專題17 規(guī)律探究類的常見壓軸題-【聚焦壓軸】2022屆中考數(shù)學壓軸大題專項訓練1-試卷下載-教習網(wǎng)

最長邊長為128的整數(shù)邊三角形有多少個？（整數(shù)邊三角形是指三邊長度都是整數(shù)的三角形．）
問題探究：
為了探究規(guī)律，我們先從最簡單的情形入手，從中找到解決問題的方法，最后得出一般性的結(jié)論．
（1）如表①，最長邊長為1的整數(shù)邊三角形，顯然，最短邊長是1，第三邊長也是1.按照（最長邊長，最短邊長，第三邊長）的形式記為，有1個，所以總共有個整數(shù)邊三角形．
表①
（2）如表②，最長邊長為2的整數(shù)邊三角形，最短邊長是1或2.根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，當最短邊長為1時，第三邊長只能是2，記為，有1個；當最短邊長為2時，顯然第三邊長也是2，記為，有1個，所以總共有個整數(shù)邊三角形．
表②
（3）下面在表③中總結(jié)最長邊長為3的整數(shù)邊三角形個數(shù)情況：
表③
（4）下面在表④中總結(jié)最長邊長為4的整數(shù)邊三角形個數(shù)情況：
表④
（5）請在表⑤中總結(jié)最長邊長為5的整數(shù)邊三角形個數(shù)情況并填空：
表⑤
問題解決：
（1）最長邊長為6的整數(shù)邊三角形有___________個．
（2）在整數(shù)邊三角形中，設最長邊長為，總結(jié)上述探究過程，當為奇數(shù)或為偶數(shù)時，整數(shù)邊三角形個數(shù)的規(guī)律一樣嗎？請寫出最長邊長為的整數(shù)邊三角形的個數(shù)．
（3）最長邊長為128的整數(shù)邊三角形有__________個．
拓展延伸：
在直三棱柱中，若所有棱長均為整數(shù)，則最長棱長為9的直三棱柱有___________個．
2．（2021·山東青島·九年級期末）小明是魔方受好者，他擅長玩各種魔方，從二階魔方到九階魔方，他都能成功復原．有一天，小明突然想到一個問題，在九階魔方中，到底含有多少個長方體呢？為此，我們先來解決這樣一個數(shù)學問題：如圖，圖1是一個長、寬、高分別為a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整數(shù)）的長方體，被分成了a×b×c個棱長為1的小立方體．這個幾何體中一共包含多少個長方體（包括正方體）？（參考公式：1+2+3…+n）．
問題探究：為探究規(guī)律，我們采用一般問題特殊化的策略，先從最簡單的情形入手，再逐次遞進，最后得出一般性的結(jié)論．
探究一：如圖2，該幾何體有1個小立方體組成，顯然，該幾何體共有1個長方體．如圖3，該幾何體有2個小立方體組成，那么它一共包含1+2＝3個長方體．如圖4，該幾何體有3個小立方體組成，那么它一共包含個長方體．如圖5，該幾何體﹣共包含210個長方體，那么該幾何體共有個小立方體組成．
探究二：如圖6，該幾何體有4個小立方休組成，那么它一共包含（1+2）×（1+2）＝9個長方體．如圖7，該幾何體有6個小立方體組成，那么它一共包含個長方體．如圖8，該幾何體共有2m個小立方體組成，那么該幾何體一共有個長方體．
探究三：如圖1，該幾何體共有個a×b×c小立方體組成，那么該幾何體共有個長方體．
探究四：我們現(xiàn)在可以解決小明開始的問題了．在九階魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有個長方體．
探究五：聰明的小明在學習了三種視圖后，又提出一個新的問題：在圖1中，若a＝6，b＝4，c＝5，如果拿走一些小立方體后，剩下幾何體的三種枧圖與原圖1的三種視圖完全一樣，那么最多可以拿走個小立方體；此時，剩下的幾何體的表面積是．
3．（2021·沙坪壩·重慶八中九年級開學考試）根據(jù)閱讀材料，解決問題．
材料1：若一個正整數(shù)，從左到右各位數(shù)上的數(shù)字與從右到左各位數(shù)上的數(shù)字對應相同，則稱為“對稱數(shù)”（例如：1、232、4554是對稱數(shù)）．
