2022-2023學(xué)年安徽省馬鞍山市第二中學(xué)高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用補(bǔ)集和交集的定義計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由已知可得，因此，.故選：A.2．的定義域是A． B．C． D．【答案】D【詳解】試題分析：，故選D.【解析】函數(shù)的定義域.3．不等式的解集為（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】解分式不等式求得正確答案.【詳解】，，所以不等式的解集為.故選：B4．購買同一種物品，可以用兩種不同的策略，第一種是不考慮物品價(jià)格的升降，每次購買這種物品的數(shù)量一定；第二種是不考慮物品價(jià)格的升降，每次購買這種物品所花的錢一定.假設(shè)連續(xù)購買兩天該物品，第一天物品的價(jià)格為，第二天物品的價(jià)格為，且，則以下選項(xiàng)正確的為（    ）A．第一種方式購買物品的單價(jià)為 B．C．第一種購買方式所用單價(jià)更低 D．第二種購買方式所用單價(jià)更低【答案】D【分析】分別計(jì)算出兩種不同策略的平均價(jià)格，比較兩種平均價(jià)格的大小.【詳解】第一種策略：設(shè)每次購買這種物品的數(shù)量均為,則平均價(jià)格為，故A不正確；第二種策略：設(shè)每次購買這種物品所花的錢為，第一次能購得該物品的數(shù)量為， 第二次能購得該物品的數(shù)量為，則平均價(jià)格為； ，所以，故B錯(cuò)誤，同時(shí)說明第二種購買方式所用單價(jià)更低；故選：D5．已知，且，則下列不等式恒成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】取，，，利用排除法即可得正確選項(xiàng).【詳解】令，，，則，，，故排除A、B、D、故選：C.6．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，又，則的解集是（    ）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知條件可得在內(nèi)也是增函數(shù)，，然后分，和三種情況求解即可【詳解】∵函數(shù)是奇函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，∴在內(nèi)也是增函數(shù)．又，∴．∵，∴①當(dāng)時(shí)，，∴；②當(dāng)時(shí)，，∴；③當(dāng)時(shí)，不等式的解集為．綜上，的解集為或．故選：D．7．設(shè)，，且，則（    ）A．有最小值為 B．有最小值為6C．有最小值為 D．有最小值為7【答案】D【分析】利用已知條件變形湊配出積為定值，然后由基本不等式求得最小值，注意使用“1”的代換．【詳解】因?yàn)?/span>，，且，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．所以有最小值為7.故選：D．8．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．已知任意一個(gè)一元三次函數(shù)的圖象均為中心對(duì)稱圖形，若，則的值為（    ）A．－4 B．－2 C．0 D．2【答案】A【分析】設(shè)的對(duì)稱中心為，令，根據(jù)為奇函數(shù)建立關(guān)系即可求出的對(duì)稱中心為，則，由此即可求得答案．【詳解】設(shè)的對(duì)稱中心為，設(shè)，則為奇函數(shù)，由題可知，且，所以，即，則，整理得，所以，解得，所以函數(shù)的對(duì)稱中心為；所以，．故選：A． 二、多選題9．（多選）若函數(shù)在上的最大值與最小值的差為2，則實(shí)數(shù)的值可以是（    ）A．2 B． C．1 D．0【答案】AB【分析】根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性分和兩種情況分別求解最大值和最小值，列出方程得解.【詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，在取得最大值，在取得最小值，所以，即；當(dāng)時(shí)，在取得最大值，在取得最小值，所以，即．故選AB．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的單調(diào)性和最值求解，屬于基礎(chǔ)題.10．已知實(shí)數(shù)a，b滿足等式，則下列關(guān)系式中可能成立的是（    ）A．0<b<a<1 B．－1<a<b<0C．1<a<b D．－1<b<a<0【答案】AC【解析】畫出與的圖象，設(shè)，根據(jù)圖象即可判斷.【詳解】畫出y＝與y＝的圖象(如圖)，設(shè)，作直線y＝m，從圖象知，若m＝0或1，則a＝b；若0<m<1，則0<b<a<1；若m>1，則1<a<b，故其中可能成立的是A，C.故選：AC.【點(diǎn)睛】本題考查冪函數(shù)圖象的畫法，利用圖象解決參數(shù)范圍問題，屬于基礎(chǔ)題.11．定義在R上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則滿足（    ）A． B．是偶函數(shù)C．在上有最大值 D．的解集為【答案】AD【分析】賦值法可以求出，，判斷出AB選項(xiàng)；C利用賦值法和題干中的條件可以得出的單調(diào)性，從而得到在上有最大值；D選項(xiàng)利用C選項(xiàng)中判斷的函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行解不等式，得到答案.