2022-2023學年安徽省馬鞍山市紅星中學高一下學期期中考試數(shù)學試題 一、單選題1．復(fù)數(shù)，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念即可確定答案.【詳解】因為復(fù)數(shù)，則，故選：D2．已知向量，則（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】先求得，然后求得.【詳解】因為，所以.故選：D 3．已知邊長為的正方形，點滿足，則等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】數(shù)形結(jié)合知，，，，利用向量的加法法則及向量的數(shù)量積運算即可得解.【詳解】方法一：因為四邊形ABCD為邊長為3的正方形，所以，，，因為，所以，則；方法二：以D為坐標原點建立如圖所示直角坐標系，因為，所以點E為線段DC上靠近點C的三等分點，則，因為，所以.故選：D【點睛】本題考查向量的線性運算及數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題.4．在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則cosB=（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合余弦定理求得，再根據(jù)，即可求得答案.【詳解】在中，，，根據(jù)余弦定理：可得 ，即由故.故選：A.【點睛】本題主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.5．一海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東的方向直線航行，30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東，那么B，C兩點間的距離是（    ）A．海里 B．海里 C． 海里 D．海里【答案】C【分析】根據(jù)題意畫出草圖，確定、的值，進而可得到的值，根據(jù)正弦定理可得到的值．【詳解】解：如圖，由已知可得，，，，從而．在中，由正弦定理，可得海里．故選：C．6．已知向量，，若與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量夾角為銳角列出不等式組，求出的取值范圍.【詳解】，由題意得：且，解得：且，故選：D7．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，則=A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】利用余弦定理推論得出a，b，c關(guān)系，在結(jié)合正弦定理邊角互換列出方程，解出結(jié)果.【詳解】詳解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推論可得，故選A．【點睛】本題考查正弦定理及余弦定理推論的應(yīng)用．8．在矩形ABCD中，，，動點P在以點A為圓心的單位圓上．若，則的最大值為（    ）A．3 B． C． D．2【答案】C【分析】構(gòu)建直角坐標系，令，，根據(jù)向量線性關(guān)系的坐標表示列方程組得，結(jié)合輔助角公式、正弦函數(shù)性質(zhì)求最值.【詳解】構(gòu)建如下直角坐標系：，令，，由可得：，則且，所以當時，的最大值為.故選：C 二、多選題9．已知向量，則（    ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)向量的平行與垂直坐標公式及加減運算對選項一一判斷即可．【詳解】因為，所以不平行，則A錯；由，所以，則B正確；由，，故C錯；由，故D正確.故選：BD10．若復(fù)數(shù)滿足，則（    ）A．的實部為2 B．的模為C．的虛部為2 D．在復(fù)平面內(nèi)表示的點位于第四象限【答案】AB【分析】化簡復(fù)數(shù)后根據(jù)實部、虛部的概念可判斷選項A、C，求出復(fù)數(shù)的模，可判斷選項B，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷選項D.【詳解】因為，所以的實部為2，的虛部為3，所以，在復(fù)平面內(nèi)表示的點位于第一象限故A、B正確，C，D錯誤．故選：AB11．在中，，，，下列命題為真命題的有（    ）A．若，則B．若，則為銳角三角形C．若，則為直角三角形D．若，則為直角三角形【答案】ACD【分析】利用正弦定理判斷選項A，利用數(shù)量積的性質(zhì)判斷選項B和C，利用數(shù)量積的性質(zhì)和余弦定理判斷選項D．【詳解】解：A：若，由正弦定理得，，則 A正確；B：若，則，，即為鈍角，為鈍角三角形，故 B錯誤；C：若，則，為直角三角形，故 C正確；D：若，則，， ，由余弦定理知，，則，，，為直角三角形，故 D正確．故選：ACD．12．在銳角中，角，，所對邊分別為，，，外接圓半徑為，若，，則（    ）A．B．C．的最大值為3D．的取值范圍為【答案】ACD【分析】由正弦定理求外接圓半徑；由題設(shè)知，結(jié)合即可求范圍；由余弦定理及基本不等式求的最大值，注意取最大的條件；由C分析有，結(jié)合正弦定理邊角關(guān)系及的范圍，應(yīng)用二倍角正余弦等恒等變換，根據(jù)三角函數(shù)的值域求范圍.【詳解】由題設(shè)，外接圓直徑為，故，A正確；銳角中，則，故，B錯誤；，則，當且僅當時等號成立，C正確；由C分析知：，而，又且， 則，而，所以，則，所以，D正確.故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點點睛：D選項，應(yīng)用邊角關(guān)系及角的范圍，結(jié)合三角恒等變換將轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)性質(zhì)求范圍. 三、填空題13．已知向量，若，則__________．