?湖北省鄂州市2020年中考數(shù)學(xué)真題
一、選擇題
1.-2020的相反數(shù)是（ ）
A. 2020 B. -2020 C. D. －
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)相反數(shù)直接得出即可.
【詳解】-2020的相反數(shù)是2020，
故選A.
【點(diǎn)睛】本題是對(duì)相反數(shù)的考查，熟練掌握相反數(shù)知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵.
2.下列運(yùn)算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
利用合并同類項(xiàng)、積的乘方、單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式直接計(jì)算判斷即可．
【詳解】解：A. ，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B. ，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C. ，選項(xiàng)正確；
D. ，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
3.如圖是由5個(gè)小正方體組合成的幾何體，則其俯視圖為（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
從該組合體的俯視圖看從左至右共有三列，從左到右第一列有一個(gè)正方形，第二列有一個(gè)正方形，第三列有兩個(gè)正方形，據(jù)此找到答案即可．
【詳解】解：從該組合體的俯視圖看從左至右共有三列，從左到右第一列有一個(gè)正方形，第二列有一個(gè)正方形，第三列有兩個(gè)正方形，可得只有選項(xiàng)A符合題意．
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了三視圖的識(shí)別，注意：俯視圖是從上往下看到的圖形．
4.面對(duì)2020年突如其來的新冠疫情，黨和國家及時(shí)采取“嚴(yán)防嚴(yán)控”措施，并對(duì)新冠患者全部免費(fèi)治療．據(jù)統(tǒng)計(jì)共投入約21億元資金．21億用科學(xué)記數(shù)法可表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示方法表示即可．
【詳解】21億=2100000000=2．1×109．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查科學(xué)記數(shù)法的表示,關(guān)鍵在于牢記表示方法．
5.如圖，，一塊含的直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)落在其中一條直線上，若，則的度數(shù)為（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
作平行a和b的平行線,再根據(jù)平行的性質(zhì)可知,再算出即可得出．
【詳解】如圖所示,過直角頂點(diǎn)作c∥a，
∵，
∴a∥b∥c，

∴,
∴,
∴．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查平行的性質(zhì),關(guān)鍵在于利用割補(bǔ)法將直角分成兩個(gè)角度進(jìn)行轉(zhuǎn)換．
6.一組數(shù)據(jù)4，5，，7，9的平均數(shù)為6，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為（ ）
A. 4 B. 5 C. 7 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】
先根據(jù)平均數(shù)的公式計(jì)算出x的值，再求這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)即可．
【詳解】解：∵4，5，，7，9的平均數(shù)為6，
∴，
解得：x=5，
∴這組數(shù)據(jù)為：4，5，5，7，9，
∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為5．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)及眾數(shù)，熟練掌握平均數(shù)、眾數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．
7.目前以等為代表的戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展．某市2019年底有用戶2萬戶，計(jì)劃到2021年底全市用戶數(shù)累計(jì)達(dá)到8.72萬戶．設(shè)全市用戶數(shù)年平均增長率為，則值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先用含x的代數(shù)式表示出2020年底、2021年底用戶的數(shù)量，然后根據(jù)2019年底到2021年底這三年的用戶數(shù)量之和=8.72萬戶即得關(guān)于x的方程，解方程即得答案．
【詳解】解：設(shè)全市用戶數(shù)年平均增長率為，根據(jù)題意，得：
，
解這個(gè)方程，得：，（不合題意，舍去）．
∴x的值為40%．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用之增長率問題，屬于常考題型，正確理解題意、找準(zhǔn)相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
8.如圖，在和中，，，，．連接、交于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論：

①；②；③平分；④平分
其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有（ ）個(gè)．
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】
由SAS證明△AOC≌△BOD，得到∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性質(zhì)得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正確；
根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正確；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如圖所示：則∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS證明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分線的判定方法得出MO平分，④正確；
由∠AOB＝∠COD，得出當(dāng)∠DOM＝∠AOM時(shí)，OM才平分∠BOC，假設(shè)∠DOM＝∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以O(shè)A＝OC，而，故③錯(cuò)誤；即可得出結(jié)論．
【詳解】∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正確；
∴∠OAC＝∠OBD，