材料2：對于一個三位自然數(shù)，將它各個數(shù)位上的數(shù)字分別2倍后取個位數(shù)字，得到三個新的數(shù)字，，，我們對自然數(shù)規(guī)定一個運算：（A），
例如：是一個三位的“對稱數(shù)”，其各個數(shù)位上的數(shù)字分別2倍后取個位數(shù)字分別是：2、8、2.則．
請解答：
（1）請你直接寫出最大的兩位對稱數(shù)：，最小的三位對稱數(shù)：；
（2）如果將所有對稱數(shù)按照從小到大的順序排列，請直接寫出第1100個對稱數(shù) ；
（3）一個四位的“對稱數(shù)” ，若（B），請求出的所有值．
4．（2021·青島大學附屬中學九年級開學考試）（實際問題）小明家住樓．一天，他要把一根米長的竹竿放入電梯帶回家中，如果竹竿恰好剛能放入電梯中（如圖①示）那么，電梯的長、寬、高和的最大值是多少米？
（類比探究）為了解決這個實際問題，我們首先探究下面的數(shù)學問題．
探究：如圖②，在中，．若，，，則與之有什么數(shù)量關(guān)系？
解：在中，
，
，即．
，
，
，
，
．
．
，，均大于，
與之間的數(shù)量關(guān)系是．
探究2：如圖③，在四邊形中，是對角線，，．若，，，，則與之間有什么數(shù)量關(guān)系？
解：，，
，．
，，，
，，．
將上面三式相加得，，
．
．
______．
，，，均大于，
與之間有這樣的數(shù)量關(guān)系：______．
探究3：如圖④，仿照上面的方法探究，在五邊形中，，是對角線，，，．若，，，，，則與之間的數(shù)量關(guān)系是______．
（歸納結(jié)論）
當，，…，，時，若，則與之間的數(shù)量關(guān)系是__________．
（問題解決）
小明家住樓一天，他要把一根米長的竹竿放入電梯帶回家中，如果竹竿恰好剛能放入電梯中（如圖①示），那么，電梯的長、寬、高和的最大值是______米．
（拓展延伸）
公園準備修建一個四邊形水池，邊長分別為米，米，米，米，分別以水池四邊為邊向外建四個正方形花園，若花園面積和為平方米，則水池的最大周長為______米．
5．（2021·山東南區(qū)·九年級一模）（問題提出）用n個圓最多能把平面分成幾個區(qū)域？
（問題探究）為了解決上面的數(shù)學問題，我們采取一般問題特殊化的策略，先從最簡單情形入手，再逐次遞進，最后猜想得出結(jié)論．
探究一：如圖1，一個圓能把平面分成2個區(qū)域．
探究二：用2個圓最多能把平面分成幾個區(qū)域？
如圖2，在探究一的基礎上，為了使分成的區(qū)域最多，應使新增加的圓與前1個圓有2個交點，將新增加的圓分成2部分，從而增加2個區(qū)域，所以，用2個圓最多能把平面分成4個區(qū)域．
探究三：用3個圓最多能把平面分成幾個區(qū)域？
如圖3，在探究二的基礎上，為了使分成的區(qū)域最多，應使新增加的圓與前2個圓分別有2個交點，將新增加的圓分成部分，從而增加4個區(qū)域，所以，用3個圓最多能把平面分成8個區(qū)域．
（1）用4個圓最多能把平面分成幾個區(qū)域？
仿照前面的探究方法，寫出解答過程，不需畫圖．
（2）（一般結(jié)論）用n個圓最多能把平面分成幾個區(qū)域？
為了使分成的區(qū)域最多，應使新增加的圓與前個圓分別有2個交點，將新增加的圓分成______________部分，從而增加___________________個區(qū)域，所以，用n個圓最多能把平面分成__________________個區(qū)域．（將結(jié)果進行化簡）
（3）（結(jié)論應用）
①用10個圓最多能把平面分成_________個區(qū)域；
②用___________個圓最多能把平面分成422個區(qū)域．
6．閱讀材料：1261 年，我國南宋數(shù)學家楊輝著《詳解九章算法》，在注釋中提到“楊輝三角”解釋了二項和的乘方規(guī)律．在他之前，北宋數(shù)學家賈憲也用過此方法，“楊輝三角”又叫“賈憲三角”．
這個三角形給出了（n 為正整數(shù)）的展開式（按a的次數(shù)由大到小的順序、b的次數(shù)由小到大的順序排列）的系數(shù)規(guī)律．例如：在三角形中第三行的三個數(shù) 1、2、1，恰好對應展開式中各項的系數(shù)；第四行的四個數(shù) 1、3、3、1，恰好對應展開式中各項的系數(shù)等．
