2023屆四川省雅安市高三三模數(shù)學(xué)（文）試題 一、單選題1．若（為虛數(shù)單位），則的虛部是A．1 B．-1 C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?/span>,故,所以的虛部是,應(yīng)選B．2．已知集合|，集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先化簡集合M，再利用集合的并集運(yùn)算求解.【詳解】解：因?yàn)?/span>，，所以，故選：B．3．2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆國際足聯(lián)世界杯足球賽，這是世界杯第一次在阿拉伯地區(qū)舉辦，由于夏季炎熱，2022年卡塔爾世界杯放在冬季進(jìn)行，如圖是卡塔爾2022年天氣情況（其中曲線圖表示氣溫，條形圖表示降雨量），下列對月份說法錯(cuò)誤的是（    ）A．有5個(gè)月平均氣溫在30以上B．有4個(gè)月平均降水量為0C．7月份平均氣溫最高D．3月份平均降水量最高【答案】D【分析】根據(jù)所給圖表直接判斷ABCD選項(xiàng)即可得解.【詳解】由圖可知，5月份到9月份共5個(gè)月的平均氣溫都在30以上，故A正確；由圖可知，6月份到9月份共4個(gè)月的平均降水量為0，故B正確；由圖知，7月份平均氣溫最高，故C正確；由圖知，2月份的降水量最高，故D錯(cuò)誤.故選：D4．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，則（    ）A．16 B．25 C．29 D．32【答案】B【分析】由遞推關(guān)系化簡，結(jié)合等差數(shù)列定義證明數(shù)列為等差數(shù)列，再由求和公式計(jì)算.【詳解】由可得，即，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以，故選：B5．若將函數(shù)()的圖象向左平移個(gè)單位長度后，與函數(shù)的圖象重合，則的最小值為（    ）A．1 B． C．2 D．3【答案】D【解析】先得到平移后的解析式，再由題中條件，列出等式，求出，即可得出結(jié)果.【詳解】將函數(shù)()的圖象向左平移個(gè)單位長度后，得到函數(shù)的圖象，又平移后的圖象與函數(shù)的圖象重合，而，所以（），則（），又，所以為使取得最小值，只需，此時(shí).故選：D.6．有詩云：“芍藥乘春寵，何曾羨牡丹.”芍藥不僅觀賞性強(qiáng)，且具有藥用價(jià)值.某地打造了以芍藥為主的花海大世界.其中一片花海是正方形，它的四個(gè)角的白色部分都是以正方形的頂點(diǎn)為圓心?正方形邊長的一半為半徑的圓弧與正方形的邊所圍成的（如圖所示）.白色部分種植白芍，中間陰影部分種植紅芍.倘若你置身此正方形花海之中，則恰好處在紅芍中的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)正方形的邊長為，分別求得正方形與陰影部分的面積，結(jié)合面積比的幾何摡型，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)正方形的邊長為，可得以正方形的頂點(diǎn)為圓心的圓的半徑為，可得正方形的面積為，陰影部分的面積為，根據(jù)面積比的幾何概型，可得恰好處在紅芍中的概率是.故選：A.7．元朝著名數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中有一首詩：“我有一壺酒，攜著游春走.遇店添一倍，逢友飲一斗.”基于此情景設(shè)計(jì)了如圖所示的程序框圖，若輸入，輸出，則判斷框中可以填（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)框圖計(jì)算可得時(shí)，則，此時(shí)跳出循環(huán)輸出結(jié)果．【詳解】根據(jù)框圖可得： 開始循環(huán)1循環(huán)2循環(huán)3循環(huán)4循環(huán)5x23591733k123456輸出，則，此時(shí)跳出循環(huán)故選：B．8．已知，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)角的變換及誘導(dǎo)公式將轉(zhuǎn)化，再利用二倍角的余弦公式即可求得答案.【詳解】因?yàn)?/span>，故，故選：A9．對任意的，不等式都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】分離參數(shù)得對任意的恒成立，則求出即可.【詳解】因?yàn)閷θ我獾?/span>，都有恒成立，∴對任意的恒成立．設(shè)，，，當(dāng)，即時(shí)，，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：D.10．已知圓錐的高為3，底面半徑為，若該圓錐的頂點(diǎn)與底面的圓周都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的體積與圓錐的體積的比值為A． B． C． D．【答案】B【解析】計(jì)算求半徑為，再計(jì)算球體積和圓錐體積，計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示：設(shè)球半徑為，則，解得.故求體積為：，圓錐的體積：，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐，球體積，圓錐的外接球問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.11．已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于，點(diǎn)在雙曲線C上，橢圓E的焦點(diǎn)與雙曲線C的焦點(diǎn)相同，斜率為的直線與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)．若線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓E的方程為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由離心率和點(diǎn)求出雙曲線的方程，進(jìn)而求出焦點(diǎn)，設(shè)出橢圓的方程及的坐標(biāo)，由點(diǎn)差法得到，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)及斜率求得，再利用焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解.