由三角形的外角性質(zhì)得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，②正確；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如圖所示：
則∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，
，
∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG＝OH，
∴平分，④正確；
∵∠AOB＝∠COD，
∴當(dāng)∠DOM＝∠AOM時(shí)，OM才平分∠BOC，
假設(shè)∠DOM＝∠AOM
∵△AOC≌△BOD，
∴∠COM＝∠BOM，
∵M(jìn)O平分∠BMC，
∴∠CMO＝∠BMO，
在△COM和△BOM中，
，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB＝OC，
∵OA＝OB
∴OA＝OC
與矛盾，
∴③錯(cuò)誤；
正確的有①②④；
故選B．

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的判定等知識(shí)；證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
9.如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和，與軸交于點(diǎn)．下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（ ）

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
【答案】B
【解析】
【分析】
由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，進(jìn)而判斷①；根據(jù)對(duì)稱軸0，
∵對(duì)稱軸在y軸右邊，
∴，即b0，故③正確；
當(dāng)x=-1時(shí)，拋物線過x軸，即a-b+c=0，
∴b=a+c，
又2a+b>0，
∴2a+a+c>0，即3a+c>0，故④正確；
故答案選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)圖像位置與系數(shù)的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是關(guān)鍵．
10.如圖，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)在軸上，且，直線與雙曲線交于點(diǎn)，則（n為正整數(shù)）的坐標(biāo)是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出的坐標(biāo)，由題意容易得到為等腰直角三角形，即可得到，然后過作交y軸于H，，通過反比例函數(shù)解析式可求出x，從而能夠得到，再同樣求出，即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律．
【詳解】解：聯(lián)立，解得，
∴，，
由題意可知，
∵，
∴為等腰直角三角形，
∴，
過作交y軸于H，則容易得到，

設(shè)，則，
∴，
解得，（舍），
∴，，
∴，
用同樣方法可得到，
因此可得到，即
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，屬于規(guī)律問題，求出是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
11.因式分解：=___________________．
【答案】
【解析】
【分析】
先提取公因式2，再根據(jù)完全平方公式分解因式即可得到結(jié)果
【詳解】原式．
考點(diǎn)：本題考查的是因式分解
點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式：
12.關(guān)于x的不等式組的解集是___________．
【答案】
【解析】
【分析】
直接解不等式組即可．
【詳解】解：由，得，
由，得，
∴不等式組的解集是，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了解不等式組，熟練掌握不等式組的解法是解題的關(guān)鍵．
13.用一個(gè)圓心角為120°，半徑為4的扇形作一個(gè)圓錐的側(cè)面，這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為____．
【答案】
【解析】
試題分析：，解得r=．
考點(diǎn)：弧長的計(jì)算．
14.如圖，點(diǎn)A是雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，作，且使，當(dāng)點(diǎn)A在雙曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)B在雙曲線上移動(dòng)，則k的值為___________．

【答案】﹣9
【解析】
【分析】
首先根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義求得△AOC的面積，然后證明△OAC∽△BOD，根據(jù)相似三角形的面積的性質(zhì)求得△BOD的面積，依據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義即可求解．
【詳解】解：如圖作AC⊥x軸于點(diǎn)C，作BD⊥x軸于點(diǎn)D．
∵
∴=
∵點(diǎn)A是雙曲線上
∴S△OAC=
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
又∵直角△AOC中，∠AOC+∠CAO=90°，
∴∠BOD=∠OAC，
又∵∠ACO=∠BDO=90°，
∴△OAC∽△BOD，
∴=
∴
∴=9
∵函數(shù)圖像位于第四象限
∴ｋ＝﹣9
故答案為：﹣9

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)k的幾何意義，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線，證明△OAC∽△BOD是解題關(guān)鍵．
15.如圖，半徑為的與邊長為的正方形的邊相切于E，點(diǎn)F為正方形的中心，直線過點(diǎn)．當(dāng)正方形沿直線以每秒的速度向左運(yùn)動(dòng)__________秒時(shí)，與正方形重疊部分的面積為．

【答案】1或．
【解析】
【分析】
將正方形向左平移，使得正方形與圓的重疊部分為弓形，根據(jù)題目數(shù)據(jù)求得此時(shí)弓形面積符合題意，由此得到OF的長度，然后結(jié)合運(yùn)動(dòng)速度求解即可，特別要注意的是正方形沿直線運(yùn)動(dòng)，所以需要分類討論．
【詳解】解：①當(dāng)正方形運(yùn)動(dòng)到如圖1位置，連接OA，OB，AB交OF于點(diǎn)E
此時(shí)正方形與圓的重疊部分的面積為S扇形OAB-S△OAB
由題意可知：OA=OB=AB=2，OF⊥AB
∴△OAB為等邊三角形
∴∠AOB=60°，OE⊥AB
在Rt△AOE中，∠AOE=30°，∴AE=，OE=
∴S扇形OAB-S△OAB
∴OF=
∴點(diǎn)F向左運(yùn)動(dòng)個(gè)單位
所以此時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒

