2023屆四川省南充市高三三模數(shù)學(xué)（文）試題 一、單選題1．在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，則（    ）A． B． C． D．5【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義和復(fù)數(shù)的乘法運算即可求解.【詳解】因為復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，則，所以，故選：D.2．“”是“”的（    ）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【分析】先化簡條件“”為“”，再利用包含關(guān)系判斷必要不充分條件即可.【詳解】解：因為，所以，設(shè)，，則?所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B.【點睛】本題考查求解一元二次不等式、判斷兩個集合之間的包含關(guān)系、利用集合的包含關(guān)系判斷必要不充分條件，是基礎(chǔ)題.3．已知集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】因為集合的代表元素都是，所以分別解關(guān)于的不等式可得集合，進而求出.【詳解】由得，由得，即，所以，所以.故選：C.4．已知傾斜角為的直線與直線垂直，則（    ）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，由條件得出，求出的值，再根據(jù)誘導(dǎo)公式即可得出答案．【詳解】設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，由直線得出斜率，因為直線與直線垂直，所以，即，解得，即，所以，故選：B．5．在中，角的對邊分別是，若，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由余弦定理即可求解.【詳解】由得，所以，由于,故選：A6．若數(shù)列對任意的均有恒成立，則稱數(shù)列為“數(shù)列”，下列數(shù)列是“數(shù)列”的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)各選項的通項公式，直接驗證是否恒成立即得．【詳解】若，則，即，不滿足條件，不是“數(shù)列”；若，則，即，不滿足條件，不是“數(shù)列”；若，則，即，滿足條件，是“數(shù)列”；若，則，當(dāng)時，，不滿足條件，不是“數(shù)列”．故選：C．7．已知點是函數(shù)的一個對稱中心，則為了得到函數(shù)的圖像，可以將圖像（    ）A．向右平移個單位，再向上移動1個單位B．向左平移個單位，再向上移動1個單位C．向右平移個單位，再向下移動1個單位D．向右平移個單位，再向下移動1個單位【答案】A【分析】利用點是函數(shù)的一個對稱中心，求出，在分析圖像平移即可.【詳解】因為點是函數(shù)的一個對稱中心，所以，所以，又，所以，所以所以要得到函數(shù)的圖像則只需將圖像：向右平移個單位，再向上移動1個單位，故選：A.8．早在兩千年前，古人就通過觀測發(fā)現(xiàn)地面是球面，并會運用巧妙的方法對地球半徑進行估算.如圖所示，把太陽光視為平行光線，O為地球球心，A，B為北半球上同一經(jīng)度的兩點，且A，B之間的經(jīng)線長度為L，于同一時刻在A，B兩點分別豎立一根長桿和，通過測量得到兩根長桿與太陽光的夾角和（和的單位為弧度），由此可計算地球的半徑為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】過點B作太陽光的平行線，與 的延長線交于點C，可求出，利用弧長公式即可求得地球的半徑.【詳解】如圖所示，過點B作太陽光的平行線，與 的延長線交于點C，則 ， ，所以,設(shè)地球半徑為R,則根據(jù)弧長公式得 ，所以 ,故選：A.9．已知奇函數(shù)是上的增函數(shù)，，若，，則的大小關(guān)系為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求出函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，進而判斷即可求解.【詳解】因為奇函數(shù)是上的增函數(shù)，所以，且.又因為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，因為，所以是上偶函數(shù)，當(dāng)時，因為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)的奇偶性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因為，所以，則，所以，故選：D.10．我們知道：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它關(guān)于直線對稱，以軸，軸為漸進線.