?2023屆安徽省合肥市高三二模數(shù)學(xué)試題

一、單選題
1．設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【詳解】試題分析：由題意得 ，所以在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點為在第二象限．
故選B．
【解析】復(fù)數(shù)的運算；復(fù)數(shù)的代數(shù)表示以及幾何意義.

2．若集合，則（????）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用一元二次不等式求解集合，再利用集合的并集運算知識即可求出的值.
【詳解】，.
故選：C.
3．己知等差數(shù)列的前項和為，，，則的值為（????）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出和，再利用等差數(shù)列前項和公式求出.
【詳解】解：因為是等差數(shù)列，設(shè)公差為，
因為，，
所以，則，
因為的前項和為，所以，
故選：.
4．Malthus模型是一種重要的數(shù)學(xué)模型．某研究人員在研究一種細(xì)菌繁殖數(shù)量與時間t關(guān)系時，得到的Malthus模型是，其中是時刻的細(xì)菌數(shù)量，e為自然對數(shù)的底數(shù)．若t時刻細(xì)菌數(shù)量是時刻細(xì)菌數(shù)量的6.3倍，則t約為（????）．（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】由條件可知，，結(jié)合指對互化，即可求解.
【詳解】當(dāng)時，，即，
則，得.
故選：C
5．已知球與圓臺的上下底面和側(cè)面都相切．若圓臺的側(cè)面積為；上、下底面的面積之比為，則球的表面積為（????）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題的描述，球內(nèi)切于圓臺，畫出圓臺的軸截面圖，根據(jù)圓臺的側(cè)面積，和上下底面的面積關(guān)系求出球的半徑，進而即得.
【詳解】依據(jù)題意，球內(nèi)切與圓臺，畫出兩者的軸截面，球的截面為圓，圓臺的軸截面為等腰梯形，如圖所示，

過點作的垂線，垂足為，設(shè)球的半徑為，則，
設(shè)圓臺的母線為，即，上、下底面的面積之比為，即，，由圓的切線長定理可知，，
圓臺的側(cè)面積為，解得，則，即，
則球的表面積.
故選：A.
6．某高中學(xué)校在新學(xué)期增設(shè)了“傳統(tǒng)文化”、“數(shù)學(xué)文化”、“綜合實踐”、“科學(xué)技術(shù)”和“勞動技術(shù)”5門校本課程．小明和小華兩位同學(xué)商量每人選報2門校本課程若兩人所選的課程至多有一門相同，且小明必須選報“數(shù)學(xué)文化”課程，則兩位同學(xué)不同的選課方案有（????）
A．24種 B．36種 C．48種 D．52種
【答案】B
【分析】分兩類：所選課程恰有一門相同和沒有相同，利用排列、組合分別求出每類的種數(shù)，再利用分類計數(shù)原理即可求出結(jié)果.
【詳解】當(dāng)小明和小華兩位同學(xué)所選的課程恰有一門相同時：
相同的課程為“數(shù)學(xué)文化”時，有種，相同的課程不是“數(shù)學(xué)文化”時，有種，
所以小明和小華兩位同學(xué)所選的課程恰有一門相同時，共有種，
當(dāng)小明和小華兩位同學(xué)所選的課程沒有相同時，有,
所以，兩位同學(xué)不同的選課方案有，
故選：B.
7．在平面直角坐標(biāo)系中，對于點，若，則稱點A和點B互為等差點．已知點Q是圓上一點，若直線上存在點Q的等差點P，則的取值范圍為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設(shè)，根據(jù)等差點的定義可得，利用三角代換，推出，求出其范圍，結(jié)合即可求得答案.
【詳解】由題意設(shè)，
由題意知，則，
由于點Q是圓上一點，故令，
則，
由于，故，則，
故，
故選：C
8．設(shè)A，B，C，D是曲線上的四個動點，若以這四個動點為頂點的正方形有且只有一個，則實數(shù)m的值為（????）．
A．4 B． C．3 D．
【答案】D
【分析】先證明的圖象有且只有一個對稱中心，設(shè)在函數(shù)右側(cè)的圖象上，由正方形的對稱性，設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，則可得，換元后利用判別式可求的值.
【詳解】設(shè)，則，故為上的奇函數(shù).
下證：的圖象有且只有一個對稱中心.
證明：設(shè)的圖象的對稱中心為，則恒成立，
故，
整理，得恒成立，故.
故以A，B，C，D為頂點的正方形的對稱中心為原點.
不妨設(shè)在函數(shù)右側(cè)的圖象上，
由正方形的對稱性，不妨設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，
故直線，直線.
由，可得，故，
同理，其中.
因為，故，
整理,得，即，
所以，
設(shè)，則，故在上僅有一個解，
因為對稱軸且，故，故.
故選：D.
【點睛】思路點睛：三次函數(shù)圖象上的對稱圖形問題，往往要考慮三次函數(shù)圖象的對稱性，另外可把圖象上的對稱圖形的對稱問題轉(zhuǎn)化為某些變量的方程的問題來處理.