【詳解】定義在R上的函數(shù)滿足，令得：，解得：，A正確；令得：，因?yàn)?/span>，所以，故是奇函數(shù)，B錯(cuò)誤；任取，，且，則令，，代入得：，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，而，所以，故，即，從而在R上單調(diào)遞減，在上有最大值為，C錯(cuò)誤；由A選項(xiàng)得到，而在R上單調(diào)遞減，故，解得，解集為，D正確.故選：AD12．已知是定義在上的奇函數(shù)，若，，且，則以下選項(xiàng)正確的是（    ）A．在上單調(diào)遞增B．為奇函數(shù)C．為奇函數(shù)D．在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增【答案】AC【分析】由知得在上為增函數(shù)，對(duì)于選項(xiàng)A將變形可知其單調(diào)性；對(duì)于選項(xiàng)BC，利用函數(shù)的奇偶性可判斷正誤；對(duì)于選項(xiàng)D，可舉例說明在上不是單調(diào)遞減.【詳解】由，，且，得在上為增函數(shù)，對(duì)于A：在上單調(diào)遞增，故A正確；對(duì)于B：令，，，故B不正確；對(duì)于C：令，，故為奇函數(shù)，C正確；對(duì)于D：令，則，，由在上為增函數(shù)知，故在上不是單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.故選：AC. 三、填空題13．計(jì)算：______.【答案】【分析】利用根式的性質(zhì)、指數(shù)冪的運(yùn)算律可計(jì)算出所求代數(shù)式的結(jié)果.【詳解】原式.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)冪的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14．若函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】（2，5）【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸以及開口方向與單調(diào)性的關(guān)系，判斷出二次函數(shù)的對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)，由此計(jì)算出的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2-2(a-1)x+2在區(qū)間(1,4)上不是單調(diào)函數(shù)，所以對(duì)稱軸x=a-1位于區(qū)間(1,4)上，即1＜a-1＜4，所以2＜a＜5.故答案為.【點(diǎn)睛】判斷二次函數(shù)的單調(diào)性，可以通過二次函數(shù)的開口方向以及對(duì)稱軸來進(jìn)行分析：開口向上，在對(duì)稱軸左側(cè)單調(diào)遞減，在對(duì)稱軸右側(cè)單調(diào)遞增；開口向下，在對(duì)稱軸左側(cè)單調(diào)遞增，在對(duì)稱軸右側(cè)單調(diào)遞減.15．已知a為正實(shí)數(shù)，且 是奇函數(shù)，則的值域?yàn)?/span>________.【答案】【詳解】由為奇函數(shù)可知，解得a= 2，即，由此得的值域?yàn)?/span>.16．已知函數(shù)是定義域?yàn)?/span>的單調(diào)函數(shù)，若對(duì)任意的，都有，則____________.【答案】【分析】由是定義域?yàn)?/span>的單調(diào)函數(shù)及知為常數(shù)，設(shè)，可得，從而可求得值確定的解析式即可.【詳解】∵對(duì)任意，均有，且在上單調(diào)，所以為常數(shù)， ∴設(shè)，，為常數(shù)，函數(shù)是定義域?yàn)?/span>，故又∵或（舍），∴，故答案為：2023. 四、解答題17．已知函數(shù). （1）求函數(shù)的定義域和值域；（2）判斷函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性，并用定義來證明所得結(jié)論.【答案】(1)定義域，值域；(2)單調(diào)遞減，證明見解析.【詳解】(1) ,的定義域?yàn)?/span>，值域.(2)由函數(shù)解析式得該函數(shù)在為減函數(shù)，下面證明：任取 ，且，， ， ， ，.函數(shù)在為減函數(shù).18．已知集合，，且.(1)若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若的充分條件是，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)不存在實(shí)數(shù)使(2) 【分析】（1）根據(jù)，列出不等式組求解即可.（2）由的充分條件是可知，列出不等式組求解即可.【詳解】（1），此時(shí)，即，即不存在實(shí)數(shù)使（2）由于的充分條件是，所以，又因?yàn)?/span>，所以，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．19．已知是二次函數(shù)，滿足且.(1)求的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）設(shè)，根據(jù)，求得，再由，列出方程組，求得的值，即可求解；（2）將已知轉(zhuǎn)化為在上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）設(shè)函數(shù)，因?yàn)?