實際上，將的圖象繞原點順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)一個適當(dāng)?shù)慕?/span>，就可以得到雙曲線或.則關(guān)于曲線，下列說法不正確的是（    ）A．該曲線的離心率為B．曲線的頂點為和C．曲線上的任意點到兩點的距離之差為D．該曲線可由繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到【答案】C【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)后得到的雙曲線方程為，即可判斷D，由兩個曲線的形狀和性質(zhì)類似，離心率不變，即可結(jié)合選項判斷ABC.【詳解】如圖①：曲線與相交于 且，不妨將曲線的圖象繞著原點順時針旋轉(zhuǎn)后，如圖圖②，使得旋轉(zhuǎn)到軸，成為的左右頂點，且為漸近線，所以，故的方程為，故D正確，對于A，的離心率為，所以的離心率與曲線相同，故A正確，對于B，曲線的頂點為，故B正確，對于C，曲線的焦點為，曲線上任意一點到的距離之差的絕對值為 ，所以在中，焦點在直線上，且，所以的焦點為，曲線上的任意點到兩點的距離之差的絕對值為，故C錯誤，故選：C             圖①                                  圖②11．已知函數(shù)使（為常數(shù)）成立，則常數(shù)的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性不妨設(shè)，即可得到，令，，則問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，即在上有解，參變分離，在構(gòu)造函數(shù)求出函數(shù)的最大值，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，在定義域上單調(diào)遞增，又使（為常數(shù)）成立，顯然，所以不妨設(shè)，則，即，令，，則，即函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，又，則在上有解，則在上有解，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，即常數(shù)的取值范圍為.故選：C12．已知中，為斜邊上一動點，沿將三角形折起形成三棱錐使平面平面，記，當(dāng)最短時，（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)面面垂直得線面垂直，進而得線線垂直，由銳角三角函數(shù)以及余弦定理分別表示的長度，進而由勾股定理，結(jié)合三角函數(shù)的形狀即可求解最值.【詳解】如圖2，過點作于點，連接由于平面平面，且兩平面的交線為,平面,所以平面,平面，故,所以,由于在直角三角形中，,所以，在中，由余弦定理得，所以，故當(dāng)時，最小，此時（由于），故，故選：B【點睛】本題考查了空間中垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化：面面垂直-線面垂直-線線垂直.靈活利用垂直關(guān)系得新的垂直關(guān)系是解題的關(guān)鍵.在平面圖形翻折形成立體幾何體的過程中，要明確改變的量和不發(fā)生變化的量，注意把平面圖形與立體圖形結(jié)合起來找到解題的突破口.線段的長度的求解，多需要借助于直角三角形的勾股定理，必要時也可利用向量的模長求解. 二、填空題13．在平面直角坐標(biāo)系中，若點在直線的左上方，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】根據(jù)點與直線的位置關(guān)系，可得出關(guān)于的不等式，即可求解.【詳解】點在直線的左上方，所以.故答案為: .14．一個高中研究性學(xué)習(xí)小組對本地區(qū)2020年至2022年菜鳥驛站發(fā)展情況進行了調(diào)查，制成了該地區(qū)菜鳥驛站站點個數(shù)情況的條形圖和菜鳥驛站各站點年快遞收發(fā)數(shù)量的平均數(shù)情況條形圖（如圖），根據(jù)圖中提供的信息可以得出這三年中該地區(qū)菜鳥驛站每年平均收發(fā)快遞___________萬件.【答案】1400【分析】由兩個條形圖計算三年收發(fā)快遞的總數(shù)，再計算平均數(shù).【詳解】由圖可知，三年共收發(fā)快遞萬件，所以這三年中該地區(qū)菜鳥驛站每年平均收發(fā)快遞萬件.故答案為：1400.15．設(shè)拋物線的焦點為，若圓與拋物線有4個不同的交點，記軸上方的兩個交點為.則的值是___________.【答案】【分析】聯(lián)立圓的方程和拋物線方程，得，進而根據(jù)向量的模長公式即可代入求解.【詳解】由題意可知，聯(lián)立或，不妨,所以 故答案為：16．已知函數(shù)，有以下說法：①的值域為；②是周期函數(shù)；③在上單調(diào)遞減；④對任意的，方程在區(qū)間上有無窮多個解.