②同理，當(dāng)正方形運(yùn)動(dòng)到如圖2位置，連接OC，OD，CD交OF于點(diǎn)E

此時(shí)正方形與圓的重疊部分的面積為S扇形OCD-S△OCD
由題意可知：OC=OD=CD=2，OF⊥CD
∴△OCD為等邊三角形
∴∠COD=60°，OE⊥CD
在Rt△COE中，∠COE=30°，∴CE=，OE=
∴S扇形OCD-S△OCD
∴OF=
∴點(diǎn)F向左運(yùn)動(dòng)個(gè)單位
所以此時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒
綜上，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1或秒時(shí)，⊙O與正方形重疊部分的面積為
故答案為：1或．
【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算及等邊三角形的判定和性質(zhì)，題目難度不大，注意分情況討論是本題的解題關(guān)鍵．
16.如圖，已知直線與x、y軸交于A、B兩點(diǎn)，的半徑為1，P為上一動(dòng)點(diǎn)，切于Q點(diǎn)．當(dāng)線段長取最小值時(shí)，直線交y軸于M點(diǎn)，a為過點(diǎn)M的一條直線，則點(diǎn)P到直線a的距離的最大值為______________．

【答案】
【解析】
【分析】
先找到長取最小值時(shí)P的位置即為OP⊥AB時(shí)，然后畫出圖形，由于PM即為P到直線a的距離的最大值，求出PM長即可．
【詳解】解：如圖，

在直線上，x=0時(shí)，y=4，y=0時(shí)，x=，
∴OB=4，OA=，
∴，
∴∠OBA=30°，
由切于Q點(diǎn)，可知OQ⊥PQ，
∴，
由于OQ=1，因此當(dāng)OP最小時(shí)長取最小值，此時(shí)OP⊥AB，
∴，此時(shí)，，
∴，即∠OPQ=30°，
若使P到直線a的距離最大，則最大值為PM，且M位于x軸下方，
過P作PE⊥y軸于E，
，，
∴，
∵，∴∠OPE=30°，
∴∠EPM=30°+30°=60°，即∠EMP=30°，
∴，
故答案：．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓和函數(shù)的綜合問題，題解題中含義找到Ｐ點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
17.先化簡，再從，，0，1，2中選一個(gè)合適的數(shù)作為x的值代入求值．
【答案】，-1．
【解析】
【分析】
先化簡分式，然后在確保分式有意義的前提下，確定x的值并代入計(jì)算即可．
【詳解】解：
=
=
=
=
=
=
在、、0、1、2中只有當(dāng)x=-2時(shí)，原分式有意義，即x只能取-2
當(dāng)x=-2時(shí)，．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值和分式有意義的條件，正確將分式化簡和選取合適的x的值是解答本題的關(guān)鍵．
18.如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別為、的中點(diǎn)，延長至點(diǎn)E，使，連接．


（1）求證：；
（2）若，且，，求四邊形的面積．
【答案】(1)見解析；(2)24
【解析】
【分析】
(1)由四邊形ABCD是平行四邊形得出AB=CD，ABCD，進(jìn)而得到∠BAC=∠DCA，再結(jié)合AO=CO，M,N分別是OA和OC中點(diǎn)即可求解；
(2)證明△ABO是等腰三角形，結(jié)合M是AO的中點(diǎn)，得到∠BMO=∠EMO=90°，同時(shí)△DOC也是等腰三角形，N是OC中點(diǎn)，得到∠DNO=90°，得到EMDN，再由(1)得到EM=DN，得出四邊形EMND為矩形，進(jìn)而求出面積．
【詳解】解：(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，ABCD，OA=OC，
∴∠BAC=∠DCA，
又點(diǎn)M，N分別為、的中點(diǎn)，
∴，
在和中，
，
∴．
(2)BD=2BO，又已知BD=2AB，
∴BO=AB，∴△ABO為等腰三角形；
又M為AO的中點(diǎn)，
∴由等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)可知：BM⊥AO，
∴∠BMO=∠EMO=90°，
同理可證△DOC也為等腰三角形，
又N是OC的中點(diǎn)，
∴由等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)可知：DN⊥CO，
∠DNO=90°，
∵∠EMO+∠DNO=90°+90°=180°，
∴EMDN，
又已知EM=BM，由(1)中知BM=DN，
∴EM=DN，
∴四邊形EMND為平行四邊形，
又∠EMO=90°，∴四邊形EMND為矩形，
在Rt△ABM中，由勾股定理有：，
∴AM=CN=3，
∴MN=MO+ON=AM+CN=3+3=6，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、矩形的面積公式等，熟練掌握其性質(zhì)和判定方法是解決此類題的關(guān)鍵．
19.某校為了了解全校學(xué)生線上學(xué)習(xí)情況，隨機(jī)選取該校部分學(xué)生，調(diào)查學(xué)生居家學(xué)習(xí)時(shí)每天學(xué)習(xí)時(shí)間（包括線上聽課及完成作業(yè)時(shí)間）．以下是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的統(tǒng)計(jì)圖表．請(qǐng)你根據(jù)圖表中的信息完成下列問題：
頻數(shù)分布表
學(xué)習(xí)時(shí)間分組
頻數(shù)
頻率
A組（）
9
m
B組（）
18
0.3
C組（）
18
0.3
D組（）
n
0.2
E組（）
3
0.05


