巴蜀中學(xué)高2025屆高一（下）半期考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)在答題卡上填寫(xiě)清楚.2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)、在試題卷上作答無(wú)效．3．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回，滿(mǎn)分150分，考試用時(shí)120分鐘．一、單選題（本大題共8小題，每題5分，共40分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1. 已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則z的虛部是（    ）A. 4 B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】直接根據(jù)復(fù)數(shù)虛部的概念得到答案.【詳解】復(fù)數(shù)，則z的虛部是.故選：B2. （    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和正弦的和角公式，對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得結(jié)果.【詳解】.故選：B3. 直角梯形中，，現(xiàn)采用斜二測(cè)畫(huà)法，若平面直角坐標(biāo)系的x軸平行于上、下底邊，則直角梯形的直觀圖的面積為（    ）A. 2 B.  C. 4 D. 【答案】C【解析】【分析】由原圖與直觀圖的關(guān)系即可求解.【詳解】  如圖，由直觀圖的畫(huà)法可知直角梯形的直觀圖是梯形，且高為，所以梯形的面積為.故選：C.4. 在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是，a，b，c，，，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理可得，再結(jié)合倍角正弦公式即可求解.【詳解】由正弦定理得：.故選：C5. 在平行四邊形中，M為的中點(diǎn)，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算的幾何意義進(jìn)行分解即可.【詳解】  .故選：A.6. 為得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)的（    ）A. 橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B. 橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C. 橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D. 橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】D【解析】【分析】變換，再根據(jù)三角函數(shù)平移和伸縮法則依次判斷每個(gè)選項(xiàng)，對(duì)比得到答案.【詳解】.對(duì)選項(xiàng)A：得到的函數(shù)為，A錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：得到的函數(shù)為，B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：得到的函數(shù)為，C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：得到的函數(shù)為，D正確，故選：D7. 正方體的棱長(zhǎng)為2，P為中點(diǎn)，過(guò)A，P，三點(diǎn)的平面截正方體為兩部分，則截面圖形的面積為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】取中點(diǎn)，連接，得到截面為四邊形，再根據(jù)梯形的面積公式即可求解.【詳解】  如圖，截面為四邊形，取中點(diǎn)，連接，則，且.因?yàn)?/span>,且，所以四邊形是平行四邊形，則，，所以，且，又所以截面為等腰梯形，且上底長(zhǎng)為，下底長(zhǎng)為，腰長(zhǎng)為，所以截面的面積為.故選：C8. 已知點(diǎn)D、G為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，，，記分別為、的面積，那么（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】化簡(jiǎn)得到，，確定為靠近的四等分點(diǎn)，計(jì)算得到答案.【詳解】，故，即，故，即，故三點(diǎn)共線(xiàn)，且為靠近四等分點(diǎn)，設(shè)中點(diǎn)，則，  ，故.故選：A二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9. 在鈍角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若，，那么c的值可能為（    ）A. 1 B.  C. 2 D. 4【答案】BCD【解析】【分析】考慮為鈍角或為鈍角兩種情況，根據(jù)余弦定理得到或，得到答案.【詳解】若為鈍角，則，且，即，BC滿(mǎn)足；若為鈍角，則，且，即，D滿(mǎn)足；故選：BCD10. 設(shè)為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可能位于（    ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】AD【解析】【分析】分和兩種情況計(jì)算，再結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限；當(dāng)時(shí)，，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.故選：AD11. 正方體中，M，N分別是正方形和正方形的中心，則下列說(shuō)法正確的有（    ）A. 