浙江省紹興市諸暨市2023屆高三下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________ 一、單選題1．已知集合M＝{x|0≤x＜2}，N＝{x|x2－2x－3＜0}，則M∩N＝（    ）A．{x|0≤x＜1} B．{x|0≤x＜2}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0≤x≤2}2．復(fù)數(shù)z1=3+i,z2=1－i，則z=z1·z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個極值，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．4．馬劍饅頭在我市很有名，吃起來松軟有韌勁，特別受歡迎.某馬劍鎮(zhèn)饅頭商家為了將馬劍饅頭銷往全國，學(xué)習(xí)了“小罐茶”的銷售經(jīng)驗(yàn)，決定走少而精的售賣方式，爭取讓馬劍饅頭走上高端路線，定制了如圖所示由底面圓半徑為的圓柱體和球冠（球的一部分，球心與圓柱底面圓心重合）組成的單獨(dú)包裝盒（包裝盒總高度為5cm），請你幫忙計(jì)算包裝盒的表面積（    ）（單位：平方厘米，球冠的表面積公式為，其中R為球冠對應(yīng)球體的半徑，h為球冠的高）A． B． C． D．5．已知點(diǎn)分別為直線上的動點(diǎn)，若，則的最小值為（    ）A． B． C． D．6．如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，若，則的圖象大致為（    ）A． B．C． D．7．已知圓，圓心為的圓分別與圓相切.圓的公切線（傾斜角為鈍角）交圓于兩點(diǎn)，則線段的長度為（    ）A． B． C．3 D．68．定義域?yàn)?/span>的函數(shù)滿足，且對于任意均有，則（    ）A． B．C． D． 二、多選題9．預(yù)測人口的變化趨勢有多種方法，“直接推算法”使用的公式是，其中為預(yù)測期人口數(shù)，為初期人口數(shù)，為預(yù)測期內(nèi)人口年增長率，為預(yù)測期間隔年數(shù)，則（    ）A．當(dāng)，則這期間人口數(shù)呈下降趨勢B．當(dāng)，則這期間人口數(shù)呈擺動變化C．當(dāng)時，的最小值為3D．當(dāng)時，的最小值為310．一個袋子中有編號分別為的4個球，除編號外沒有其它差異.每次摸球后放回，從中任意摸球兩次，每次摸出一個球.設(shè)“第一次摸到的球的編號為2”為事件，“第二次摸到的球的編號為奇數(shù)”為事件，“兩次摸到的球的編號之和能被3整除”為事件，則下列說法正確的是（    ）A． B．事件與事件相互獨(dú)立C． D．事件與事件互為對立事件11．已知函數(shù)，下列說法正確的有（    ）A．若與圖象至多有2個公共點(diǎn)B．若與圖象至少有2個公共點(diǎn)C．若與圖象至多有2個公共點(diǎn)D．若與圖象至少有2個公共點(diǎn)12．過雙曲線的左焦點(diǎn)的直線交的左?右支分別于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，若，則（    ）A． B．C． D． 三、填空題13．過點(diǎn)作曲線的切線，寫出一條切線方程：__________.14．已知橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn)分別在第一?二象限內(nèi)，若與的面積相等，且，則的離心率為__________.15．已知，則的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)的最大值為__________.16．正方體的棱長為分別為上的點(diǎn)，，分別為上的動點(diǎn).若點(diǎn)在同一球面上，當(dāng)平面時，該球的表面積為__________. 四、解答題17．記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)若，求；(2)若，求的面積.18．如圖，正三棱柱的所有棱長均為為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，(1)若，證明：平面；(2)當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為，求的長度.19．某同學(xué)進(jìn)行投籃訓(xùn)練，已知該同學(xué)每次投中的概率均為0.5.(1)若該同學(xué)進(jìn)行三次投籃，第一次投中得1分，第二次投中得1分，第三次投中得2分，記為三次總得分，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)已知當(dāng)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布時，若充分大，則隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.若保證投中的頻率在0.4與0.6之間的概率不低于，求該同學(xué)至少要投多少次.附：若表示投籃的次數(shù)，表示投中的次數(shù)，則投中的頻率為；若，則.20．已知數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足求的前項(xiàng)和.21．設(shè)拋物線，過軸上點(diǎn)的直線與相切于點(diǎn)，且當(dāng)的斜率為時，.(1)求的方程；(2)過且垂直于的直線交于兩點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn).22．已知函數(shù).(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：；(3)若，證明：.