從二維擴展到三維：根據(jù)楊輝三角的規(guī)則，向下進行疊加延伸，可以得到一個楊輝三角的立體圖形．經(jīng)研究，它的每一個切面上的數(shù)字所對應的恰巧是展開式的系數(shù)．

（1）根據(jù)材料規(guī)律，請直接寫出的展開式；
（2）根據(jù)材料規(guī)律，如果將看成，直接寫出的展開式（結(jié)果化簡）；若，求的值；
（3）已知實數(shù)a、b、c，滿足，且，求的值．
7．先閱讀下面的文字，然后按要求解題：
例：1+2+3+ … +100=？
如果一個一個順次相加顯然太繁瑣，我們仔細分析這100個連續(xù)自然數(shù)的規(guī)律和特點，可以發(fā)現(xiàn)運用加法運算律，是可以大大簡化計算,提高運算速度的.
因為1+100=2+99=3+98= … =50+51=101
所以將所給算式中各加數(shù)經(jīng)過交換、結(jié)合以后，可以很快求出結(jié)果.
解：1+2+3+ … +100
=(1+100)+(2+99)+(3+98)+ … +(50+51)
=101×____________
=____________ .
(1)補全例題的解題過程；
(2)計算：
8．（2021·四川中區(qū)·九年級模擬預測）閱讀與應用：
閱讀1：a、b為實數(shù)，且a＞0，b＞0，因為，所以，從而（當a＝b時取等號）．
閱讀2：函數(shù)（常數(shù)m＞0，x＞0），由閱讀1結(jié)論可知：，所以當即時，函數(shù)的最小值為．
閱讀理解上述內(nèi)容，解答下列問題：
問題1：已知一個矩形的面積為4，其中一邊長為x，則另一邊長為，周長為，求當x＝__________時，周長的最小值為__________．
問題2：已知函數(shù)y1＝x＋1（x＞－1）與函數(shù)y2＝x2＋2x＋17（x＞－1），當x＝__________時，的最小值為__________．
問題3：某民辦學習每天的支出總費用包含以下三個部分：一是教職工工資6400元；二是學生生活費每人10元；三是其他費用．其中，其他費用與學生人數(shù)的平方成正比，比例系數(shù)為0.01．當學校學生人數(shù)為多少時，該校每天生均投入最低？最低費用是多少元？（生均投入＝支出總費用÷學生人數(shù)）
9．（2021·鹽城市第一初級中學九年級月考）閱讀材料：各類方程的解法：
求解一元一次方程，根據(jù)等式的基本性質(zhì)，把方程轉(zhuǎn)化為x=a的形式，求解二元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解；類似的，三元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組．求解一元二次方程，把它轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解．求解分式方程，把它轉(zhuǎn)化為整式方程來解，由于“去分母”可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程必須檢驗．各類方程的解法不盡相同，但是它們有一個共同的基本數(shù)學思想——轉(zhuǎn)化，把未知轉(zhuǎn)化為已知．
用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學思想，我們還可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通過因式分解把它轉(zhuǎn)化為，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．
（1）問題：方程的解是：=0，=______，=_______；
（2）拓展：用“轉(zhuǎn)化”思想求方程的解；
（3）應用：如圖，已知矩形草坪ABCD的長AD=21m，寬AB=8m，點P在AD上（AP＞PD），小華把一根長為27m的繩子一段固定在點B，把長繩PB段拉直并固定在點P，再拉直，長繩的另一端恰好落在點C，求AP的長．
10．（2021·山東濟南·九年級一模）閱讀以下材料，并按要求完成相應的任務.
