2011-2020年高考數(shù)學(xué)真題分專題訓(xùn)練 專題22 空間幾何體及其表面積與體積（教師版含解析）

這是一份2011-2020年高考數(shù)學(xué)真題分專題訓(xùn)練 專題22 空間幾何體及其表面積與體積（教師版含解析），共61頁。
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專題 22 空間幾何體及其表面積與體積
十年大數(shù)據(jù)*全景展示
年 份 題號
考 點
考 查 內(nèi) 容
球的表面積公式、球的截面性質(zhì)、圓錐的截面性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，
邏輯推理能力、運算求解能力
文16
球的切接問題
球的截面性質(zhì)、三棱錐的外接球、棱錐的體積公式，空間想象能
力和運算求解能力
2011
理 15 球的切接問題
理 6
文 8
三視圖與直觀圖
簡單幾何體的三視圖及空間想象能力
空間線線、線面、面面垂直的判定與性質(zhì)及幾何體的體積計算，
空間想象能力、邏輯推理能力
文 19 簡單幾何體的體積
文 8
球的切接問題
球的截面性質(zhì)、球的體積公式，空間想象能力和運算求解能力
三棱錐的體積、三棱錐的外接球，空間想象能力和運算求解能力
三視圖與直觀圖
2012
理 11 球的切接問題
理 7
文 7
三視圖與直觀圖
簡單幾何體 的體積
簡單幾何體的體積
線面平行與垂直的判定與性質(zhì)、簡單幾何體的體積，空間想象能
力和運算求解能力
卷 2 文 18 簡單幾何體的體積
卷 2 文 15 球的切接問題
四棱錐的體積、四棱錐外接球的表面積，空間想象能力和運算求
解能力
空間線面、線線垂直的判定與性質(zhì)及棱柱的體積公式，空間想象
能力、邏輯推論證能力
卷 1 文 19 簡單幾何體的體積
卷 1 文 15 球的切接問題
2013
球的截面性質(zhì)及球的表面積公式，空間想象能力
理 7
文 9
理 8
三視圖與直觀圖
卷 2
空間直角坐標(biāo)系中簡單幾何體及其三視圖，空間想象能力
三視圖與直觀圖
簡單組合體的三視圖及簡單組合體體積公式，空間想象能力和運
算求解能力
卷 1
卷 1
文 11 簡單幾何體的體積
理 6 球的切接問題
球的截面圓性質(zhì)、球的體積公式，空間想象能力、運算求解能力
線面平行的判定、點到面距離、錐體的體積計算等基礎(chǔ)知識，邏
輯推理能力、空間想象能力、運算求解能力
線面垂直的判定與性質(zhì)、三棱錐的體積，空間想象能力和運算求
解能力
卷 2 文 18 簡單幾何體的體積
2014
卷 2
文 7
簡單幾何體的體積


三視圖與直觀圖
卷 1
卷 2
文 8
簡單幾何體的三視圖空間想象能力
理 6
文 6
三視圖與直觀圖
簡單幾何體的體積
三視圖與直觀圖
簡單幾何體的三視圖及體積的計算，空間想象能力和運算求解能
力
卷 1 理 12
簡單幾何體的三視圖及最值問題，空間想象能力和運算求解能力
幾何體的截面及簡單幾何體的體積，空間想象能力和運算求解能
力
卷 2 文 19 簡單幾何體的體積
簡單幾何體的表面積 面面垂直的判定與性質(zhì)、簡單幾何體的體積與表面積，空間想象
卷 1 文 18
簡單幾何體的體積
能力和運算求解能力
理 9
卷 2
球的切接問題
簡單幾何體的外切球體積最大值，空間想象能力和運算求解能力
文 10
2015
理 6
卷 2
三視圖與直觀圖
簡單幾何體的三視圖、簡單幾何體的體積，空間想象能力和運算
求解能力
文 6
簡單幾何體的體積
理 11 三視圖與直觀圖
簡單幾何體的三視圖、簡單幾何體的表面積，空間想象能力和運
卷 1
文 11 簡單幾何體的表面積 算求解能力
理 6
卷 1
卷 2
簡單幾何體的體積
球的切接問題
以傳統(tǒng)文化為背景圓錐的體積，空間想象能力和運算求解能力
文 6
文 4
長方體的外球體積的表面積問題，空間想象能力和運算求解能力
三棱錐中空間垂直的判定與性質(zhì)及簡單幾何體體積的計算，空間
想象能力和運算求解能力
卷 1 文 18 簡單幾何體的體積
理 10
卷 3
卷 3
球的切接問題
簡單幾何體的內(nèi)切球體積最大值，空間想象能力和運算求解能力
簡單幾何體的三視圖、簡單幾何體的表面積，空間想象能力和運
文 11
理 9
三視圖與直觀圖
2016
文 10 簡單幾何體的表面積 算求解能力
理 6
文 7
三視圖與直觀圖
簡單幾何 體的表面
積
簡單幾何體的三視圖、簡單幾何體的表面積，空間想象能力和運
算求解能力
卷 2
三視圖與直觀圖
簡單幾何體的體積
簡單幾何體的表面積
理 6
文 7
簡單幾何體的三視圖、簡單幾何體的體積與表面積，空間想象能
力和運算求解能力
卷 1
卷 3
理 8
文 9
球的切接問題
圓柱的外接球問題及圓柱體積，空間想象能力和運算求解能力
本題長方體的外接球的表面積，空間想象能力和運算求解能力
2017
卷 2 文 15 球的切接問題


簡單幾何體的體積
主要以三棱錐為載體面面垂直的判定與性質(zhì)、簡單幾何體的體積
卷 1 文 18
簡單幾何體的表面積 與表面積計算，空間想象能力和運算求解能力．
卷 1 文 16 球的切接問題
三棱錐的體積與外接球的表面積，空間想象能力和運算求解能力
圓柱的外接球問題及圓柱體積的最值，空間想象能力和運算求解
卷 2
卷 2
理 8
球的切接問題
能力
理 4
文 6
三視圖與直觀圖
簡單幾何體的三視圖及其體積計算，空間想象能力和運算求解能
簡單幾何體的體積
力
主要以折疊問題為載體三棱錐體積的最大值，空間想象能力和運
卷 1 理 16 簡單幾何體的體積
算求解能力．
簡單幾何體的三視圖及表面的圖形，空間想象能力和運算求解能
卷 1
理 7
三視圖與直觀圖
力
圓錐的截面面積、線面角的計算、圓錐的體積計算，空間想象能
力與運算求解能力
卷 2 文 16 簡單幾何體的體積
卷 1
卷 3
文 5
理 10
文 12
簡單幾何體的表面積 圓柱的截面積與表面積，空間想象能力與運算求解能力
球的切接問題
球內(nèi)接三棱錐的體積最大值問題，空間想象能力與運算求解能力
2018
卷 3 文理 3 三視圖與直觀圖
卷 2 理 16 簡單幾何體的表面積
理 7
簡單組合體的三視圖與傳統(tǒng)文化，空間想象能力
圓錐中的線面角、圓錐的截面及圓錐的側(cè)面積，空間想象能力及
運算求解能力
簡單幾何體的三視圖及其表面上的最短距離問題，空間想象能力
及運算求解能力
卷 1
三視圖與直觀圖
文 9
空間線面垂直的判定與性質(zhì)、空間幾何體體積計算，空間想象能
力和運算求解能力
卷 2 文 17 簡單幾何體的體積
折疊問題中空間共面問題的判定、空間面面垂直的判定及及截面
的面積問題，空間邏輯推理能力及運算求解能力
卷 3 問 19 共面與共線問題
理 16
2019
卷 3
簡單幾何體的體積
簡單空間幾何體的體積及空間想象能力和運算求解能力
文 16
理 16
文 16
卷 2
球的切接問題
球與正多面體的內(nèi)接問題，空間想象能力和運算求解能力
球與多面體的內(nèi)接問題、球的體積，空間想象及運算求解能力
卷 1 理 12 球的切接問題
空間幾 何體的側(cè)面 正棱錐中截面直角三角形的應(yīng)用，正四棱錐的概念及面積的計算，
文理 3
理 10 球的切接問題
2020 卷 1
積
正四棱錐中截面的性質(zhì)
球與多面體的內(nèi)接問題，球的表面積


文 12
理 10
球的切接問題
球與正三棱錐的內(nèi)接問題，點面距的計算
卷 2 文 11
理 7
三視圖與直觀圖
三視圖與直觀圖
簡單幾何體的表面積
簡單幾何體的三視圖空間想象能力
理 9
簡單幾何體的三視圖及表面積計算，空間想象及運算求解能力
文 9
卷 3
理 15
球的切接問題
圓錐內(nèi)切球，球的體積計算
文 6
大數(shù)據(jù)分析*預(yù)測高考
出現(xiàn)頻率 2021 年預(yù)測
考
點
考點 74 共面與共線問題
考點 75 三視圖與直觀圖
1/45
因新課標(biāo)中已沒有簡單幾何體的三視圖，故在 2021 年高考中不
在考三視圖，重點考簡單幾何體的表面積或體積，理科為小題，
文科為解答題第二小題，難度為中檔題，球與簡單幾何體的切
接問題或與之有關(guān)的最大值，為題型為選擇題或填空題，難度
為難題
18/45
考點76簡單幾何體的表面積 8/45
考點 77 簡單幾何體的體積
考點 78 球的切接問題
20/45
19/45
十年試題分類*探求規(guī)律
考點 74 多面體與旋轉(zhuǎn)體的幾何特征、共面與共線問題
1．(2020 浙江 6)已知空間中不過同一點的三條直線m , n , l ，則“m , n , l 在同一平面”是“m , n , l 兩兩
相交”的
(
)
A．充分不必要條件
【答案】B
B．必要不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
【思路導(dǎo)引】將兩個條件相互推導(dǎo)，根據(jù)能否推導(dǎo)的結(jié)果判斷充分必要條件．
【解析】解法一：由條件可知當(dāng)m,n,l 在同一平面，則三條直線不一定兩兩相交，由可能兩條直線平行，或
三條直線平行，反過來，當(dāng)空間中不過同一點的三條直線m,n,l 兩兩相交，如圖，


三個不同的交點確定一個平面，則m,n,l 在同一平面，∴“m,n,l ”在同一平面是“m,n,l 兩兩相交”的必
要不充分條件，故選 B．
解法二：依題意m,n,l
是空間不過同一點的三條直線，
當(dāng)m,n,l 在同一平面時，可能m//n//l ，故不能得出m,n,l
兩兩相交．
當(dāng)m,n,l 兩兩相交時，設(shè)m?n = A,m?l = B,n?l = C
，根據(jù)公理2 可知
m,n
a
確定一個平面 ，而
B?m ìa,C?l ìa
BC即l ìa ，∴m,n,l
，根據(jù)公理 可知，直線
1
在同一平面．
兩兩相交”的必要不充分條件．故選 B．
2．(2020上海15)在棱長為10的正方體 ABCD- ABC D 中，P為左側(cè)面 ADD A 上一點，已知點 P到 A D
1
綜上所述，“m,n,l 在同一平面”是“m,n,l
1
1
1
1
1
1
1
的距離為 3， P到 AA 的距離為 2，則過點 P且與 AC 平行的直線相交的面是(
)
1
1
A． ABCD
【答案】A
B． BBC C C．CC D D
D． AAB B
1
1
1
1
1 1
【解析】如圖由條件可知直線 AP交線段 AD 于點 M ，連接MC ，過點 P 作 AC 的平行線，必與 MC 相
1
1
交，那么也與平面 ABCD相交，故選 A．
3．(2018 上海)《九章算術(shù)》中，稱底面為矩形而有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽馬．設(shè) AA1 是正六棱柱
的一條側(cè)棱，如圖，若陽馬以該正六棱柱的頂點為頂點，以 AA1 為底面矩形的一邊，則這樣的陽馬的
個數(shù)是( )