【詳解】設(shè)雙曲線方程為，則，解得，故雙曲線方程為，焦點(diǎn)為；設(shè)橢圓方程為，則橢圓焦點(diǎn)為焦點(diǎn)為，故，設(shè)，則，兩式相減得，整理得，即，解得，故，橢圓方程為.故選：D.12．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>D，若滿足條件：存在，使在上的值域?yàn)?/span>，則稱為“倍縮函數(shù)”.若函數(shù)為“倍縮函數(shù)”，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)定義及函數(shù)單調(diào)性，分析可得關(guān)于x的方程，判斷出方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)求得極值點(diǎn)，代入后求得t的最大值．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為“倍縮函數(shù)”，且為遞增函數(shù)所以存在，使在上的值域?yàn)?/span>則 ，由此可知等價(jià)于 有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根令則，令解得代入方程得解得，因?yàn)橛袃蓚€(gè)不等的實(shí)數(shù)根所以t的取值范圍為所以選B【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)新定義的理解，函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)與方程關(guān)系的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)在求最值中的用法，屬于難題． 二、填空題13．已知向量與的夾角為，且，則__________．【答案】【分析】根據(jù)向量的模得坐標(biāo)公式求出，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可.【詳解】由，得，則.故答案為：.14．已知拋物線恰好經(jīng)過圓的圓心，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為__________．【答案】【分析】將圓M的圓心代入拋物線的方程可求得，進(jìn)而可求焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由圓可得，故圓的圓心為，代入得，將拋物線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：.15．已知內(nèi)角所對的邊分別為面積為，且的中點(diǎn)為，則的長是__________．【答案】【分析】由正弦定理化簡，再由余弦定理求出A，根據(jù)面積公式求出，結(jié)合余弦定理可求出，求出邊長知三角形為正三角形得解.【詳解】由可得，由正弦定理可得，，即，由余弦定理可得，因?yàn)?/span>，所以，由，解得，由可得，由，解得，聯(lián)立可得，故為正三角形，所以中線.故答案為：16．如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)是中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在底面內(nèi)（不包括邊界），使四面體體積為，則的最小值是___________．【答案】【分析】由已知可得到的距離，再利用勾股定理知要使取得最小值，則需取得最小值，此時(shí)利用點(diǎn)到直線的距離可得解.【詳解】由已知得四面體體積 所以設(shè)到的距離為，則解得所以在底面內(nèi)（不包括邊界）與平行且距離為的線段 上，要使的最小，則此時(shí)是過作的垂線的垂足.點(diǎn)到的距離為所以此時(shí)故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何的動(dòng)點(diǎn)最值問題，將空間立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題是解題的關(guān)鍵，屬于難度題. 三、解答題17．經(jīng)調(diào)查某市三個(gè)地區(qū)存在嚴(yán)重的環(huán)境污染，嚴(yán)重影響本地區(qū)人員的生活．相關(guān)部門立即要求務(wù)必加強(qiáng)環(huán)境治理，通過三個(gè)地區(qū)所有人員的努力，在一年后，環(huán)境污染問題得到了明顯改善．為了解市民對城市環(huán)保的滿意程度，開展了一次問卷調(diào)查，并對三個(gè)地區(qū)進(jìn)行分層抽樣，共抽取40名市民進(jìn)行詢問打分，將最終得分按分段，并得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中a的值，以及此次問卷調(diào)查分?jǐn)?shù)的中位數(shù)；(2)若分?jǐn)?shù)在區(qū)間的市民視為對環(huán)保不滿意的市民，從不滿意的市民中隨機(jī)抽出兩位市民做進(jìn)一步調(diào)查，求抽出的兩位市民來自不同打分區(qū)間的概率．【答案】(1)，中位數(shù)為（分）(2) 【分析】（1）根據(jù)小矩形的面積之和為即可求出，再根據(jù)頻率分布直方圖求出中位數(shù)即可；（2）分別求出和的市民人數(shù)，再根據(jù)古典概型即可得解.【詳解】（1）由題意可得，解得，由，可得此次問卷調(diào)查分?jǐn)?shù)的中位數(shù)在上，設(shè)為，則，解得，所以此次問卷調(diào)查分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為（分）；（2）的市民有人，記為a，b，的市民有人，記為1，2，3，4，則從中抽取兩人的基本事件有：共15種，其中兩人來自不同的組的基本事件有8種，則所求概率為.18．在①成等比數(shù)列，②，③這三個(gè)條件中任選兩個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并完成解答.已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且滿足__________，__________.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求.