二、多選題
9．已知雙曲線的左、右頂點分別為，漸近線為直線，離心率為e．過右焦點F且垂直于x軸的直線交雙曲線C于點P，Q，則（????）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)已知條件做出圖形，利用雙曲線的方程求出，結(jié)合雙曲線的離心率公式及雙曲線的漸近線方程，再利用兩直線垂直的條件、兩點間的距離公式及向量垂直的條件即可求解；
【詳解】由，得，
所以，即.
所以，解得，
由題意可知，作出如圖所示

對于A，，故A正確；
對于B，不妨設(shè)雙曲線的兩條漸近線分別為，所以直線的斜率為，直線的斜率為，所以，所以，故B正確；
對于C，由題意可知，,過右焦點F且垂直于x軸的直線方程為，由，解得或，所以,所以，故C錯誤；
對于D，由題意可知，，，所以，所以，，即，故D正確.
故選：ABD.
10．下圖是某汽車公司100家銷售商2022年新能源汽車銷售數(shù)據(jù)頻率分布直方圖（單位：輛），則（????）．

A．a(chǎn)的值為0.004
B．估計這100家銷售商新能源汽車銷量的平均數(shù)為135
C．估計這100家銷售商新能源汽車銷量的分位數(shù)為212.5
D．若按分層抽樣原則從這100家銷售商抽取20家，則銷量在內(nèi)的銷售商應(yīng)抽取5家
【答案】ACD
【分析】A.根據(jù)頻率和為1，計算的值；B.根據(jù)平均數(shù)公式，判斷B；C.根據(jù)百分位數(shù)公式，判斷C；計算銷量在內(nèi)的頻率，再結(jié)合分層抽樣，即可判斷D.
【詳解】A.由頻率分布直方圖可知，，
得：，故A正確；
B.，故B錯誤；
C.設(shè)百分位數(shù)，易得，
則，
解得：，故C正確；
D.則銷量在的頻率為
所以抽取的20家，則銷量在內(nèi)的銷售商為家，故D正確.
故選：ACD
11．函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，記，則（????）
A．的值域為
B．的圖象關(guān)于直線對稱
C．在所有實根之和為
D．在上解集為
【答案】BC
【分析】利用函數(shù)的對稱性求出函數(shù)的解析式，利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，利用正弦型函數(shù)的值域可判斷A選項；利用正弦型函數(shù)的對稱性可判斷BC選項；求出不等式在上解集，可判斷D選項.
【詳解】在函數(shù)的圖象上任取一點，則點關(guān)于點的對稱點在函數(shù)的圖象，
所以，，
所以，，
對于A選項，
，
所以，函數(shù)的值域為，A錯；
對于B選項，因為，
所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，B對；
對于C選項，當(dāng)時，，作出函數(shù)在上的圖象如下圖所示：

令，可得，
由圖可知，直線與函數(shù)在上的圖象有四個交點，
設(shè)這四個交點的橫坐標(biāo)由小到大分別為、、、，
由圖象可知，點、關(guān)于直線對稱，點、關(guān)于直線對稱，
所以，在所有實根之和為，C對；
對于D選項，由可得，
當(dāng)時，，可得，解得，
所以，不等式在上解集為，D錯.
故選：BC.
12．已知正方體的棱長為1，點E，F(xiàn)分別是棱AD，AB上的動點，G是棱的中點，以為底面作三棱柱，頂點也在正方體的表面上．設(shè)，則（????）
A．，直線與直線所成的角均為
B．，使得四面體的體積為
C．當(dāng)時，直線與平面所成角的正切值為
D．當(dāng)時，若三棱柱為正三棱柱，則其高為
【答案】ACD
【分析】根據(jù)向量的線性運算可得，結(jié)合圖形，利用空間向量法計算，即可判斷ABC；由題意可知點分別為正方形、、的中心，利用勾股定理計算即可判斷D.
【詳解】設(shè)，則，
又，所以，解得，
即.
A：建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
則，
有，
所以，得，故A正確；

