浙江省寧波市北侖中學(xué)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________ 一、單選題1．有下列四個(gè)命題：①過三點(diǎn)確定一個(gè)平面；②矩形是平面圖形；③三條直線兩兩相交，則確定一個(gè)平面；④一條直線和該直線外一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面．其中錯(cuò)誤命題的序號(hào)是（    ）．A．①② B．①③ C．②④ D．②③【答案】B【分析】由立體幾何知識(shí)對(duì)結(jié)論逐一判斷【詳解】對(duì)于①，不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，①錯(cuò)誤，對(duì)于②，矩形是平面圖形，②正確，對(duì)于③，若三條直線交于同一點(diǎn)，則無法確定一個(gè)平面，故③錯(cuò)誤對(duì)于④，一條直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，④正確．故選：B2．設(shè)、是兩條直線，、是兩個(gè)平面，則能推出的一個(gè)條件是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】根據(jù)每個(gè)選項(xiàng)中的條件推導(dǎo)出直線與平面的位置關(guān)系，由此可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，，則或；對(duì)于B選項(xiàng)，若，，則或；對(duì)于C選項(xiàng)，若，，則或；對(duì)于D選項(xiàng)，若，，由面面平行的性質(zhì)可知.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判斷，屬于基礎(chǔ)題.3．下列說法正確的是（    ）A．表示虛數(shù)單位，所以它不是一個(gè)虛數(shù)B．的平方根是C．是純虛數(shù)D．若，則復(fù)數(shù)沒有虛部【答案】B【分析】用復(fù)數(shù)的相關(guān)概念判斷即可【詳解】A： 表示虛數(shù)單位，也是一個(gè)虛數(shù)，故A錯(cuò)誤；B： 由，可知的平方根是，故B正確；C： 當(dāng)是實(shí)數(shù)，故C錯(cuò)誤；D： 若，則復(fù)數(shù)虛部為0，故D錯(cuò)誤；故選：B4．已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正弦定理和三角變換及三角函數(shù)的性質(zhì)可求的取值范圍.【詳解】因?yàn)?/span>，，故三角形外接圓直徑為，故，因?yàn)槿切螢殇J角三角形，故，故，故，故，故，故選：D5．如圖是長(zhǎng)方體被一平面所截得到的幾何體，四邊形為截面，長(zhǎng)方形為底面，則四邊形的形狀為（    ）A．梯形 B．平行四邊形C．可能是梯形也可能是平行四邊形 D．矩形【答案】B【解析】利用面面平行的性質(zhì)判斷與的平行、與平行.【詳解】因?yàn)槠矫?/span>//平面,且平面平面,平面平面,根據(jù)面面平行的性質(zhì)可知//,同理可證明//.所以四邊形為平行四邊形.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查長(zhǎng)方體截面形狀判斷，考查面面平行的性質(zhì)應(yīng)用，較簡(jiǎn)單.6．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.若，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理邊化角求出，再結(jié)合同角公式計(jì)算作答.【詳解】在中，由正弦定理及得：，解得，在中，，，于是為銳角，所以.故選：C7．在△ABC中，BC =，且，AD是△ABC的外接圓的直徑，則的值（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】作輔助線如圖所示，求出，再求出，最后利用數(shù)量積公式求解.【詳解】作輔助線如圖所示，.因?yàn)?/span>，所以.,所以.由垂徑定理得,所以.在Rt△ADE中，由中位線定理得...故選：B8．在中，角，，所對(duì)的邊是，，，且，若，則實(shí)數(shù)的值是A． B． C． D．【答案】A【分析】利用已知條件得出是三角形的重心，通過余弦定理可得三角形三邊關(guān)系，然后再由余弦定理可轉(zhuǎn)化得，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡(jiǎn)要求的式子，可得結(jié)果.【詳解】由得是的重心，因?yàn)?/span>，所以.如圖：則，所以有，，可得：，即，由正弦定理，得，由余弦定理，得，則，則，即，所以；故選：A. 二、多選題9．軟木鍋墊一般用于餐廳、咖啡廳、酒店等公共飲食場(chǎng)所，可作廣告飾品以提高形象．杯墊透氣、無毒、無異味、防水防潮、耐油耐酸、彈性環(huán)保，具有耐沖擊、不變形、耐用等特點(diǎn)．正、反面可加置印刷公司LOGO、圖片、產(chǎn)品、廣告、聯(lián)系方式等，更接近人們的生活，較強(qiáng)的摩擦力可以防止玻璃、瓷杯滑落，亦可保護(hù)桌面不被燙壞．如圖，這是一個(gè)邊長(zhǎng)為10厘米的正六邊形的軟木鍋墊，則下列選項(xiàng)正確的是（    ）A．向量與向量是相等向量 B． C． D． 【答案】ACD【分析】根據(jù)相等向量的定義判斷A，根據(jù)數(shù)量積的定義判斷B，C，根據(jù)向量的線性運(yùn)算定義求，再解三角形求其大小，判斷D.【詳解】對(duì)于A，由圖可得向量與向量方向相同，大小相等，所以向量與向量相等向量，A正確．對(duì)于B，由圖易得向量與向量的夾角為，則，B錯(cuò)誤．如圖，因?yàn)?/span>， ，，則，C正確．因?yàn)?/span>為正三角形，所以根據(jù)平行四邊形法則得，與共線且同方向，又均為含角的直角三角形，所以，，所以，，D正確．故選：ACD.10．關(guān)于復(fù)數(shù)z的運(yùn)算結(jié)論正確的有（    ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】可設(shè)，然后代入計(jì)算判斷A，B，同理可設(shè)，代入計(jì)算判斷C，D．【詳解】設(shè)，則，，A正確；，當(dāng)時(shí)，是虛數(shù)，而一定是實(shí)數(shù)，不可能相等，B錯(cuò)；設(shè)，.所以，C正確；，D正確．故選：ACD．11．