A．4
B．8
C．12
D．16
【答案】D
【解析】如圖以 AA 為底面矩形一邊的四邊形有 AAC C 、 AA B B、 AAD D 、 AAE E 4 個，每一個面
1
1
1
1
1
1
1
1 1
都有 4 個頂點，所以陽馬的個數(shù)為 16 個．故 選 D．
4．(2019?新課標(biāo)Ⅲ，文 19)圖 1 是由矩形 ADEB ，RtDABC 和菱形 BFGC 組成的一個平面圖形，其中 AB = 1 ，
BE = BF = 2 ，DFBC = 60° ．將其沿 AB ， BC 折起使得 BE 與 BF 重合，連接 DG ，如圖 2．
(1)證明：圖 2 中的 A ，C ，G ，D 四點共面，且平面 ABC ^ 平面 BCGE ；
(2)求圖 2 中的四邊形 ACGD 的面積．
【解析】(1)證明：由已知可得 AD / /BE ，CG / /BE ，即有 AD / /CG ，
則 AD ，CG 確定一個平面，從而 A ，C ，G ， D 四點共面；
由四邊形 ABED 為矩形，可得 AB ^ BE ，
由DABC 為直角三角形，可得 AB ^ BC ，
又 BCI
BE = E ，可得 AB ^ 平面 BCGE ，
AB ì 平面 ABC ，可得平面 ABC ^ 平面 BCGE ；
(2)連接 BG ， AG ，
由 AB ^ 平面 BCGE ，可得 AB ^ BG ，
在DBCG 中， BC = CG = 2 ，DBCG = 120°，可得 BG = 2BCsin 60° = 2 3 ，


AG = AB2 + BG2 = 13 ，
可得
在DACG 中， AC = 5 ，CG = 2， AG = 13 ，
4+5-13
2′2′ 5
1
2
可得cosDACG =
= -
，即有sinDACG =
，
5
5
2
則平行四邊形 ACGD 的面積為2′ 5 ′
= 4 ．
5
考點 75 三視圖與直觀圖
1．(2020 全國Ⅱ理 7)右圖是一個多面體的三視圖，這個多面體某條棱的一個端點在正視圖中對應(yīng)的點為
，
M
在俯視圖中對應(yīng)的點為 N ，則該端點在側(cè)視圖中對應(yīng)的點為
(
)
A． E
B． F
C．G
D． H
【答案】A
【思路導(dǎo)引】根據(jù)三視圖，畫出多面體立體圖形，即可求得 M 點在側(cè)視圖中對應(yīng)的點．
【解析】根據(jù)三視圖，畫出多面體立體圖形，
圖中標(biāo)出了根據(jù)三視圖 M 點所在位置，可知在側(cè)視圖中所對應(yīng)的點為 E ，故選：A．


2．(2018?新課標(biāo)Ⅰ，理 7 文 9)某圓柱的高為 2，底面周長為 16，其三視圖如圖．圓柱表面上的點 M 在正視
圖上的對應(yīng)點為 A ，圓柱表面上的點 N 在左視圖上的對應(yīng)點為B ，則在此圓柱側(cè)面上，從 M 到 N 的路徑
中，最短路徑的長度為(
)
A．2 17
B．2 5
C．3
D．2
【答案】B
【解析】由題意可知幾何體是圓柱，底面周長 16，高為：2，直觀圖以及側(cè)面展開圖如圖：
圓柱表面上的點 N 在左視圖上的對應(yīng)點為 B ，則在此圓柱側(cè)面上，從 M 到 N 的路徑中，最短路徑的長度：
22 +42 =2 5 ，故選 B ．
3．(2018?新課標(biāo)Ⅲ，理 3 文 3)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來．構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分
叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，
則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是(
)
A．
C．
B．
D．
【答案】A


【解析】由題意可知，如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，小的長方體，是榫頭，從
圖形看出，輪廓是長方形，內(nèi)含一個長方形，并且一條邊重合，另外 3 邊是虛線，所以木構(gòu)件的俯視圖是 A ，
故選 A ．
4．(2017?新課標(biāo)Ⅰ，理 7)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形
組成，正方形的邊長為 2，俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形
的面積之和為(
)
A．10
【答案】B
B．12
C．14
D．16
1
【解析】由三視圖可畫出直觀圖，該立體圖中只有兩個相同的梯形的面， S梯形
梯形的面積之和為6′ 2 = 12 ，故選 B ．
2
2 4
= ′ ′( + )= ，\這些
6
2
5．(2014 新課標(biāo)Ⅰ，理 12)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為 1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該
多面體的個條棱中，最長的棱的長度為( )


A．6 2
B ．4 2
C．6
D．4
【答案】C
【解析】如圖所示，原幾何體為三棱錐 D- ABC，其中 AB BC 4, AC 4 2 ， DB = DC = 2 5
，
=
=
=
2
( )
DA = 4 2 +4 = 6，故最長的棱的長度為 DA = 6，選 C
6．(2014 新課標(biāo) I，文 8)如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實線畫出的事一個幾何體的三視圖，則這個
幾何體是(
)
A．三棱錐
【答案】B
B．三棱柱
C．四棱錐
D．四棱柱
【解析】由三視圖知，該幾何體是放到的底面為等腰直角三角形的直三棱柱，故選 B．
7．(2013 新課標(biāo)Ⅱ，理 7 文 9)一個四棱錐的頂點在空間直角坐標(biāo)系O - xyz 的坐標(biāo)分別是(1，0，1)，(1，1，
0)，(0，1，1)，(0，0，0)，畫該四面體的正視圖時，以 zOx平面為投影面，則得到的正視圖可以為
【答案】A
【解析】根據(jù)題意可畫出如圖所示的四面體O- ABC，以 zOx平面為投影面，則 A 與 A'重合，B 與 B '重
合，故其正視圖可以為如圖所示，故選 A．


8．(2011?新課標(biāo)，理 6)在一個幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如右圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為
【答案】D【解析】由幾何體的正視圖與俯視圖知，其對應(yīng)的幾何體如圖所示是半個圓錐與棱錐的組合體，
故其側(cè)視圖選 D．
9．(2018 北京)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個數(shù)為


A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】解法一 將三視圖還原為直觀圖，幾何體是底面為直角梯形，且一條側(cè)棱和底面垂直的四棱錐，如
圖所示，易知，BC∥AD，BC =1，AD AB PA 2 ，
=
=
=
AB ^ AD ，PA ^
平面
ABCD，故DPAD
，
DPAB PA ^
為直角三角形，∵
ABCD ， BC ì
ABCD ， PA^ BC
BC ^ AB
，且
平面
平面
，又
PAI AB = A，∴ BC ^ 平面 PAB ，又 PB ì平面 PAB ．BC ^ PB，∴DPBC為直角三角形，容易求得
PC =3，CD = 5 ， PD = 2 2 ，故DPCD不是直角三角形，故選 C．
10．(2017 北京)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為
A．3 2
【答案】B
【解析】借助正方體可知粗線部分為該幾何體是四棱錐，
B．2 3
C．2 2
D．2


2
2
+2
2
+2 = 2 3．選 B．
2
最長的棱長是體對角線，所以
11．(2014 江西)一幾何體的直觀圖如右圖，下列給出的四個俯視圖中正確的是
【答案】B
【解析】由直觀圖可知，該幾何體由一個長方體和一個截角三棱柱組成．從上往下看，外層輪廓線是一個
矩形，矩形內(nèi)部有一條線段連接的兩個三角形，故選 B．
12．(2014 北京)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐最長棱的棱長為
．
【答案】2 2
【解析】由題意可知直觀圖如圖所示，結(jié)合三視圖有 PA 平面
^
ABC PA = 2 AB BC
，
，
=
=
2
， ，
CA= 2
PB = PA
2
+ AB
2
= 6 ， PC = PA
2
+ AC = 2 2，∴三棱錐最長棱的棱長為2 2 ．
2
所以


考點 76 簡單幾何體的表面積
1．(2020 全國 I 文理 3)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，以該四
棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正
方形的邊長的比值為
(
)
5 -1
5 -1
5 +1
5 +1
A．
B．
C．
D．
4
2
4
2
【答案】C
【思路導(dǎo)引】設(shè)CD = a,PE = b
1
PO
，則 PO
b
2
= CD×PE 得到關(guān)于a,b
，利用
的方程，解方程即可得到答案．
2
2
1
a
2
【解析】如圖，設(shè)CD = a,PE = b
PO = ab
，由題意
，即
=
PE2 -OE
2
=
b2
-
2
4
a
2
1
b
b 1+ 5
-
= ab，化簡得
4( )
2
-2× -1= 0
=
b
2
，解得
(負(fù)值舍去)，故選 C．
4
2
a
a
a
4
2．(2020 全國Ⅲ文 9 理 8)如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是
(
)


A．6+4 2
【答案】C
B．4+4 2
C．6+2 3
D．4+2 3
【思路導(dǎo)引】根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形，求出每個面的面積，即可求得其
表面積．
【解析】根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形，
1
S
= S△ADC = S△CDB = ′2′2 = 2
，根據(jù)勾股定理可得：AB = AD = DB = 2 2 ，
根據(jù)立體圖形可得：
△ABC
2
\
△ADB 是邊長為2 2 的等邊三角形，根據(jù)三角形面積公式可得：
1
1
3
\
= 2 3， 該幾何體的表面積是：3′2+ 2 3 = 6+ 2 3 ，
S△ADB = AB× AD×sin 60° = (2 2)
2
×
2
2
2
故選 C．
3．(2020 北京 4)某三棱柱的底面為正三角形，其三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積為
A．6+ 3 D．12+2 3
(
)
B．6+ 2 3
C．12+ 3


【 答 案 】 D 【 解 析 】 由 題 意 正 三 棱 柱 的 高 為 2 ， 底 面 的 邊 長 為 2 ， 該 三 棱 柱 的 表 面 積 為
1
3
3′2
2
+2′ ′2
2
′
=12+2 3，故選 D．
2
2
4．(2018?新課標(biāo)Ⅰ，文 5)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O ，O ，過直線O O 的平面截該圓柱所得
1
2
1
2
的截面是面積為 8 的正方形，則該圓柱的表面積為(
)
A．12 2p
【答案】B
B．12p
C．8 2p
D．10p
【解析】設(shè)圓柱的底面直徑為2R ，則高為2R ，圓柱的上、下底面的中心分別為O ，O ，
1
2
過直線O O 的平面截該圓柱所得的截面是面積為 8 的正方形，可得：4R =8 ，解得 R = 2 ，
2
1
2
則該圓柱的表面積為：pg( 2) ′2+ 2 2p ′2 2 =12p ，故選 B ．
2
5．(2016?新課標(biāo)Ⅰ，理 6 文 7)如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半
28p
徑．若該幾何體的體積是
，則它的表面積是(
)
3
A．17p
B．18p
C．20p
D．28p
【答案】A
1
7 4
28p
【解析】由題意可知三視圖復(fù)原的幾何體是一個球去掉 后的幾何體，如圖所示，∴ ′ p R
3
=
，解
8
8 3
3
7
3
得 R = 2 ．它的表面積是： ′4pg2
2
+ ′pg2
2
=17p ，故選 A ．
8
4


