2023屆四川省成都市高三三診數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．設(shè)集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，將集合化簡，然后結(jié)合并集的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，且，則，故選：C2．命題“”的否定是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，由全稱命題的否定是特稱命題即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，“”的否定是，故選：B3．已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，且與雙曲線具有相同的漸近線，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先利用共漸近線方程的設(shè)法設(shè)出雙曲線的方程，再代入點(diǎn)，即可求解.【詳解】由題意設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，代入點(diǎn)，得，得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：A4．如圖是某三棱錐的三視圖，已知網(wǎng)格紙的小正方形邊長是1，則這個(gè)三棱錐中最長棱的長為（    ）A．5 B． C． D．7【答案】C【分析】根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，求出棱長，即可判斷.【詳解】由三視圖可得幾何體的直觀圖如下所示：其中，，，且平面，，所以，，，所以三棱錐中最長棱為.故選：C5．函數(shù)的圖象大致為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域，單調(diào)性以及特殊值，結(jié)合選項(xiàng)得出答案．【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，排除選項(xiàng)D，又，所以排除選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，且，令，解得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，排除選項(xiàng)B，故選：A6．一次數(shù)學(xué)考試后，某班級平均分為110分，方差為．現(xiàn)發(fā)現(xiàn)有兩名同學(xué)的成績計(jì)算有誤，甲同學(xué)成績被誤判為113分，實(shí)際得分為118分；乙同學(xué)成績誤判為120分，實(shí)際得分為115分．更正后重新計(jì)算，得到方差為，則與的大小關(guān)系為（    ）A． B． C． D．不能確定【答案】B【分析】根據(jù)已知平均分不變，根據(jù)方差公式計(jì)算更正前后的方差，比較大小可得結(jié)論．【詳解】設(shè)班級人數(shù)為，因?yàn)?/span>，所以更正前后平均分不變，且，所以.故選：B7．已知是兩個(gè)非零向量，設(shè)．給出定義：經(jīng)過的起點(diǎn)和終點(diǎn)，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，則稱向量，為在上的投影向量．已知，則在上的投影向量為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求向量的單位向量，再利用投影向量的求法求解即可.【詳解】設(shè)與的夾角為，由，可得與方向相同的單位向量為，所以在上的投影向量為：，故選：D.8．世界大學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)（簡稱大運(yùn)會(huì)）由國際大學(xué)生體育聯(lián)合會(huì)主辦，每兩年舉辦一屆，是規(guī)模僅次于奧運(yùn)會(huì)的世界綜合性運(yùn)動(dòng)會(huì)，第31屆大運(yùn)會(huì)將于2023年7月28日至8月8日在成都召開．為辦好本屆大運(yùn)會(huì)，組委會(huì)精心招募了一批志愿者，現(xiàn)準(zhǔn)備將甲、乙等6名志愿者安排進(jìn)“東安湖體育公園”，“鳳凰山體育公園”，“四川省體育館”工作，每個(gè)地方安排兩人且每人只能在一個(gè)場館工作．若每位志愿者被分到各個(gè)場館的可能性相同，則甲，乙兩人被安排在同一個(gè)場館的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先將特殊元素進(jìn)行選擇，然后再排其它元素得到甲，乙兩人被安排在同一個(gè)場館的種數(shù)，根據(jù)先分組再排列的原則可以計(jì)算出每個(gè)地方安排兩人且每人只能在一個(gè)場館工作的種數(shù)，即可求得所要求的概率.【詳解】將6個(gè)志愿者分成三組，每組兩個(gè)人，然后安排到三個(gè)地方工作，共有，甲，乙兩人被安排在同一個(gè)場館工作，其它隨機(jī)安排，共有，則甲，乙兩人被安排在同一個(gè)場館的概率為，故選：C.9．設(shè)為正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由等差數(shù)列的求和公式和等差中項(xiàng)公式，求得且，化簡，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，可得，可得，又由且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：D.10．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的最小值為．若將函數(shù)的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，然后再將得到的圖像向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖像，則不等式的解集為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由條件可得，再由圖像變化可得解析式，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，，當(dāng)時(shí)，則一個(gè)為最大值，一個(gè)為最小值，且的最小值為，即，所以，即，將函數(shù)的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，則，然后再將得到的圖像向右平移個(gè)單位長度，則，所以，即，解得，即解集為，故選：D11．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，直線與橢圓相交于兩點(diǎn)．有下列結(jié)論：①四邊形為平行四邊形；②若軸，垂足為，則直線的斜率為；③若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則四邊形的面積為；④若，則橢圓的離心率可以是．其中錯(cuò)誤結(jié)論的個(gè)數(shù)是（    ）A．1 B．2 C．3 D．