B：因為，，
，，
有，
所以，
得，
所以.
設(shè)平面的一個法向量為，
則，令，則，
所以，則點到平面的距離為，
所以四面體的體積為
，
則該四面體的體積為定值，故B錯誤；

C：由選項B的分析可知，當(dāng)時，，
易知平面的一個法向量為，
則，
設(shè)直線與平面所成角為，為銳角，
則，所以，故C正確；

D：當(dāng)時，E、F分別為AD、AB的中點，由正三棱柱的特征可知，
點分別為正方形、、的中心，如圖，
則，
有，則，
所以為正三棱柱的高，且，故D正確.

故選：ACD.
【點睛】解決有關(guān)空間角、距離有關(guān)的存在性問題時，一般建立空間直角坐標(biāo)系，把幾何對象上的動態(tài)點的坐標(biāo)用參數(shù)表示，根據(jù)題設(shè)要求，建立相應(yīng)的方程（組），解方程（組），通過參數(shù)的值反過來確定幾何對象是否存在.

三、填空題
13．已知．若，則實數(shù)的值為_______．
【答案】0
【分析】利用條件求向量的坐標(biāo)，再利用向量共線的坐標(biāo)表示即可求出果.
【詳解】因為，所以，又因為，所以，解，
故答案為：0.
14．若定義域為的奇函數(shù)滿足，且，則________．
【答案】2
【分析】利用賦值法及奇函數(shù)的定義，結(jié)合函數(shù)的周期性即可求解.
【詳解】由，得，
所以，即，于是有，
所以，即.
所以函數(shù)的周期為.
因為是定義域為的奇函數(shù)，
所以，即.
令，則，解得，
所以.
故答案為：.
15．第十九屆亞洲運動會將于2023年9月23日至10月8日在中國杭州舉行．為了讓更多的同學(xué)了解亞運會，學(xué)校團委舉行了“迎亞運，猜謎語”活動．甲、乙兩位同學(xué)組隊代表班級參加此次迷語競猜活動．比賽共兩輪，每人每輪各猜一個謎語．已知甲每輪猜對謎語的概率為，乙每輪猜對謎語的概率為，若甲、乙兩人每輪猜對謎語與否互不影響，前后兩輪猜對謎語結(jié)果也互不影響，則甲、乙兩人在此次比賽中共猜對3個謎語的概率為___________．
【答案】
【分析】討論甲乙猜對的個數(shù)情況利用概率公式計算即可.
【詳解】甲乙共猜對3個謎語有如下兩種情況：
甲猜對一個，乙猜對兩個，其概率為：；
或甲猜對兩個，乙猜對一個，其概率為：，
故甲、乙兩人在此次比賽中共猜對3個謎語的概率為.
故答案為：
16．我們把由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱為“果圓”，其中，如圖．設(shè)，是“果圓”與坐標(biāo)軸的交點，C為半橢圓上一點，F(xiàn)為半橢圓的焦點．若，則“果圓”的內(nèi)接矩形面積的最大值為___________．

【答案】
【分析】利用橢圓的定義以及正切二倍角公式求出，從而得出半橢圓與半橢圓的方程，再利用半橢圓與半橢圓的方程以及基本不等式求出“果圓”的內(nèi)接矩形面積的最大值.
【詳解】由已知得，，所以分別是橢圓的右、左焦點.
由及橢圓的定義可得，即.
又設(shè),則，
由正切二倍角公式得，解得和，
因為是銳角則所以，
又因為，所以，
因為，，所以.
半橢圓與半橢圓.
設(shè)“果圓”的內(nèi)接矩形為MNPQ（如圖），設(shè)，，則滿足①②，①-②得，即.
則“果圓”的內(nèi)接矩形面積為
==
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.
所以“果圓”的內(nèi)接矩形面積的最大值為.
故答案為：


四、解答題
17．如圖，某地需要經(jīng)過一座山兩側(cè)的D，E兩點修建一條穿山隧道．工程人員先選取直線DE上的三點A，B，C，設(shè)在隧道DE正上方的山頂P處測得A處的俯角為，B處的俯角為，C處的俯角為，且測得，試求擬修建的隧道DE的長．