已知平面上兩點，則所有符合且的點會組成一個圓.這個結(jié)論最先由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱阿氏圓.
阿氏圓基本解法：構(gòu)造三角形相似.
（問題）如圖1，在平面直角坐標中，在軸，軸上分別有點，點是平面內(nèi)一動點，且，設，求的最小值.
阿氏圓的關(guān)鍵解題步驟：
第一步：如圖1，在上取點，使得；
第二步：證明；第三步：連接，此時即為所求的最小值.
下面是該題的解答過程(部分)：
解：在上取點，使得，
又.
任務：
將以上解答過程補充完整.
如圖2，在中，為內(nèi)一動點，滿足，利用中的結(jié)論，請直接寫出的最小值.
11．（2020·山東青島·九年級一模）[提出問題]正多邊形內(nèi)任意一點到各邊距離之和與這個正多邊形的邊及內(nèi)角有什么關(guān)系？
[探索發(fā)現(xiàn)]
為了解決這個問題，我們不妨從最簡單的正多邊形-------正三角形入手
如圖①，是正三角形，邊長是是內(nèi)任意一點，到各邊距離分別為，確定的值與的邊及內(nèi)角的關(guān)系．
如圖②，五邊形是正五邊形，邊長是是正五邊形內(nèi)任意一點，到五邊形各邊距離分別為，參照的探索過程，確定的值與正五邊形的邊及內(nèi)角的關(guān)系．
類比上述探索過程：
正六邊形(邊長為)內(nèi)任意一點到各邊距離之和
正八邊形(邊長為)內(nèi)任意一點到各邊距離之和
[問題解決]正邊形(邊長為)內(nèi)任意-一點P到各邊距離之和
12．（2020·青島超銀中學九年級月考）（問題情境）
我們知道若一個矩形是的周長固定，當相鄰兩邊相等，即為正方形時，它的面積最大．反過來，若一個矩形的面積固定，它的周長是否會有最值呢？
（探究方法）
用兩個直角邊分別為，的4個全等的直角三角形可以拼成一個正方形。若，可以拼成如圖所示的正方形，從而得到，即；當時，中間小正方形收縮為1個點，此時正方形的面積等于4個直角三角形面積的和.即．于是我們可以得到結(jié)論：，為正數(shù)，總有，當且僅當時，代數(shù)式取得最小值．另外，我們也可以通過代數(shù)式運算得到類似上面的結(jié)論：
∵，∴，
∴對于任意實數(shù)，總有，且當時，代數(shù)式取最小值．
使得上面的方法，對于正數(shù)，，試比較和的大小關(guān)系．
（類比應用）
利用上面所得到的結(jié)論完成填空
（1）當時，代數(shù)式有最值為．
（2）當時，代數(shù)式有最值為．
（3）如圖，已知是反比例函數(shù)圖象上任意一動點，，，試求的最小面積．
13．（2020·山西九年級一模）請閱讀下列材料，并完成相應的任務．
梅涅勞斯（Menelaus）是公元一世紀時的希臘數(shù)學家兼天文學家，著有幾何學和三角學方面的許多書籍．梅涅勞斯發(fā)現(xiàn)，三角形各邊（或其延長線）被一條不過任何一個頂點也不與任何一條邊平行的直線所截，這條直線可能與三角形的兩條邊相交（一定還會與一條邊的延長線相交），也可能與三條邊都不相交（與三條邊的延長線都相交）．他進行了深入研究并證明了著名的梅涅勞斯定理（簡稱梅氏定理）：
設D，E，F(xiàn)依次是△ABC的三邊AB，BC，CA或其延長線上的點，且這三點共線，則滿足．
這個定理的證明步驟如下：
情況①：如圖1，直線DE交△ABC的邊AB于點D，交邊AC于點F，交邊BC的延長線與點E．
過點C作CM∥DE交AB于點M，則，（依據(jù)），
∴＝，
∴BE?AD?FC＝BD?AF?EC，即．
情況②：如圖2，直線DE分別交△ABC的邊BA，BC，CA的延長線于點D，E，F(xiàn)．
…
（1）情況①中的依據(jù)指：；
（2）請你根據(jù)情況①的證明思路完成情況②的證明；
（3）如圖3，D，F(xiàn)分別是△ABC的邊AB，AC上的點，且AD:DB＝CF:FA＝2:3，連接DF并延長，交BC的延長線于點E，那么BE:CE＝．
14．（2020·重慶八中九年級月考）請閱讀下列材料：