參考答案：1．B【解析】先化簡集合N，再進(jìn)行交集運(yùn)算即得結(jié)果.【詳解】由于N＝{x|x2－2x－3＜0}＝{x|－1＜x＜3}，M＝{x|0≤x＜2}，所以M∩N＝{x|0≤x＜2}．故選：B.2．D【詳解】試題分析：復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限考點(diǎn)：復(fù)數(shù)運(yùn)算點(diǎn)評：復(fù)數(shù)運(yùn)算中，對于復(fù)數(shù)，其對應(yīng)的點(diǎn)為3．A【分析】利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及整體代換的技巧進(jìn)行處理.【詳解】因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時，有，因?yàn)?/span>在區(qū)間內(nèi)恰有一個極值，結(jié)合函數(shù)圖象，得，解得，所以的取值范圍為.故選：A.4．D【分析】求出球冠的高，可得圓柱的高，根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式以及底面圓面積以及球冠的面積公式即可求得答案.【詳解】如圖，由題意知包裝盒總高度為，即球冠所在球的半徑為，圓柱底面圓的半徑為，設(shè)球冠的高為，則，即或（舍去），故圓柱高為，故包裝盒的表面積為，故選：D5．C【分析】根據(jù)題意，由條件可得，從而得到其最小值為點(diǎn)到直線的距離的平方，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，由且點(diǎn)，為直線上的動點(diǎn)，則即為點(diǎn)到直線的距離，所以，則，故選:C6．D【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象在區(qū)間內(nèi)的函數(shù)的范圍，判斷出函數(shù)區(qū)間上各點(diǎn)處切線的斜率的范圍，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象得導(dǎo)函數(shù)函數(shù)值的符號，得函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合四個選項(xiàng)可得答案.【詳解】由的圖象可知，當(dāng)時，，則在區(qū)間上，函數(shù)上各點(diǎn)處切線的斜率在區(qū)間內(nèi)，對于A，在區(qū)間上，函數(shù)上各點(diǎn)處切線的斜率均小于0，故A不正確；對于B，在區(qū)間上，函數(shù)上存在點(diǎn)，在該點(diǎn)處切線的斜率大于1，故B不正確；對于C，在區(qū)間上，函數(shù)上存在點(diǎn)，在該點(diǎn)處切線的斜率大于1，故C不正確；對于D，由的圖象可知，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)上各點(diǎn)處切線的斜率在區(qū)間內(nèi)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而函數(shù)的圖象均符合這些性質(zhì)，故D正確.故選：D7．B【分析】判斷圓與需外切，求出的方程，進(jìn)而求得圓的公切線方程，再根據(jù)弦長的幾何求法，即可求得答案.【詳解】如圖，由已知的圓心為，半徑為，設(shè)的半徑為，由題意知圓與需外切，否則圓無公切線或公切線（傾斜角為鈍角）與圓無交點(diǎn)；由題意知，即；，即，故圓，圓，設(shè)圓的公切線方程為，則，解得，即，故到的距離為，故，故選：B8．C【分析】取，，驗(yàn)證滿足各個條件，再根據(jù)三角函數(shù)的公式，依次計(jì)算每個選項(xiàng)得到答案.【詳解】取，，滿足，，，即；，即，上述函數(shù)滿足題設(shè)要求，對選項(xiàng)A：，錯誤（排除）；對選項(xiàng)B：，錯誤（排除）；對選項(xiàng)C：，故，正確；對選項(xiàng)D：，錯誤（排除）.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題函數(shù)值的計(jì)算，函數(shù)值比較大小，其中，構(gòu)造，可以簡化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵.9．AC【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的增減性可判斷A，B；分別代入和，解指數(shù)不等式可判斷C，D.【詳解】，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：是關(guān)于n的單調(diào)遞減函數(shù)，即人口數(shù)呈下降趨勢，故A正確，B不正確；，所以，所以，，所以的最小值為3，故C正確；，所以，所以，，所以的最小值為2，故D不正確；故選：AC.10．AC【分析】對于選項(xiàng)A，由古典概型的概率公式得，所以該選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)B，由題得，事件與事件不相互獨(dú)立，所以該選項(xiàng)錯誤；對于選項(xiàng)C, ，所以該選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)D,舉例說明事件與事件不是對立事件，所以該選項(xiàng)錯誤.