【答案】
【分析】利用條件得出，再在和中，利用正弦定理，求出，從而求出結(jié)果.
【詳解】由題意知，．
在中，由正弦定理得，，即，
所以．
在中，因為 ，
由正弦定理得，即，???????????
所以，
所以，即隧道DE的長為．
18．已知數(shù)列的前n項和為，，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)令，求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由和與項的關(guān)系可求得，進而利用等比數(shù)列即可求解；
（2）求得，進而用錯位相減法即可求和.
【詳解】（1）由題意得，；當(dāng)時，，
兩式相減得，即．
又因為，所以當(dāng)時，，
所以成等比數(shù)列，且首項，公比，
所以．
（2）由（1）得，，
所以，①，
①×2得，②
①-②得，，
所以．
19．如圖，在多面體ABCFDE中，四邊形ABED是菱形，，，平面ABED，點G是線段CD的中點．

(1)證明：平面BCD；
(2)若，求直線FG與平面ACD所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)

【分析】（1）連接AE，交BD于點O，連接GO.根據(jù)題意得到和，利用線面垂直的判定得到平面CBD，然后利用中位線定理得到四邊形EFGO為平行四邊形，進而得到，從而得證；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)點的坐標(biāo)，分別求出平面的法向量和直線的方向向量，利用空間向量的夾角公式進而求解.
【詳解】（1）連接AE，交BD于點O，連接GO．

在菱形ABED中，．
因為平面ABED，平面ABED，所以．
又因為，平面CBD，所以平面CBD．
因為，且，，
所以，且，
所以四邊形EFGO為平行四邊形，所以，
所以平面CBD．
（2）如圖，以B為坐標(biāo)原點，分別以BC，BA所在直線為x，y軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．

設(shè)，則，，，，，
設(shè)平面ACD的一個法向量為，
由得，取，
因為，
記直線FG與平面ACD所成角為，則
，
所以，直線FG與平面ACD所成角的正弦值是．
20．地球上生命體內(nèi)都存在生物鐘，研究表明，生物鐘紊亂會導(dǎo)致肥胖、糖尿病、高血壓、高血脂等嚴(yán)重體征狀況．控制睡眠或蘇醒傾向的生物鐘基因，簡稱PER，PER分為PERl（導(dǎo)致早起傾向）和PERo（導(dǎo)致晚睡傾向）．某研究小組為研究光照對動物的影響，對實驗鼠進行了光照誘導(dǎo)與GRPE蛋白干預(yù)實驗．以下是16只實驗鼠在光照誘導(dǎo)與GRPE蛋白干預(yù)實驗中，出現(xiàn)PERl突變的Sd指標(biāo)：
實驗鼠編號
1
2
3
4
5
6
7
8
Sd指標(biāo)
9.95
9.99
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
實驗鼠編號
9
10
11
12
13
14
15
16
Sd指標(biāo)
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.4
10.5
9.95
長期試驗發(fā)現(xiàn)，若實驗鼠Sd指標(biāo)超過10.00，則認(rèn)定其體征狀況嚴(yán)重，
(1)從實驗鼠中隨機選取3只，記X為體征狀況嚴(yán)重的只數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)若編號1~8的實驗鼠為GRPE蛋白干預(yù)實驗組，編號9~16的為非GRPE蛋白干預(yù)對照組，試依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析GRPE蛋白干預(yù)是否與實驗鼠體征狀況有關(guān)？

0.1
0.05
0.01

2.706
3.841
6.635
附：（其中）．
【答案】(1)分布列見解析；期望為
(2)認(rèn)為實驗鼠體征狀況與GRPE蛋白干預(yù)無關(guān)

【分析】（1）先求出X的可能取值，逐個求解概率可得分布列，利用期望公式可求期望；
（2）根據(jù)提供的數(shù)據(jù)列出2×2列聯(lián)表，計算卡方，根據(jù)臨界值進行判斷.
【詳解】（1）由題意得，16只實驗鼠中，有7只體征狀況嚴(yán)重.
X的可能取值有0，1，2，3，

.
所以X的分布列為
X
0
1
2
3
P




所以X的數(shù)學(xué)期望．
（2）由題意得，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，得到列聯(lián)表：

