2023屆四川省遂寧市高三三診考試數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】解出集合或，再根據(jù)補(bǔ)集和交集的含義即可得到答案.【詳解】，解得或，則或，則，故，故選：A.2．若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則=（    ）A．0 B． C． D．1【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡，即可由模長公式求解.【詳解】由得，所以，故選：D3．下圖是遂寧市2022年4月至2023年3月每月最低氣溫與最高氣溫（℃）的折線統(tǒng)計圖：已知每月最低氣溫與最高氣溫的線性相關(guān)系數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．月溫差（月最高氣溫﹣月最低氣溫）的最大值出現(xiàn)在8月B．每月最低氣溫與最高氣溫有較強(qiáng)的線性相關(guān)性，且二者為線性負(fù)相關(guān)C．每月最高氣溫與最低氣溫的平均值在4-8月逐月增加D．9﹣12月的月溫差相對于5﹣8月，波動性更小【答案】C【分析】根據(jù)圖表，溫差最大值出現(xiàn)在10月，A錯誤，二者為線性正相關(guān)，B錯誤，計算得到C正確D錯誤，得到答案.【詳解】對選項(xiàng)A：月溫差（月最高氣溫﹣月最低氣溫）的最大值出現(xiàn)在10月，錯誤；對選項(xiàng)B：每月最低氣溫與最高氣溫有較強(qiáng)的線性相關(guān)性，且二者為線性正相關(guān)，錯誤；對選項(xiàng)C：每月最高氣溫與最低氣溫的平均值在4-8月分別為，逐月增加，正確；對選項(xiàng)D：9﹣12月的月溫差為；5﹣8月的月溫差為，9﹣12月的月溫差的波動性更大，錯誤；故選：C.4．下列說法不正確的是（    ）A．若，則B．命題，，則：，C．回歸直線方程為，則樣本點(diǎn)的中心可以為D．在中，角的對邊分別為則“”是“”的充要條件【答案】B【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)、命題否定的定義、回歸方程的樣本點(diǎn)中心以及正弦定理，對選項(xiàng)逐一判斷,即可得到本題答案.【詳解】對于選項(xiàng)A，因?yàn)?/span>，所以，所以，故A正確；對于選項(xiàng)B，根據(jù)命題的否定的定義，：，，故B錯誤；對于選項(xiàng)C，把代入，得，所以樣本點(diǎn)的中心可以為，故C正確；對于選項(xiàng)D，當(dāng)時，根據(jù)三角形中大邊對大角，得，再根據(jù)正弦定理得，所以；當(dāng)時，根據(jù)正弦定理，得，即，又，所以，由正弦定理得，，所以.所以“”是“”的充要條件，故D正確.故選：B5．已知實(shí)數(shù)，滿足則的最小值是（    ）A． B． C． D．1【答案】A【分析】畫出可行域及目標(biāo)函數(shù)，由幾何意義求出最小值.【詳解】畫出可行域與目標(biāo)函數(shù)，聯(lián)立，解得，當(dāng)直線過點(diǎn)時，取得最小值，，故最小值為 .故選：A6．已知數(shù)列為等比數(shù)列，是函數(shù)的極值點(diǎn)，設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（    ）A．或 B． C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)極值點(diǎn)的定義可得是的兩個實(shí)數(shù)根，進(jìn)而由等比以及等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合求和公式即可求解.【詳解】由得，由題意可知是的兩個實(shí)數(shù)根，所以又，所以，因此，故選：C7．函數(shù)的圖像大致為（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性即可排除CD，由特殊點(diǎn)的函數(shù)值即可排除A.【詳解】，則的定義域?yàn)?/span>R，又，所以為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故排除CD，當(dāng)時，，故排除A.故選：B.8．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則（    ）A．210 B．110 C．50 D．55【答案】A【分析】寫出時，，與已知式相減得數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，公差為2，再由求得，然后再利用等差數(shù)列的求和公式即可求得本題答案.【詳解】因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時，，兩式相減得，由，可得，進(jìn)而，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，公差為2，又，而，所以， 故選：A9．已知，則（    ）A．30 B．-30 C．17 D．-17【答案】D【分析】先根據(jù)二項(xiàng)式定理展開，分別確定的值，即可求得本題答案.【詳解】根據(jù)二項(xiàng)式定理得，，所以，，則，所以.