直線(xiàn)與直線(xiàn)是相交直線(xiàn) B. 直線(xiàn)與直線(xiàn)是異面直線(xiàn)C. 直線(xiàn)與直線(xiàn)是相交直線(xiàn) D. 直線(xiàn)與直線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于，A正確，根據(jù)異面直線(xiàn)判斷定理得到BD正確，C錯(cuò)誤，得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于，正確；對(duì)選項(xiàng)B：三點(diǎn)在平面內(nèi)，在平面外，故直線(xiàn)與直線(xiàn)是異面直線(xiàn)，正確；對(duì)選項(xiàng)C：三點(diǎn)在平面內(nèi)，在平面外，直線(xiàn)與直線(xiàn)是異面直線(xiàn)，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：在平面內(nèi)，在平面外，直線(xiàn)與直線(xiàn)是異面直線(xiàn)，正確；故選：ABD12. 關(guān)于函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有（    ）A. 函數(shù)的最小正周期有可能為B. 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)一定不存在對(duì)稱(chēng)軸C. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D. 的最大值是【答案】AC【解析】【分析】先化簡(jiǎn)為，根據(jù)題意可得.對(duì)于A，B，取，可判斷正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，結(jié)合可得，從而可判斷C；對(duì)于D，求解，即可判斷D.【詳解】由題知：，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，所以對(duì)于A，B，當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足題意，最小正周期為是其一條對(duì)稱(chēng)軸，故正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由于，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D，當(dāng) 當(dāng) 綜上：或故D錯(cuò)誤.故選：AC三、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分）13. 已知點(diǎn)，，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為________．【答案】【解析】【分析】確定，再根據(jù)公式計(jì)算投影向量即可.【詳解】，向量在向量上的投影向量坐標(biāo)為.故答案為：14. 已知復(fù)數(shù)，若為實(shí)數(shù)，則________．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的加法和除法運(yùn)算求得，進(jìn)而得到，求得，即可求得答案.【詳解】，所以，得，所以 .故答案為：215. 已知銳角滿(mǎn)足，則________．【答案】##【解析】【分析】由同角基本關(guān)系求得，，而，利用差角正弦公式即可求解.【詳解】由得，即，又，且為銳角，所以，因?yàn)?/span>為銳角，所以，則，所以.故答案為：.16. 某同學(xué)在查閱資料時(shí)，發(fā)現(xiàn)一個(gè)結(jié)論：已知O是內(nèi)的一點(diǎn)，且存在，使得，則．請(qǐng)以此結(jié)論回答：已知在中，，，O是的外心，且，則________．【答案】##【解析】【分析】由結(jié)論可得，從而可得，再根據(jù)可得，從而有，求解即可.【詳解】  如圖，因?yàn)?/span>O是的外心，所以，由結(jié)論可得，即 ，可得，即.因?yàn)?/span>，所以，所以，即，即，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：這道題的關(guān)鍵是能由結(jié)論得到，從而得到，再進(jìn)行向量分解求解.四、解答題（共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17. 如圖，正三棱柱內(nèi)接于圓柱，圓柱底面半徑為，圓柱高為4．若D，E分別為，中點(diǎn)．  （1）求證：D、E、B、C四點(diǎn)共面；（2）若直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P在直線(xiàn)上；（3）若從圓柱中把該正三棱柱挖掉，求剩余幾何體的表面積.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；    （2）證明見(jiàn)解析；    （3）.【解析】【分析】（1）要證D、E、B、C四點(diǎn)共面，只需證明，利用中位線(xiàn)定理及平行的傳遞性即可證明；（2）由平面，可證平面，同理可證平面 ，再利用平面公理3即可證明；（3）令，由正弦定理求得，分別求出所以圓柱的側(cè)面積，圓柱的底面積，正三棱柱的側(cè)面積，正三棱柱的底面積，根據(jù)剩余幾何體的表面積即可求解.【小問(wèn)1詳解】由于D，E分別為，中點(diǎn)，所以，又，所以，所以D、E、B、C四點(diǎn)共面；【小問(wèn)2詳解】由平面，即平面，同理：平面，即平面 ，又平面平面，所以；【小問(wèn)3詳解】令，則，所以圓柱的側(cè)面積為，圓柱的底面積為，正三棱柱的側(cè)面積為，正三棱柱的底面積為，所以剩余幾何體的表面積.18. 平面內(nèi)給定三個(gè)向量，，，且．（1）求實(shí)數(shù)n關(guān)于m的表達(dá)式；（2）當(dāng)的值最小時(shí)，求向量和的夾角的余弦值．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）確定，，根據(jù)平行得到，化簡(jiǎn)得到答案.