6．(2016?新課標(biāo)Ⅱ，理 6 文 7)如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為(
)
A．20p
B．24p
C．28p
D．32p
【答案】C
【解析】由三視圖知，空間幾何體是一個組合體，上面是一個圓錐，圓錐的底面直徑是 4，圓錐的高是2 3 ，
\在軸截面中圓錐的母線長是 12+ 4 = 4，\圓錐的側(cè)面積是p ′ 2 ′ 4 = 8p ，下面是一個圓柱，圓柱的底面
直徑是 4，圓柱的高是 4，\圓柱表現(xiàn)出來的表面積是p ′2
故選C ．
2
+ 2p ′2′4 = 20p ，\空間組合體的表 面積是28p ，
7．(2016?新課標(biāo)Ⅲ，理 9 文 10)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為 1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，
則該多面體的表面積為(
)
A．18+ 36 5
B．54 +18 5
C．90
D．81


【答案】B
【解析】由已知中的三視圖可得，該幾何體是一個斜四棱柱，如圖所示，其上底面和下底面面積為：
3′ 3′ 2 = 18 ， 側(cè) 面 的 面 積 為 ： (3′6 + 3′ 32 + 62 )′ 2 =18 +18 5 ， 故 棱 柱 的 表 面 積 為 ：
18′2 +18+18 5 = 54 +18 5 ，故選 B ．
8．(2015?新課標(biāo)Ⅰ，理 11)圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體，該幾何體三視
圖中的正視圖和俯視圖如圖所示．若該幾何體的表面積為16 + 20p ，則 r = (
)
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】B
【解析】由幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖可知，截圓柱的平面過圓柱的軸線，該幾何體是一個半球拼
1
1
1
1
接半個圓柱，\其表面積為： ′4pr
2
+ ′pr
2
+ ′2r′2pr + 2r′2r + ′pr
2
= 5pr
2
+ 4r ，又Q該幾何體
2
2
2
2
2
的表面積為16 + 20p ，\5pr
2
+ 4r =16+ 20p ，解得r = 2 ，故選B ．
2
9．(2015 陜西)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為


A．3p
B．4p
C．2p +4
D．3p +4
【答案】D
1
【解析】由三視圖知：該幾何體是半個圓柱，其中底面圓的半徑為 ，母線長為 ，所以該幾何體的表面積
2
1
2 1 1 2 2 2 3
′ p ′ ′( + )+ ′ = p +
4
，故選 D．
是
2
10．(2015 安徽)一個四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是
A．1+ 3
【答案】B
【解析】 在長、寬、高分別為 2、1、1 的長方體中，該四面體是如圖所示的三棱錐 P- ABC，表面積為
B．2+ 3
C．1+2 2 D．2 2
1
2
3
′1′2′2 +
′( 2) ′2 = 2+ 3
，故選 B．
2
4
11．(2014 安徽)一個多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的表面積為
C．21
A．21+ 3
B．18+ 3
D．18


【答案】A
1
3
S = 2′2′6- ′1′1+ 2′
′( 2) = 21+ 3 ，
2
【解析】如圖，將邊長為 2 的正方體截去兩個角，∴
故選 A．
表
2
4
12．(2014 浙江)某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的表面積是
A．90cm
2
B．129cm
2
C．132cm
2
D．138cm
2
【答案】D
【解析】由三視圖畫出幾何體的直觀圖，如圖所示，則此幾何體的表面積
S = S1 - S正方形 + S + 2S + S ，其中S 是長方體的表面積，S 是三棱柱的水平放置的一個側(cè)面的面積，
2
3
斜面
1
2
S3 是三棱柱的一個底面的面積，可求得 S =138(cm
)，選 D．
2
13．(2014 福建)以邊長為 1 的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于


A．2p
B．p
C．2
D．1
【答案】A
【解析】圓柱的底面半徑為 1，母線長為 1， S側(cè)
= 2p ′1′1= 2p ，故選 A．
14．(2014 陜西)將邊長為 1 的正方形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的側(cè)面積為
A．4p
B．3p
C．2p
D．p
【答案】C
【解析】由幾何體的形成過程知所得幾何體為圓柱，底面半徑為 1，高為 1，其側(cè)面積 S = 2prh = 2p ，故
選 C．
15．(2011 安徽)一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為
A．48
B．32+8 17
C．48+8 17
D．80
【答案】C
【解析】由三視圖可知該幾何體是底面為等腰梯形的放倒的一個直四棱柱，如圖，所以該四棱柱的表面積
1
S = 2′ ′(2+4)′4+4′4+2′4 +2′ 1+16′4 = 48+8 17 ，故選 C．
2
16．(2020 浙江 14】已知圓錐展開圖的側(cè)面積為2p ，且為半圓，則底面半徑為
【答案】1
．
【思路導(dǎo)引】利用題目所給圓錐側(cè)面展開圖的條件列方程組，由此求得底面半徑．
ìp ′r′l = 2p
?
，解得r =1,l = 2
，故答案為：1．
r
【解析】設(shè)圓錐底面半徑為 ，母線長為 ，則
l
í
1
2′p ′r = ′2′p ′l
?
?
2
7
17．(2018?新課標(biāo)Ⅱ，理 16)已知圓錐的頂點為 S ，母線SA ，SB 所成角的余弦值為 ，SA 與圓錐底面所成
8


角為 45°，若 DSAB 的面積為5 15 ，則該圓錐的側(cè)面積為
【答案】40 2p
．
7
7
15
8
【解析】圓錐的頂點為 S ，母線 SA ， SB 所成角的余弦值為 ，可得sinDASB = 1-( )
2
=
．DSAB 的
8
8
1
1
15
8
面積為5 15 ，可得 SA
2
sinDASB = 5 15 ，即 SA
2
′
= 5 15 ，即 SA = 4 5 ．SA 與圓錐底面所成角為45° ，
2
2
2
1
可得圓錐的底面半徑為：
′4 5 = 2 10 ，則該圓錐的側(cè)面積： ′4 10 ′4 5p = 40 2p ．
2
2
18．(2014 山東)一個六棱錐的體積為2 3 ，其底面是邊長為 2 的正六邊形，側(cè)棱長都相等，則該六棱錐的
側(cè)面積為
．
【答案】12
1
3
3
【解析】由題意知，該六棱錐是正六棱錐，設(shè)該六棱錐的高為h，則
′6′
′2 ′h = 2 3 ，解得h =1，
2
4
底面正六邊形的中心到其邊的距離為 3 ，故側(cè)面等腰三角形底邊上的高為 3+1 = 2，該六棱錐的側(cè)面積
1
為 ′12′2=12．
2
19．(2012 遼寧)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為
．
【答案】38
【解析】由三視圖知，此幾何體為一個長為 4，寬為 3，高為 1 的長方體中心，去除一個半徑為 1 的圓柱，
所以表面積為 (
2′ 4′3+4′1+3′1 +2p-2p=38
．
)
20．(2017?新課標(biāo)Ⅰ，文 18)如圖，在四棱錐 P - ABCD 中， AB / /CD ，且DBAP = DCDP = 90° ．
(1)證明：平面 PAB ^ 平面 PAD ；
8
(2)若 PA = PD = AB = DC ，DAPD = 90° ，且四棱錐 P - ABCD 的體積為 ，求該四棱錐的側(cè)面積．
3


【解析】證明：(1)Q在四棱錐 P - ABCD 中，DBAP = DCDP = 90° ，
\ AB ^ PA ，CD ^ PD ，
又 AB / /CD ，\ AB ^ PD ，
QPAIPD = P ，\ AB ^ 平面 PAD ，
Q AB ì 平面 PAB ，\平面
PAB ^
PAD ．
平面
解：(2)設(shè) PA = PD = AB = DC = a ，取 AD 中點O ，連結(jié) PO ，
Q PA = PD = AB = DC ，DAPD = 90° ，平面 PAB ^ 平面 PAD ，
2
\ PO ^ 底面 ABCD ，且 AD
=
a2
+a2
=
2a， PO =
a ，
2
8
Q四棱錐 P
- ABCD 的體積為 ，
3
由 AB ^ 平面 PAD ，得 AB ^ AD ，
1
\VP-ABCD = ′ S
′ PO
3
四邊形ABCD
1
1
2
1
8
= ′ AB′ AD′ PO = ′a′ 2a′
a = a
3
= ，
3
3
2
3
3
解得a = 2 ，\ PA = PD = AB = DC = 2 ， AD = BC = 2 2 ， PO = 2 ，
\PB = PC = 4+ 4 = 2 2 ，
\該四棱錐的側(cè)面積：
S側(cè) = SDPAD
+ SDPAB + SDPDC + SDPBC
1
1
1
1
BC
2
2
= ′PA′PD+ ′PA′ AB+ ′PD′DC + ′BC′ PB
2
-(
)
2
2
2
2
1
1
1
1
= ′2′2+ ′2′2+ ′2′2+ ′2 2 ′ 8- 2
2
2
2
2
= 6 + 2 3 ．
21．(2015?新課標(biāo)Ⅰ，文 18)如圖，四邊形 ABCD 為菱形，G 為 AC 與 BD 的交點， BE ^ 平面 ABCD ．


(Ⅰ)證明：平面 AEC ^ 平面 BED ；
6
(Ⅱ)若DABC = 120°， AE ^ EC ，三棱錐 E - ACD 的體積為
，求該三棱錐的側(cè)面積．
3
【解析】證明：(Ⅰ)Q四邊形 ABCD 為菱形，
\ AC ^ BD ，
Q BE ^ 平面 ABCD ，
\ AC ^ BE ，
則 AC ^ 平面 BED ，
Q AC ì 平面 AEC ，
\平面
平面
AEC ^
BED ；
3
x
(Ⅱ)設(shè) AB = x ，在菱形 ABCD 中，由DABC = 120°，得 AG = GC =
x ，GB = GD = ，
2
2
Q BE ^ 平面 ABCD ，
\ BE ^ BG ，則DEBG 為直角三角形，
1
3
\EG = AC = AG =
x ，
2
2
2
則 BE = EG
2
- BG
2
=
x ，
2
1 1
的體積V = ′ ACgGDgBE =
ACD
6
6
Q三棱錐
-
x
3
=
，
E
3 2
24
3
解得 x = 2 ，即 AB = 2 ，
QDABC =120° ，
1
\AC
2
= AB
2
+ BC - 2ABgBCcos ABC = 4+ 4- 2′2′2′(- ) =12 ，
2
2
即 AC = 12 = 2 3 ，
在三個直角三角形 EBA ， EBD ， EBC 中，斜邊 AE = EC = ED ，
+ EC = AC =12 ，即2AE
Q AE ^ EC ，\ DEAC 為等腰三角形，則
AE
2
2
2
2
=12，
1
1
\AE
2
= 6 ，則 AE = 6 ，\從而得 AE = EC = ED = 6 ，\ DEAC 的面積 S = ′ EAgEC = ′ 6 ′ 6 = 3 ，
2
2