其中所有正確的序號為___________.【答案】①③④【分析】設(shè)，則，于是問題轉(zhuǎn)化成的函數(shù)的性質(zhì)的研究問題，①③④可以借助正弦函數(shù)的性質(zhì)說明，②可以通過反證法說明其錯誤.【詳解】對于①，設(shè)，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，的值域為，故①正確；對于②，假設(shè)的周期為，于是，顯然處有定義，故，但在處無定義，于是沒有周期，故②錯誤；對于③，設(shè)，由于，故，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，，關(guān)于在上遞增，，關(guān)于在，故關(guān)于在上遞減，故③正確；對于④，設(shè)，由得，則，由①，，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，，在有無數(shù)多個解，也就是無數(shù)多個滿足該方程，而，也就是有無數(shù)多個可以使得成立，故④正確.故答案為：①③④ 三、解答題17．已知數(shù)列的前項和為.(1)求的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足：，記的前項和為，求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用數(shù)列前項和與通項的關(guān)系及等比數(shù)列通項公式求解；（2）求出數(shù)列的通項公式，并結(jié)合其通項的結(jié)構(gòu)特征，采用分組求和法求解.【詳解】（1）①當(dāng)時，②①－②得：即，數(shù)列是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列.（2）.所以的前項和.18．近年來，國際環(huán)境和局勢日趨嚴(yán)峻，高精尖科技圍堵和競爭更加激烈，國家號召各類高科技企業(yè)匯聚科研力量，加強科技創(chuàng)新，大力增加研發(fā)資金，以突破我國在各個領(lǐng)域的“卡脖子”關(guān)鍵技術(shù)．某市為了解本市高科技企業(yè)的科研投入和產(chǎn)出方面的情況，抽查了本市8家半導(dǎo)體企業(yè)2018年至2022年的研發(fā)投資額x（單位：百億元）和因此投入而產(chǎn)生的收入附加額y（單位：百億元），對研發(fā)投資額和收入附加額進行整理，得到相關(guān)數(shù)據(jù)，并發(fā)現(xiàn)投資額x和收入附加額y成線性相關(guān)．投資額（百億元）234568911收入附加額（百億元）3.64.14.85.46.27.57.99.1(1)求收入的附加額y與研發(fā)投資額x的線性回歸方程（保留三位小數(shù)）；(2)現(xiàn)從這8家企業(yè)且投資額不少于5百億元的企業(yè)中，任意抽取3家企業(yè)，求抽取的3家企業(yè)中恰有1家企業(yè)的收入附加額大于投資額的概率．參考數(shù)據(jù)：．附：在線性回歸方程，．【答案】(1)(2) 【分析】（1）直接根據(jù)線性回歸方程的公式計算即可；（2）根據(jù)題意列出基本事件，再得出抽中的3家企業(yè)中恰有1家企業(yè)的收入附加額大于投資額的事件數(shù)，根據(jù)古典概型計算公式計算即可．【詳解】（1）由，得：，由得，所以年收入的附加額與投資額的線性回歸方程為．（2）已知這8家企業(yè)中投資額不少于5百億元的企業(yè)有5家，其中收入附加額大于投資額的企業(yè)有2家，編號為，；余下3家編號為，，，現(xiàn)從中5家中任選3家，基本事件總數(shù)為10，情況如下：，，，其中抽取的3家企業(yè)中恰有1家企業(yè)的收入附加額大于投資額的情況共有6種，情況如下：，故抽取的3家企業(yè)中恰有1家企業(yè)的收入附加額大于投資額的概率．19．如圖所示，已知是圓錐底面的兩條直徑，為劣弧的中點．(1)證明：；(2)若，為線段上的一點，且，求證：平面平面．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析 【分析】（1）連接并延長交于，由為劣弧的中點及為等腰三角形得出，由平面，得出，證明出平面，結(jié)合平面，即可證明；（2）設(shè)交于，顯然平分，且，由得出為的中點，同理，結(jié)合得出平面，由平面，即可證明平面平面．【詳解】（1）連接并延長交于，如圖所示，為劣弧的中點，是的角平分線，平分，，，又在圓錐中，平面，平面，，，平面，且，平面，又平面，．（2）設(shè)交于，顯然平分，且，又，，在中，，為的中點，同理，，又，，，平面，且平面，平面，又在平面中，，，又平面，且平面，平面，又，平面，且，平面平面．20．在平面直角坐標(biāo)系中，動點到的距離之和為4.(1)求動點的軌跡的方程；(2)已知點，若點是曲線上異于頂點的兩個不同的點，且，記的面積為，問是否定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由.