2023年浙江省杭州市蕭山區(qū)中考數(shù)學(xué)調(diào)研試卷（4月份）一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  的相反數(shù)是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列運算一定正確的是(    )A.  B.
C.  D. 3.  費爾茲獎是國際上享有崇高聲譽的一個數(shù)學(xué)獎項，每四年評選一次，主要授予年輕的數(shù)學(xué)家．下面的數(shù)據(jù)是部分獲獎?wù)攉@獎時的年齡單位：歲：，，，，，，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是(    )A. ， B. ， C. ， D. ，4.  數(shù)學(xué)是研究化學(xué)的重要工具，數(shù)學(xué)知識廣泛應(yīng)用于化學(xué)鄰域，比如在學(xué)習(xí)化學(xué)的醇類化學(xué)式中，甲醇化學(xué)式為，乙醇化學(xué)式為，丙醇化學(xué)式為，設(shè)碳原子的數(shù)目為為正整數(shù)，則醇類的化學(xué)式可以用下列哪個式子來表示(    )A.  B.  C.  D. 5.  如圖，直線，直線分別交直線，于點，，點在直線上，，若，則的度數(shù)是(    )
 
 
 A.  B.  C.  D. 6.  若，則下列不等式一定成立的是(    )A.  B.  C.  D. 7.  如圖，已知是的直徑，弦，垂足為，且，，則的半徑長為(    )A.
B.
C.
D. 8.  九章算術(shù)中記載“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，余三，問人數(shù)、羊價各幾何？”其大意是：今有人合伙買羊，若每人出錢，還差錢；若每人出錢，多余錢，問合伙人數(shù)、羊價各是多少？若設(shè)人數(shù)為人，羊價錢，則下面所列方程組正確的是(    )A.  B.  C.  D. 9.  四個全等的直角三角形按圖示方式圍成正方形，過各較長直角邊的中點作垂線，圍成面積為的小正方形已知為較長直角邊，若，則正方形的面積為(    )A.
B.
C.
D. 10.  已知拋物線與軸最多有一個交點，現(xiàn)有以下三個結(jié)論：
該拋物線的對稱軸在軸左側(cè)；
關(guān)于的方程無實數(shù)根；
的最小值為．
其中，正確結(jié)論為(    )A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）11.  分解因式：______．12.  在一個盒子中裝有若干乒乓球，小明為了探究盒子中所裝乒乓球的數(shù)量，他先從盒子中取出一些乒乓球，記錄了所取乒乓球的數(shù)量為個，并在這些乒乓球上做了記號“”，然后將它們放回盒子中，充分搖勻；接下來，他又從這個盒子中再次取出一些乒乓球，記錄了所取乒乓球的數(shù)量為個，其中帶有記號“”的乒乓球有個，小明根據(jù)實驗所得的數(shù)據(jù)，，，可估計出盒子中乒乓球的數(shù)量有______ 個13.  將一個正八邊形與一個正六邊形如圖放置，頂點、、、四點共線，為公共頂點則 ______ ．
14.  已知反比例函數(shù)的表達式為，和是反比例函數(shù)圖象上兩點，若時，，則的取值范圍是______ ．15.  如圖，以邊長為的等邊頂點為圓心、一定的長為半徑畫弧，恰好與邊相切，分別交，于，，則圖中陰影部分的面積是______ ．
 16.  如圖所示，長寬比為：的矩形，將矩形沿著折疊，使點落到寬的中點，點落到點處，則 ______ ．
 三、解答題（本大題共7小題，共66.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.  本小題分
計算：；
解不等式：．18.  本小題分
第屆亞運會將于年月日至月日在杭州舉行，杭州亞運會吉祥物是“宸宸”“琮琮”和“蓮蓮”將三張正面分別印有以上個吉祥物圖案的卡片卡片的形狀、大小、質(zhì)地都相同背面朝上、洗勻．
若從中任意抽取張，抽得卡片上的圖案恰好為“蓮蓮”的概率是        ；
若先從中任意抽取張，記錄后放回，洗勻，再從中任意抽取張，求兩次抽取的卡片圖案不同的概率請用樹狀圖或列表的方法求解
 19.  本小題分
如圖所示，延長平行四邊形一邊至點，連結(jié)交于點，若．
若，求線段的長；
若的面積為，求平行四邊形的面積．
20.  本小題分
已知：一次函數(shù)的圖象與某反比例函數(shù)的圖象的一個公共點的橫坐標(biāo)為．