0【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的對稱性，得到為的中點(diǎn)，也是的中點(diǎn)，可判定①正確；設(shè)，則，不妨設(shè)，聯(lián)立方程組，求得的坐標(biāo)，結(jié)合斜率公式，可判定②正確；由，得到，結(jié)合勾股定理和橢圓的定義，得到，求得，可判定③錯(cuò)誤；求得， ，得到，求得，即可求解.【詳解】解：對于①中，如圖（1）所示，根據(jù)橢圓的對稱性，可得為的中點(diǎn)，且也是的中點(diǎn)，所以與互相平分，四邊形為平行四邊形，所以①正確；對于②中，如圖（2）所示，設(shè)，則，不妨設(shè)，聯(lián)立方程組，可得，則，可得，即所以直線的斜率為，所以②正確；對于③中，如圖（3）所示，不妨設(shè)點(diǎn)位于第一象限，因?yàn)?/span>，所以三點(diǎn)共圓，所以，可得，又由橢圓的定義得，所以，可得，所以的面積為，所以的面積為，所以③錯(cuò)誤；對于④中，設(shè)，可得，可得，又由，可得，同理可得，要使得，則滿足，即，因?yàn)?/span>，所以，解得，又因?yàn)?/span>，所以，所以離心率可能為，所以④正確.故選：A.12．已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，其中，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)解析式得，由，得，設(shè)，則，從而可得，求解導(dǎo)函數(shù)，分類討論與兩種情況下函數(shù)的單調(diào)性，從而可得答案.【詳解】定義域?yàn)?/span>，顯然，若是零點(diǎn)，則，，所以也是零點(diǎn)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)，則，所以，，當(dāng)時(shí)，結(jié)合定義域和判別式易知恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，不符合題意；當(dāng)時(shí)，設(shè)的兩根分別為，易知，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)，，所以由零點(diǎn)存在定理易知有三個(gè)零點(diǎn)，滿足題意.綜上，的取值范圍是故選：B【點(diǎn)睛】求解本題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)解析式得若是零點(diǎn)，也是零點(diǎn)，從而得，所以求的取值范圍即求的取值范圍，然后求解導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分類討論函數(shù)的單調(diào)性即可. 二、填空題13．已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)（為虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)的值為_______．【答案】/【分析】根據(jù)題意，由復(fù)數(shù)的運(yùn)算，結(jié)合純虛數(shù)的定義即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，所以.故答案為：.14．在等比數(shù)列中，若，則的值為_______．【答案】81【分析】根據(jù)題意，由條件可求得，從而得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，且，則，所以，則，故答案為:15．如圖，為圓柱下底面圓的直徑，是下底面圓周上一點(diǎn)，已知，圓柱的高為5．若點(diǎn)在圓柱表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足，則點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為_______．【答案】10【分析】先推出平面，設(shè)過的母線與上底面的交點(diǎn)為，過的母線與上底面的交點(diǎn)為，連，推出平面，從而可得點(diǎn)的軌跡是矩形，計(jì)算這個(gè)矩形的面積即可得解.【詳解】因?yàn)?/span>是圓柱下底面圓的直徑，所以，又，，平面，所以平面，設(shè)過的母線與上底面的交點(diǎn)為，過的母線與上底面的交點(diǎn)為，連，因?yàn)?/span>平面，平面，所以，因?yàn)?/span>，平面，所以平面，所以點(diǎn)在平面內(nèi)，又點(diǎn)在圓柱的表面，所以點(diǎn)的軌跡是矩形，依題意得，，，所以，所以矩形的面積為.故點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為.故答案為：.16．在平面直角坐標(biāo)系中，射線與直線，圓分別相交于兩點(diǎn)，若線段上存在點(diǎn)（不含端點(diǎn)），使得對于圓上任意一點(diǎn)都滿足，則的最大值為_______．【答案】/【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為，得到，求得，得到，代入圓的方程，得到，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)?/span>，根據(jù)阿氏圓的性質(zhì)和相似，可得,則，整理得，可得，即，所以，代入圓的方程，可得，所以，設(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用阿氏圓模型得到，轉(zhuǎn)化為相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)值的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而得到關(guān)于參數(shù)的函數(shù). 三、解答題17．某旅游公司針對旅游復(fù)蘇設(shè)計(jì)了一款文創(chuàng)產(chǎn)品來提高收益．該公司統(tǒng)計(jì)了今年以來這款文創(chuàng)產(chǎn)品定價(jià)（單位：元）與銷量（單位：萬件）的數(shù)據(jù)如下表所示：產(chǎn)品定價(jià)（單位：元）99.51010.511銷量（單位：萬件）1110865(1)依據(jù)表中給出的數(shù)據(jù)，判斷是否可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請計(jì)算相關(guān)系數(shù)并加以說明（計(jì)算結(jié)果精確到0.01）；(2)建立關(guān)于的回歸方程，預(yù)測當(dāng)產(chǎn)品定價(jià)為8.5元時(shí)，銷量可達(dá)到多少萬件．參考公式：．參考數(shù)據(jù)：．【答案】(1)，說明與的線性相關(guān)性很強(qiáng)，可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系(2)12.8萬件 【分析】（1）先計(jì)算出、的平均值，再結(jié)合相關(guān)性系數(shù)的參考公式計(jì)算即可，根據(jù)數(shù)值得到相關(guān)性強(qiáng)弱，（2）根據(jù)公式，計(jì)算出關(guān)于的回歸方程，將代入回歸方程即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由題條件得，．，，．與的相關(guān)系數(shù)近似為，說明與的線性相關(guān)性很強(qiáng)，從而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系．（2），關(guān)于的線性回歸方程為．