/span>，可得，所以，又，得，即，對(duì)于任意的成立，則有解得∴.（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立； 令，∵開口方向向上，對(duì)稱軸為，∴在內(nèi)單調(diào)遞減，∴，∴，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.20．已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（2）若有最大值3，求a的值（3）若的值域是，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；；（2）1；（3）0.【分析】（1）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解；（2）設(shè)，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得的最小值是，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可得；（3）同樣根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，的值域一定是，二次函數(shù)一定不合題意．從而可得結(jié)論．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，令，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而在R上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，   即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；令，，由于有最大值3，所以有最小值，因此必有，解得，即當(dāng)有最大值3時(shí)，實(shí)數(shù)a的值為1；在（2）基礎(chǔ)上，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，要使的值域?yàn)?/span>，應(yīng)使的值域?yàn)?/span>R，因?yàn)槎魏瘮?shù)的值域不可能為R，所以．【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．掌握指數(shù)函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：增增增增減減減增減減減增 21．如圖，計(jì)劃依靠一面墻建一個(gè)植物角.墻長(zhǎng)為18m.用柵欄圍成四個(gè)相同的長(zhǎng)方形區(qū)域種植若干種植物.(1)若每個(gè)長(zhǎng)方形區(qū)域的面積為，要使圍成四個(gè) 區(qū)域的柵欄總長(zhǎng)度最小，每個(gè)長(zhǎng)方形區(qū)域長(zhǎng)和寬分別是多少米？并求柵欄總長(zhǎng)度的最小值；(2)若每個(gè)長(zhǎng)方形區(qū)域的長(zhǎng)為m（），寬為長(zhǎng)的一半.每米柵欄價(jià)格為5元，區(qū)域的重建費(fèi)用為每平方米10元.要使總費(fèi)用不超過180元，求長(zhǎng)方形區(qū)域的長(zhǎng)的取值范圍.【答案】(1)每個(gè)長(zhǎng)方形區(qū)域的長(zhǎng)和寬分別為6m和4m時(shí)，柵欄總長(zhǎng)度最小，且最小值為48m(2) 【分析】（1）利用基本不等式即可求得柵欄總長(zhǎng)度的最小值；（2）根據(jù)題意可知總費(fèi)用，解不等式即可求得的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)每個(gè)長(zhǎng)方形區(qū)域的長(zhǎng)為m（），則寬為，則柵欄總長(zhǎng)為.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以每個(gè)長(zhǎng)方形區(qū)域的長(zhǎng)和寬分別為6m和4m時(shí)，柵欄總長(zhǎng)度最小，且最小值為48m；（2）由題可知每個(gè)長(zhǎng)方形區(qū)域的長(zhǎng)為m，寬為m，，則長(zhǎng)方形區(qū)域的面積為，柵欄總長(zhǎng)為，總費(fèi)用，又總費(fèi)用不超過180元，，解得：,又，,故當(dāng)時(shí)，總費(fèi)用不超過180元.22．已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且.（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）(1)求，的解析式；(2)若對(duì)任意的，都存在，使得，求a的取值范圍.【答案】(1)，(2). 【分析】(1)令得，根據(jù)奇偶性構(gòu)造出新的方程，與已知條件組成方程組求解.(2)求出與的值域，由已知條件知的值域包含于的值域中，由此列不等關(guān)系即可.【詳解】（1）由題可知①，令得，因?yàn)?/span>為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，所以②.聯(lián)立①②解得，.（2）令，，令，設(shè) ，.因?yàn)?/span>，所以.所以在上為增函數(shù)，同理可證在上為減函數(shù)，所以，，，即.易知在單調(diào)遞增，， ，當(dāng)時(shí)，，，顯然不成立，當(dāng)時(shí)，，對(duì)任意的，都存在，使得，所以. 

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