注：如果選擇多個(gè)方案分別解答，按第一個(gè)方案計(jì)分.【答案】(1)選①②，①③或②③均可得(2) 【分析】（1）選出兩個(gè)條件，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式基本量計(jì)算出首項(xiàng)和公差，得到通項(xiàng)公式；（2）在第一問的基礎(chǔ)上，得到，利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】（1）若選①②，設(shè)公差為，則，解得：，；選①③，設(shè)公差為，，解得：，；選②③，設(shè)公差為，，解得：，；（2），.19．如圖，三棱柱中?四邊形是菱形，且，，，，(1)證明：平面平面；(2)求直線和平面所成角的正弦值；【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）連接交于O，連接，證明可得線面垂直，再由面面垂直的判定定理得證；（2）利用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離，再由線面角公式求解即可.【詳解】（1）連接交于O，連接，如圖，四邊形是菱形，所以，又，，是的中點(diǎn)，所以且，由，可知為正三角形，所以，，在中，，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）設(shè)到平面的距離為，因?yàn)?/span>中，，，所以，又，，所以由，可得,即,設(shè)直線和平面所成角為，則.20．已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)，都有，求a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2) 【分析】（1）求導(dǎo)，分和兩種情況討論即可；（2），分離參數(shù)可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值即可得解.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2），即，即，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).21．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，焦距為2，左頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)若直線過橢圓的右焦點(diǎn)且與橢圓交于兩點(diǎn)，直線與直線分別交于點(diǎn)．①求證：兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值；②求面積的最小值．【答案】(1)(2)①證明見解析②18 【分析】（1）根據(jù)題意，列出方程組，求得，即可求得橢圓的方程；（2）①設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，得到，進(jìn)而求得直線的方程得到，，化簡，即可求解；②由三角形的面積公式，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】（1）由題意，橢圓過點(diǎn)，且，可得，解得，所以橢圓的方程為．（2）①由題意知，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，，可得，，直線的方程為，令，可得，同理可得，所以．②由，當(dāng)且僅當(dāng)，或，時(shí)等號成立，所以面積的最小值為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解圓錐曲線的最值問題的解答策略：1、若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓、圓錐曲線的定義、圖形，以及幾何性質(zhì)求解；2、當(dāng)題目給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③單調(diào)性法；④三角換元法；⑤導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍22．已知曲線和直線（為參數(shù)）．(1)求曲線的參數(shù)方程和直線的普通方程；(2)過曲線上任意一點(diǎn)作與直線夾角為的直線，交于點(diǎn)，求的最大值與最小值．【答案】(1)（為參數(shù)），(2)， 【分析】（1）令，即可得到橢圓的參數(shù)方程；消去，即可得到直線的普通方程；（2）根據(jù)參數(shù)方程，表示出點(diǎn)到直線的距離，再表示出，根據(jù)輔助角公式，即可求出的最值.【詳解】（1）令，可得曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；根據(jù)消去可得，直線l的普通方程為．（2）設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)到直線l：的距離為，其中，且為銳角．過點(diǎn)作，垂足為，如圖，則，，在中，，其中，且為銳角．故當(dāng)時(shí)，取得最大值為，當(dāng)時(shí)，取得最小值為．23．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）設(shè)不等式的解集為，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）分別在、和三種情況下，去除絕對值符號后解不等式求得結(jié)果；（2）將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，得到，從而確定，可得，解不等式組求得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，原不等式可化為.①當(dāng)時(shí)，，解得：，；②當(dāng)時(shí)，，解得：，；③當(dāng)時(shí)，，解得：，；綜上所述：不等式的解集為或.（2）由知：，，在上恒成立，，即，，解得：，，解得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題的求解，從而將問題轉(zhuǎn)化為參數(shù)與的最值之間大小關(guān)系的問題. 

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