當(dāng)時(shí)，．∴當(dāng)產(chǎn)品定價(jià)為8.5元時(shí)，預(yù)測銷量可達(dá)到12.8萬件．18．如圖，在多面體中，已知是正方形，，平面分別是的中點(diǎn)，且．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)題意，由面面平行的判定定理可得平面平面，再由其性質(zhì)定理即可得到證明；（2）根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸，軸，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得到結(jié)果.【詳解】（1）如圖，設(shè)是的中點(diǎn)，連接．為的中點(diǎn)，．又平面平面，平面．同理可得，平面．平面，∴平面平面．又平面，平面．（2）平面平面，．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為．由得令，得，設(shè)與平面所成角為，則．∴直線與平面所成角的正弦值為19．在中，角的對邊分別為，且．(1)求角的大??；(2)若是邊上一點(diǎn)，且，求．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理即兩角和的正弦公式即可；（2）利用余弦定理結(jié)合已知條件即可解決問題.【詳解】（1），由正弦定理有：，               ，．               ．               又．．又．（2）在中，由余弦定理得：．在中，由余弦定理得：．．即，整理得．           在中，由余弦定理得:．則．．，即．               20．已知斜率為的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)．(1)求線段中點(diǎn)縱坐標(biāo)的值；(2)已知點(diǎn)，直線分別與拋物線相交于兩點(diǎn)（異于）．求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)證明見解析，定點(diǎn)的坐標(biāo)為 【分析】（1）設(shè)，其中，利用點(diǎn)差法化簡求出線段中點(diǎn)縱坐標(biāo)的值；（2）設(shè)，由直線過點(diǎn)，化簡可得，同理可得，代入直線化簡，可得定點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）設(shè)，其中，由，得，化簡得，，即，線段中點(diǎn)縱坐標(biāo)的值為；（2）證明：設(shè)，，直線的方程為，化簡可得，在直線上，解得， 同理，可得，，，又直線的方程為，即，直線恒過定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查定點(diǎn)定值問題，考查點(diǎn)差法的應(yīng)用，關(guān)于定點(diǎn)定值問題的思路，一般有以下兩種：1.先猜再證，通過特殊位置或者特殊點(diǎn)得出要求的定點(diǎn)或者定值，再用一般方法證明，對任意符合條件的直線都成立；2.邊猜邊做，直接聯(lián)立直線與曲線方程，寫出韋達(dá)定理，將已知條件轉(zhuǎn)化為等式，找出直線所過的定點(diǎn)或者所求的定值．21．已知函數(shù)，其中．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若是函數(shù)的極小值點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)得，即可得到切線方程；（2）根據(jù)題意，設(shè)，分與討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合是函數(shù)的極小值點(diǎn)，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)．．．                   ∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（2）由題知，不妨設(shè)．．               （i）當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)．在上恒成立．在上單調(diào)遞增．                   又，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．           ，．∴當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增．是函數(shù)的極小值點(diǎn)．                   （ii）當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)．，使得，且．在上單調(diào)遞減．                 ∴當(dāng)時(shí)，．∴當(dāng)時(shí)，．在上單調(diào)遞減．             不是函數(shù)的極小值點(diǎn)．綜上所述，當(dāng)是函數(shù)的極小值點(diǎn)時(shí)，的取值范圍為．22．在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．(1)求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)若是曲線上一點(diǎn)，是直線上一點(diǎn)，求的最小值．【答案】(1)直線的普通方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程為(2) 【分析】（1）根據(jù)題意，由普通方程與參數(shù)方程以及極坐標(biāo)方程的互化，代入計(jì)算即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合輔助角公式即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由直線的參數(shù)方程，得直線的普通方程為．將代入曲線的極坐標(biāo)方程，化簡得曲線的直角坐標(biāo)方程為．（2）由（1），設(shè)點(diǎn)，由題知的最小值為點(diǎn)到直線的距離的最小值．又點(diǎn)到直線的距離，其中．        當(dāng)時(shí)，的最小值為．的最小值為．23．已知函數(shù)，且不等式的解集為．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若正實(shí)數(shù)滿足，證明：．【答案】(1)，(2)證明見解析 【分析】（1）根據(jù)題意，可得，然后列出方程求解，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，結(jié)合基本不等式代入計(jì)算即可得到證明.【詳解】（1），且，，解得．．            ．（i）當(dāng)時(shí)，由，解得（不合題意，舍去）；（ii）當(dāng)時(shí)，由，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意．綜上所述，．（2）由（1）得．．，           ．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．． 

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