一、選擇題（共11小題）
1. 已知向量 a=sinθ,1，b=2csθ,-1，且 θ∈0,π，若 a⊥b，則 θ =
A. π6B. π4C. π2D. 3π4
2. 在平面四邊形 ABCD 中，滿足 AB+CD=0，AB-AD?AC=0，則四邊形 ABCD 為
A. 矩形B. 正方形C. 菱形D. 梯形
3. 若 a，b 是非零向量，且 a⊥b，a≠b，則函數(shù) fx=xa+b?xb-a 是
A. 一次函數(shù)且是奇函數(shù)B. 一次函數(shù)但不是奇函數(shù)
C. 二次函數(shù)且是偶函數(shù)D. 二次函數(shù)但不是偶函數(shù)
4. 已知向量 OZ（O 為坐標(biāo)原點(diǎn)）與 OZ? 關(guān)于 x 軸對(duì)稱，j=0,1，則滿足不等式 OZ2+j?ZZ?≤0 的點(diǎn) Zx,y 的集合用陰影表示為
A. B.
C. D.
5. 在 △ABC 中，若 AB2=AB?AC+BA?BC+CA?CB，則 △ABC 的形狀是
A. 直角三角形B. 銳角三角形C. 鈍角三角形D. 不確定
6. 在 △ABC 中，滿足 AB⊥AC，M 是 BC 的中點(diǎn)，若 O 是線段 AM 上任意一點(diǎn)，且 ∣AB∣=∣AC∣=2，則 OA?OB+OC 的最小值為
A. 0B. -32C. -12D. 2
7. 給定兩個(gè)長(zhǎng)度為 1 的平面向量 OA 和 OB，它們的夾角為 120°．如圖所示，點(diǎn) C 在以 O 為圓心的圓弧 AB 上運(yùn)動(dòng)．若 OC=xOA+yOB，其中 x,y∈R，則 x+y 的最大值是
A. 1B. 32C. 2D. 2
8. 已知圓 O 的半徑為 1，PA，PB 為該圓的兩條切線，A，B 為兩切點(diǎn)，則 PA?PB 的最小值為
A. -4+2B. -3+2C. -4+22D. -3+22
9. 已知在 △ABC 中，P0 是邊 AB 上一定點(diǎn)，滿足 P0B=14AB，且對(duì)于邊 AB 上任一點(diǎn) P，恒有 PB?PC≥P0B?P0C，則
A. ∠ABC=90°B. ∠BAC=90°C. AB=ACD. AC=BC
10. 在平行四邊形 ABCD 中，AB=2，AD=1，∠DAB=60°，點(diǎn) M 為 AB 的中點(diǎn)，點(diǎn) P 以 B→C→D（含端點(diǎn)）的路線運(yùn)動(dòng)，設(shè) ∠PAB=α，記 tanα=x，AP?DM=y，則函數(shù) y=fx 的圖象大致為
A. B.
C. D.
11. 已知 P 是雙曲線 x23-y2=1 上任意一點(diǎn)，過點(diǎn) P 分別作雙曲線的兩條漸近線的垂線，垂足分別為 A，B，則 PA?PB 的值是
A. -38B. 316C. -38D. 不能確定
二、填空題（共4小題）
12. 經(jīng)過點(diǎn) 1,2 且平行于向量 a=3,5 的直線的方程為 ．
13. 在 △ABC 中，角 A，B，C 所對(duì)的邊分別為 a，b，c，設(shè)向量 p=a+c,b，q≡b-a,c-a，若 p∥q，則角 C 的大小為 ．
14. 在銳角 △ABC 中，已知 B=60°，∣AB-AC∣=2，則 AB?AC 的取值范圍是 ．
15. 平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知 B-3,-33，C3,-33，且 Hx,y 是曲線 x2+y2=1 上任意一點(diǎn)，則 BH?CH 的最大值為 ．
三、解答題（共1小題）
16. 如圖，平行四邊形 ABCD 中，E，F(xiàn) 分別是 BC，DC 的中點(diǎn)，G 為 DE，BF 的交點(diǎn)，若 AB=a，AD=b，試以 a，b 為基底表示 DE，BF，CG．
答案
1. B【解析】由已知得 2sinθcsθ-1=0，即 sin2θ=1，
因?yàn)?θ∈0,π，
所以 2θ∈0,2π，
所以 2θ=π2，
所以 θ=π4．
2. C【解析】因?yàn)?AB+CD=0，
所以 AB=-CD=DC，
所以四邊形 ABCD 是平行四邊形，
又 AB-AD?AC=DB?AC=0，
所以四邊形的對(duì)角線互相垂直，
所以四邊形 ABCD 是菱形．
3. A【解析】fx=xa+b?xb-a=-xa2+xb2=b2-a2x,
因?yàn)?a≠b，
所以 fx 是一次函數(shù)且是奇函數(shù)．
4. C【解析】由題意得，OZ=x,y，OZ?=x,-y，ZZ?=0,-2y，所以 OZ2+j?ZZ?=x2+y-12-1≤0，即 x2+y-12≤1，點(diǎn) Zx,y 的集合用陰影表示即圓心為 0,1，半徑為 1 的圓的內(nèi)部（包含邊界）．
5. A
【解析】通解
AB2=AB?AC+BA?BC+CA?CB，
知 AB2-AB?AC=BA?BC-CA?BC，
則 AB?AB-AC=BC?BA-CA，AB?CB=BC?BC，CB?AB+BC=0，
所以 CB?AC=0，即 CB⊥AC，故 △ABC 是直角三角形．
優(yōu)解
因?yàn)?AB2=AB?AC+BA?BC+CA?CB，
所以 AB2=AB?AC+CB+CA?CB=AB2+CA?CB，
所以 CA?CB=0，
所以 CB⊥AC，故 △ABC 是直角三角形．
6. C【解析】因?yàn)?∣AB∣=∣AC∣=2，
所以 ∣AM∣=1．
設(shè) ∣OA∣=x，則 ∣OM∣=1-x，
而 OB+OC=2OM，
所以
OA?OB+OC=2OA?OM=2∣OA∣?∣OM∣csπ=-2x1-x=2x2-2x=2x-122-12.
當(dāng)且僅當(dāng) x=12 時(shí)，OA?OB+OC 的值最小，為 -12．
7. C【解析】通解設(shè) ∠AOC=α，則 OC?OA=xOA?OA+yOB?OA,OC?OB=xOA?OB+yOB?OB,
即 csα=x-12y,cs120°-α=-12x+y,
所以 x+y=2csα+cs120°-α=csα+3sinα=2sinα+30°≤2．
優(yōu)解 特殊位置法，當(dāng) OC 平分 ∠AOB 時(shí)，四邊形 OACB 為菱形，
所以 OC=OA+OB，
此時(shí) x=y=1，
所以 x+y=2，而 x+y 的最大值應(yīng)不小于 2，排除A，B，D．
8. D【解析】解法一：如圖所示，設(shè) PA=PB=xx>0，∠APO=α，則 ∠APB=2α．
PO=1+x2，sinα=11+x2，
PA?PB=PA?PBcs2α=x21-2sin2α=x2x2-1x2+1=x4-x2x2+1.
令 PA?PB=y，則 y=x4-x2x2+1，即 x4-1+yx2-y=0，由于 x2 是實(shí)數(shù)，所以 Δ=-1+y2-4×1×-y≥0，即 y2+6y+1≥0，解得 y≤-3-22 或 y≥-3+22．
故 PA?PBmin=-3+22，此時(shí) x=2-1．
解法二：設(shè) ∠APB=θ，0

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