【答案】(1)(2)是定值，定值為1 【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義即可求解，（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，求解的坐標(biāo)，進而由弦長公式或者利用向量夾角求解面積，代入化簡即可.【詳解】（1）由題意易知，動點的軌跡是以為焦點的橢圓，且動點的軌跡的方程為：.（2）顯然直線的斜率存在，設(shè)的方程為：聯(lián)立得：，設(shè)，則得：，，由可設(shè)的方程為,，聯(lián)立得：，，，，法1：,故為定值1，法2：的方程為：，即，到的距離為，，后同解法1.【點睛】思路點睛：圓錐曲線中的范圍或最值或者定值問題，可根據(jù)題意構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，然后根據(jù)題目中給出的范圍或由韋達定理得到的等量化簡求解，解題中注意弦長公式以及點到線的距離，點到點的距離公式求解.21．已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值；(2)用表示，中的最大值，記函數(shù)，當(dāng)時，討論函數(shù)在上的零點個數(shù).【答案】(1)，,(2)答案見解析 【分析】（1）先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再依據(jù)單調(diào)性判斷出極值點，最后求出極值點對應(yīng)的函數(shù)值即為極值；（2）對和的范圍進行分類討論，分別判斷出和的零點，從而得出的零點個數(shù).【詳解】（1）當(dāng)時，，，由得：或；由得：列表：01+0 0+極大值極小值∴；；（2）由知：（i）當(dāng)時，，故在上無零點.（ii）當(dāng)時，，知：當(dāng)時，，，是的零點；當(dāng)時，，，不是的零點；（iii）當(dāng)時，，故在的零點就是在的零點.由得：，設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，又∵，，∴當(dāng)時，即在上無零點；當(dāng)時，即在上有1個零點；當(dāng)時，即在上無零點；綜上所述：時，有2個零點；或時，有1個零點；時，無零點.【點睛】方法點睛：函數(shù)零點的求解與判斷方法：(1)直接求零點：令f(x)=0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點．(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．22．在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為，以極點為原點，極軸所在直線為軸，取同樣的單位長度建立平面直角坐標(biāo)系xoy，已知曲線的普通方程為.(1)寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和曲線的極坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點，且曲線與曲線交于點兩點，求的值.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化即可求解；（2）設(shè)出曲線的參數(shù)方程，與曲線的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立，利用參數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】（1）因為曲線的極坐標(biāo)方程為可化為，即，將代入可得，的直角坐標(biāo)方程為.又因為曲線的普通方程為可化為，將代入可得，的極坐標(biāo)方程，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程.（2）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將（為參數(shù)）代入得：.顯然，設(shè)點在直線上對應(yīng)的參數(shù)分別為，則，與的夾角為，.23．設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的方程僅有兩個不同的正實數(shù)根，.(1)求的取值范圍；(2)求的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）作出的圖象，將方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點的問題即可求解；（2）利用柯西不等式求解即可.【詳解】（1）由得函數(shù)圖像如圖所示，∵，∴，（2）由圖像可知：其圖像關(guān)于對稱，故∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.∴的最大值為. 

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