（1）頻數(shù)分布表中_______，________，并將頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整；
（2）若該校有學(xué)生1000名，現(xiàn)要對(duì)每天學(xué)習(xí)時(shí)間低于2小時(shí)的學(xué)生進(jìn)行提醒，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，估計(jì)全校需要提醒的學(xué)生有多少名？
（3）已知調(diào)查的E組學(xué)生中有2名男生1名女生，老師隨機(jī)從中選取2名學(xué)生進(jìn)一步了解學(xué)生居家學(xué)習(xí)情況．請(qǐng)用樹狀圖或列表求所選2名學(xué)生恰為一男生一女生的概率．
【答案】（1）0.15,12，補(bǔ)充頻數(shù)分布直方圖見解析；（2）450名；（3）．
【解析】
【分析】
（1）先求出選取的學(xué)生數(shù)，再根據(jù)頻率計(jì)算頻數(shù)，根據(jù)頻數(shù)計(jì)算頻率；
（2）先求出選取該校部分學(xué)生每天學(xué)習(xí)時(shí)間低于2小時(shí)的學(xué)生的頻率，然后再估計(jì)該校有學(xué)生1000名中，每天學(xué)習(xí)時(shí)間低于2小時(shí)的學(xué)生數(shù)即可；
（3）先通過列表法確定所有情況數(shù)和所需情況數(shù)，然后用概率的計(jì)算公式計(jì)算即可．
【詳解】解：（1）隨機(jī)選取學(xué)生數(shù)為：18÷0.3=60人
則m=9÷60=0.15，n=60×0.2=12；

故答案為0.15,12；
（2）根據(jù)頻數(shù)分布表可知：
選取該校部分學(xué)生每天學(xué)習(xí)時(shí)間低于2小時(shí)為0.3+0.15=0.45
則若該校有學(xué)生1000名，每天學(xué)習(xí)時(shí)間低于2小時(shí)的學(xué)生數(shù)有1000×0.45=450
所以，估計(jì)全校需要提醒的學(xué)生有450名；
（3）根據(jù)題意列表如下：

則共有6種情況，其中所選2名學(xué)生恰為一男生一女生的情況數(shù)4種
所以所選2名學(xué)生恰為一男生一女生的概率為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了樹狀圖法或列表法求概率以及頻數(shù)分布直方圖的運(yùn)用，掌握頻數(shù)和頻率的關(guān)系以及樹狀圖或列表法的正確應(yīng)用是解答本題的關(guān)鍵．
20.已知關(guān)于x的方程有兩實(shí)數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）設(shè)方程兩實(shí)數(shù)根分別為、，且，求實(shí)數(shù)k的值．
【答案】（1）k≤3；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根得出△＝≥0，解之可得．
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系可用k表示出x1＋x2和x1x2的值，根據(jù)條件可得到關(guān)于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判別式進(jìn)行取舍．
【詳解】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴△≥0，即≥0，
解得：k≤3，
故k的取值范圍為：k≤3．
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可得，
由可得，
代入x1＋x2和x1x2的值，可得：
解得：，（舍去），
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根，
故．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式．當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＝0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根以及根與系數(shù)的關(guān)系，也考查了解一元二次方程和分式方程，注意分式方程要驗(yàn)根．
21.鄂州市某校數(shù)學(xué)興趣小組借助無人機(jī)測量一條河流的寬度．如圖所示，一架水平飛行的無人機(jī)在A處測得正前方河流的左岸C處的俯角為，無人機(jī)沿水平線方向繼續(xù)飛行50米至B處，測得正前方河流右岸D處的俯角為30°．線段的長為無人機(jī)距地面的鉛直高度，點(diǎn)M、C、D在同一條直線上．其中米．