1
1
在等腰三角形 EAD 中，過 E 作 EF ^ AD 于F ，則 AE = 6 ，AF = AD = ′2 =1，則 EF = ( 6)
2
-12
= 5 ，
2
2
1
\DEAD 的面積和DECD 的面積均為 S = ′2′ 5 = 5 ，故該三棱錐的側(cè)面積為3+ 2 5 ．
2
考點 77 簡單幾何體的體積
1．(2020 浙江 5)某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的體積(單位：cm3 )是
(
)
7
3
14
3
A．
B．
C．3
D．6
【答案】A
【思路導(dǎo)引】根據(jù)三視圖還原原圖，然后根據(jù)柱體和錐體體積計算公式，計算出幾何體的體積．
【解析】如圖，幾何體是上下結(jié)構(gòu)，下面是三棱柱，底面是等腰直角三角形，斜邊為 2，高為 1，三棱柱的
高是 2，上面是三棱錐，平面 DAC ^ 平面 ABC ，且 DA = DC ，三棱錐的高是 1，∴幾何體的體積
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
V = ′2′1′2+ ′ ′2′1′1= ，故選 A．
3 2
7
2
3


2．(2017?新課標(biāo)Ⅱ，理 4 文 6)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為 1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，
該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為(
)
A．90p
B．63p
C．42p
D．36p
【答案】B
【解析】由三視圖可得，直觀圖為一個完整的圓柱減去一個高為 6 的圓柱的一半，
1
V =pg3
2
′10- gpg3
2
′6 = 63p ，故選 B ．
2
3．(2015?新課標(biāo)Ⅰ，理 6)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米
依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺．問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個


圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為 8 尺，米堆的高為 5 尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知
1 斛米的體積約為 1．62 立方尺，圓周率約為 3，估算出堆放的米約有(
)
A．14 斛
B．22 斛
C．36 斛
D．66 斛
【答案】B
p
16
p
1 1
16
p
320
9
【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為 r ，則 r =8，解得r = ，故米堆的體積為 ′ ′p ′( )
2
′5 ?
，Q1 斛
2
4 3
320
9
米的體積約為 1．62 立方，\
?1.62 ? 22，故選 B ．
4．(2015?新課標(biāo)Ⅱ，理 6)一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積
與剩余部分體積的比值為(
)
1
1
7
1
6
1
5
A．
B．
C．
D．
8
【答案】D
【解析】設(shè)正方體的棱長為 1，由三視圖判斷，正方體被切掉的部分為三棱錐，\正方體切掉部分的體積為
1 1 1 5
1
1
′ ′1′1′1= ，\剩余部分體積為1- = ，\截去部分體積與剩余部分體積的比值為 ，故選 D ．
3 2 6 6
6
5
5．(2014 新課標(biāo)Ⅱ，理 6 文 6)如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為 1(表示 1cm)，圖中粗線畫出的是某零件
的三視圖，該零件由一個底面半徑為 3cm，高為 6cm 的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來


毛坯體積的比值為(
)
17
27
5
9
10
27
1
3
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】原來毛坯體積為：p ×3
2
×6 = 54p(cm
2
)，由三視圖得，該零件由左側(cè)底面半徑為 2cm，高為 4cm
)，
) ，所以切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為
p ×2
2
×4+p ×3
2
×2 = 34p(cm
2
的圓柱和右側(cè)底面半徑為3cm，高為2cm的圓柱構(gòu)成，所以該零件的體積為：
54p -34p = 20p(cm
2
則切削掉部分的體積為
20p 10
54p 27
=
，故選 C．
6．(2014 新課標(biāo)Ⅱ，文 7)正三棱柱 ABC - ABC 的底面邊長為2 ，側(cè)棱長為 3 ，D 為 BC中點，則三棱
1
1 1
錐 A- B DC 的體積為
1
1
3
2
3
A．3
B．
C．1
D．
2
【答案】C
【解析】連結(jié) AD，∵△ABC 是正三角形，且 D 是 BC 的中點，∴AD⊥BC，∵ BB ⊥面 ABC，∴ BB ⊥
1
1
AD ， ∵ BB ∩ BC=B ， ∴ AD ⊥ 面 BBC C ， ∴ AD 是 三 棱 錐 A- B DC 的 高 ， ∴
1
1
1
1
1
1
1
3
VA-B1DC1 = S
gAD=
′ 3′ 3
=1，故選 C．
DDBC
3
7．(2013 新課標(biāo)Ⅰ，理 8 文 11)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為


A．16+8p
B
．8+8p
C．16+16p
D．8+16p
【答案】A
【解析】由三視圖知，該幾何體為放到的半個圓柱底面半徑為 2 高為 4，上邊放一個長為 4 寬為 2 高為 2 長
1
方體，故其體積為
p ′2 ′4+4′2′2 =16+8p ，故選 A．
2
2
8．( 2012?新課標(biāo)，理 7 文 7)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為 1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此
幾何體的體積為(
)
A．6
【答案】B
B．9
C．12
D．18
【解析】該幾何體是三棱錐，底面是俯視圖，三棱錐的高為 3，底面三角形斜邊長為 6，高為 3 的等腰直角
1 1
三角形，此幾何體的體積為V = ′ ′6′3′3= 9 ，故選 B ．
3 2
9．(2019 浙江 4)祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r代的偉大科學(xué)家．他提出的“冪勢既同，則積不容異”稱為祖暅原理，
利用該原理可以得到柱體體積公式 V 柱體=Sh，其中 S 是柱體的底面積，h 是柱體的高．若某柱體的三視圖
如圖所示，則該柱體的體積是


A．158
【答案】B
【解析】由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體為直五棱柱，底面五邊形的面積可用兩個直角梯形的面積
B．162
C．182
D．32
1
1
求解，即 S五邊形ABCDE = (4+6)′3+ (2+6)′3= 27，高為6，則該柱體的體積是
V = 27′6 =162
，故
2
2
選B．
10．(2018 浙江)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3 )是
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】C
【解析】由三視圖可知，該幾何體是一個底面為直角梯形的直四棱柱，所以該幾何體的體積
1
V = ′(1+2)′2′2 =6．故選 C．
2
11．(2017 浙江)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3 )是(
)


p
p
3p
3p
A． +1
B． +3
C．
+1
D．
+3
2
2
2
2
【答案】A
【解析】該幾何體是由一個高為 3 的圓錐的一半，和高為 3 的三棱錐組成(如圖)，
1 1
( ′p ′1
1 1
′3)+ ( ′2′1′3) = +1．選 A．
3 2
p
2
其體積為：
3 2
2
12．(2016 山東)一個由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示．則該幾何體的體積為
1 2
+ π
1
3
2π
1
3
2π
D．1+ 2π
+
+
A．
B．
C．
3 3
3
6
6
【答案】C


1
1
【解析】由三視圖可知，四棱錐的底面是邊長為 1 的正方形，高為 1，其體積
V = ′1
2
′1= ，設(shè)半球的
1
3
3
2
1 4p
V = ′
2
3
2
2
半徑為R ，則2R = 2 ，即 R
，所以半球的體積
=
′(
)
=
p
，故該幾何體的體積
2
2
2
3
6
1
2
V =V +V = +
p ．故選 C．
1
2
3
6
13．(2015 浙江)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積是
32
40
A．8cm
3
B．12cm
3
C． cm
3
D． cm
3
3
3
【答案】C
1
32
【解析】由題意得，該幾何體為一立方體與四棱錐的組合，∴體積V = 2
3
+ ′2
2
′2 =
，故選 C．
3
3
14．(2015 重慶)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為
1
2
1
2
A． +p
B． +p
C． +2p
D． +2p
3
3
3
3
【答案】A
1
1 1
′2+ ′( ′′1′2)′1=p +
1
V = p ′1
2
【解析】這是一個三棱錐與半個圓柱的組合體，
，選 A．
2
3 2
3
15．(2015 湖南)某工件的三視圖如圖 3 所示，現(xiàn)將該工件通過切割，加工成一個體積盡可能大的長方體新
工件，并使新工件的一個面落在原工件的一個面內(nèi)，則原工件材料的利用率為(材料利用率


新工件的體積
原工件的體積
=
)
8
9p
16
9p
-
4( 2 1)3
-
12( 2 1)3
A．
B．
C．
D．
p
p
【答案】A
【解析】由圓錐的對稱性可知，要使其內(nèi)接長方體最大，則底面為正方形，令此長方體底面對角線長為2x，
x 2-h
高為h，則由三角形相似可得， =
，所以h = 2-2x， x?(0,1)，長方體體積
1
2
x+ x+2-2x
16
27
2
V長方體 =( 2x)
2
h = 2x
2
(2-2x)≤2(
)
3
=
，當(dāng)且僅當(dāng) x = 2-2x，即 x = 時取等號，
3
3
16
8
1
2p
27
V = p ′1
2
′2 =
，故材料利用率為
=
，選 A．
p
圓錐
3
3
2
9p
3
16．(2014 遼寧)某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為
p
p
A．8-2p
B．8-p
C．8-
D．8-
2
4
【答案】B


1
【解析】直觀圖為棱長為 2 的正方體割去兩個底面半徑為 l 的 圓柱，所以該幾何體的體積為
4
1
2
3
-2′p ′1 ′2′ =8-p ，故選 B．
2
4
17．(2013 江西)一幾何體的三視圖如右所示，則該幾何體的體積為
A．200+9π
【答案 】A
B．200+18π
C．140+9π
D．140+18π
【解析】還原后的直觀圖是一個長寬高依次為 10，6 ，5 的長方體上面是半徑為 3 高為 2 的半個圓柱，故
選 A．
18．(2012 廣東)某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為
A．12π
B．45π
C．57π
D．81π
【答案】C
1
【解析】幾何體是圓柱與圓錐疊加而成它的體積為V
=p ′
3 ′5+ p ′
2
3
2
′
5 3 =57p ，故選 C
2
-
2
3
19．(2012 湖北)已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為


8π
3
10π
3
A．
B．3π
C．
D．6π
【答案】B
1
【解析】由三視圖可知該幾何體的體積：V =p ′1
2
′2+ ′p ′1 ′2=3p ，故選 B．
2
2
20．(2020 江蘇 9)如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形
邊長為2cm，高為2cm，內(nèi)孔半徑為0.5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是
cm3 ．
p
【答案】12 3 -
2
【解析】記此六角螺帽毛坯的體積為V ，正六棱柱的體積為V1 ，內(nèi)孔的體積為正六棱
1
p
柱的體積為V2 ，則
V = 6′ ′2′2′sin 60°′2 =12 3,V =p ′(0.5)
1
2
2
′2 =
，
2
2
p
∴V =V -V =12 3 -
．
1
2
2
21．(2019?新課標(biāo)Ⅲ，理 16 文 16)學(xué)生到工廠勞動實踐，利用3D 打印技術(shù)制作模型，如圖，該模型為長方
體 ABCD - ABC D ，挖去四棱錐O - EFGH 后所得的幾何體，其中O 為長方體的中心， E ， F ，G ， H ，
1
1
1
1
分別為所在棱的中點，AB = BC = 6cm ，AA1 = 4cm，3D 打印所用原料密度為0.9g / cm3 ，不考慮打印損耗，
制作該模型所需原料的質(zhì)量為 g ．