故選：D10．如圖，正方體的棱長為2，線段上有兩個動點(diǎn)（在的左邊），且．下列說法不正確的是（    ）A．當(dāng)運(yùn)動時，二面角的最小值為B．當(dāng)運(yùn)動時，三棱錐體積不變C．當(dāng)運(yùn)動時，存在點(diǎn)使得D．當(dāng)運(yùn)動時，二面角為定值【答案】C【分析】對A：建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解二面角夾角的余弦值，根據(jù)其范圍，即可判斷；對B：利用棱錐體積公式，即可求得三棱錐的體積，即可判斷. 對C：由反證法判斷；對D：平面即為平面，平面即為平面，從而得出二面角為定值.【詳解】對A：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則．因?yàn)?/span>在上，且，，可設(shè)，則，則，設(shè)平面的法向量為，又，所以，即，取，則，平面的法向量為，所以．設(shè)二面角的平面角為，則為銳角，故，因?yàn)?/span>，在上單調(diào)遞減，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值，即取最小值，故A說法正確．對B：因?yàn)?/span>，點(diǎn)A到平面的距離為，所以體積為，即體積為定值，故B說法正確．對C：若，則四點(diǎn)共面，與和是異面直線矛盾，故C說法錯誤．對D：連接，平面即為平面，而平面即為平面，故當(dāng)運(yùn)動時，二面角的大小保持不變，故D說法正確．故選：C11．已知為雙曲線的左焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)（在之間），與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，若為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合題目條件，求出的等量關(guān)系，由此即可得到本題答案.【詳解】作，垂足為，因?yàn)?/span>，，所以，又，所以點(diǎn)為中點(diǎn)，另外，所以，所以，由雙曲線的定義有，所以，所以，在中，，又，所以，化簡得.故選：D12．已知函數(shù)存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（    ）A．  B．  C． D．【答案】A【分析】將問題轉(zhuǎn)化為有實(shí)數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解的最值，利用基本不等式求解的最值，即可求解.【詳解】有零點(diǎn)，則有實(shí)數(shù)根，即有實(shí)數(shù)根，記，則有實(shí)數(shù)根，由于，，故當(dāng)時， ，單調(diào)遞增， 當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時， 取極大值也是最大值，所以，對于,所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，此時取最小值4，要使有實(shí)數(shù)根，則需滿足，此時 ，故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解． 二、填空題13．已知向量，且，則___________.【答案】【分析】利用向量線性關(guān)系的坐標(biāo)運(yùn)算得，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)公式列方程求參數(shù)即可.【詳解】由題設(shè)，且，所以，則.故答案為：14．已知函數(shù)，，，且，則=_____【答案】/0.5【分析】利用三角恒等變換化簡函數(shù)解析式為，分析可知函數(shù)的最小正周期為，利用正弦型函數(shù)的周期公式即可求得的最小值.【詳解】因?yàn)?/span>，另外，，且，所以，函數(shù)的最小正周期滿足，則，所以，，故當(dāng)時，取最小值.故答案為：15．某三棱錐的三視圖如圖所示，已知它的體積為，則該三棱錐外接球的表面積_____【答案】【分析】由三視圖確定幾何體的形狀特征，進(jìn)而確定外接球的球心位置，求得半徑，即可得到本題答案.【詳解】由三視圖可知，該幾何體的直觀圖為下圖正方體中的三棱錐，因?yàn)?/span>，所以，即正方體棱長為4，設(shè)點(diǎn)分別為的外心，過點(diǎn)作平面的垂線，過點(diǎn)作平面的垂線，它們的交點(diǎn)，即為三棱錐外接球的球心，在中，，，所以， ，由正弦定理得， ，得，易得，所以，在中，，所以，三棱錐外接球表面積.故答案為： 16．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)為與軸的交點(diǎn)，且，過點(diǎn)向拋物線作兩條切線，切點(diǎn)分別為，則_____【答案】1【分析】根據(jù)題目條件，先求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后求出直線的方程，聯(lián)立消，利用韋達(dá)定理即可求得本題答案.【詳解】把點(diǎn)，代入拋物線，得，則點(diǎn)，作，垂直為，設(shè)，所以，，易知，在中，因?yàn)?