（1）求無人機(jī)的飛行高度；（結(jié)果保留根號(hào)）
（2）求河流的寬度．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：）
【答案】（1）米；（2）263米
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)正切的定義即可求出AM的長；
（2）過點(diǎn)B作BH⊥MD，根據(jù)三角函數(shù)求出DH的長，利用CD=DH-CH即可求解．
【詳解】（1）由題意可得AF∥MD
∴∠ACM=∠FAC=
在Rt△ACM中，AM=CMtan∠ACM=CM(米);
（2）如圖，過點(diǎn)B作BH⊥MD，
在Rt△BDH中，∠BDH=∠FBD=30°，BH=
∴DH=BH÷tan30°=÷=300米，
∵AM⊥DM，AM⊥AF
∴四邊形ABHM是矩形
∴MH=AB=50米
∴CH=CM-MH=-50(米)
∴CD=DH-CH=300-（-50）=350-≈263（米）
故河流的寬度為263米．

【點(diǎn)睛】此題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知解直角三角形的方法．
22.如圖所示：與的邊相切于點(diǎn)C，與、分別交于點(diǎn)D、E，．是的直徑．連接，過C作交于G，連接、，與交于點(diǎn)F．

（1）求證：直線與相切；
（2）求證：；
（3）若時(shí)，過A作交于M、N兩點(diǎn)（M在線段上），求的長．
【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3) 10+．
【解析】
【分析】
(1)由兩組平行條件推出∠DEO=∠BOE,即可利用SAS證明△BOE≌△BOC,進(jìn)而推出AB是圓的切線;
(2)將DG與OE的交點(diǎn)作為H,根據(jù)直角的性質(zhì)得出AE//DF,可得△AEC∽△DFC,得出,再根據(jù)圓周角定理求出∠ECD=∠EDF,再由一組公共角可得△FED∽△DEC,得出,進(jìn)而推出,即;
(3)先根據(jù)題意算出EC,再根據(jù)勾股定理得出直徑CD,從而得出半徑,再利用(2)中的比例條件將AC算出來,延長BO到I,連接ON,根據(jù)垂徑定理可得OI垂直AN,即可利用勾股定理分別求出AI和IN,即可得出AN．
【詳解】(1)∵DE//OB，∴∠BOC=∠EDC，
∵CG//OE，∴∠DEO=∠BOE，
又∵∠DEO=∠EDC，∴∠DEO=∠BOE，
由題意得：EO=CO，BO=BO，
∴△BOE≌△BOC(SAS),
∴∠BEO=∠BCO=90°,
∴AB是⊙O的切線．
(2)

如圖所示DG與OE交點(diǎn)作為H點(diǎn),
∵EO//GC,
∴∠EHD=∠DGC=90°,
又由(1)所知∠AEO=90°,
∴AE//DF,
∴△AEC∽△DFC,
∴,
由圓周角定理可知∠EDG=∠ECG,∠EOD=2∠ECD,
∵DO//GC,
∴∠EOD=∠GCD=∠GCE+∠ECD,
∴∠ECD=∠GCE=∠EDF,
又∵∠FED=∠DEC,
∴△FED∽△DEC,
∴,
∴,即．
(3)

∵,與∠ACE相等角的tan值都相同．
∴ED=6,則EC=12,
根據(jù)勾股定理可得．
∴EO=DO=CO=．
由(2)可得,
在Rt△AEO中,可得,即,
∴,
解得AE=,則AC=,AO=．
連接ON,延長BO交MN于點(diǎn)I,根據(jù)垂徑定理可知OI⊥MN,
∵AN//CE,∴∠CAN=∠ACE．
在Rt△AIO中,可得,即,
解得OI=5,則AI=10,
在Rt△OIN中, ,即,
解得IN=．
∴AN=AI+IN=10+．
【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合知識(shí)及相似全等,關(guān)鍵在于根據(jù)條件結(jié)合知識(shí)點(diǎn),特別是輔助線的做法要迎合題目給出的條件．
23.一大型商場經(jīng)營某種品牌商品，該商品的進(jìn)價(jià)為每件3元，根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每周的銷售量y（件）與售價(jià)x（元件）（x為正整數(shù)）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，下表記錄的是某三周的有關(guān)數(shù)據(jù)：
x（元/件）
4
5
6
y（件）
10000
9500
9000