【詳解】對于選項(xiàng)A，兩次摸到的球的編號之和能被3整除的基本事件有 ，共5個，由古典概型的概率公式得，所以該選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)B，由題得,,所以，事件與事件不相互獨(dú)立，所以該選項(xiàng)錯誤；對于選項(xiàng)C, ，所以該選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)D, 如果第一次摸到編號為1的球，第二次摸到編號為4的球，則事件A和B都沒有發(fā)生，所以事件與事件不是對立事件，所以該選項(xiàng)錯誤.故選：AC11．ACD【分析】對于選項(xiàng)AC，聯(lián)立方程利用判別式判斷該選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)B, 假設(shè)，可以判斷該選項(xiàng)錯誤；對于選項(xiàng)D，說明有兩個解即可判斷該選項(xiàng)真假.【詳解】對于選項(xiàng)A. ，所以與圖象至多有2個公共點(diǎn)，所以該選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)B, 假設(shè)，則令，所以或，所以.所以此時與圖象只有1個公共點(diǎn)，所以該選項(xiàng)錯誤；對于選項(xiàng)C，，令，所以，此時與圖象至多有2個公共點(diǎn)，所以該選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)D, ,令，假設(shè) 或，所以和是的兩個解，所以與圖象至少有2個公共點(diǎn)，所以該選項(xiàng)正確.故選：ACD12．BCD【分析】根據(jù)雙曲線中的極線是可得判斷C，再由及比例的性質(zhì)可判斷B，由B的結(jié)論根據(jù)比例性質(zhì)可推出判斷A，再由及比例性質(zhì)可判斷D.【詳解】如圖，點(diǎn)的極線是，故成調(diào)和點(diǎn)列，即，故C正確；又，所以，所以，所以，故B正確；，故A錯誤；，故D正確.故選：BCD13．或（寫出一條即可）【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線方程，將代入求得切點(diǎn)坐標(biāo)，即可得切線方程.【詳解】由可得，設(shè)過點(diǎn)作曲線的切線的切點(diǎn)為，則，則該切線方程為，將代入得，解得或，故切點(diǎn)坐標(biāo)為或，故切線方程為或，故答案為：或14．【分析】根據(jù)題意，由兩個三角形面積相等可得，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，結(jié)合條件化簡即可得到關(guān)系，再根據(jù)離心率公式即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>與的面積相等，且，則，即，所以，將坐標(biāo)代入，可得，化簡可得，即，所以，且，所以，即，則離心率為，故答案為:15．54【分析】分別求出和的通項(xiàng)，可求出含項(xiàng)的系數(shù)為對求導(dǎo)，即可求出的最大值.【詳解】的通項(xiàng)為，的通項(xiàng)為，，則含項(xiàng)的系數(shù)為：；，則含項(xiàng)的系數(shù)為：；所以令，，解得：；，解得：，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.故答案為：54.16．【分析】建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)，求出平面的法向量，根據(jù)平面，可得,進(jìn)而求出的坐標(biāo)，再跟據(jù)外接球球心O在過的外心且垂直面ABP的垂線MN上，結(jié)合球心到球面上任何一點(diǎn)的距離都相等，即可求出半徑以及球的表面積.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,設(shè)平面的法向量為，，則，令，解得，所以，又平面，所以,所以，解得：，再根據(jù)下圖：作的平行線,分別為的中點(diǎn)，連接,因?yàn)?/span>為直角三角形，故的外接球球心在過的外心且垂直面的垂線上，連接GO,根據(jù)球心到球面上任何一點(diǎn)的距離都相等，故,故,由題可設(shè)，,所以，又,所以,解得：，所以所以,所以球的表面積為,故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時,解題的關(guān)鍵是確定球心的位置.對于外切的問題要注意球心到各個面的距離相等且都為球半徑;對于球的內(nèi)接幾何體的問題,注意球心到各個頂點(diǎn)的距離相等,解題時要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形,利用勾股定理求得球的半徑.17．(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)兩角和的正弦公式及同角三角數(shù)基本關(guān)系得解；（2）由正弦定理及三角形面積公式求解.【詳解】（1）由，則代入，得，所以.（2）由正弦定理得，所以，故.18．(1)證明見解析；(2)3. 【分析】（1）記與交于點(diǎn)，連結(jié)，證明，原題即得證；（2）取中點(diǎn)，以原點(diǎn)，直線為軸，直線為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)，利用向量法求解.