【答案】118．8
【解析】該模型為長方體 ABCD - ABC D ，挖去四棱錐O - EFGH 后所得的幾何體，其中O 為長方體的中
1
1
1
1
心， E ， F ，G ，H ，分別為所在棱的中點， AB = BC = 6cm ， AA1 = 4cm，
1
1
\該模型體積為：V
-VO-EFGH = 6′6′4- ′(4′6- 4′ ′3′2)′3
ABCD-A B C D
1
1
1
1
3
2
=144-12 =132(cm3) ，Q 3D 打印所用原料密度為0.9g / cm3
質(zhì)量為：132′0.9 =118.8(g) ．
，不考慮打印損耗， 制作該模型所需原料的
\
22．(2018?新課標(biāo)Ⅱ，文 16)已知圓錐的頂點為 S ，母線 SA ，SB 互相垂直，SA 與圓錐底面所成角為30° ．若
DSAB 的面積為 8，則該圓錐的體積為
【答案】8p
．
1
【解析】圓錐的頂點為 S ，母線 SA ，SB 互相垂直，DSAB 的面積為 8，可得： SA =8，解得SA = 4 ，SA
2
2
與圓錐底面所成角為 30° ．可得圓錐的底面半徑為： 2 3 ，圓錐的高為：2，則該圓錐的體積為：
1
V = ′p ′(2 3)
2
′2 = 8p ．
3
23．(2017?新課標(biāo)Ⅰ，理 16)如圖，圓形紙片的圓心為O ，半徑為5cm ，該紙片上的等邊三角形 ABC 的中心
為O ． D 、 E 、F 為圓O 上的點，DDBC ，DECA ，DFAB 分別是以 BC ，CA ， AB 為底邊的等腰三角
形．沿虛線剪開后，分別以 BC ，CA ， AB 為折痕折起DDBC ，DECA ，DFAB ，使得D 、E 、F 重合，
得到三棱錐．當(dāng)DABC 的邊長變化時，所得三棱錐體積(單位：cm3) 的最大值為
．
【答案】4 15cm
3
3
【解析】解法一：由題意，連接OD ，交 BC 于點G ，由題意得OD ^ BC ，OG =
BC ，
6
即 OG 的 長 度 與 BC 的 長 度 成 正 比 ， 設(shè) OG = x ， 則 BC = 2 3x ， DG = 5 - x ， 三 棱 錐 的 高


1
3
h = DG2 -OG2 = 25-10x+ x2 - x2 = 25-10x ， SDABC = ′
′(2 3x)
2
= 3 3x ，
2
2
2
1
5
則V = S
′h = 3x
2
′ 25-10x = 3g 25x
4
-10x f (x) = 25x4 -10x5 ，x?(0, )，f￠(x) =100x3 -50x4 ，
，令
5
DABC
3
2
f ￠(x) 3 0，即 x4 -2x
，解得
3
￡
0
x ￡ 2
，則
f (x) f (2) 80，∴V ￡ 3′ 80 = 4 15cm
，\體積
￡
=
3
令
最大值為4 15cm
3
．
1
3
3
3
解法二：如圖，設(shè)正三角形的邊長為 x ，則OG = ′
x =
x ，\FG = SG = 5 -
x ，
3
2
6
6
3
3
x)2 = 5(5 - 3) ，
1
SO = h = SG2 - GO2 = (5 -
x)2 - (
\三棱錐的體積V =
3SDABC gh
6
6
3
1
3
3
15
3
3
5 3
= ′
′ 5(5 -
x) =
5x4 -
x5 ，令b(x) =5x
4
-
x
5
，則b￠(x) = 20x
3
-
4
x ，
3
4
3
12
3
3
3
x
4
75
令b￠(x) = 0，則 4x
3
-
=0，解得 x = 4 3 ，\Vmax
=
′48′ 5- 4 = 4 15(cm
3
) ．
3
12
24．(2019 北京 11)某幾何體是由一個正方體去掉一個四棱柱所得，其三視圖如圖所示．如果網(wǎng)格紙上小正
方形的邊長為 1，那么該幾何體的體積為________．


【答案】40
【解析】由三視圖還原原幾何體如圖所示，該幾何體是把棱長為 4 的正方體去掉一個四棱柱，則該幾何體
1
′(
)′ ′ ．
2+4 2 4=40
的體積V V
=
= ′ ′
-V四棱柱 4 4 4-
正方體
2
25．(2018 天津)已知正方體 ABCD - ABC D 的棱長為 1，除面 ABCD 外，該正方體其余各面的中心分別
1
1
1
1
為點 E，F(xiàn)，G，H，M(如圖)，則四棱錐M EFGH 的體積為
-
．
1
【答案】
12
【解析】連接 AD ，CD ，B A，BC ， AC ，因為E ，H 分別為 AD ，CD 的中點，所以 EH ∥ AC ，
1
1
1
1
1
1
1
1
EH = AC，因為F ，G分別為 B A， BC 的中點，所以 FG ∥ AC ， FG = AC，所以 EH ∥FG，
1
1
2
2


EH = FG ，所以四邊形 EHGF 為平行四邊形，又 EG = HF ，EH = HG，所以四邊形 EHGF 為正方形，
1
1
3
2)2
1
1
又點 M 到平面 EHGF 的距離為 ，所以四棱錐 M -EFGH 的體積為
′(
′ =
2 12
．
2
2
26．(2018 江蘇)如圖所示，正方體的棱長為 2，以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為
．
4
【答案】
3
【解析】正方體的棱長為 2，以其所有面的中心為頂點的多面體是正八面體，其中正八面體的所有棱長都是
1
3
4
3
2
′( 2) ′2 =
2
，則該正八面體的體積為
．
1
27．(2017 山東)由一個長方體和兩個 圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為
．
4
p
【答案】2+
2
【解析】由三視圖可知，長方體的長、寬、高分別為 2，1，1，圓柱的高為 1，底面圓半徑為 1，所以
π′1
2
π
V = 2′1′1+2′
′1= 2+ ．
4
2
28．(2016 天津)已知一個四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示(單位：m)，則該四棱錐
的體積為_______m3 ．


【答案】2
【解析】根據(jù)三視圖可知該四棱錐的底面是底邊長為 2m，高為 1m 的平行四邊形，四棱錐的高為 3m，故其
1
體積為 ′2′1′3= 2 (
3 )．
m
3
29．(2015 天津)一個幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為
m3 ．
8
【答案】 p
3
【解析】由三視圖可知，該幾何體是中間為一個底面半徑為1，高為2 的圓柱，兩端是底面半徑為1，高為
1
8
1的圓錐，所以該幾何體的體積V =1
2
′p ′2+2′ ′1 ′p ′1= p ．
2
3
3
S1 =
S2
9
4
30．(2014 江蘇)設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面分別為S ，S ，體積分別為V ，V ，若它們的側(cè)面積相等，且
，
1
2
1
2
V1
V2
則
的值是
．
3
【答案】
2
S
9
4
r
3
2
【解析】設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面半徑分別是r,r ，母線長分別是l ,l ．則由
1
=
，可得
．
1
=
．又兩
1
2
1
2
S2
r2
l
r
2
3
V1 S l 9 2 3
1 1 = ′ =
V2 S l
4 3 2
個圓柱的側(cè)面積相等，即2prl = 2pr l ，則 1
=
=
，所以
=
1
1 1
2 2
l
r2
2
2 2
ABC - ABC
D,E,F
中，
AB,AC,AA
1
F - ADE
的中點，設(shè)三棱錐
31．(2013 江蘇)如圖，在三棱柱
分別是
1
1
1


V
ABC - ABC 的體積為V
V :V =
，則
1 2
的體積為 ，三棱柱
．
1
1
1
1
2
C1
B1
A
1
F
C
E
B
A
D
【答案】1：24
F - ADE
A1 - ABC
A1 - ABC
的 相似比為 1：2，故體積 之比為 1：8．又因三棱錐
【解析】三棱錐
與三棱錐
A B C - ABC
F - ADE
A B C - ABC
與三棱柱 的體積之
1 1 1
與三棱柱
的體積之比為 1：3．所以，三棱錐
1
1
1
比為 1：24．
32．(2011 福建)三棱錐 P- ABC 中， PA ⊥底面 ABC， PA =3，底面 ABC是邊長為 2 的正三角形，則三
棱錐 P- ABC 的體積等于______．
【答案】 3
1
1
1
V = PA×S
= ×3× ×2×2×sin 60 = 3
o
【解析】
DABC
3
3
2
33．(2019?新課標(biāo)Ⅱ，文17)如圖，長方體 ABCD - ABC D 的底面 ABCD 是正方形，點 E 在棱 AA 上，BE ^ EC ．
1
1
1
1
1
1
(1)證明： BE ^ 平面 EBC ；
1
1
(2)若 AE = A E ， AB = 3 ，求四棱錐 E - BB C C 的體積．
1
1
1
【解析】(1)證明：由長方體 ABCD - ABC D ，可知
1
1
1
1
BC ^平面 ABB A ， BE ì平面 ABB A ，
1
1
1
1
1 1
\BC ^ BE ，
1
1
QBE ^ EC ， B C EC = C ，
I
1
1
1
1
1


\ BE ^ 平面 EBC ；
1
1
(2)由(1)知DBEB = 90° ，由題設(shè)可知RtDABE @ Rt △ A B E ，
1
1
1
\DAEB = DA EB = 45°，\
AE = AB
3
= ， AA = 2AE = 6 ，
1
1
1
Q在長方體 ABCD - ABC D 中， AA / / 平面 BBC C ， E? AA ，
^ 平面 BBC C ，
1 1
AB
1
1
1
1
1
1
1
1
\ E 到平面 BBC C 的距離d = AB = 3 ，
1
1
1
\四棱錐 E - BB C C 的體積V = ′3′6′3=18．
1
1
3
34．(2016?新課標(biāo)Ⅰ，文 18)如圖，已知正三棱錐 P - ABC 的側(cè)面是直角三角形，PA = 6 ，頂點 P 在平面 ABC
內(nèi)的正投影為點 D ，D 在平面 PAB 內(nèi)的正投影為點E ，連接 PE 并延長交 AB 于點G ．
(Ⅰ)證明：G 是 AB 的中點；
(Ⅱ)在圖中作出點 E 在平面 PAC 內(nèi)的正投影F (說明作法及理由)，并求四面體 PDEF 的體積．
【解析】(Ⅰ)證明：Q P - ABC 為正三棱錐，且 D 為頂點 P 在平面 ABC 內(nèi)的正投影，
\ PD ^ 平面 ABC ，則 PD ^ AB ，
又E 為D 在平面 PAB 內(nèi)的正投影，
\ DE ^ 面 PAB ，則 DE ^ AB ，
QPDIDE = D ，
\ AB ^ 平面 PDE ，連接 PE 并延長交 AB 于點G ，
則 AB ^ PG ，
又 PA = PB ，
\G 是 AB 的中點；
(Ⅱ)在平面 PAB 內(nèi)，過點 E 作 PB 的平行線交 PA 于點 F ， F 即為 E 在平面 PAC 內(nèi)的正投影．
Q正三棱錐
-
ABC 的側(cè)面是直角三角形，
P
\ PB ^ PA ， PB ^ PC ，
又 EF / /PB ，所以 EF ^ PA ， EF ^ PC ，因此 EF ^ 平面 PAC ，
即點 F 為 E 在平面 PAC 內(nèi)的正投影．
連結(jié)CG ，因為P 在平面 ABC 內(nèi)的正投影為 D ，所以 D 是正三角形 ABC 的中心．
2
由(Ⅰ)知，G 是 AB 的中點，所以 D 在CG 上，故CD = CG ．
3