/span>，即，得，所以，得，所以拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：，設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，因?yàn)?/span>，所以，，又，所以切線的直線方程為：，化簡得，因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)，所以，同理可得，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，即直線的方程為，聯(lián)立消得，，所以，，所以故答案為：1. 【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：因?yàn)?/span>，且，，所以直線的方程為，求出的直線方程是解決本題的關(guān)鍵. 三、解答題17．在中，角所對的邊分別，且(1)求角A的值；(2)已知在邊上，且，求的面積的最大值【答案】(1)(2) 【分析】（1）由正弦定理邊角互化結(jié)合和差角關(guān)系可得，即可得，進(jìn)而可求，（2）根據(jù)向量的線性表示以及模長公式可得，結(jié)合不等式即可求解最值成立的條件,由面積公式即可求解.【詳解】（1）在中因?yàn)?/span>．由正弦定理得，所以，因?yàn)?/span>，所以．故又是的內(nèi)角，所以．從而．而A為的內(nèi)角，所以；（2）因?yàn)?/span>所以,所以，從而，由基本不等式可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的面積的最大值為.18．某企業(yè)舉行招聘考試，共有人參加，分為初試和復(fù)試，初試成績總分分，初試通過后參加復(fù)試．(1)若所有考生的初試成績近似服從正態(tài)分布，其中，，試估計初試成績不低于分的人數(shù)；（精確到個位數(shù)）(2)復(fù)試共三道題，每答對一題得分，答錯得分，答完三道題后的得分之和為考生的復(fù)試成績．已知某考生進(jìn)入復(fù)試，他在復(fù)試中第一題答對的概率為，后兩題答對的概率均為，且每道題回答正確與否互不影響．記該考生的復(fù)試成績?yōu)?/span>，求的分布列及期望.附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則： ，，．【答案】(1)(2)分布列見解析，期望為 【分析】（1）分析可知，計算出的值，乘以可得結(jié)果；（2）分析可知隨機(jī)變量的取值分別為、、、，計算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量的分布列，進(jìn)而可求得的值.【詳解】（1）解：因?yàn)閷W(xué)生初試成績服從正態(tài)分布，其中，，則，所以，所以估計初試成績不低于的人數(shù)為人.（2）解：的取值分別為、、、，則，，，.故的分布列為：所以數(shù)學(xué)期望為.19．如圖，已知四棱錐中，，是面積為的等邊三角形且，.(1)證明：；(2)求平面與平面所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）利用勾股定理證明出，再由結(jié)合線面垂直的判定定理可證得平面，由線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2）取的中點(diǎn)，連接，證明出，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得平面與平面所成角的余弦值.【詳解】（1）證明：因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>的面積為的等邊三角形，即，所以，因?yàn)?/span>，所以，，則，又因?yàn)?/span>，，、平面，所以，平面，因?yàn)?/span>平面，所以，.（2）解：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>為等邊三角形，則，又因?yàn)?/span>平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，易知平面的一個法向量為，所以，，所以平面與平面所成角的余弦值為．20．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓的上頂點(diǎn)，直線與圓相切，且橢圓的離心率為(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)在橢圓上，過左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（不在軸上）且(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）應(yīng)用點(diǎn)到直線距離結(jié)合直線和圓的位置關(guān)系求參即可；（2）設(shè)直線聯(lián)立方程組，結(jié)合弦長公式，計算求范圍可得.【詳解】（1）由題設(shè)因?yàn)?