【答案】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標表示以及向量的線性運算列出方程，即可解出．【詳解】因為，所以由可得，，解得．故答案為：．【點睛】本題解題關(guān)鍵是熟記平面向量數(shù)量積的坐標表示，設(shè)，，注意與平面向量平行的坐標表示區(qū)分．14．的內(nèi)角A,B,C的對邊α,b,c,已知,,,則________.【答案】或【解析】由正弦定理求，注意有兩解．【詳解】由正弦定理得，因為，所以，所以或120°．90°或30°．故答案為：90°或30°．【點睛】本題考查正弦定理，掌握正弦定理是解題關(guān)鍵．但要注意用正弦定理解三角形可能會有兩解．15．某教師組織本班學生開展課外實地測量活動，如圖是要測山高MN．現(xiàn)選擇點A和另一座山頂點C作為測量觀測點，從A測得點M的仰角，點C的仰角，測得，，已知另一座山高米，則山高________米．【答案】【分析】在直角得，在中，由正弦定理求得，再在直角中，求得．【詳解】顯然與平行且與都垂直，，則，中，，由正弦定理得，，又直角中，，所以．故答案為：．16．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，若的面積為2，則當的周長取到最小值時，______．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合三角形面積定理、余弦定理求出周長的函數(shù)表達式，再借助函數(shù)性質(zhì)、均值不等式計算作答.【詳解】由題意得，因為，則，由余弦定理，得，即，則，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，即當a最小時，的周長最小，顯然，當且僅當時取“=”，此時，所以當的周長取到最小值時，．故答案為： 四、解答題17．設(shè)A，B，C，D為平面內(nèi)的四點，且.(1)若，求D點的坐標；(2)設(shè)向量，若向量與平行，求實數(shù)k的值.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）求出向量坐標，再利用相等向量列出方程組，求解作答.（2）求出的坐標，再利用向量線性運算的坐標表示，及共線向量的坐標表示求解作答.【詳解】（1）設(shè)，因為，于是，整理得，即有，解得，所以.（2）因為，所以，，因為向量與平行，因此，解得，所以實數(shù)k的值為.18．已知：復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位．(1)求及；(2)若，求實數(shù)的值．【答案】(1)，(2)， 【詳解】（1），則.（2）由（1）得：，，解得：.19．在中，．(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化簡可得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用三角形的面積公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周長.【詳解】（1）解：因為，則，由已知可得，可得，因此，.（2）解：由三角形的面積公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周長為. 20．如圖，已知中，為的中點，，交于點，設(shè)，．（1）用分別表示向量，；（2）若，求實數(shù)t的值．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）根據(jù)向量線性運算，結(jié)合線段關(guān)系，即可用分別表示向量，；（2）用分別表示向量，，由平面向量共線基本定理，即可求得t的值.【詳解】（1）由題意，為的中點，，可得，，．∵，∴，∴（2）∵，∴ ∵，，共線，由平面向量共線基本定理可知滿足，解得．【點睛】本題考查了平面向量的線性運算，平面向量共線基本定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.21．在中，，，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求（1）B的大??；（2）的面積．條件①：；條件②：．【答案】選擇見解析；（1）；（2）．【分析】選擇條件①時：（1）利用余弦定理求出和B的值；（2）由正弦定理求出a的值，再利用三角形內(nèi)角和定理求出sinC，計算的面積．選擇條件②時：（1）由正弦定理求出和B的值；（2）由正弦定理求出a的值，再利用三角形內(nèi)角和定理求出，計算的面積．【詳解】選擇條件①：，（1）由，得，所以；又，所以；（2）由正弦定理知，所以；所以，所以的面積為．選擇條件②：．（1）由正弦定理得，所以；又，所以，所以；又，所以；（2）由正弦定理知，所以；所以，所以的面積為．【點睛】方法點睛：(1)在解有關(guān)三角形的題目時，要有意識地考慮用哪個定理更適合，或是兩個定理都要用，要抓住能夠利用某個定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到；(2)解題中注意三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用及角的范圍限制．22．在銳角△ABC中，，，（1）求角A；（2）求△ABC的周長l的范圍.【答案】（1）.（2）【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角以及兩角和的正弦公式，可得，可得；（2）利用正弦定理將表示為的函數(shù)，根據(jù)銳角三角形得的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象可得結(jié)果.【詳解】（1）∵，，所以，所以，所以，因為，所以， ，所以.（2），所以,所以，，所以因為△ABC是銳角三角形，且，所以，解得，所以，所以，所以.【點睛】本題考查了正弦定理、兩角和的正弦公式、銳角三角形的概念和正弦函數(shù)的圖象的應(yīng)用，屬于中檔題. 

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