專題15 開放探究類的常見壓軸題-【聚焦壓軸】2022屆中考數(shù)學(xué)壓軸大題專項(xiàng)訓(xùn)練1-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

小麗提出了自己的想法：如圖2在線段AB上取一點(diǎn)F，使DA＝DF，通過證明△BDF≌△PDA可以解決問題．
（嘗試）①請你幫助小麗完成說理過程．
②若AC＝6，BC＝4，AD＝3，求AP的長．
（拓展）如圖3，過點(diǎn)A的直線MN∥BC， AB＝3 cm，AC＝4cm，點(diǎn)D是直線MN上一點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的一點(diǎn)，連接DP，使得∠BDP＝∠BAC，求的值．
2．（2021·福建省廈門第六中學(xué)九年級三模）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點(diǎn)P為△ABC外一點(diǎn)，點(diǎn)P與點(diǎn)C位于直線AB異側(cè)，連接AP，∠APB＝45°，過點(diǎn)C作CD⊥PA，垂足為D．
（1）當(dāng)∠ABP＝90°時(shí)，直接寫出線段AP與CD的數(shù)量關(guān)系為AP＝_____________；
（2）如圖，當(dāng)∠ABP＞90°時(shí)．
①試探究（1）中的結(jié)論是否成立；
②在線段AP上取一點(diǎn)K，使得∠ABK＝∠ACD，畫出圖形并直接寫出的值．
3．（2021·福建涵江·九年級期末）矩形中，點(diǎn)在上，，．將直角尺的頂點(diǎn)放在處直角尺的兩邊分別交，于點(diǎn)，，連接（如圖1）．
（1）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合（如圖2），求的長；
（2）探究：將直尺從圖②中的位置開始，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)停止，在這個(gè)過程中，請你觀察、猜想，并解答：
①的值是否發(fā)生變化？請說明理由；
②求從開始到停止，線段的中點(diǎn)經(jīng)過的路線長．
4．（2021·河北新華·石家莊新世紀(jì)外國語學(xué)校九年級月考）操作與探究，如圖1，將等腰直角三角形的邊繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，連接，過點(diǎn)做交延長線于點(diǎn)．
（1）在圖1中，易知與全等，則的面積為______，______；
拓展與延伸
（2）如圖2，若為任意直角三角形，，、、分別用、、表示．將邊繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，過點(diǎn)作，交延長線于點(diǎn)；
①判斷與是否全等，并說明理由；
②求的值；（用，，表示）
（3）如圖3，在中，，，，，，連接．
①的面積為______；
②點(diǎn)是邊的高上的一點(diǎn)，當(dāng)______時(shí)，有最小值為______．
5．（2021·浙江南潯·九年級二模）特例感知
（1）如圖，已知在中，，，取邊上中點(diǎn)，連結(jié)，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連結(jié)，作交于點(diǎn)，求證；
探索發(fā)現(xiàn)
（2）如圖，已知在中，，，取邊上中點(diǎn)，連結(jié)，點(diǎn)為延長線上一點(diǎn)，，連結(jié)，作交延長線于點(diǎn)，求的長；
類比遷移
（3）如圖，已知在中，，，取邊上中點(diǎn)，連結(jié)，點(diǎn)為射線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），連結(jié)，將射線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°交射線于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的長．
6．（2021·湖北孝南·九年級二模）在與中，且，點(diǎn)D始終在線段AB上（不與A、B重合）．