（2）計(jì)算，確定，，再根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算得到答案.【小問(wèn)1詳解】，，，，，，則，即.【小問(wèn)2詳解】，當(dāng)時(shí)，最小，故，此時(shí)，，.19. 已知函數(shù)．（1）設(shè)，函數(shù)是偶函數(shù)，求的值；（2）若在區(qū)間上恰有三條對(duì)稱(chēng)軸，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）或    （2）【解析】【分析】（1）化簡(jiǎn)得到，根據(jù)偶函數(shù)得到，根據(jù)范圍得到答案.（2）確定，根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸得到，解得答案.【小問(wèn)1詳解】，故是偶函數(shù)，那么，即，，，或時(shí)滿(mǎn)足條件，故或.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，要讓函數(shù)恰有3條對(duì)稱(chēng)軸，那么, 解得 ，即20. 如圖，正四棱柱中，，，點(diǎn)P是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)M在棱上.  （1）當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時(shí)，的值最小？并求出這個(gè)最小值；（2）當(dāng)最小時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）在線(xiàn)段的四分點(diǎn)處，靠近點(diǎn)；；    （2）【解析】【分析】（1）把側(cè)面展開(kāi)，當(dāng)在同一條直線(xiàn)上時(shí)，的值最小即可求得最小值，從而確定點(diǎn)的位置；（2）利用等體積法求點(diǎn)面距離即可.【小問(wèn)1詳解】把側(cè)面展開(kāi)，當(dāng)在同一條直線(xiàn)上時(shí)，的值最小，最小值為，此時(shí)，，即，所以在線(xiàn)段的四分點(diǎn)處，靠近點(diǎn) ；【小問(wèn)2詳解】由正棱柱的性質(zhì)可得: ，所以，則.，又，點(diǎn)D到平面的距離為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由得，，即，解得: .21. 在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且.（1）求角B的大??；（2）若是銳角三角形，求的面積的取值范圍.【答案】（1）；    （2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再結(jié)合三角恒等變換可得，再結(jié)合角的范圍即可求解；（2）利用三角形面積公式可得，再結(jié)合正弦定理邊化角，進(jìn)而利用三角恒等變換化為，結(jié)合角的范圍可得，從而可解.【小問(wèn)1詳解】由正弦定理得， 可化為：，即又由于，所以可得即 ，由于，所以，化簡(jiǎn)，因?yàn)?/span>，則，所以，所以.【小問(wèn)2詳解】由正弦定理知，所以，那么
 ，又由 ，解得 ，所以 ，即，故的面積的取值范圍為.22. 2022年北京冬奧會(huì)期間，小明對(duì)火炬（圖22-1）產(chǎn)生了濃厚的興趣，于是準(zhǔn)備動(dòng)手制作一個(gè)簡(jiǎn)易火炬（圖22-2）.通過(guò)思考，小明初步設(shè)計(jì)了一個(gè)平面圖，如圖22-3所示，其中為直角梯形，且，，，，，曲線(xiàn)是以C為圓心的四分之一圓弧，為直角三角形，，將平面圖形以所在直線(xiàn)為軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體即為小明設(shè)計(jì)的簡(jiǎn)易火炬.      （1）求該簡(jiǎn)易火炬的體積；（2）小明準(zhǔn)備將矩形（如圖22-3所示，該矩形內(nèi)接于圖形，M在弧上，N在線(xiàn)段上，與重合）旋轉(zhuǎn)所形成的幾何體都用來(lái)安放燃料，設(shè)，①請(qǐng)用表示燃料的體積V；②若火炬燃燒時(shí)間t和燃料體積V滿(mǎn)足關(guān)系，請(qǐng)計(jì)算這個(gè)簡(jiǎn)易火炬燃燒的最長(zhǎng)時(shí)間.【答案】（1）；    （2）；.【解析】【分析】（1）由題意可知該簡(jiǎn)易火炬由半球，圓臺(tái)，圓錐三部分組成，分別求出半球，圓臺(tái)，圓錐的體積再相加即可；（2）①求得，在梯形中知，從而可得，進(jìn)而可求，即可求得燃料的體積V；②先求得，通過(guò)三角恒等變換后可得，換元后利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性和基本不等式即可求得最大值.小問(wèn)1詳解】該簡(jiǎn)易火炬由半球，圓臺(tái)，圓錐三部分組成，又，，，所以該簡(jiǎn)易火炬的體積；【小問(wèn)2詳解】①由圖可知：，在梯形中，由，易知，故，則，所以；②由上問(wèn)可知：即，令，則，上式即為 ，又令， 則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，下面證明上單調(diào)遞減：任取，且，則，所以在上單調(diào)遞減.所以，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)，等號(hào)成立，滿(mǎn)足題意.該簡(jiǎn)易火炬燃燒的最長(zhǎng)時(shí)間為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在對(duì)化簡(jiǎn)的關(guān)鍵是借助三角恒等變換化為，換元后借助對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性和基本不等式求得最大值.
 
 

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