/span>，所以：，所以，所以橢圓方程為（2）由（1）知的坐標(biāo)為，①當(dāng)直線的斜率不存在時，，，則；②當(dāng)直線的斜率存在且不為0時，設(shè)直線的方程為且，聯(lián)立，得，設(shè)，，則，，，設(shè)點(diǎn)，則，即，代入橢圓方程得，解得，，所以，所以，又，所以的取值范圍是． 綜上所述，的取值范圍是．21．已知函數(shù)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)記函數(shù)，若函數(shù)存在兩個不同的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2) 【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可判斷單調(diào)性；（2）分情況討論，并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?/span> ，所以， 當(dāng)時，，所以在R上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，得，令，得，所以在 上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)在R上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）因?yàn)?/span>，所以，則．令，則，①當(dāng)時，，則在R上單調(diào)遞減，不可能存在兩個極值點(diǎn)；②當(dāng)時，因?yàn)楹瘮?shù)存在兩個不同的極值點(diǎn)，所以=0有兩個不同的實(shí)根，因?yàn)?/span> ，即有兩個不同的實(shí)根，令，則 ，令 ，則，所以單調(diào)遞增．因?yàn)?/span>，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以，當(dāng)時，不可能有兩個不等實(shí)根．當(dāng)時，，在上連續(xù)且單調(diào)，所以存在唯一實(shí)數(shù)，使得．當(dāng)時，記，當(dāng)時，，當(dāng)， ，所以當(dāng)時，取極小值也是最小值，所以，故單調(diào)遞增，所以，因此，，取，則，即，因?yàn)?/span>在上連續(xù)且單調(diào)，所以存在唯一實(shí)數(shù)，使得，則 +0-0+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以函數(shù)存在兩個不同的極值點(diǎn)．綜上實(shí)數(shù)的取值范圍為．【點(diǎn)睛】對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：1.通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2.利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3.根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．22．在直角坐標(biāo)系中，已知曲線（為參數(shù)， ），在極坐標(biāo)系中，曲線是以為圓心且過極點(diǎn)O的圓．(1)分別寫出曲線普通方程和曲線的極坐標(biāo)方程；(2)直線與曲線、分別交于M、N兩點(diǎn)（異于極點(diǎn)O），求．【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用，消去參數(shù)，即可得到曲線普通方程，先寫出曲線的普通方程，然后將代入，即可得到本題答案；（2）先求出兩點(diǎn)的極坐標(biāo)，然后根據(jù)，即可得到本題答案.【詳解】（1）由曲線（為參數(shù)，），消去參數(shù)，得，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為，因?yàn)榍€是以為圓心的圓，且過極點(diǎn)O，所以圓心為，半徑為1，故的直角坐標(biāo)方程為：，即，將代入可得：圓的極坐標(biāo)方程為（2）因?yàn)榍€的直角坐標(biāo)方程為，即，將代入化簡可得的極坐標(biāo)方程為：（），所以的極坐標(biāo)方程為；的極坐標(biāo)方程為；因?yàn)?/span>M、N是直線與曲線、的兩個交點(diǎn)，不妨設(shè)， 由（1）得：，：，所以，從而，23．已知函數(shù)，．(1)若，求不等式的解集；(2)已知，若對任意，都存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）分類討論去絕對值，即可得到本題答案；（2）利用絕對值三角不等式求出的最小值，然后結(jié)合基本不等式，即可得到本題答案.【詳解】（1）解：當(dāng)時，，因?yàn)?/span>，當(dāng)時，即，；當(dāng)時，即，；當(dāng)時，即，，綜上可得不等式的解集為（2）解：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，，又，且，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，所以 根據(jù)題意可得，解得或，的取值范圍是． 

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