求該反比例函數(shù)的解析式；
將一次函數(shù)的圖象向上平移個單位，求平移后的圖象與反比例函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)．21.  本小題分
如圖所示正方形與等邊，連結(jié)，過點作的垂線段，連結(jié)，．
求的度數(shù)；
證明：．
22.  本小題分
在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線．
當(dāng)時，求拋物線與軸交點坐標(biāo)；
求拋物線的對稱軸，以及頂點縱坐標(biāo)的最大值；
拋物線上兩點和，當(dāng)，時，若存在，直接寫出的取值范圍．23.  本小題分
已知點是以為直徑的圓上一點，連結(jié)，在上截取，連結(jié)并延長交圓于點，連結(jié)，設(shè)．
如圖，若時，求度數(shù)；
如圖，過點作，證明：；
如圖，若，連結(jié)并延長，交的延長線于點，設(shè)的面積為，設(shè)面積為，用含的代數(shù)式表示：．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：的相反數(shù)是．
故選：．
只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，由此即可得到答案．
本題考查相反數(shù)，關(guān)鍵是掌握相反數(shù)的定義．
 2.【答案】 【解析】【分析】
本題考查整式的運算．分別利用合并同類項，同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方與積的乘方，平方差公式解題即可．
【解答】
解：，故A錯誤；
B.，故B錯誤；
C.，故C錯誤；
D.，故D正確．
故選D．  3.【答案】 【解析】【分析】
根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義即可得正確選項．
【解答】
解：出現(xiàn)的次數(shù)最多，
這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是，
將這組數(shù)據(jù)按從小到大排列，排在中間的兩個數(shù)分別為，，故這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為．
故選：．
【點評】
本題主要考查眾數(shù)和中位數(shù)，掌握求眾數(shù)和中位數(shù)的方法是解題關(guān)鍵．  4.【答案】 【解析】解：設(shè)碳原子的數(shù)目為為正整數(shù)時，氫原子的數(shù)目為，
觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：，，，，
．
碳原子的數(shù)目為為正整數(shù)時，它的化學(xué)式為．
故選：．
設(shè)碳原子的數(shù)目為為正整數(shù)時，氫原子的數(shù)目為，列出部分的值，根據(jù)數(shù)值的變化找出變化規(guī)律“”，依次規(guī)律即可解決問題．
本題考查了規(guī)律型中的數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是找出變化規(guī)律“”本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)碳原子的變化找出氫原子的變化規(guī)律是關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】【分析】
首先利用平行線的性質(zhì)得到，然后利用得到，最后利用角的和差關(guān)系求解即可．
【解答】
解：如圖所示，







直線，
，
，
，
又，
，
．
故選：．
【點評】
本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角的和差等知識，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)求出的度數(shù)．  6.【答案】 【解析】解：，
，
．
，
選項不成立；
，
，
選項不成立；
，
，
選項一定成立；
，
，
，
選項不成立．
故選：．
利用已知條件得到，再利用不等式的性質(zhì)對每個選項進行逐一判斷即可得出結(jié)論．
本題主要考查了不等式的性質(zhì)，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 7.【答案】 【解析】解：連接，如圖所示：