如圖，在四邊形ABCD中，，，，，，F為線段BC的中點(diǎn)，E為線段AD上一動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），，則下列說法正確的是（    ）A． B．的最小值為C．若E為線段AD的中點(diǎn)，則 D．n的最大值為【答案】AC【分析】如圖作出輔助線，根據(jù)所給條件結(jié)合直角三角形求出AB判斷A；利用向量表示及數(shù)量積運(yùn)算計(jì)算判斷B；利用向量的線性運(yùn)算求出判斷C；建立直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求n的最大值判斷D.【詳解】過作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過作，交于，如圖，則四邊形為矩形，設(shè)，依題意，，則，，有．，解得，于是，A正確；由F為線段BC的中點(diǎn)可知，則，，過F作，垂足為M，的長(zhǎng)即最小值，且，因此，B錯(cuò)誤；顯然，而E為DA中點(diǎn)，，因此，即，則，C正確；以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向分別為x軸，y軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，由，得，于是，即，而，所以，D錯(cuò)誤．故選：AC12．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E、F分別是棱、的中點(diǎn)，點(diǎn)P在四邊形內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動(dòng)，則下列說法正確的是（    ）A．若P是線段的中點(diǎn)，則平面平面B．若P在線段上，則異面直線與所成角的范圍是C．若平面，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為D．若平面，則長(zhǎng)度的取值范圍是【答案】AD【分析】對(duì)于A，先證明，，得到平面，然后利用面面垂直的判定定理即可判斷；對(duì)于B，由可將與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，結(jié)合△為正三角形可得與所成角的取值范圍；對(duì)于C，先利用線面位置關(guān)系得到點(diǎn)的軌跡，然后求解即可；對(duì)于D，先由線線平行證明線面平行，進(jìn)而得面面平行，可確定點(diǎn)的軌跡為線段，然后結(jié)合勾股定理求解長(zhǎng)度的最值即可求解．【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?/span>、分別是線段、的中點(diǎn)，所以，則，則，所以，如圖，連接又由平面，平面，所以，平面，所以平面，又因?yàn)?/span>平面，所以平面平面，即選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：在正方體中，，所以與所成的角為與所成的角，連接、，，則為正三角形，所以與所成角的取值范圍為，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C：設(shè)平面與直線交于點(diǎn)，連接、，則為的中點(diǎn)，分別取、的中點(diǎn)，，連接、、，由，所以平面，同理可得平面，又因?yàn)?/span>，所以平面平面，又由平面，所以直線平面，故點(diǎn)的軌跡是線段，易得，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D：取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>，，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以平面，連接、，則，又因?yàn)?/span>，所以，所以平面，連接、，由，且，得，故、、、四點(diǎn)共面，所以平面平面，因?yàn)?/span>平面，所以平面，所以點(diǎn)的軌跡為線段，由知，連接，，在中，，所以，所以，則，故線段長(zhǎng)度的最小值為，線段長(zhǎng)度的最大值為，所以長(zhǎng)度的取值范圍是，即選項(xiàng)D正確．故選：AD． 三、填空題13．已知滿足，則___________.【答案】1或【分析】直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，所以或，所以或1，故答案為：1或14．如圖，長(zhǎng)方體，，，，是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到棱靠近的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，恰有，求此時(shí)與平面所成的角__________．【答案】【分析】結(jié)合長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可知與平面所成的角為，由及勾股定理可得，進(jìn)而可求出得出結(jié)果.【詳解】長(zhǎng)方體中，因?yàn)?/span>，，所以，，，因?yàn)?/span>底面，平面，所以，所以與平面所成的角為，，由條件可得，解得，因此，因?yàn)?/span>，所以，與平面所成的角為，故答案為：15．若為虛數(shù)單位，則計(jì)算___________．【答案】【分析】設(shè)，兩邊乘以相減，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式和復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算法則，計(jì)算可得所求和．【詳解】設(shè)，，上面兩式相減可得，，則．故答案為：．16．如圖所示，△ABC中，AC＝3，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點(diǎn)P，且PN＝2PM，則△ABC面積的最大值為__．【答案】5【分析】根據(jù)題意設(shè)作為該平面的一組基底，根據(jù)向量運(yùn)算的三角形法則及共線向量定理分別表示出，即可求得AP：PM，BP：PN的值，再設(shè)PM＝2t，求得PN，PA，PB，設(shè)△APN的面積為x，運(yùn)用余弦定理和面積公式，結(jié)合二次函數(shù)的最值可得x的最大值，進(jìn)而得到所求△ABC的面積的最大值．【詳解】設(shè)則, ,∵A、P、M和B、P、N分別共線，∴存在實(shí)數(shù)λ、μ，使 故. 