【詳解】（1）記與交于點(diǎn)，連結(jié).由得.又平面，平面,所以平面.（2）取中點(diǎn)，以原點(diǎn)，直線為軸，直線為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.則設(shè)，則設(shè)平面法向量為，則,取因?yàn)榫€面角正弦值為，所以解得，故19．(1)分布列見解析，2(2)68次 【分析】（1）設(shè)事件分別表示第一次投中，第二次投中，第三次投中，列出的所有取值，再計(jì)算出對應(yīng)的概率，即可求解.(2)根據(jù)題意將轉(zhuǎn)化為，即可求解.【詳解】（1）設(shè)事件分別表示第一次投中，第二次投中，第三次投中，根據(jù)題意可知，故，，的分布列為：01234的數(shù)學(xué)期望.（2）設(shè)至少投次，其中投中的次數(shù)，若，即，由已知條件可知，又因?yàn)?/span>，所以，所以所以至少要投68次才能保證投中的頻率在0.4到0.6之間的概率不低于20．(1),；(2). 【分析】（1）先求出再對分奇偶兩種情況討論得解；（2）先求出時，的前項(xiàng)和；再討論當(dāng)時，且為奇數(shù)時，當(dāng)時，且為偶數(shù)時，的前項(xiàng)和，即得解.【詳解】（1）根據(jù)題意可知，所以當(dāng)為奇數(shù)時，，即，所以當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，，即，所以當(dāng)為奇數(shù)時，.綜上，,.（2）由（1）可知當(dāng)為奇數(shù)時，若，即，解得，當(dāng)為偶數(shù)時，若，即，解得，所以，當(dāng)時，，所以.當(dāng)時，且為奇數(shù)時，當(dāng)時，且為偶數(shù)時，.綜上，21．(1)；(2)證明見解析. 【分析】（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線的方程根據(jù)相切求出即得解；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線的方程求出，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達(dá)定理求出，寫出直線的方程即得解.【詳解】（1）當(dāng)l的斜率為時，設(shè)直線的方程為，與的方程聯(lián)立消去，得，當(dāng)與相切時，，整理有，此時或（舍去）.故，所以，故 所以的方程為.（2）證明：設(shè)直線的方程為，與的方程聯(lián)立，得，當(dāng)與相切時，，則，故，設(shè)直線的方程為，與的方程聯(lián)立有，設(shè)，則，所以，所以，所以的方程為令，則，所以，所以直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：定點(diǎn)問題：對滿足一定條件曲線上兩點(diǎn)連結(jié)所得直線過定點(diǎn)或滿足一定條件的曲線過定點(diǎn)問題，證明直線過定點(diǎn)，一般有兩種方法.（1）特殊探求，一般證明：即可以先考慮動直線或曲線的特殊情況，找出定點(diǎn)的位置，然后證明該定點(diǎn)在該直線或該曲線上（定點(diǎn)的坐標(biāo)直線或曲線的方程后等式恒成立）.（2）分離參數(shù)法：一般可以根據(jù)需要選定參數(shù)，結(jié)合已知條件求出直線或曲線的方程，分離參數(shù)得到等式，（一般地，為關(guān)于的二元一次關(guān)系式）由上述原理可得方程組，從而求得該定點(diǎn).22．(1)答案見解析(2)證明見解析(3)證明見解析 【分析】（1）當(dāng)時，對求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號確定單調(diào)區(qū)間；（2）對求導(dǎo)，證明即可；（3）由（2）可知，，即可得到，可證明，對求導(dǎo)，可得在單調(diào)遞增，則，再證明即可得證.【詳解】（1）當(dāng)時，，其中，所以，且，因?yàn)楹瘮?shù)和都是減函數(shù)，故也是減函數(shù).所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）根據(jù)題意可知，，設(shè)，則單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以.（3）法一：若，則，由（2）可知，，所以，故，此時，故，所以，其中.當(dāng)時，，故當(dāng)時，，當(dāng)時，若，則，若，則，故，所以當(dāng)時，成立，故在單調(diào)遞增，所以.設(shè)，則，因?yàn)楹瘮?shù)和都是減函數(shù)，故也是減函數(shù)，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以.綜上，當(dāng)時，.法二：若，則，由（2）可知，，所以，故，此時，故，所以，其中，.成立，故在單調(diào)遞增，所以.設(shè)，則，因?yàn)楹瘮?shù)和都是減函數(shù)，故也是減函數(shù)，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以.綜上，當(dāng)時，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù). 

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