是的直徑，弦，，
，
，
，
為等腰直角三角形，
，
即的半徑為，
故選：．
連接，由圓周角定理得出，根據(jù)垂徑定理可得，證出為等腰直角三角形，利用特殊角的三角函數(shù)可得答案．
此題主要考查了圓周角定理、垂徑定理、以及三角函數(shù)的應(yīng)用；關(guān)鍵是掌握圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
 8.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意，可得：．
故選：．
首先根據(jù)若每人出錢，還差錢，可得出，再根據(jù)若每人出錢，多余錢，可得出，然后聯(lián)立，即可列出方程組．
本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)等量關(guān)系準(zhǔn)確列出方程組是解本題的關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：設(shè)則正方形的面積，
由題意可知，
，
，
，
正方形的面積為，
，
正方形的面積，
故選：．
設(shè)則正方形的面積，由題意可知，由此即可解決問題．
本題考查正方形的性質(zhì)、勾股定理、線段的垂直平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．
 10.【答案】 【解析】解：，即、同號，
該拋物線的對稱軸在軸左側(cè)；
故正確；
，
拋物線開口向上，
拋物線與軸最多有一個交點，
拋物線的頂點在軸上或在軸的上面，
拋物線與直線無交點，
關(guān)于的方程無實數(shù)根；
故正確；
當(dāng)時，，
，
即，
而，
，
故錯誤；
故選：．
根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出答案．
本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式進行二次分解，注意分解要徹底．
先提取公因式，再根據(jù)平方差公式進行二次分解即可求得答案．
【解答】
解：．
故答案為．  12.【答案】 【解析】解：所取乒乓球的數(shù)量為個，其中帶有記號“”的乒乓球有個，
帶有記號“”的乒乓球的頻率為，
乒乓球的總個數(shù)為個，
故答案為：．
首先確定樣本中乒乓球的頻率，然后用樣本估計總體即可．
本題考查了用樣本估計總體的知識，解題的關(guān)鍵是確定樣本中乒乓球的頻率．
 13.【答案】 【解析】解：由多邊形的內(nèi)角和可得，
，
，
，
，
由三角形的內(nèi)角和得：
，


．
故答案為：．
根據(jù)多邊形的內(nèi)角和，分別得出，，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和算出，得出即可．
本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，掌握定理是解題的關(guān)鍵．
 14.【答案】 【解析】解：反比例函數(shù)的圖象上兩點，，當(dāng)時，有，
，
解得，
故答案為：．
根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，可以得到關(guān)于的不等式，從而可以求得的取值范圍．
本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)解答．
 15.【答案】 【解析】解：由題意，以為圓心、一定的長為半徑畫弧，恰好與邊相切，
設(shè)切點為，連接，則，
等邊中，，，
．
在中，
，
，
故答案為：．
作，由勾股定理求出，然后根據(jù)得出答案．
本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，求扇形面積，理解切線的性質(zhì)，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為三角形的面積扇形的面積是解題的關(guān)鍵．
 16.【答案】 【解析】解：過點作于點，設(shè)與交于點，如圖所示：
則，
長寬比為：的矩形，
設(shè)，則，
是的中點，
，
根據(jù)折疊的性質(zhì)，可知，
設(shè)，則，
在矩形中，，
根據(jù)勾股定理，得，
即，
解得，
，
，
根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，
，
，
，
，
∽，
：：：，
：：：，
，，
根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
四邊形是矩形，
，，
，
，
故答案為：．
過點作于點，設(shè)與交于點，設(shè)，則，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得，根據(jù)勾股定理列方程，求出的長，可得的長，再證∽，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得：：：，可得的長和的長，再證明≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得的長，進一步可得的長，根據(jù)，可知四邊形是矩形，可得，進一步求出的長，根據(jù)求解即可．
本題考查了翻折變換折疊問題，矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 17.【答案】解：原式
；
，
，
，
，
，
則． 【解析】代入三角函數(shù)值、去絕對值符號、計算零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪，再計算加減即可；
根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為可得．
本題主要考查實數(shù)的運算和解一元一次不等式的基本能力，嚴格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個負數(shù)不等號方向要改變．
 18.【答案】 【解析】解：從中任意抽取張，抽得卡片上的圖案恰好為“蓮蓮”的概率是，
故答案為：；
把吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“蓮蓮”三張卡片分別記為、、，
畫樹狀圖如圖：