GRPE蛋白干預(yù)
非GRPE蛋白干預(yù)
合計
體征狀況嚴(yán)重
2
5
7
體征狀況不嚴(yán)重
6
3
9
合計
8
8
16
零假設(shè)：實驗鼠體征狀況與GRPE蛋白干預(yù)沒有關(guān)系．
利用列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得，，
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可認(rèn)為成立，即認(rèn)為實驗鼠體征狀況與GRPE蛋白干預(yù)無關(guān)．
21．已知拋物線的焦點為F，為其準(zhǔn)線l與x軸的交點，過點E作直線與拋物線C在第一象限交于點A，B，且．
(1)求的值；
(2)設(shè)圓，過點A作圓M的兩條切線分別交拋物線C于點P，Q，求面積的最大值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根據(jù)準(zhǔn)線l與x軸的交點坐標(biāo)確定，再利用拋物線的定義將點點距轉(zhuǎn)化為點線距，最后利用相似性得出比值；
（2）先求出點的坐標(biāo)，然后設(shè)直線PQ的方程及點的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系確定直線PQ的斜率，再根據(jù)直線AP與圓M相切確定點的坐標(biāo)與圓半徑的關(guān)系，最后將三角形面積轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定最值．
【詳解】（1）由題意得，所以拋物線C的方程為．
由得．
過B作于點，過A作于點，，且，
由拋物線定義知，，
所以，即．

（2）設(shè)點，所以，
所以，解得，所以．
設(shè)切線AP，AQ的斜率為，因為軸，由對稱性知．
設(shè)直線PQ的方程為，
將直線PQ的方程代入拋物線方程得①，所以
所以，同理得，
所以，
所以，即，
代入方程①，由得，
因為直線AP的方程為，即，
所以．
因為直線AP與圓M相切，所以，即，
不妨設(shè)，所以，
所以，
因為，n隨r的增大而增大，所以，
所以，
直線PQ的方程為，即，
所以，
點A到直線PQ的距離為，
所以，
令，
則，
當(dāng)時，，為增函數(shù)；
當(dāng)時，，為減函數(shù)，
所以當(dāng)時，取得最大值，
所以面積的最大值為．

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題求解的關(guān)鍵有兩個：一是根據(jù)直線與圓相切求出的范圍；二是借助導(dǎo)數(shù)工具求解三次函數(shù)的最值.
22．已知函數(shù)，其中．
(1)若函數(shù)圖像僅有一條垂直于y軸的切線，求m的取值范圍；
(2)討論函數(shù)零點個數(shù)．
【答案】(1)
(2)答案見解析

【分析】（1）先求得，由有唯一正實數(shù)解求得的取值范圍.
（2）對進行分類討論，根據(jù)的單調(diào)性、零點存在性定理等知識確定正確答案.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，
．
因為函數(shù)僅有一條垂直于y軸的切線，
所以有唯一正實數(shù)解，
所以或，所以m的取值范圍是．
（2）因為．
①當(dāng)時，因為，所以，
所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，
此時，
當(dāng)時，，函數(shù)只有一個零點，；
當(dāng)時，，函數(shù)沒有零點：
當(dāng)時，因為當(dāng)或時，，且，
所以函數(shù)分別在和上，各有唯一零點，此時函數(shù)有兩個零點．
②當(dāng)時，，在和上，；在上，，
所以在和單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
當(dāng)時，；當(dāng)時，，且，
此時函數(shù)在上有唯一零點，即函數(shù)有1個零點．
③當(dāng)時，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是．
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
此時函數(shù)在上有唯一零點．
④當(dāng)時，，在和上，；在上，；
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
．
設(shè)，所以，
所以在上單調(diào)遞減，所以．
又因為當(dāng)時，，所以函數(shù)在區(qū)間唯一零點．
綜上所述，得：
當(dāng)時，函數(shù)有且僅有2個有零點；
當(dāng)時，函數(shù)沒有零點；
當(dāng)或時，函數(shù)有且僅有1個零點．
【點睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點，主要思路是：先求函數(shù)的定義域，然后對函數(shù)求導(dǎo)，如果導(dǎo)函數(shù)含有參數(shù)，則需要對參數(shù)進行分類討論，分類討論要做到不重不漏，研究出函數(shù)的單調(diào)性后，結(jié)合零點存在性定理可判斷出零點的個數(shù).

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