2
1
由題設(shè)可得 PC ^ 平面 PAB ， DE ^ 平面 PAB ，所以 DE / /PC ，因此 PE = PG ， DE = PC ．
3
3
由已知，正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且 PA = 6 ，可得 DE = 2 ， PG = 3 2 ， PE = 2 2 ．
在等腰直角三角形 EFP 中，可得 EF = PF = 2 ．
1
1
1
4
所以四面體 PDEF 的體積V = ′ DE′ S
= ′2′ ′2′2 = ．
DPEF
3
3
2
3
35．(2015?新課標(biāo)Ⅱ，文 19)如圖，長方體 ABCD - ABC D 中， AB = 16 ，BC = 10 ， AA = 8，點 E ，F(xiàn) 分
1
1
1
1
1
別在 AB ， D C 上， AE = D F = 4．過 E ， F 的平面a 與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形
1
1
1
1
1
1
(Ⅰ)在圖中畫出這個正方形(不必說出畫法和理由)
(Ⅱ)求平面a 把該長方體分成的兩部分體積的比值．
【解析】(Ⅰ)交線圍成的正方形 EFGH 如圖所示；
(Ⅱ)作 EM ^ AB ，垂足為 M ，則 AM = AE = 4， EB =12 ， EM = AA =8．
1
1
1
因為 EFGH 為正方形，所以 EH = EF = BC = 10 ，
MH = EH2 - EM2 =6，
于是
AH = 10
，
HB = 6 ．
因為長方體被平面a 分成兩個高為 10 的直棱柱，
9
所以其體積的比值為 ．
7
36．(2014 新課標(biāo)Ⅱ，文 18)如圖，四棱錐 P- ABCD中，底面 ABCD為矩形， PA 平面
^
ABCD，E
PD
是
的中點．


(Ⅰ)證明： PB //平面 AEC；
(Ⅱ)設(shè) AP =1,AD = 3，三棱錐 P ABD 的體積
3
-
V =
A
PBC
，求 到平面 的距離．
4
【解析】(Ⅰ)證明：連結(jié)BD 交 AC 于點O，連結(jié)OE．
∵底面 ABCD為矩形，
∴點O為 BD 的中點，又E 為PD 的中點，
∴OE P PB
∵OE ì平面 AEC， PB ?平面 AEC，
∴PB P 平面 AEC
(Ⅱ)∵底面 ABCD為矩形， PA 平面
^
ABCD
，
1
3
3
∴VP-ABD = PA′AB′AD=
，PA⊥BC，BC⊥AB，
AB=
6
6
4
3
∴AB= ，BC⊥面 PAB，
2
^
過 A 在平面 PAB 內(nèi)作 AH PB 交 PB 于 H，∴BC⊥AH，
∵PB∩
BC=B， ∴AH⊥面 PBC，
13
2
PA× AB 3 13
=
在直角三角形 PAB 中，
PB = PA
2
+ AB2 =
，∴ AH =
PB
13
3 13
∴A 到平面 PBC 的距離為
．
13
37．(2013 新課標(biāo)Ⅰ，文 19)如圖，三棱柱 ABC-A B C 中，CA=CB，AB=A A ，∠BAA =600．
1
1
1
1
1
(Ⅰ)證明 AB⊥A1C；
(Ⅱ)若 AB=CB=2，A C= ，求三棱柱 ABC-A B C 的體積
1
1
1 1
【解析】(Ⅰ)取AB中點E，連結(jié)CE， AB， AE，
1
1


∵AB= AA ，DBAA =
600 ，∴DBAA1是正三角形，
1
1
∴ A1E⊥AB， ∵CA=CB， ∴CE⊥AB， ∵CE ? AE =E，∴AB⊥面CEA ， ∴AB⊥ AC ；
1
1
1
(Ⅱ)∵AB=AC=BC=2，∴CE= 3 ，在正DBAA 中，AB=2， ∴ AE= 3 ，
1
1
= A1E
2
+CE2 ，∴ A1E⊥CE，
∵A1C= ，∴
AC
1
2
由(Ⅰ)知 AE⊥AB，AB∩CE=E，∴ AE⊥面ABC，
1
1
∴ AE是三棱錐 ABC - ABC 的高，
1
1 1 1
3
∴三棱錐 ABC - ABC 的體積為 S
′ A1E =
DABC
′2 ′ 3
2
=3．
1
1
1
4
38．(2013 新課標(biāo)Ⅱ，文 18)如圖，直三棱柱 ABC - ABC 中， D， E 分別是 AB ， BB 的中點．
1
1
1
1
(Ⅰ)證明： BC / / 平面 ACD ；
1
1
1
(Ⅱ)設(shè) AA = AC = CB = 2， AB = 2 2 ，求三棱錐C - ADE 的體積．
1
1
【解析】(Ⅰ)連結(jié) AC 交 AC 于點 F，連結(jié) DF，
1
1
∴F 為 AC1的中點，
又∵D 是 AB 中點，
則 BC1 ∥DF，
∵DFì面 A1CD ， BC1
面
，
? ACD
1
∴ BC ∥面 ACD
1
1
(Ⅱ) ∵ ABC - ABC 是直三棱柱，
1
1 1
∴ AA1 ⊥CD，
∵AC=CB，D 是 AB 的中點，


∴CD⊥AB，
∵ AA1 ∩AB=A，
∴CD⊥面 AA B B，
1
1
由 AA1 =AC=CB=2，AB=2 2 得，∠ACB=
90o ，CD= 2， A D = 6 ，DE= 3 ， AE=3，
1 1
A D
1
2
+ DE = A1E2 ，即 DE ^ AD
1
2
．
∴
1 1
∴VC-A1DE = ′ ′ 6′ 3′ 2=1．
3 2
1
2
39．(2012?新課標(biāo)，文 19)如圖，三棱柱 ABC - ABC 中，側(cè)棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC= AA ，D
1
1
1 1
是棱 AA1 的中點．
(Ｉ) 證明：平面 BDC1 ⊥平面 BDC1
(Ⅱ)平面 BDC1 分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比．
【解析】(Ⅰ)由題設(shè)知 BC⊥CC ，BC⊥AC，CC ? AC =C ，∴ BC ^面 ACC A ，
又∵ DC1 ì面
1
1
1 1
ACC A ，∴ DC ^ BC ，
1
1
1
DA DC = DADC = 45
0
DCDC 90
0
DC1 ^ DC
由題設(shè)知
，∴
=
1
，即
，
1
1
又∵ DC?BC =C， ∴ DC1 ⊥面 BDC ，
∴面 BDC ⊥面 BDC1 ；
∵ DC ì面 BDC ，
1
1
1 1+2
1
(Ⅱ)設(shè)棱錐 B-DACC 的體積為V ， AC =1，由題意得，V = ′
′1′1= ，
1
1
1
3
2
2
由三棱柱 ABC - ABC 的體積V =1，
1
1 1


∴(V -V ):V =1：1， ∴平面 BDC 分此棱柱為兩部分體積之比為 1：1．
1
1
1
40．(2014 廣東)如圖 2，四邊形 ABCD為矩形， PD ⊥平面 ABCD， AB 1，
=
BC = PC = 2
，作如圖 3
折疊，折痕 EF ∥ DC ．其中點 E ， F 分別在線段 PD ， PC上，沿 EF 折疊后點 P 在線段 AD 上的
點記為M ，并且 MF ⊥CF ．
(Ⅰ)證明：CF ⊥平面 MDF ；
(Ⅱ)求三棱錐 M
- CDE
的體積．
【解析】(Ⅰ)證明： PD 平面
^
ABCD,PD ì PCD,
∴平面
PCD ^
平面
，
ABCD，
平面 PCD I平面 ABCD =CD，MD ì 平面
ABCD， MD ^ CD
∴MD 平面
^
PCD，
CF ì平面PCD,\CF ^ MD,又CF ^ MF,MD,MF ì平面MDF,
MDIMF = M ，∴CF ^ 平面MDF ．
(Ⅱ)QCF ^平面MDF,\CF ^ DF,又易知DPCD = 60
0
,\DCDF =30 ,
0
1
1
從而CF= CD= ,
2
2
1
DE CF
,即DE = 2 ,\DE =
3
3 3
QEF∥DC,\
=
,\PE =
,
DP CP
3 2
4
4
1
3
3 3
4
3
6
SDCDE = CD×DE =
， MD
=
ME
2
-
DE
2
=
PE
2
-
DE
2
=
(
)
2
-(
2
) =
,
2
8
4
2
1
×MD = 1 ×
3
6
2
\VM -CDE = S
×
=
.
DCDE
3
3 8
2
16
41．(2014 遼寧)如圖，DABC和DBCD所在平面互相垂直，且 AB = BC = BD = 2，
DABC = DDBC =1200 ，E 、 F 、G分別為 AC 、 DC 、 AD 的中點．
(Ⅰ)求證： EF 平面
^
BCG
；
(Ⅱ)求三棱錐 D-BCG的體積．
1
附：錐體的體積公式V = Sh，其中S為底面面積，h 為高．
3


【解析】(Ⅰ)由已知得DABC @ DDBC ，因此 AC = DC ，
又G為 AD 的中點，CG ^ AD；
同理 BG ^ AD；
因此 AD 平面
^
BCG
，
又 EF ∥ AD ，
∴ EF 平面 BCG．
^
(Ⅱ)在平面 ABC內(nèi)，做 AO ^CB，交CB的延長線于O，
BCD，
由平面 ABC ^ 平面
知 AO ^平面 BCD，
又G為 AD 的中點，
因此G到平面 BCD的距離h是 AO的一半，
在DAOB 中， AO = AB×sin 60o = 3 ，
1
1
所以VD-BCG =VG-BCD = ′S
′h = ．
DDBG
3
2
P- ABCD
ABCD
DBAD = 60
．已知
o
42．(2013 安徽) 如圖，四棱錐
的底面
是邊長為 2 的菱形，
PB = PD = 2,PA = 6
．
PC ^ BD
(Ⅰ)證明：
；
E
PA
P-BCE
的中點，求三棱錐 的體積．
(Ⅱ)若 為