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不求自變量的取值范圍）；
（2）在銷售過程中要求銷售單價(jià)不低于成本價(jià)，且不高于15元/件．若某一周該商品的銷售量不少于6000件，求這一周該商場銷售這種商品獲得的最大利潤和售價(jià)分別為多少元？
（3）抗疫期間，該商場這種商品售價(jià)不大于15元/件時(shí)，每銷售一件商品便向某慈善機(jī)構(gòu)捐贈(zèng)m元（），捐贈(zèng)后發(fā)現(xiàn)，該商場每周銷售這種商品的利潤仍隨售價(jià)的增大而增大．請(qǐng)直接寫出m的取值范圍．
【答案】（1）；（2）這一周該商場銷售這種商品獲得的最大利潤為54000元，售價(jià)為12元；（3）．
【解析】
【分析】
（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，代入表中的數(shù)據(jù)求解即可；
（2）設(shè)這一周該商場銷售這種商品獲得的利潤為w，根據(jù)總利潤=單件利潤×銷售量列出函數(shù)關(guān)系式求最大值，注意x的取值范圍；
（3）寫出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)當(dāng)x≤15時(shí)，利潤仍隨售價(jià)的增大而增大，可得，求解即可．
【詳解】解：（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，
代入（4，10000），（5，9500）可得：，
解得：，
即y與x的函數(shù)關(guān)系式為；
（2）設(shè)這一周該商場銷售這種商品獲得的利潤為w，
根據(jù)題意可得：，
解得：，

∵，
∴當(dāng)x=12時(shí)，w有最大值，w=54000，
答：這一周該商場銷售這種商品獲得的最大利潤為54000元，售價(jià)為12元．
（3）設(shè)這一周該商場銷售這種商品獲得的利潤為w，
當(dāng)每銷售一件商品便向某慈善機(jī)構(gòu)捐贈(zèng)m元時(shí)，

由題意，當(dāng)x≤15時(shí)，利潤仍隨售價(jià)的增大而增大，
可得：，解得：m≥3，
∵
∴
故m的取值范圍為：．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用——最大利潤問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，通過配方法找到最大值．
24.如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊），與y軸交于點(diǎn)C．直線經(jīng)過B、C兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P且垂直于x軸的直線與直線及x軸分別交于點(diǎn)D、M．，垂足為N．設(shè)．
①點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，若P、D、M三點(diǎn)中恰有一點(diǎn)是其它兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)（三點(diǎn)重合除外）．請(qǐng)直接寫出符合條件的m的值；
②當(dāng)點(diǎn)P在直線下方的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在一點(diǎn)P，使與相似．若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）；（2）-2，，1；（3）存在，（3，-2）
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)直線經(jīng)過B、C兩點(diǎn)求出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，將B、C坐標(biāo)代入拋物線可得答案；
（2）①由題意得P（m，），D（m，）；根據(jù)P、D、M三點(diǎn)中恰有一點(diǎn)是其它兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)列式計(jì)算即可求得m的值；
②先證明，得出，再根據(jù)與相似得出，則，可得出，求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，代入拋物線，即可求得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．
【詳解】解：（1）由直線經(jīng)過B、C兩點(diǎn)得B（4，0），C（0，-2）
將B、C坐標(biāo)代入拋物線得
，解得，
∴拋物線的解析式為：；
（2）①∵，垂足為N．
∴P（m，），D（m，），
分以下幾種情況：

M是PD的中點(diǎn)時(shí)，MD=PM，即0-（）=
解得，（舍去）；

P是MD的中點(diǎn)時(shí)，MD=2MP，即=2（）
解得，（舍去）；

D是MP的中點(diǎn)時(shí)，2MD=MP，即=2（）
解得，（舍去）；
∴符合條件的m的值有-2，，1；

②∵拋物線的解析式為：，
∴A（-1，0），B（4，0），C（0，-2）
∴AO=1，CO=2，BO=4，
∴，又=90°，
∴，
∴，
∵與相似
∴，
∴，
∴ ，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是-2，代入拋物線，得

解得：（舍去），，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（3，-2）
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，記住兩點(diǎn)間的距離公式；會(huì)利用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．



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