名學(xué)生，估計成績優(yōu)秀的學(xué)生有多少名？
【分析】（1）根據(jù)B組的頻數(shù)以及百分比，即可求得總?cè)藬?shù)，然后根據(jù)百分比的意義求得a的值；
（2）利用360°乘以對應(yīng)的百分比，即可求解；
（3）利用全校總?cè)藬?shù)乘以對應(yīng)的百分比，即可求解．
解：（1）樣本容量為40÷20%＝200，
則a＝200×8%＝16；
故答案為：200；16；
（2）樣本D的百分?jǐn)?shù)為 ，
∴n＝360×35%＝126．
（3）樣本D，E兩組的百分?jǐn)?shù)的和為1﹣25%﹣20%﹣8%＝47%，
∴3000×47%＝1410．
答：估計成績優(yōu)秀的學(xué)生有1410名．
【點評】本題考查讀頻數(shù)分布直方圖的能力和利用統(tǒng)計圖獲取信息的能力；利用統(tǒng)計圖獲取信息時，必須認(rèn)真觀察、分析、研究統(tǒng)計圖，才能作出正確的判斷和解決問題．
22．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（5，2），B（﹣1，4），C（2，0）．
（1）若A，B關(guān)于點M成中心對稱，在圖中畫出點M（描黑并標(biāo)注字母，下同）；
（2）若點A繞點N順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點B，在圖中畫出點N；
（3）已知點D是平面內(nèi)一點，若以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出點D所有可能的坐標(biāo)．

【分析】（1）根據(jù)中心對稱的定義作出點M；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)作出旋轉(zhuǎn)中心即可；
（3）根據(jù)平行四邊形的定義，畫出圖形，可得結(jié)論．
解：（1）如圖點M即為所求；
（2）如圖點N即為所求；

（3）D1 （2，6），D2（8，﹣2），D3（﹣4，2）．
【點評】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．
23．若a＞0，M＝，N＝
（1）當(dāng)a＝1時，M＝　　，N＝　??；當(dāng)a＝3時，M＝　　，N＝　??；
（2）猜想M與N的大小關(guān)系，并證明你的猜想．
【分析】（1）直接代入計算即可；
（2）利用求差法比較M與N的大小關(guān)系，根據(jù)分式的加減法運(yùn)算法則進(jìn)行計算，最后判斷其正負(fù)．
解：（1）當(dāng)a＝1時，M＝＝＝，N＝＝＝，
當(dāng)a＝3時，M＝＝＝，N＝＝＝，
故答案為：，，，；
（2）M＜N，理由是：
M﹣N＝﹣，
＝，
＝﹣，
∵a＞0，
∴（a+1）（a+2）＞0，
∴﹣＜0，
即M﹣N＜0，
∴M＜N．
【點評】本題考查了分式的加減法和分式大小比較，分式的通分必須注意整個分子和整個分母，分母是多項式時，必須先分解因式，分子是多項式時，要把分母所乘的相同式子與這個多項式相乘，而不能只同其中某一項相乘；對于大小比較問題，方法為：①求商法，②求差法，③平方法等．
24．如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，G，H分別是BD，AC的中點，順次連接各點得到四邊形EGFH．
（1）求證：四邊形EGFH是平行四邊形；
（2）若AB＝CD，求證：?EGFH是菱形．

【分析】（1）由三角形中位線定理，得到GF∥EH，GF＝EH，推出四邊形EGFH是平行四邊形；
（2）由三角形中位線定理得到FG＝FH，又四邊形EGFH是平行四邊形，推出?EGFH是菱形．
【解答】證明：（1）∵點E與點H分別為AD，AC的中點，
∴EH是△ADC的中位線，
∴EH∥CD，EH＝CD，
同理：GF∥CD，GF＝CD，
∴GF∥EH，GF＝EH，
∴．四邊形EGFH是平行四邊形；
（2）∵點F與點H分別為BC，AC的中點，
∴FH是△ABC的中位線，
∴FH＝AB，
∵FG＝CD，AB＝CD，
∴FH＝FG，
由（1）知四邊形EGFH是平行四邊形，
∴?EGFH是菱形．

【點評】本題考查平行四邊形、菱形的判定，三角形中位線定理，關(guān)鍵是掌握平行四邊形，菱形的判定方法；三角形中位線定理．
25．如圖1，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC上的點．對“中位線定理”逆向思考，可得以下3則命題：
Ⅰ．若D是AB的中點，，則E是AC的中點；
Ⅱ．若DE∥BC，，則D，E分別是AB，AC的中點；
Ⅲ．若D是AB的中點，DE∥BC，則E是AC的中點．
?
（1）從以上命題中選出一個假命題，并在圖2中畫出反例（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；
（2）從以上命題中選出一個真命題，并進(jìn)行證明．
【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理解答即可；
（2）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形中位線定理解答即可．
解：（1）選擇I，理由如下：
如圖，D是AB中點， 但E顯然不是AC的中點，

（2）真命題是Ⅱ或Ⅲ．
選擇命題Ⅲ．
證明：如圖，延長ED到點F使DF＝DE，連接BF．
∵D為AB中點，
∴AD＝BD．
在△ADE與△BDF中，
，
∴△ADE≌△BDF（SAS），
∴BF＝AE，∠F＝∠AED，
∴AC∥BF，
又∵DF∥BC，
∴四邊形BCEF為平行四邊形，
∴BF＝CE，
又∵BF＝AE，
∴CE＝AE，
即E是AC的中點．

【點評】此題考查三角形中位線定理，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形中位線定理解答．
26．如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠D．在此條件下，對它“強(qiáng)化條件”，分別得到圖1的3個命題．
?
（1）命題1的證明思路如下，在圖1中連接AC，BD，并填充證明框圖．
?
①　∠BAD＝∠CDA?。?br /> ②　△ABC≌△DCB　；
③　∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA　．
（2）命題2是真命題，請在圖2中完成證明．
（3）命題3是假命題，請畫出反例并解釋反例存在的合理性．
【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得出命題即可；
（2）連接AC，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得出AD＝BC，進(jìn)而利用平行四邊形和矩形的判定解答即可；
（3）根據(jù)矩形的判定解答即可．
解：（1）在△ABD與△DCA中，
，
∴△ABD≌△DCA（SSS），
∴∠BAD＝∠CDA；
同理可得：△ABC≌△DCB（SSS），
∴∠BAD＝∠ABC，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA；
故答案為：①∠BAD＝∠CDA；
②△ABC≌△DCB；
③∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA；
（2）證明：連接AC．
∵∠B＝∠D，∠B＝90°，
∴∠D＝90°，
又∵AB＝CD，AC＝AC，
∴Rt△ABC≌Rt△CDA（HL），
∴AD＝BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
又∵∠B＝90°，
∴?ABCD是矩形；
（3）如圖①，四邊形ABCD滿足以上條件但顯然不是矩形，
存在的合理性：
如圖②，設(shè)點C，D分別是射線BN，AM上的動點，且保持∠ADC＝∠ABC（均為銳角）．
當(dāng)C，B兩點重合時，顯然 C1D1＞AB：CD，離AB越遠(yuǎn)，CD越?。ㄚ吔?），即存在 C2D2＜AB；
因此在C1D1 和C2D2 之間，必存在CD＝AB，故反例存在．


【點評】此題考查平行四邊形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的判定、矩形的判定和全等三角形的判定和性質(zhì)解答．

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