【解析】(Ⅰ)證明：連接 AC，交于 BD 于O點，連接 PO．因為底面 ABCD 是菱形，
AC ^ BD,BO = DO
所以
，
PB = PD
PO ^ BD
．
由
知，
再由 PO? AC =O知，
BD ^ 面 APC，
因此 BD ^ PC．
1
1
(Ⅱ)解：因為 E 是 PA 的中點，所以V
=VC-PEB = V
= V
P-BCE
C-PAB
B-APC
2
2
PB = PD = AB = AD = 2知，VABD @VPBD
由
因為DBAD = 60
o
，
PO = AO = 3, AC = 2 3,BO =1
所以
．
PA = 6,PO
2
+ AO
2
= PA
2
,即PO ^ AC
又
．
1
故S
= PO· AC = 3
．
VAPC
2
1
1 1
1
BO ^ 面APC,因此VP-BCE = V
= · ·BO·S
=
VAPC
由(1)知，
．
B-APC
2
2 3
2
43．(2012 江西)如圖，在梯形 ABCD中，AB ∥ CD，E ，F(xiàn) 是線段 AB 上的兩點，且 DE
^ AB ，CF ^ AB
，
AB =12， AD =5，BC=4
2 ，DE =4，現(xiàn)將△ ADE ，△CFB分別沿 DE ，CF
折起，使 A，B 兩
點重合與點G，得到多面體CDEFG．


(1)求證：平面 DEG 平面
^
CFG
；
(2)求多面體CDEFG的體積．
【解析】(1)由已知可得 AE=3，BF=4，
則折疊完后 EG=3，GF=4，
又因為 EF=5，
EG ^GF
所以可得
，
又因為CF ^ 底面EGF
，
可得CF ^ EG
，即
EG ^ 面CFG
，
^
所以平面 DEG 平面 CFG．
(2)過 G 作 GO 垂直于 EF，GO 即為四棱錐 G-EFCD 的高，
1
1
12
所以所求體積為 S
×GO = ′4′5′ =16．
CDEF
3
3
5
1
^
∥
44．(2011 遼寧)如圖，四邊形 ABCD 為正方形，QA 平面 ABCD，PD QA，QA=AB= PD．
2
^
(I)證明：PQ 平面 DCQ；
(II)求棱錐 Q—ABCD 的的體積與棱錐 P—DCQ 的體積的比值．
^
^
【解析】(I)由條件知 PDAQ 為直角梯形因為 QA 平面 ABCD，所以平面 PDAQ 平面 ABCD，交線為 AD．
^
又四邊形 ABCD 為正方形，DC AD，
^
所以 DC 平面 PDAQ，
^
可得 PQ DC．
2
^
PD，則 PQ QD
在直角梯形 PDAQ 中可得 DQ=PQ=
2
^
所以 PQ 平面 DCQ．


(II)設(shè) AB=a．
1
由題設(shè)知 AQ 為棱錐 Q—ABCD 的高，所以棱錐 Q—ABCD 的體積
V = a
3
.
1
3
2
由(I)知 PQ 為棱錐 P—DCQ 的高，而 PQ= 2a，△DCQ 的面積為
2 ，
a
2
1
所以棱錐 P—DCQ 的體積為
V = a
3
.
2
3
故棱錐 Q—ABCD 的體積與棱錐 P—DCQ 的體積的比值為 1．
考點 78 球的切接問題
1．(2020 全國 I 文 12 理 10)已知 A, B ,C 為球O的球面上的三個點，⊙O 為DABC的外接圓．若⊙O 的
1
1
面積為4π， AB = BC = AC =OO1 ，則球O的表面積為
(
)
A．64π
B．48p
C．36p
D．32p
【答案】A
【思路導(dǎo)引】由已知可得等邊DABC的外接圓半徑，進(jìn)而求出其邊長，得出OO
的值，根據(jù)球截面性質(zhì)，
1
求出球的半徑，即可得出結(jié)論．
【解析】設(shè)圓O
半徑為 ，球的半徑為 R，依題意，得
r
pr2 = 4p,\r = 2，
1
由正弦定理可得 AB 2rsin 60° = 2 3 ，
=
\OO1 = AB = 2 3 ，根據(jù)圓截面性質(zhì)OO
^
ABC
平面 ，
1
\OO ^ O A,R = OA = OO +O1A
1
2
2
= OO1
2
+ r
2
= 4 \ O
= p
2
= 64p，故選 A．
， 球 的表面積 S 4 R
1
1
9 3
4
2．(2020 全國Ⅱ文 11 理 10)已知 ABC是面積為
D
的等邊三角形，且其頂點都在球O的表面上，若球O
的表面積為16 ，則球O到平面 ABC 的距離為
p
(
)
3
3
A． 3
B．
C．1
D．
2
2
【答案】C


O
【思路導(dǎo)引】根據(jù)球 的表面積和
DABC
O
R DABC r
的面積可求得球 的半徑 和 外接圓半徑 ，由球的性質(zhì)
可知所求距離d = R
2
-r2 ．
O
【解析】設(shè)球 的半徑為 ，則
R
4pR
2
=16p
R = 2
，解得： ．
設(shè)DABC
r
a
外接圓半徑為 ，邊長為 ，
1
3 9 3
9 3
QDABC
\ a
′
=
a = 3，
，解得：
是面積為
的等邊三角形，
2
4
2
2
4
2
a
2
2
9
\
， 球心 到平面
\r = ′ a
2
-
= ′ 9- = 3
O
ABC
=
R2 -r2 =
4-3 =1，故選 ．
C
的距離d
3
4
3
4
3．(2020 天津 5)若棱長為2 3 的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為(
)
A．12p
B．24p
C．36p
D．144p
【答案】C
【思路導(dǎo)引】求出正方體的體對角線的一半，即為球的半徑，利用球的表面積公式，即可得解．
【解析】這個球是正方體的外接球，其半徑等于正方體的體對角線的一半，即
( )
2
( )
2
( )
2
2 3 + 2 3 + 2 3
，所以這個球的表面積為S 4 R
= p = p ′ = 36p ，故選 C．
2
4
3
2
R =
= 3
2
4．(2019?新課標(biāo)Ⅰ，理 12)已知三棱錐 P - ABC 的四個頂點在球O 的球面上， PA = PB = PC ，DABC 是邊
長為 2 的正三角形， E ，F(xiàn) 分別是 PA ， AB 的中點，DCEF = 90° ，則球O 的體積為(
)
A．8 6p
B．4 6p
C．2 6p
D． 6p
【答案】D
【解析】如圖，由 PA = PB = PC ，DABC 是邊長為 2 的正三角形，可知三棱錐 P - ABC 為正三棱錐，則頂
點P 在底面的射影O 為底面三角形的中心，連接 BO 并延長，交 AC 于G ，
則 AC ^ BG ，又 PO ^ AC ，POI
BG = O ，可得 AC 平面 PBG ，則 PB AC ，Q E ，F(xiàn) 分別是 PA ，AB
^
^
的中點，\ EF / /PB ，又DCEF = 90° ，即 EF ^ CE ，\ PB ^ CE ，得 PB ^ 平面 PAC ，\正三棱錐 P - ABC
的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，把三棱錐補形為正方體，則正方體外接球即為三棱錐的外接球，其直徑為
6
，則球 的體積為 p ′( 6)
= 6p ，故選 D ．
4
D = PA2 + PB2 + PC2 = 6 ，半徑為
3
O
2
3
2


5．(2018?新課標(biāo)Ⅲ，理 10 文 12)設(shè) A ，B ，C ，D 是同一個半徑為 4 的球的球面上四點，DABC 為等邊三
角形且面積為9 3，則三棱錐 D - ABC 體積的最大值為(
)
A．12 3
B．18 3
C．24 3
D．54 3
【答案】B
3
【解析】DABC 為等邊三角形且面積為9 3 ，可得
′ AB = 9 3 ，解得 AB = 6，球心為O ，三角形 ABC 的
2
4
2
3
外心為O￠ ，顯然 D 在O￠O 的延長線與球的交點如圖：O￠C = ′
′ 6= 2 3 ，OO￠ = 4
2
-(2 3) = 2 ，則
2
3
2
1
3
三棱錐 D - ABC 高的最大值為：6，則三棱錐 D - ABC 體積的最大值為： ′
′6 =18 3 ，故選 B ．
3
3
4
6．(2017?新課標(biāo)Ⅲ，理 8 文 9)已知圓柱的高為 1，它的兩個底面的圓周在直徑為 2 的同一個球的球面上，
則該圓柱的體積為(
A．p
)
3p
C． p
D． p
B．
4
2
4
【答案】B
【解析】Q圓柱的高為 1，它的兩個底面的圓周在直徑為 2 的同一個球的球面上，\該圓柱底面圓周半徑
1
3
，\該圓柱的體積：V = Sh =p ′( 3)
3p
r = 1
2
-( )
2
=
2
′1=
，故選 B ．
2
2
2
4
7．(2016?新課標(biāo)Ⅲ，理 10 文 11)在封閉的直三棱柱 ABC - ABC 內(nèi)有一個體積為V 的球，若 AB ^ BC ，AB = 6 ，
1
1
1
BC = 8， AA
= ，則 的最大值是(
3
V
)
1
9p
32p
A．4p
B．
C．6p
D．
2
3
【答案】B
6+8-10
【解析】Q AB ^ BC ，AB = 6 ，BC = 8，\ AC =10 ，故三角形 ABC 的內(nèi)切圓半徑r =
= 2 ，又由 AA1 = 3，
2
3
4
3
3
2
9p
故直三棱柱 ABC - ABC 的內(nèi)切球半徑為 ，此時V 的最大值 pg( )
3
=
，故選 B ．
1
1
1
2
2


8．(2016?新課標(biāo)Ⅱ，文 4)體積為 8 的正方體的頂點都在同一球面上，則該球面的表面積為(
)
32
A．12p
B．
p
C．8p
D．4p
3
【答案】A
【解析】正方體體積為 8，可知其邊長為 2，正方體的體對角線為 4+ 4+ 4 = 2 3 ，即為球的直徑，所以半
徑為 3，所以球的表面積為4pg( 3) =12p ，故選 A ．
2
9．(2015?新課標(biāo)Ⅱ，理 9 文 10)已知 A ， B 是球O 的球面上兩點，DAOB = 90° ，C 為該球面上的動點，若
三棱錐O - ABC 體積的最大值為 36，則球O 的表面積為(
)
A．36p
B．64p
C．144p
D．256p
【答案】C
【解析】如圖所示，當(dāng)點C 位于垂直于面 AOB 的直徑端點時，三棱錐O - ABC 的體積最大，設(shè)球O 的半徑
1 1
1
為 R ，此時VO-ABC =VC-AOB = ′ ′ R
3 2
2
′ R = R
3
= 36，故 R = 6 ，則球O 的表面積為4pR =144p ，故選C ．
2
6
10．(2013 新課標(biāo)Ⅰ，理 6)如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高 8cm，將一個球放在容
器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為 6cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為
(
)
500π
3
866π
3
1372π
3
2048π
3
A、
cm3 B、
cm3
C、
cm3
D、
cm3
【答案】A
【解析】設(shè)球的半徑為 R，則由題知球被正方體上面截得圓的半徑為 4，球心到截面圓的距離為 R-2，則
4p ′5
3
500π
3
R
2
= (R-2)
2
+42 ，解得 R=5，∴球的體積為
=
cm3 ，故選 A．
3