而∴，解得 ，故即AP：PM＝4：1，BP：PN＝3：2，設(shè)PM＝t，則PN＝2t，PA＝4t，PB＝3t，t＞0，設(shè)△APN的面積為x，∠APN＝α，在△APN中，AN＝2，AP＝4t，PN＝2t，可得cosα＝＝，sinα＝，則 當(dāng)，即t＝時(shí)，x取得最大值，而△ABP的面積為x，△BPM的面積為，則△ABC的面積為，則△ABC的面積的最大值為×＝5．故答案為：5． 四、解答題17．已知復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位.(1)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在第一象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若虛數(shù)是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，求實(shí)數(shù)值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）求出，由其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)列不等式求解；（2）也是方程的根，根據(jù)韋達(dá)定理先求得，再求得．【詳解】（1）由已知得到，因?yàn)樵趶?fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在第一象限，所以，解得，所以（2）因?yàn)樘摂?shù)是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，所以是方程的另一個(gè)根，所以，所以，所以，所以，所以.18．中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，，.(1)求角；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）結(jié)合題意和正弦定理可得，然后借助三角形內(nèi)角和定理與兩角和的正弦公式得出，進(jìn)而求解；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，利用正弦定理得到，然后利用輔助角公式和三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）由題意，由正弦定理可得，由，可得.代入整理得：.因?yàn)?/span>，所以，故，由因?yàn)?/span>，所以.（2）由（1）知，，因?yàn)?/span>，由正弦定理可得，，則，所以，因?yàn)?/span>，所以，則，所以，則，所以的取值范圍.19．如圖①所示，已知正三角形與正方形，將沿翻折至所在的位置，連接，，得到如圖②所示的四棱錐.已知，，為上一點(diǎn)，且滿足.(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面.若存在，指出點(diǎn)的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)存在，為線段的中點(diǎn)，理由見解析. 【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用勾股定理的逆定理證得，再利用線面垂直的判定推理作答.（2）連接，取的中點(diǎn)，利用線面平行的判定、面面平行的判定性質(zhì)推理作答.【詳解】（1）是正三角形，有，中，，則，正方形中，，平面，于是平面，而，所以平面.（2）點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，平面，取的中點(diǎn)，連接，連接，連接，如圖，于是，而平面，平面，因此平面，依題意，為上一點(diǎn)，且滿足，則為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，即有，而平面，平面，因此平面，又平面，從而平面平面，又面，則平面，所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，平面.20．如圖，在中，點(diǎn)為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，是中點(diǎn).（Ⅰ）若，，，且，求的坐標(biāo)和模（Ⅱ）若與的交點(diǎn)為，又，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）由，根據(jù)，求得，，進(jìn)而求得向量坐標(biāo)，進(jìn)而求得向量的模；（Ⅱ）因?yàn)?/span>，得到，進(jìn)而得到和，即可求解.【詳解】（Ⅰ）由是中點(diǎn)，可得，又由，且，，可知，，且.（Ⅱ）如圖所示，因?yàn)?/span>，所以，可以化簡(jiǎn)為：，又，所以 ①不妨再設(shè)，即，由是的中點(diǎn)，所以，即 ②由①②，可得且，解得.21．在正方體中，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，過且與平行的平面交平面于直線.(1)求證：平面；(2)求直線與所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2). 【分析】（1）取中點(diǎn)，利用正方體的結(jié)構(gòu)特征結(jié)合平行四邊形的判定性質(zhì)、線面平行的判定推理作答.（2）利用線面平行的性質(zhì)證得，利用幾何法求出直線與所成角的余弦值作答.【詳解】（1）在正方體中，對(duì)角面是矩形，則，平面，平面，因此平面，即平面是過且與平行的平面，取中點(diǎn)，連接，如圖，因?yàn)?/span>為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，則，，即四邊形是平行四邊形，于是，而平面，平面，所以平面.（2）由（1）知，平面，而平面平面，平面，因此，而，則，即直線與所成的角等于直線與所成的角，又，于是直線與所成的角等于直線與所成的角，連接，因?yàn)?/span>平面，平面，則，令，由（1）知，有，，所以直線與所成角的余弦值.22．在中，，D為中點(diǎn)， .(1)若，求的長(zhǎng)；(2)若 ，求的長(zhǎng).【答案】(1)2(2) 【分析】（1）在中，由余弦定理求得，即可得，在中利用余弦定理即可求得答案；（2）設(shè)，由正弦定理求得，結(jié)合，以及，可推出，再由，推出，聯(lián)立解方程可得答案.【詳解】（1）在中，，則 ，在中，，所以.（2）設(shè)，在和中，由正弦定理得，，又，得，在中，，由，有，所以，整理得：，①又由，整理得：，② 聯(lián)立①②得，，即.，解得或，又，故，所以. 

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