共有種等可能的結(jié)果，兩次抽取的卡片圖案不相同的結(jié)果有種，
兩次抽取的卡片圖案相同的概率為．
直接由概率公式求解即可；
畫樹狀圖，共有種等可能的結(jié)果，兩次抽取的卡片圖案不相同的結(jié)果有種，再由概率公式求解即可．
此題考查了列表法與樹狀圖法；正確畫出樹狀圖是解題的關(guān)鍵，用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
 19.【答案】解：四邊形為平行四邊形，
，，
∽，
，
而，
，
而，
；
如圖，過作于，角于，
，
于，
根據(jù)，
的面積為，
，
，
平行四邊形的面積． 【解析】利用平行四邊形的性質(zhì)可以證明∽，然后利用相似三角形的性質(zhì)和已知條件即可求解；
利用相似三角形的性質(zhì)和三角形的面積公式可以求出，然后利用平行四邊形的面積即可求解．
此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，同時也利用了三角形的面積公式和平行四邊形的性質(zhì)及面積公式，有一定的綜合性，對于學(xué)生的要求比較高．
 20.【答案】解：把代入，得，
設(shè)反比例函數(shù)的解析式為，
把，代入得，，
該反比例函數(shù)的解析式為；

平移后的圖象對應(yīng)的解析式為，
解方程組，得或．
平移后的圖象與反比例函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)為和． 【解析】先求出兩函數(shù)的交點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)的解析式；
平移后的圖象對應(yīng)的解析式為，聯(lián)立兩函數(shù)解析式，進而求得交點坐標(biāo)．
考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，一次函數(shù)圖象與幾何變換，解題的關(guān)鍵是待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，掌握各函數(shù)的圖象和性質(zhì)．
 21.【答案】解：四邊形是正方形，是等邊三角形，
，，，，
，
，
；
證明：，，
，
，
，
，
，
又，
∽，
，
． 【解析】由正方形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可求，，，即可求解；
通過證明∽，可得，即可求解．
本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形的相似是解題的關(guān)鍵．
 22.【答案】解：時，，
拋物線與軸的交點坐標(biāo)為．
，
拋物線經(jīng)過，，
拋物線的對稱軸為直線，
將代入得，
拋物線頂點縱坐標(biāo)為，其最大值為．
時，點與點關(guān)于對稱軸對稱，點在對稱軸左側(cè)，點在對稱軸右側(cè)，
，即
點關(guān)于對稱軸的對稱點坐標(biāo)為，
，，
，
，
，
解得． 【解析】將代入函數(shù)解析式求解．
由拋物線的的解析式可得拋物線經(jīng)過，，根據(jù)拋物線的對稱性可得拋物線的對稱軸，進而求解．
由可得點，關(guān)于對稱軸對稱，由點坐標(biāo)可得點關(guān)于對稱軸的對稱點的坐標(biāo)，進而求解．
本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系．
 23.【答案】解：如圖，

連接，作于，
，
，
，
是的直徑，
，
，
，
，
；
證明：如圖，

連接，
，，
∽，
，，
，，
，，，
，
，
，
，
；
解：如圖，

作的垂直平分線，交于，
，
，
，
由知：，
，
，
，
不妨設(shè)，，，
，
，
在中，
，
，
是直徑，
，
，
∽，
，
． 【解析】連接，作于，由得，由是的直徑，得，結(jié)合，進一步得出結(jié)果；
連接，可證得∽得出，可證得，進一步得出結(jié)果；
作的垂直平分線，交于，可證得，由得，得出，從而，從而，不妨設(shè)，，，從而，可得，在中，，從而得出，可證得∽，從而得出，進而得出結(jié)果．
本題考查了圓周角定理及其推論，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義等知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造二倍角．
 

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