11．(2012?新課標(biāo)，理 11)已知三棱錐 S - ABC 的所有頂點都在球O 的表面上，DABC 是邊長為 1 的正三角
形， SC 為球O 的直徑，且 SC = 2 ，則此三棱錐的體積為(
)
1
4
2
2
2
A．
B．
C．
D．
4
6
12
【答案】C
【解析】設(shè)球心為O ，過 ABC 三點的小圓的圓心為O ，則OO ^ 平面 ABC ，延長CO 交球于點D ，則 SD ^
1
1
1
2
3
3
1
6
2 6
3
平面 ABC ．QCO = ′
=
，\OO = 1- =
，\高 SD = 2OO1 =
，Q DABC 是邊長為 1 的
1
1
3
3
3
2
3
1
3 2 6
2
3
正三角形，\SDABC
=
，\V
= ′
′
=
，故選C ．
三棱錐S-ABC
4
3
4
3
6
12．(2012?新課標(biāo)，文 8)平面α截球 O 的球面所得圓的半徑為 1，球心 O 到平面α的距離為 2，則此球的
體積為(
(A) 6π (B)4 3π
【答案】B
)
(C)4 6π
(D)6 3π
4p（ 3）
3
1
2
+( 2)
2
= 3
=4 3p
，故選 B．
【解析】由球的截面性質(zhì)知，球的半徑 R=
，所以球的體積為
3
13．(2020 全國Ⅲ文 16 理 15)已知圓維的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積
為
．
2
【答案】
p
3
【思路導(dǎo)引】將原問題轉(zhuǎn)化為求解圓錐內(nèi)切球的問題，然后結(jié)合截面確定其半徑即可確定體積的值．
【解析】解法一：易知半徑最大球為圓錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時的軸截面如圖所示，
BC = 2,AB = AC = 3
其中
，且點 M 為 BC 邊上的中點，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為O，


1
由于 AM = 3
2
-12
= 2 2 ，故 S△ABC
= ′2′2 2 2 2 ，設(shè)內(nèi)切圓半徑為 ，則：
=
r
2
1
1
1
1
S△ABC = S△AOB +S△BOC +S△AOC = ′ AB′r + ′BC′r + ′ AC′r
3 3 2 r 2 2
= ′( + + )′ =
，
2
2
2
2
2
4
2
2
解得：r =
，其體積：V
= p =
r
3
p
．故答案為：
p ．
2
3
3
3
解法二：分析知圓錐內(nèi)半徑最大的球的應(yīng)為該圓錐的內(nèi)切球，如圖，由題可知該圓錐的母線長為 BS = 3，
底面半徑為 BC=1，高為 SC = BS - BC = 2 2 ，不妨設(shè)該內(nèi)切圓與母線 BS 切于 D 點，
2
2
OD BC
r
= 1，得r =
2
4
2
令OD = OC = r ，則由DSOD : DSBC ，可得
=
，即
，此時V = pr
3
=
p．
OS BS
2 2 -r 3
2
3
3
14．(2020 山東 16)已知直四棱柱 ABCD - ABC D 的棱長均為2，DBAD = 60
o
，以 D1 為球心， 5 為半徑的
1
1
1
1
球面與側(cè)面 BCC B 的交線長為
．
1
1
2p
【答案】
2
D1E =
D1E ^側(cè)面 BCCB
BCCB
，可得側(cè)面 與球面的交線上的點
1 1
【思路導(dǎo)引】根據(jù)已知條件易得
3，
1
1
?
到 E 的距離為 2 ，可得側(cè)面
BCCB
與球面的交線是扇形
EFG
的弧 FG ，再根據(jù)弧長公式可求得結(jié)果．
1
1


【解析】解法一：如圖，
BC
E BB 的中點為 ，CC1 的中點為G
1
F
取
的中點為 ，
，
1
1
D
=
ABCD - ABC D
D BC
因為 BAD 60°，直四棱柱
的棱長均為 2，所以△
為等邊三角形，所以
1
1
1
1
1
1
1
D1E =
D E ^ BC
，
1 1 1
3，
ABCD - ABC D
BB1 ^
BB ^ BC
1 ，所以 1，
1 1
ABC D
又四棱柱
為直四棱柱，所以
平面
1
1
1
1
1
1
1
BB IBC = B
D1E ^側(cè)面 BCCB
，
1 1
因為
，所以
1
1
1
1
BCCB
與球面的交線上的點，則
D1E ^ EP，
設(shè) P 為側(cè)面
1
1
D1E = 3，所以| EP|= | D1P|
2
-| D1E |
2
= 5-3 = 2
因為球的半徑為 5 ，
，
BCCB
E
| EF |=| EG|= 2
BCCB
，所以側(cè)面 與球
1 1
所以側(cè)面
與球面的交線上的點到 的距離為 2 ，因為
1
1
p
p
?
DB1EF = DC1EG
=
，所以DFEG =
面的交線是扇形 EFG 的弧 FG ，因為
，所以根據(jù)弧長公式可得
4
2
p
2
2
?
FG = ′ 2 =
p ，故答案為：
p ．
2
2
2
ABCD-ABCD
BC
中點為O ，
1 1
BB
解法二：在直四棱柱
中，取
1中點為
，CC
1中點為 ，由題意易
F
E
1 1 1 1
DO^BC
BB ^DO
DO^ BBCC
BBCC
，在面
1 1
P
知
，又
，則
面
內(nèi)取一點
DE = 5 DF = 5 D
，∴以 1為球心，
，使OP//BB
1，且
為半徑的
1
1 1
1
1
1
1 1
5
D P = D O
2
+ OP
2
= 5 ，又
O P = 2 ，∴
，
1
1
1
1
p
BCC B
1 1的交線是以O(shè) 為圓心，以 2 為半徑的圓弧
FPE
，由題意易得DFOE = ，故該交
球面與側(cè)面
2


p
2p
′ 2 =
線長為
．
2
2
解法三：
15．(2019?新課標(biāo)Ⅱ，理 16 文 16)中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長
方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1) ．半正多面體是由
兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．圖 2 是一個棱數(shù)為 48 的半正
多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為 1．則該半正多面體共有
個面，
其棱長為
．
【答案】26， 2 -1．


2
2
【解析】該半正多面體共有8 + 8 + 8 + 2 = 26 個面，設(shè)其棱長為 x ，則 x +
x +
x = 1，解得 x = 2 -1．
2
2
16．(2017?新課標(biāo)Ⅰ，文 16)已知三棱錐 S - ABC 的所有頂點都在球O 的球面上， SC 是球O 的直徑．若平
面 SCA ^ 平面 SCB ，SA = AC ，SB = BC ，三棱錐 S - ABC 的體積為 9，則球O 的表面積為
【答案】36p
．
【解析】三棱錐 S - ABC 的所有頂點都在球O 的球面上， SC 是球O 的直徑，若平面 SCA ^ 平面 SCB ，
SA = AC ， SB = BC ，三棱錐 S - ABC 的體積為 9，可知三角形 SBC 與三角形 SAC 都是等腰直角三角形，
1 1
設(shè)球的半徑為 r ，可得 ′ ′2r′r′r = 9，解得r = 3 ，∴球O 的表面積為：4pr = 36p ．
2
3 2
17．(2017?新課標(biāo)Ⅱ，文 15)長方體的長、寬、高分別為 3，2，1，其頂點都在球O 的球面上，則球O 的表
面積為
．
【答案】14p
【解析】長方體的長、寬、高分別為 3，2，1，其頂點都在球O 的球面上，可知長方體的對角線的長就是球
1
2
14
2
14
2
的直徑，所以球的半徑為：
3
2
+ 2
2
+1
2
=
，則球O 的表面積為：4′(
2
) p =14p ．
18．(2013新課標(biāo)Ⅰ，文15)已知 H 是球O的直徑 AB 上一點，AH :HB=1：2， AB ⊥平面a ，H
為垂足，
a
O
O
截球 所得截面的面積為π，則球 的表面積為_______．
9p
【答案】
2
2R
4R
R
【解析】由 AH :HB=1：2及 AB 是球的直徑知，AH =
，BH =
，∴OH =
9p
，由截面圓面積為p
3
3
3
1
9
R
2
=( R)
2
+1，∴ R2 = ，∴球O的表面積為4pR2 =
．
得截面圓半徑為1，∴
3
8
2
3 2
2
19．(2013 新課標(biāo)Ⅱ，文 15)已知正四棱錐O- ABCD的體積為
，底面邊長為 3 ，則以O(shè)為球心，OA
為半徑的球的表面積為________．
【答案】24p


3 2
2
【 解 析 】 如 圖 所 示 ： 連 接 BD ， AC 相 交 于 E ， 連 接 OE ， ∴ SABCD =3 ， VO-ABCD
=
， ∴
1
3
3 2
2
3 2
2
1
6
SABCDh =
T h =
， AE = AC =
，∴ R OA
=
=
6
，∴S球 = 4pR2 =24p
2
2
20．(2011?新課標(biāo)，理 15)已知矩形 ABCD的頂點都在半徑為 4 的球面上，且 AB =6， BC = 2 3 ，則棱
錐O- ABCD的體積為
【答案】8 3
．
1
1
【解析】設(shè)矩形的對角線的交點為E，則OE⊥面ABCD，由題知截面圓半徑r2 = BD2 = (AB
2
+
BC )
=12，
2
4
4
1
1
由截面圓性質(zhì)得 OE=
- r2 =2，∴棱錐O- ABCD的體積為 S
R
′OE = ′6′2 3′2=8 3 ．
ABCD
2
3
3
21．(2011?新課標(biāo)，文 16)已知兩圓錐有公共底面，且兩圓錐的頂點和底面的圓周都在同一球面上，若圓錐
3
的底面面積是這個球面面積的
，則這兩個圓錐中，體積較小者的高于體積較大者的高的比值
16
為
．
【答案】3
￠
【解析】設(shè)圓錐底面半徑為r ，球的半徑為R ，球心為 O，圓錐底面圓
心為O ，兩頂
3
3
點分別為 P、Q，則由pr2 = ′4pR2 知，r2 = R2 ，
16
4
￠
^
￠
根據(jù)球的截面性質(zhì)可知 P、Q、O、O 共線， PQ 圓面O ，圓錐的
軸截面內(nèi)接于
球的大圓，因此 PB ^ QB， PQ BO
^
￠．
￠
￠
+
設(shè) PO = x ，QO = y ，則 x y =2R ，
①


3
D ￠ ∽DBO￠Q 知r2 =O￠B2 = ，即 = R
又 POB
2
②
xy xy
4
R
3R
由①②可得 x = ， y =
，體積較小者的高于體積較大者的高的比值為 3．
2
2
22．(2017 天津)已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為 18，則這個球的體積
為
．
9π
2
【答案】
【 解 析 】 設(shè) 正 方 體 邊 長 為 a ， 由
6a
2
=18 ， 得 a = 3 ， 外 接 球 直 徑 為 2R = 3a = 3 ，
2
4
4
27 9
= π．
8 2
V = πR = π′
3
3
3
23．(2017 江蘇)如圖，在圓柱OO 內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱OO 的
1
2
1
2
V1 的值是
V2
體積為V ，球O的體積為V ，則
．
1
2
3
2
【答案】
V
pr
4
2
′2r = 3
【解析】設(shè)球的半徑為 r ，則
1
=
．
V2
2
pr
3
3
9p
24．(2013 天津)已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若球的體積為
【答案】 3
，則正方體的棱長為
．
2
3
a
【解析】設(shè)正方體的棱長為 ，則正方體的體對角線為直徑，即
3a = 2r ，即球半徑r =
a．若球的體
2
9p
9p
4
3
積為
，即 p(
a)
3
=
，解得a = 3．
2
3
2
2