問題：已知方程，求一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．
解：設所求方程的根為，則，所以．
把代入已知方程，得
化簡，得
故所求方程為．
這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”．
請用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）．
（1）已知方程，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的相反數(shù)，則所求方程為：．
（2）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不等于零的實數(shù)根，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)；
（3）已知關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根，求一個方程，使它的根分別是已知方程根的平方．
15．（2020·山東青島·九年級期末）空間任意選定一點，以點為端點作三條互相垂直的射線，，．這三條互相垂直的射線分別稱作軸、軸、軸，統(tǒng)稱為坐標軸，它們的方向分別為（水平向前），（水平向右），（豎直向上）方向，這樣的坐標系稱為空間直角坐標系．將相鄰三個面的面積記為，且的小長方體稱為單位長方體，現(xiàn)將若干個單位長方體在空間直角坐標系內(nèi)進行碼放，要求碼放時將單位長方體所在的面與軸垂直，所在的面與軸垂直，所在的面與軸垂直，如圖所示．若將軸方向表示的量稱為幾何體碼放的排數(shù)，軸方向表示的量稱為幾何體碼放的列數(shù)，軸方向表示的量稱為幾何體碼放的層數(shù)；如圖是由若干個單位長方體在空間直角坐標內(nèi)碼放的一個幾何體，其中這個幾何體共碼放了排列層，用有序數(shù)組記作 (1，2，6)，如圖的幾何體碼放了排列層，用有序數(shù)組記作 (2，3，4)．這樣我們就可用每一個有序數(shù)組表示一種幾何體的碼放方式．
（1）有序數(shù)組 (3，2，4)所對應的碼放的幾何體是_____；
（2）圖是由若干個單位長方體碼放的一個幾何體的三視圖，則這種碼放方式的有序數(shù)組為(___，____，____)，組成這個幾何體的單位長方體的個數(shù)為____個；
（3）為了進一步探究有序數(shù)組的幾何體的表面積公式，某同學針對若干個單位長方體進行碼放，制作了下列表格：
根據(jù)以上規(guī)律，請直接寫出有序數(shù)組的幾何體表面積的計算公式；（用表示）
（4）當時，對由個單位長方體碼放的幾何體進行打包，為了節(jié)約外包裝材料，我們可以對個單位長方體碼放的幾何體表面積最小的規(guī)律進行探究，請你根據(jù)自己探究的結(jié)果直接寫出使幾何體表面積最小的有序數(shù)組，這個有序數(shù)組為(___，___，___)，此時求出的這個幾何體表面積的大小為________．（縫隙不計）最長邊長
最短邊長
（最長邊長，最短邊長，第三邊長）
整數(shù)邊三角形個數(shù)
計算方法
算式
1
1
1
1個1
最長邊長
最短邊長
（最長邊長，最短邊長，第三邊長）
整數(shù)邊三角形個數(shù)
計算方法
算式
2
1
1
2個1
2
1
最長邊長
最短邊長
（最長邊長，最短邊長，第三邊長）
整數(shù)邊三角形個數(shù)
計算方法
算式
3
1
1
2個2
2
，
2
3
1
最長邊長
最短邊長
（最長邊長，最短邊長，第三邊長）
整數(shù)邊三角形個數(shù)
計算方法
算式
4
1
1
3個2
2
，
2
3
，
2
4
1
最長邊長
最短邊長
（最長邊長，最短邊長，第三邊長）
整數(shù)邊三角形個數(shù)
計算方法
算式
5
1
1
___
___
2
，
2
3
_______
_____
4
，
2
5
1

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