（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若度，的度數(shù)______，______；
（2）類比探究：如圖2，若度，試求的度數(shù)和的值；
（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，M為DE的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，BM的最小值為多少？直接寫出答案．
7．（2021·河南信陽·九年級一模）在中，于點(diǎn)，點(diǎn)為射線上任一點(diǎn)（點(diǎn)除外）連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，，得到，連接．
（1）（觀察發(fā)現(xiàn)）如圖1，當(dāng)，且時(shí)，BP與的數(shù)量關(guān)系是___________，與的位置關(guān)系是___________．
（2）（猜想證明）如圖2，當(dāng)，且時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由．（請選擇圖2，圖3中的一種情況予以證明或說理）
（3）（拓展探究）在（2）的條件下，若，，請直接寫出的長．
8．（2021·山西洪洞·九年級二模）綜合與實(shí)踐．
問題情境：
綜合與實(shí)踐課上，同學(xué)們開展了以“圖形的旋轉(zhuǎn)”為主題的數(shù)學(xué)活動(dòng)．
實(shí)踐操作：
如圖1，將等腰Rt△AEF繞正方形ABCD的頂點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，其中∠AEF＝90，EA＝EF，連接CF，點(diǎn)H為CF的中點(diǎn)，連接HD，HE，DE，得到△DHE．
應(yīng)用探究：
（1）勤奮組：
如圖2，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在正方形ABCD的對角線AC上時(shí)，判斷△DHE的形狀，并說明理由；
（2）善思組：
如圖3，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在正方形ABCD的邊AB上時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由；
深入探究：
（3）創(chuàng)新小組：
發(fā)現(xiàn)若連接BE，在旋轉(zhuǎn)Rt△AEF的過程中，為定值，請你直接寫出其值．
9．（2021·山西九年級二模）綜合與探究
如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，是軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，，直線與拋物線交于點(diǎn)．
（1）求直線的函數(shù)表達(dá)式．
（2）如圖2，在線段上有一條2個(gè)單位長度的動(dòng)線段（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），過點(diǎn)作軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)；過點(diǎn)作軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，連接，．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，請解答下列問題：
①線段的長為______；（用含的代數(shù)式表示）
②當(dāng)時(shí)，判斷四邊形的形狀，并說明理由；
③求當(dāng)為何值時(shí)，．
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)在拋物線的對稱軸上時(shí)，連接．試探究：此時(shí)在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)，使以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
10．（2021·湖北曾都·九年級期末）定義：在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)內(nèi)角是另一內(nèi)角的倍，我們稱這樣的三角形為“倍角三角形”，把這個(gè)倍角的平分線（線段）稱為這個(gè)三角形的“伴線”．
在倍角中，的平分線就是它的“伴線”，用分別表示的對邊．現(xiàn)在我們探究之間存在的數(shù)量關(guān)系．
（1）（特例探究）（補(bǔ)全填空）
如圖1，若，易求得的值為的值為；
如圖2，若，易求得的值為；的值為；
（2）（猜想論證）
根據(jù)猜想之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請從下列思路中選擇一種證明你的猜想．
思路一：如圖3，延長至使連接．
思路二：如圖4，作的平分線交于點(diǎn)．
（3）（素養(yǎng)提升）
若在這個(gè)倍角中，已知且它的三邊長恰好是三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，請根據(jù)中的結(jié)論直接寫出這個(gè)三角形的“伴線”長．
11．（2020·吉林農(nóng)安縣第三中學(xué)、農(nóng)安三中九年級月考）（感知）如圖①，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），．易證：∽．
（探究）如圖②，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），．
（1）求證：∽ ；
（2）若PD=4，PC=8，BC=6，求AP的長．
（應(yīng)用）如圖③，在中，AC=BC=8，AB=12，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），連結(jié)CP，作PE與邊BC交于點(diǎn)E．當(dāng)CE=3EB時(shí)，求AP的長．
12．類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常用到，如下是一個(gè)案例，請補(bǔ)充完整．
原題：如圖1，在平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，的延長線交射線于點(diǎn)．若，求的值．
（1）嘗試探究
在圖1中，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則和的數(shù)量關(guān)系是_________，和的數(shù)量關(guān)系是_________，的值是_________．
（2）類比延伸
如圖2，在原題的條件下，若，則的值是_________（用含有的代數(shù)式表示），試寫出解答過程．
（3）拓展遷移
如圖3，梯形中，，點(diǎn)是的延長線上的一點(diǎn)，和相交于點(diǎn)．若，，，則的值是________（用含、的代數(shù)式表示）．
13．（2020·四川邛崍·九年級期中）幾何探究題
（1）發(fā)現(xiàn)：在平面內(nèi)，若，，其中．
當(dāng)點(diǎn)A在線段BC上時(shí)，線段AC的長取得最小值，最小值為；
當(dāng)點(diǎn)A在線段CB延長線上時(shí)，線段AC的長取得最大值，最大值為．
（2）應(yīng)用：點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，如圖2，分別以AB、AC為邊，作等邊△ABD和等邊△ACE，連接CD、BE．
①證明：；
②若，，則線段BE長度的最大值為．
（3）拓展：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)P為線AB外一動(dòng)點(diǎn)，且，，．請直接寫出線段AM長的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
14．（認(rèn)識(shí)新知）對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．
（概念理解）（1）如圖1，在四邊形ABCD中，，，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由；
（性質(zhì)探究）（2）如圖2，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)O，．
若OA=1，OB=5,，OC=7，OD=2，則________；________；
求證：；
（解決問題）（3）如圖3，中，，且，且，連結(jié)CE、BG、則________．
15．（2021·廣西九年級二模）如圖，在，，，過A作于D，點(diǎn)E為直線上的一動(dòng)點(diǎn)，把線段繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，得到線段EF，連接，，直線與相交于點(diǎn)G，與交于點(diǎn)M．
（1）（發(fā)現(xiàn)）如圖1，當(dāng)時(shí)，填空：
①的值為__________；
②∠AGB的度數(shù)為__________；
（2）（探究）如圖2，當(dāng)時(shí)，請寫出的值及的度數(shù)，并就圖2的情形給出證明；
（3）（應(yīng)用）如圖3，當(dāng)時(shí)，若﹐，請直接寫出的面積．

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